2026-2027学年惠州市光正实验学校高二上学期数学国庆假期作业（二）

2026-2027学年惠州市光正实验学校高二数学国庆假期作业（二） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。 1.若直线的方向向量为，平面的法向量为，则可能使的是 A. B. C. D. 2.已知点，，，，若平面，则点的坐标为(    ) A. B. C. D. 3.直线的倾斜角，直线，则直线的斜率为(    ) A. B. C. D. 4.如图，在三棱锥中，，，两两垂直，，，以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，则下列向量中是平面的法向量的是(    ) A. B. C. D. 5.已知三角形三个顶点的坐标分别为，，，则边上的高的斜率为(    ) A. B. C. D. 6.如图，已知长方体中，，，则直线到平面的距离是(    ) A. B. C. D. 7.如图，在正方体中，是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为(    ) A. B. C. D. 8.在正四棱柱中，，，动点，分别在线段，上，则线段长度的最小值是(    ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.多选已知点，，，，且直线与直线平行，则的值为(    ) A. B. C. D. 10.以下命题正确的是(    ) A. 直线的方向向量为，直线的方向向量，则与垂直 B. 直线的方向向量，平面的法向量，则 C. 平面的法向量分别为，，则 D. 平面经过三点，，，向量是平面的法向量，则 11.如图所示，正方体的棱长为，，，分别为，，的中点，则(    ) A. 直线与直线垂直 B. 直线与平面平行 C. 平面与底面的夹角的余弦值为 D. 点与点到平面的距离相等 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.若直线的方向向量为，直线上有两点，，则两直线的位置关系是          ． 13.若与的斜率，是关于的方程的两根，若，则          ；若，则          ． 14.如图所示，已知平行六面体中，，，．为的中点，则长度为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分已知在▱中，，，． 求点的坐标； 试判定▱是否为菱形？ 16.本小题分已知向量，，点，． 求 在直线上，是否存在一点，使得为原点若存在，求出点的坐标若不存在，请说明理由． 17.本小题分如图，在正方体中，为的中点． 证明：平面； 求直线到平面的距离； 求平面与平面夹角的余弦值． 18.本小题分如图，在三棱柱中，侧面为正方形，平面平面，，，分别为，的中点． 求证：平面 再从条件、条件这两个条件中选择一个作为已知，求直线与平面所成角的正弦值． 条件条件． 注：如果选择条件和条件分别解答，按第一个解答计分． 19.本小题分如图，在等腰直角三角形中，，，，分别是，上的点，且，，分别是，的中点，现将沿折起，得到四棱锥，连接． 求证：平面． 是否存在点，当将沿折起到时，平面与平面夹角的余弦值等于若存在，求出的长若不存在，请说明理由． 2026-2027学年惠州市光正实验学校高二数学国庆假期作业（二）解析版 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。 1.若直线的方向向量为，平面的法向量为，则可能使的是 A. B. C. D. 【答案】D 解：若，则，而中，不满足条件；中，不满足条件；中，不满足条件；中，满足条件． 2.已知点，，，，若平面，则点的坐标为(    ) A. B. C. D. 【答案】C 解：因为点，，，， 又平面，，， 则解方程组可得故点的坐标为． 3.直线的倾斜角，直线，则直线的斜率为(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】如图，直线的倾斜角，直线，则的倾斜角等于， 的斜率为． 4.如图，在三棱锥中，，，两两垂直，，，以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，则下列向量中是平面的法向量的是(    ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】由题意，可知，，，所以，设平面的法向量为，则，，所以 取，则，，所以平面的一个法向量为又，所以平面的一个法向量为故选A． 5.已知三角形三个顶点的坐标分别为，，，则边上的高的斜率为(    ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】，，，设边上的高的斜率为， 则，． 6.如图，已知长方体中，，，则直线到平面的距离是(    ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】解：以为坐标原点，，，的方向分别为，，轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则，设，． 设平面的法向量为，由，，得，， 所以，，所以可取又， 所以点到平面的距离为． 因为平面，所以到平面的距离为． 7.如图，在正方体中，是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为(    ) A. B. C. D. 【答案】C 解析：以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 设正方体的棱长为， 则，，，， 所以，． 所以． 所以异面直线与所成角的余弦值为． 8.在正四棱柱中，，，动点，分别在线段，上，则线段长度的最小值是(    ) A. B. C. D. 【答案】C  解：以为坐标原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，， 则可设，，，， ， 当且仅当时，取得最小值， 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.多选已知点，，，，且直线与直线平行，则的值为(    ) A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】当时，直线与直线的斜率均不存在且不重合，此时．当时，，，则，即，得，或． 10.以下命题正确的是(    ) A. 直线的方向向量为，直线的方向向量，则与垂直 B. 直线的方向向量，平面的法向量，则 C. 平面的法向量分别为，，则 D. 平面经过三点，，，向量是平面的法向量，则 【答案】AD 解：选项A：，，， ，直线与垂直，A正确；选项B：，，，，或，B错误； 选项C：，，与不平行，不成立，C错误； 选项D：点，，， ，，向量是平面的法向量， ，即，则，D正确． 11.如图所示，正方体的棱长为，，，分别为，，的中点，则(    ) A. 直线与直线垂直 B. 直线与平面平行 C. 平面与底面的夹角的余弦值为 D. 点与点到平面的距离相等 【答案】BC 【解析】以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系图略，则，，，，，，，，，因为，所以直线与直线不垂直，故A不正确 ，，设平面的法向量为， 则即取，得因为，， 即，平面，所以直线与平面平行，故B正确 取平面的一个法向量为， 因为，所以平面与底面的夹角的余弦值为，故C正确 ，点到平面的距离为，， 点到平面的距离为，故D不正确． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.若直线的方向向量为，直线上有两点，，则两直线的位置关系是          ． 【答案】垂直  解：因为，，所以两直线的位置关系是垂直． 13.若与的斜率，是关于的方程的两根，若，则          ；若，则          ． 【答案】  【解析】当时，，得． 当时，，，得． 14.如图所示，已知平行六面体中，，，．为的中点，则长度为______． 【答案】  解：因为， 所以，由条件得： ， 所以，即长度为． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分已知在▱中，，，． 求点的坐标； 试判定▱是否为菱形？ 【答案】解：设， 由平行四边形，得，， 所以解得． ，， ，．平行四边形是菱形．  16.本小题分 已知向量，，点，． 求 在直线上，是否存在一点，使得为原点若存在，求出点的坐标若不存在，请说明理由． 【答案】解：， 故． 令， 所以， 若，则， 所以，解得． 因此存在点，使得， 此时点的坐标为． 17.本小题分如图，在正方体中，为的中点． 证明：平面； 求直线到平面的距离； 求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】Ⅰ证明：，， 四边形 为平行四边形， ， 面，面， 平面E. Ⅱ解：以点为坐标原点，以、、所在直线分别为、、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为， 则，，，，， 平面， 直线到平面的距离即为点到平面的距离， ，，， 设平面的一个法向量为， 则，取，得， ， 直线到平面的距离为； Ⅲ解：平面的一个法向量为， 由Ⅱ知平面的一个法向量为． 设平面与平面夹角为， 则， 由图可知夹角为锐角，故平面与平面夹角的余弦值．  18.本小题分如图，在三棱柱中，侧面为正方形，平面平面，，，分别为，的中点． 求证：平面 再从条件、条件这两个条件中选择一个作为已知，求直线与平面所成角的正弦值． 条件 条件． 注：如果选择条件和条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】解：取中点，连接，， 在三棱柱中，，． 因为，，分别为，，的中点， 所以，，，， 即且， 所以四边形为平行四边形，因此． 又平面，平面， 所以平面． 选条件 因为侧面为正方形，所以， 又因为平面平面， 且平面平面， 所以平面 ， 而平面，所以． 由得，又因为，所以， 而，所以平面， 又平面，故． 在三棱柱中，，，两两垂直， 故分别以，，为轴，轴，轴，如图建立空间直角坐标系， 因为，则，，，， 所以，，， 设平面的法向量， 由，，得令，得． 设直线与平面所成角为， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为． 选条件 因为侧面为正方形，所以， 又因为平面平面， 且平面平面， 所以平面 ， 而平面，所以． 取中点，连接，． 因为，，分别为，，的中点， 所以，，而，故． 又因为，所以． 在，中，，，公共边， 那么， 因此，即，故B． 在三棱柱中，，，两两垂直， 故分别以，，为轴，轴，轴，如图建立空间直角坐标系， 因为，则，，，， 所以，，， 设平面的法向量， 由，，得令，得． 设直线与平面所成角为，则， 所以直线与平面所成角的正弦值为．  19.本小题分如图，在等腰直角三角形中，，，，分别是，上的点，且，，分别是，的中点，现将沿折起，得到四棱锥，连接． 求证：平面． 是否存在点，当将沿折起到时，平面与平面夹角的余弦值等于若存在，求出的长若不存在，请说明理由． 【答案】解：证明：如图，作，交于点，连接，取的中点，连接，由中位线定理得，且 ． 是的中点， ，且， ，且， 四边形是平行四边形，． 平面，平面， 平面． 存在点，当将沿折起到时，平面与平面夹角的余弦值等于． ，，且， 平面，又， 平面， 又，， 以为坐标原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系． 设，则，由，得， ， ，，，， ， 设平面的法向量为，则取，得 易知平面的一个法向量为 依题意得，，即，解得，即． 存在点，当将沿折起到时，平面与平面夹角的余弦值等于，此时的长为． 1 学科网（北京）股份有限公司 $