精品解析：湖南省长沙市第一中学2026-2027学年高一上学期10月阶段检测数学试题

2026年秋季高一数学一 时量：120分钟 满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列表述正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用常用数集，结合集合包含关系和元素与集合的关系逐项判断即得. 【详解】对于A，，A错误； 对于B，，B错误； 对于C，，C错误； 对于D，，D正确； 故选：D. 2. 已知集合，，则中元素个数为（ ） A. 0 B. 3 C. 5 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】根据补集的定义即可求出． 【详解】因为，所以， 中的元素个数为， 故选：C． 3. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数有意义求解即可. 【详解】由，得， 所以函数的定义域为. 故选：C. 4. “”是“”成立的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【详解】当时，由不等式的性质可得，即“”“”； 当时，不妨取，则“”“”. 所以“”是“”成立的充分不必要条件. 5. 已知 ，则代数式 的最小值为（ ） A. 2 B. 4 C. 3 D. 无最小值 【答案】B 【解析】 【详解】因为， 所以， 当且仅当 ，即 时取等号， 则代数式 的最小值为4. 6. 已知实数，，设，，若，则（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】根据及集合中元素的互异性，分类讨论求解. 【详解】，则集合中元素都在集合中， 若，解得，则集合有两个2，不符合集合中元素的互异性，舍去； 若，方程无解； 则必有， 此时，若，则，方程无实数根， . 7. 已知函数满足，则（ ）． A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】分别令联立方程组，求得答案. 【详解】因为，分别令， 联立得，解得， 故选：C. 8. 已知集合恰有个真子集，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先由真子集个数推出集合含个整数，因式分解二次式，对两根大小分类讨论，限定区间内整数恰好个求出m范围． 【详解】设集合的元素个数为， 因为集合的真子集个数为，则，解得，则集合中有个整数， ， 方程的根为，， 当，即时，，则集合的个元素为、、、， 故，解得； 当，即时，，则集合的个元素为、、、， 故，解得； 综上可得，的取值范围为． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，，，均为实数，下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】对C，举反例说明；对ABD，利用不等式性质判断. 【详解】对于A，由，又，，所以，即，故A正确； 对于B，由，得，又，所以，故B正确； 对于C，取，，但，，则，故C错误； 对于D，由，则，得，故D正确. 10. 下列命题是真命题的有（ ） A. 两个三角形面积相等是这两个三角形全等的必要不充分条件 B. “”是“”成立的充分不必要条件 C. 每个定义域为R的二次函数的图象都是轴对称图形 D. 存在一个无理数，它的立方是有理数 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于AB，由充分条件、必要条件的定义判断即可；对于CD，直接判断全称量词命题、特称量词命题的真假即可. 【详解】对于A，显然两个三角形全等必然可以导致面积相等， 直角边为的直角三角形的面积为6，设等腰三角形的底边是，腰是，此时等腰三角形的面积为， 所以面积相等的三角形未必全等， 所以两个三角形面积相等是这两个三角形全等的必要不充分条件，故A正确； 对于B，“”当且仅当是的子集，即当且仅当“”成立， 所以“”是“”成立的充分必要条件，故B错误； 对于C，所有的二次函数的图象都是轴对称图形，故C正确； 对于D，若，则是无理数，而，即是有理数，故D正确. 故选：ACD. 11. 已知全集为，对于给定数集，定义函数为集合的特征函数，若函数是数集的特征函数，函数是数集的特征函数，则（ ） A. 是数集的特征函数 B. 是数集的特征函数 C. 是数集的特征函数 D. 是集合的特征函数 【答案】BC 【解析】 【分析】代入A、B的公共元素，得出函数值为2，结合特征函数定义判断选项A；代入A、B的公共元素，结合特征函数定义判断选项B；因式分解后，仅x属于A但不属于B时函数值为 1，符合A交B补集的特征函数，进而判断选项C；代入不同归属的x求值，验证函数取 1 对应的集合不是交集的补集，判断选项D． 【详解】若，，但特征函数只能取或1，故A错误； ，， 当时，中至少一个为0，， 恰好是的特征函数，故B正确； ， 且时，， 其余情况或，对应集合， 故C正确； 时， 若，， 若，且时，， 若，且时，， 若，且时，， 函数取1对应“只属于A或只属于B”，而包含“既不属于A也不属于B”情况，此时函数值为0，不满足特征函数定义，故D错误． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 命题“，”的否定是________． 【答案】， 【解析】 【详解】命题“，”的否定是，. 13. 不等式的解集为__________． 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得，进而可得，求解即可. 【详解】因为， 所以， 即， 解得， 所以原不等式的解集为. 14. 已知，，若时，关于的不等式恒成立，则的最小值为_____ 【答案】4 【解析】 【分析】分析得到，故，利用基本不等式求出最小值. 【详解】若，，恒成立， 即恒成立， 所以二次式与一次式在0到正无穷有相同的解， 故才能满足要求（因式分解后二次项和常数项一致）， 又，故， ，当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为4. 故答案为：4 四、解答题：本题共5小题，第15题13分，第16，17题15分，第18，19题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，{或}. （1）若，求的取值范围； （2）若，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 因为，{或}，， 所以，解得，即的取值范围为． 【小问2详解】 当时，满足，此时，解得． 当时，或， 解得或， 综上，或，即的取值范围为． 16. 2026年某企业整合资金投入研发高科技产品，并面向全球发布了首批17项科技创新重大技术需求榜单，吸引清华大学、北京大学等60余家高校院所参与，实现企业创新需求与国内知名科技创新团队的精准对接，最终该公司产品研发部决定将某项高新技术应用到某高科技产品的生产中，计划该技术全年需投入固定成本6200万元，生产千件该产品，需另投入成本万元，且假设该产品对外销售单价定为每件0．9万元，且全年内生产的该产品当年能全部售完． （1）求出全年的利润万元关于年产量千件的函数关系式； （2）试求该企业全年产量为多少千件时，所获利润最大，并求出最大利润． 【答案】（1） （2）该企业全年产量为50千件时，所获利润最大为6600万元． 【解析】 【分析】（1） 根据利润等于总收入减去另投入成本与固定成本，写出分段利润函数； （2） 分别利用二次函数性质、基本不等式求出各段最大值，对比得到最大利润. 【小问1详解】 当时，， 当时，， 所以 【小问2详解】 若，则，当时，； 若，， 当且仅当，即时，等号成立，此时． 因为，所以该企业全年产量为50千件时，所获利润最大为6600万元． 17. 设． （1）若，恒成立，求实数的取值范围； （2）若，恒成立，求实数的取值范围； （3）已知，解关于的不等式． 【答案】（1） （2） （3）当时，关于的不等式解为； 当时，关于的不等式解为； 当时，关于的不等式解为； 当时，关于的不等式解为． 【解析】 【分析】（1）分离参数，将不等式恒成立转化为在上恒成立，再结合构造函数，确定函数的最值，即可得解. （2）将看作关于的一次函数，即可将原问题转化为一次函数恒成立，结合一次函数性质即可求解. （3）将化为，即，对m分类讨论，即可求得答案. 【小问1详解】 要使在上恒成立， 即，， 因为当时，， 则有在上恒成立， 当，令，即， 所以在上恒成立，则， 即，故实数的取值范围为． 【小问2详解】 设， 则是关于的一次函数，且一次项系数为， ，恒成立，等价于恒成立， 即等价于，解得， 故实数的取值范围为． 【小问3详解】 由化简得，即， 当时，，解得． 当时，对于不等式，解得， 当时，对于不等式，解得或， 当时，对于不等式，解得或， 当时，对于不等式，解得或， 综上所述：当时，关于的不等式解为； 当时，关于的不等式解为； 当时，关于的不等式解为； 当时，关于的不等式解为． 18. 某数学兴趣小组在学习了《基本不等式》一章后，对不等式产生了浓厚的兴趣，小组成员经过查阅资料发现如下事实:基本不等式可以推广至阶.即:若实数均大于0，那么请利用上述事实解决下列问题: （1）若，求的最大值，并指明取最大值时的值； （2）将一个边长为2的正方形纸板四个角各减去一个边长为的小正方形后折成一个无盖长方体（如图），若要使得长方体的体积最大，则减去的小正方形的边长应为多少? （3）试证明，对任意的正整数，不等式成立. 【答案】（1）， （2） （3） 证明：当时，左式，右式，且； 当时， ， 显然，所以等号不能取， 所以； 综上可知，恒成立. 【解析】 【分析】（1）由，结合基本不等式即可求解； （2）由，结合基本不等式即可求解； （3）根据结论得到，然后化简变形可完成证明. 【小问1详解】 ， 当且仅当时，取等号， 所以最大值为， 【小问2详解】 由题意， 长方体的体积为：， 当且仅当时取等号， 所以要使得长方体的体积最大，则减去的小正方形的边长应为. 【小问3详解】 略 19. 若集合中存在三个元素，，，同时满足①；②；③为偶数，那么称集合具有性质．已知集合，对于集合的非空子集，若中存在三个互不相同的元素，，，使得，，均属于，则称集合是集合的“期待子集”． （1）试判断集合是否具有性质，并说明理由； （2）若集合具有性质，证明：集合是集合的“期待子集”； （3）已知集合，证明：“集合具有性质”的充要条件是“集合是集合的‘期待子集’”． 【答案】（1）集合不具有性质，理由如下： （i）从集合中任取三个元素，，均为奇数时，为奇数，不满足条件③． （ii）从集合中任取三个元素，，有一个为2，另外两个为奇数时， 不妨设，，则有，即，不满足条件②， 综上所述，可得集合不具有性质． （2）由是偶数，得正整数是奇数， 当时，，此时，不满足，舍去， 当时，由，得，即，或（舍）， 因为是偶数，所以集合， 令，，，解得，，， 显然，，，所以集合是集合的“期待子集”，得证． （3）先证充分性： 当集合是集合的“期待子集”时，根据期待子集的定义结合知，存在三个互不相同的元素，，，使得，，均属于， 不妨设，令，，，则，即满足条件①， 因为，所以，即满足条件②， 因为，所以为偶数，即满足条件③， 所以当集合是集合的“期待子集”时，集合具有性质． 再证必要性： 当集合具有性质，则存在，，，同时满足①；②；③为偶数， 令，，，则由条件①得， 由条件②得， 由条件③得，，均为整数， 因为， 所以，且，，均为整数，所以，，， 因为，，， 所以，，均属于， 所以当集合具有性质时，集合是集合的“期待子集”． 综上所述，“集合具有性质”的充要条件是“集合是集合的‘期待子集’”． 【解析】 【分析】（1）根据性质的定义即可判断； （2）先根据性质P的三个条件确定a的取值范围与可能值，再依据期待子集的定义，找到中三个互不相同的元素，验证其两两之和均属于B； （3）分充分性和必要性两部分证明：充分性：若M是期待子集，取中满足两两和属于M的三个元素，对这三个和排序，证明其满足性质P的三个条件；必要性：若M具有性质P，取M中满足性质P的三元组，证明这三个元素的两两和满足期待子集的要求. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年秋季高一数学一 时量：120分钟 满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列表述正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，，则中元素个数为（ ） A. 0 B. 3 C. 5 D. 8 3. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 4. “”是“”成立的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知 ，则代数式 的最小值为（ ） A. 2 B. 4 C. 3 D. 无最小值 6. 已知实数，，设，，若，则（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 3 7. 已知函数满足，则（ ）． A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 8. 已知集合恰有个真子集，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，，，均为实数，下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，则 10. 下列命题是真命题的有（ ） A. 两个三角形面积相等是这两个三角形全等的必要不充分条件 B. “”是“”成立的充分不必要条件 C. 每个定义域为R的二次函数的图象都是轴对称图形 D. 存在一个无理数，它的立方是有理数 11. 已知全集为，对于给定数集，定义函数为集合的特征函数，若函数是数集的特征函数，函数是数集的特征函数，则（ ） A. 是数集的特征函数 B. 是数集的特征函数 C. 是数集的特征函数 D. 是集合的特征函数 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 命题“，”的否定是________． 13. 不等式的解集为__________． 14. 已知，，若时，关于的不等式恒成立，则的最小值为_____ 四、解答题：本题共5小题，第15题13分，第16，17题15分，第18，19题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，{或}. （1）若，求的取值范围； （2）若，求的取值范围. 16. 2026年某企业整合资金投入研发高科技产品，并面向全球发布了首批17项科技创新重大技术需求榜单，吸引清华大学、北京大学等60余家高校院所参与，实现企业创新需求与国内知名科技创新团队的精准对接，最终该公司产品研发部决定将某项高新技术应用到某高科技产品的生产中，计划该技术全年需投入固定成本6200万元，生产千件该产品，需另投入成本万元，且假设该产品对外销售单价定为每件0．9万元，且全年内生产的该产品当年能全部售完． （1）求出全年的利润万元关于年产量千件的函数关系式； （2）试求该企业全年产量为多少千件时，所获利润最大，并求出最大利润． 17. 设． （1）若，恒成立，求实数的取值范围； （2）若，恒成立，求实数的取值范围； （3）已知，解关于的不等式． 18. 某数学兴趣小组在学习了《基本不等式》一章后，对不等式产生了浓厚的兴趣，小组成员经过查阅资料发现如下事实:基本不等式可以推广至阶.即:若实数均大于0，那么请利用上述事实解决下列问题: （1）若，求的最大值，并指明取最大值时的值； （2）将一个边长为2的正方形纸板四个角各减去一个边长为的小正方形后折成一个无盖长方体（如图），若要使得长方体的体积最大，则减去的小正方形的边长应为多少? （3）试证明，对任意的正整数，不等式成立. 19. 若集合中存在三个元素，，，同时满足①；②；③为偶数，那么称集合具有性质．已知集合，对于集合的非空子集，若中存在三个互不相同的元素，，，使得，，均属于，则称集合是集合的“期待子集”． （1）试判断集合是否具有性质，并说明理由； （2）若集合具有性质，证明：集合是集合的“期待子集”； （3）已知集合，证明：“集合具有性质”的充要条件是“集合是集合的‘期待子集’”． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $