广东普宁市华侨中学2026-2027学年高二上学期数学每周测：国庆（二）

2026～2027学年度普宁市华侨中学高二数学国庆（2） 1. 连续抛掷一枚只有正反两面的均匀硬币，第次抛掷时出现正面朝上的概率为（ ） A. 1 B. C. D. 2. 已知为虚数单位，复数，则“”是“为纯虚数”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 充要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知事件，满足，，，则（ ） A. 0.9 B. 0.5 C. 0.4 D. 0.2 4. 现有一组数据2，4，3，5，18，2，则该组数据的第65百分位数是（ ） A. 4 B. 3 C. 5 D. 18 5. 某班有49名同学，现按男生、女生进行分层，通过分层随机抽样的方法，从该班选出了7人参加志愿者活动，其中男生3人，则该班女生人数为（ ） A. 21 B. 24 C. 28 D. 32 6. 设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，则 7. 如图，四边形是圆柱的轴截面，是底面圆周上异于，的一点，则下列各组四棱锥的表面中，不满足互相垂直的一组是（ ） A. 平面与平面 B. 平面与平面 C. 平面与平面 D. 平面与平面 8. 在平面直角坐标系中，若向量满足，，则称向量为“整向量”．模长为5的不同“整向量”共有（ ） A. 4个 B. 8个 C. 12个 D. 16个 二、选择题：本题共3小题，每小题5分，共15分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设复数的共轭复数为，则下列结论正确的有（ ） A. 复平面内与对应的点在第一象限 B. C. D. 10. 下列说法错误的有（ ） A. 连续投10次骰子，“连续投出10个1”是必然事件 B. 已知一批产品的次品率为，从中任取99件，“99件全是次品”是不可能事件 C. 对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件 D. 如果两个事件的积事件是不可能事件，那么这两个事件一定是对立事件 11. 如图，在棱长为4的正方体中，，，分别是，，的中点，是线段上的动点（不含端点），则下列说法正确的是（ ） A. 存在点，使得平面 B. 存在点，使得，，，四点共面 C. 三棱锥的体积为 D. 三棱锥与三棱锥体积相等 三、填空题：本题共3小题，每小题4分，共12分． 12. 在中，内角，，的对边分别为，，，若，，，则___________． 13. 如图所示是某样本的频率分布直方图，可以据此估计总体的中位数大约为___________． 14. 如图，石狮子是中国传统建筑中常用的装饰物，石狮子口含石球．将石球看作一个标准光滑球体，石狮子张开的嘴内部空间看作一个正四棱台，已知正四棱台上底面边长与高度相等，下底面边长是上底面边长的两倍，且石球与棱台上下底面相切，则石球的体积与正四棱台的体积的比值为____________． 四、解答题：本题共5小题，共61分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知，，与的夹角为． （1）求； （2）若向量与相互垂直，求实数的值． 16. 在中，内角，，的对边分别为，，，已知． （1）求角的大小； （2）若，的面积为，求的周长． 17. 为了调查某市居民对AI的了解情况，随机选取1000名市民参加有奖考核，将考核的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六组：，，，，，，得到如图所示的频率分布直方图． （1）在考核成绩为，，的市民中，用分层抽样的方法抽取15人调查反馈，则考核成绩在中的市民应抽取多少人？ （2）若已知样本中考核成绩为的市民的平均成绩是56，方差是5.6，考核成绩为的市民的平均成绩为65，方差是8，求这两组市民整体的平均成绩和方差． 18. 某超市在端午节举行猜粽子促销活动，活动分两个环节，基础环节：顾客需要在5个粽子内随机挑选两个粽子（其中有两个咸粽子和三个甜粽子），如果选中的两个粽子风味一致，那么可以领取一个粽子直接带回家；如果选中的两个粽子风味不一致，那么进入升级环节：从剩余3个粽子内再随机挑选一个粽子，如果选中的粽子是甜粽子，那么可以领取两个粽子带回家；如果选中的粽子是咸粽子，那么可以领取五个粽子带回家．已知每次挑选到每个粽子的可能性完全相等． （1）在基础环节中，求样本空间，并计算进入升级环节的概率； （2）求参加活动的顾客成功领取五个粽子的概率； （3）有两位顾客甲和乙独立参加活动，求恰有一人带走五个粽子的概率． 19. 如图，顶点为的圆锥的轴截面是等边三角形，是底面圆周上的点，是底面圆内的点，为底面圆圆心，，垂足为，，垂足为，且，是的中点． （1）证明：平面； （2）求二面角的余弦值的取值范围； （3）若，求三棱锥的体积． 2026～2027学年度普宁市华侨中学高二数学国庆（2）答案 1.B【详解】硬币每次抛掷是相互独立事件，均匀硬币只有正面、反面2种等可能结果， 即单次抛出正面概率恒为，故第次抛掷时出现正面朝上的概率为． 2. A【详解】根据题意，当时，复数，复数为纯虚数，充分性成立； 当复数为纯虚数时，则，解得或，故其必要性不成立. 所以“”是“为纯虚数”的充分不必要条件. 3. C【详解】由且，则. 4. A把这组数据按从小到大的顺序排列为：2，2，3，4，5，18共6个数据， 由，所以这组数据的第65百分位数是4. 5. C【详解】由题意可知，抽取的女生人数为人，抽取比例为，则该班女生人数为 6. C【详解】对于A，若，，则或与相交或与异面，故A错误； 对于B，若，，则或与相交或，故B错误； 对于C，因为，由线面平行的性质定理，内有直线，使， 又，，则，又，则，C正确； 对于D，若，，，则或与异面，故D错误. 7.D 对于A，由题意，平面，因为平面，所以平面平面，故A错误； 对于B，由题意，平面，因为平面，所以平面平面，故B错误； 对于C，因为为底面直径，所以，又因为平面，平面， 所以，又因为，且平面， 所以平面，又平面，所以平面平面，故C错误； 对于D，在圆柱内，明显平面底面，与平面不垂直，故D正确. 8. C【详解】根据题意，向量的模长为5，且，， 则，即， 当时，，对应2个“整向量”；当时，，对应4个“整向量”； 当时，，对应4个“整向量”；当时，，对应2个“整向量”； 综上所述，满足模长为5的不同“整向量”共有12个. 9. ABC【详解】复数，其共轭复数， 复平面内与对应的点为，在第一象限，A选项正确；，B正确； ，C选项正确； 和均为虚数，不能比较大小，故D选项错误 10. ABD【详解】必然事件：在一定条件下一定发生的事件； 不可能事件：在一定条件下一定不发生的事件，发生的概率为0； 互斥事件：在一次试验中不能同时发生的两个事件，且满足； 对立事件：在一次试验中，两个事件有且仅有一个发生，且满足且（为样本空间）， 对于A选项，连续投10次骰子，“连续投出10个1”是有可能发生、也有可能不发生的事件， 属于随机事件，并非必然事件，故A的说法错误，符合题干要求； 对于B选项，已知产品的次品率为，则该批产品存在次品，任取99件时“99件全是次品”是概率很小但仍有可能发生的事件，属于随机事件，并非不可能事件，故B的说法错误，符合题干要求； 对于C选项，因为对立事件要求两个事件不能同时发生，所以对立事件一定是互斥事件， 但互斥事件仅仅要求不能同时发生，不需要满足“两个事件的并集是整个样本空间”， 因此互斥事件不一定是对立事件，故C的说法正确，不符合题干要求； 对于D选项，两个事件的积事件是不可能事件，仅仅能说明两个事件为互斥事件， 但它们的并集不一定是整个样本空间，因此不一定是对立事件，因此D的说法错误，符合题干要求. 11.ACD【详解】A：当点为的中点时，因为是的中点， 所以是的中位线，故 因为、分别是、的中点，则 所以，且在平面内，而在平面外， 所以平面，故存在中点使得平面，故 A 正确， B：如图，延长交直线于点，易知， 连接，易知直线是平面与上底面的交线， 因为是中点，且，则，而， 所以，且，即为平行四边形， 其中是的中点，且为的对角线，则共线， 综上，直线线段，不在平面上，即线段平面， 因为是上（不含端点）的动点，所以不存在这样的点，故 B 错误， C：底面在侧面上，，且， 底面面积，点到侧面的距离就是棱的长，即， 三棱锥体积，故 C 正确， D：因为三棱锥与有共同的底面， 要证明体积相等，只需证明点与点到平面的距离相等，即证明平面， 连接，取的中点，连结、，则且， 所以四边形为平行四边形，则，， 在矩形中、是中点，则且， 所以四边形为平行四边形，则，， 综上，，，则四边形为平行四边形， 因此，而在平面上，而在平面外，所以平面 ， 所以和到平面的距离相等，故两体积相等，故 D 正确. 12. 【详解】由正弦定理可得，，则. 13. 13.5【详解】因为样本中属于区间内的数据的频率为， 样本中属于区间内的数据的频率为， 所以样本数据的中位数属于区间，设中位数为，， 则，解得：. 14. 【详解】设正四棱台上底面边长为， 则其上底面的面积，下底面的面积，高， 故， 由题知石球与棱台上下底面相切，如图所示正四棱台，沿斜高作出如下截面， 则，故球的半径，所以， 因此． 15. 因为，，， 则，所以 ． 【小问2详解】若向量与相互垂直， 则 ，即，解得 16.【详解】解：（1）因为，所以，即，又因为，所以． （2）由三角形面积公式得：，解得， 由余弦定理得，， 所以，又，所以．所以的周长为． 17. 【小问1详解】因为频率分布直方图中，所有矩形的面积和为1（频率和为1），组距为10， 所以，即，解得， 因为：频率，人数， ：频率，人数， ：频率，人数， 三组样本总人数：，抽样比为：，因此应抽取人数： 【小问2详解】因为与的频率之比为， 又因为落在的市民的平均成绩是56，方差是5.6，落在的市民的平均成绩为65，方差是8，所以这两组市民成绩的平均数是， 这两组市民整体的方差是． 18. 【小问1详解】设五个粽子编号分别为1、2、3、4、5，其中1、2为咸粽子， 设事件“从包含两个咸粽子和三个甜粽子的五个粽子中随机挑选出两个粽子，两个粽子风味不同”，由题意得，样本空间为， ，所以，， 根据古典概型的计算公式，得． 【小问2详解】设事件“从包含一个咸粽子和两个甜粽子的三个粽子中随机挑选出一个粽子，是咸粽子”，则，事件“参加活动的顾客带走5个粽子”， 根据题意可得， 【小问3详解】 事件“甲带走5个粽子”，事件“乙带走5个粽子”，事件“恰有一人带走五个粽子”， 根据题意可得，，因为， 由已知，相互独立，所以，相互独立，，也相互独立． 所以 ．故甲、乙两人恰有一人带走五个粽子的概率为． 19. 由题意可知，圆锥底面半径为1，高为， 即，，设，则， 由（1）可知平面，因为平面，所以， 又，平面与平面相交于直线，平面，平面， 所以就是二面角的平面角， 在直角三角形中，， 因为，，，所以， 故二面角的余弦值的取值范围为． （3）由（1）得，平面，因为，平面，所以，． 又，，平面，，所以平面． 因为，所以，， 在直角三角形中，由，得， 在直角三角形中，由，， 得， 又，所以， 所以． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $