精品解析：广东普宁市华侨中学2026-2027学年高二上学期第一次月考数学试题

普宁市华侨中学2026—2027学年度第一学期高二级 第一次月考数学科试题 说明：1．本试题共4页，满分150分，考试时间120分钟. 2．答题前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己姓名、试室号、座位号填写在答卷上. 3. 答题必须使用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷上各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 4．考生必须保持答题卷整洁，考试结束后，将答题卷交回，试卷自己保存. 一、单选题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先计算一元二次不等式得出集合A，再应用对数函数的定义域得出集合B，最后应用交集定义计算即可. 【详解】因为集合， 则. 故选：B. 2. 函数的最小正周期是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 利用二倍角的正弦公式化简函数的解析式，利用正弦型函数的周期公式可求得结果. 【详解】，所以，函数的最小正周期为. 故选：B. 【点睛】本题考查正弦型函数周期的求解，同时也考查了二倍角正弦公式的应用，考查计算能力，属于基础题. 3. 在中，线段为边上的中线，点满足，记，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据图形关系进行平面向量的加减法运算即可. 【详解】如下图所示， 因为线段为边上的中线，点满足， 所以 ， 又因为，所以. 故选：A 4. 若过点的直线的倾斜角为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用斜率的定义及坐标公式列式求解. 【详解】由过点的直线的倾斜角为，得， 所以. 故选：D 5. 下列说法正确的是（ ） A. 不等式的解集为 B. 关于的不等式组的解集为，则实数的取值范围为 C. 若，则函数的最小值为 D. 当时，不等式恒成立，则的取值范围是 【答案】A 【解析】 【分析】由一元二次不等式的解法可判断A；由不等式的解集结合空集的定义可判断B；由对勾函数性质可判断C；分和时求的范围可判断D. 【详解】对于A，将不等式转化为， 解得或，故选项A正确. 对于B，若不等式组的解集为， 则，解得，故选项B错误. 对于C，令，则，所以， 由对勾函数性质知，在上单调递增， 所以， 即函数的最小值为，故选项C错误. 对于D，当时，成立， 当时，应满足，解得， 故符合题意的的取值范围是，故选项D错误. 故选：A. 6. 已知 为正实数，且，则的最小值为（ ） A. 4 B. 7 C. 9 D. 11 【答案】C 【解析】 【分析】 由，展开后利用基本不等式求最值． 【详解】 且 ， ∴， 当且仅当，即时，等号成立． ∴的最小值为9． 故选：C 7. 已知向量，的夹角为，且，在上的投影向量的模为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用向量投影公式求出，再对平方展开求解. 【详解】由题意得在上的投影向量的模为，即，得． 由，得，即，解得． 8. 如图，在平行六面体中，底面为正方形，，棱为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，设，以为基底，分别表示，再利用向量法即可求出异面直线与所成角. 【详解】设，则，． 以为基底，由题意得，． 因为，， 所以， ， ， 设异面直线与所成角为， 则， 即异面直线与所成角的余弦值为. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分） 9. 设复数在复平面内对应的点为，原点为，为虚数单位，则下列说法错误的是（ ） A. 若，则或 B. 若点的坐标为，且是关于的方程的一个根，则 C. 若，则的虚部为 D. 若，则点的集合所构成的图形的面积为 【答案】ACD 【解析】 【分析】举反例可判断A；代入方程根据复数相等列方程组计算可得，进而可判断B；根据复数的概念可判断C；根据复数的几何意义利用两圆面积相减计算可判断D. 【详解】对于A，令，则，故A错误； 对于B，点Z的坐标为，则， 又因为是关于的方程的一个根， 所以， 整理得， 所以，解得 所以，故B正确； 对于C，的虚部为，故C错误； 对于D，设 则， 所以，即， 圆的面积为，圆的面积为， 因为， 所以点的集合所构成的图形的面积为，故D错误. 10. 如图所示，长方体，底面是边长为1的正方形，高为2，是的中点，则（ ） A. B. 三棱锥的体积为 C. 平面平面 D. 三棱锥的外接球的表面积为 【答案】BD 【解析】 【分析】根据四棱柱的几何性质，建立空间直角坐标系，写出点的坐标，求出直线的方向向量和平面的法向量，根据向量方法证明选项A和选项C；根据三棱锥的体积的求法，求出三棱柱的体积，判断选项B的正误；根据四棱柱外接球的性质，求出外接球的半径，进而求出表面积，判断选项D正误. 【详解】如图，以为坐标原点，以所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 由题意可得， 因为是的中点，所以， 选项A：，显然不存在实数使， 所以不平行，故选项A错误； 选项B：可知， 因为平面， 所以，故选项B正确； 选项C：取平面的一个法向量为， 设平面的法向量为， 可知 ， 可得，即， 令，解得，即， 因为，所以两平面不垂直，故选项C错误； 选项D：三棱锥的四个顶点均为长方体的顶点，其外接球即为长方体的外接球， 长方体的体对角线长为， 所以外接球半径为，表面积，故选项D正确. 11. 给定两个不共线的空间向量与，定义叉乘运算： ①是与都垂直的向量； ②三个向量构成右手系（如图1）； ③． 如图2，在长方体中， ，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 长方体的体积 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据新定义得出A、B，根据新定义计算等式两边的结果得出C选项，计算长方体的体积结合新定义以及数量积的定义可判断选项D. 【详解】选项A：向量同时与向量垂直， 且向量三个向量构成右手系， ， ，所以， 故A不正确， 选项B：由， ， 所以， 故B选项正确， 选项C：因为 ， 且与同向共线， 又， 且与同向共线， 又因为与同向共线， 所以， 故C选项正确， 选项D：长方体的体积为：， ， 故， 所以D选项正确， 故选：BCD. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 在中，为线段的中点，点在线段上端点不重合，若，则的最大值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】先根据中点的性质将转化为与有关的向量，再利用三点共线得到与的关系，最后根据均值不等式求出的最大值. 【详解】因为，所以. 因为点在线段上（端点不重合），所以三点共线， 所以，且，​. 由均值不等式，可得， 化简得，即. 当且仅当时等号成立，结合，可得，时等号成立.  故答案为：. 13. 在四面体中，点D满足，若A，B，C，D四点共面，则_______. 【答案】 【解析】 【分析】利用空间向量的共面定理建立方程，求解参数即可. 【详解】因为四点共面，所以，解得. 故答案为： 14. 已知三棱锥，是直角三角形，，，平面，，求点到平面的距离_______. 【答案】 【解析】 【分析】利用等体积法，先以为顶点算出三棱锥体积，再证明求出面积，换顶点为列体积方程，解出点到平面的距离. 【详解】平面，. 由，，得， 又，代入得：. 平面，平面，. 又，，，平面， 平面. 平面，，即为直角三角形. 在中，. . 设点到平面的距离为. 由等体积法：， ，，解得. 四、解答题：本大题共5小题，共77分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数 （1）求函数的最小值； （2）设的内角的对边分别为，且，若向量与向量共线，求的值． 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）根据二倍角余弦公式、辅助角公式化简函数，再根据正弦函数性质求最值； （2）先解三角方程得角，再根据向量共线得，利用正弦定理化边，最后结合余弦定理解得结果. 【小问1详解】 函数 当时，函数取得最小值：. 【小问2详解】 因为向量与向量共线，所以，， ，，∴， ，即. 由余弦定理得：， 又，所以，解得，所以. 16. 教育部《关于落实主体责任强化校园食品安全管理的指导意见》指出：非寄宿制中小学、幼儿园原则上不得在校内设置食品小卖部、超市，已经设置的，要逐步退出.为了了解学生对校内开设小卖部的意见，某校对65名住校生30天内在小卖部消费过的天数进行了统计，情况如下： 天数 人数 4 7 18 9 27 （1）用分层抽样的方法在消费天数不低于15天的住校生中选择6人进行意见调查，分别求其中消费天数在区间，，内的人数； （2）从（1）中选择的6人中任意抽取2人对取消校内小卖部给出具体意见，求这2人消费天数均在内的概率. 【答案】（1）2人，1人，3人；（2）. 【解析】 【分析】（1）由分层抽样的概念即求； （2）利用古典概型的概率公式即得. 【详解】（1）消费天数不低于15天的住校生共有：人， 所以抽样比为， 消费天数在区间内的人数为：人， 消费天数在区间内的人数为：人， 消费天数在区间内的人数为：人. （2）分别记6名消费天数在区间，，内的住校生为，，，，，，从中任取2人有： ，，，，，，，，，，，，，，共15种情况， 其中这2人消费天数均在内的有，，共3种情况， 故这2人消费天数均在内的概率为. 17. 在中，内角所对的边分别为. （1）若，求A； （2）若，且的面积为，求的值. 【答案】（1）；（2）2 【解析】 【分析】（1）将边化为角，结合，再注意到，从而可求得； （2）有题意用三角形面积公式与余弦定理结合同角三角函数得基本关系建立关系式，求解即可 【详解】（1）， 即, (2) ,, , ,, 又，所以， 所以， 则, 化简得，即， 解得 18. 如图四棱锥的底面是直角梯形，，，平面，点M是SA的中点，． （1）求证：平面； （2）求二面角的大小； （3）判断在线段SC上是否存在一点E，使得平面？若存在，确定E点的位置；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）证明见解析； （2）； （3）存在点为线段靠近点的三等分点满足条件. 【解析】 【分析】（1）依题意易得两两垂直，以为原点建立空间直角坐标系．通过,证得平面； （2）通过计算平面和平面的法向量，由此计算出面面角的余弦值，进而求得二面角的大小； （3）设出的坐标，利用直线的方向向量和平面的法向量垂直，求出关于点坐标的参数，由此判断出点的位置. 【小问1详解】 因为 平面. 所以，，又. 如图，以为原点建立空间直角坐标系． 由题意得 所以,,. 所以,, 所以,,平面， 所以平面. 【小问2详解】 设平面的法向量为， 因为. 所以，即， 令，则. 于是. 因为⊥平面，所以为平面的法向量， 又. 所以. 由图可得所求二面角为钝角，所以二面角大小为. 【小问3详解】 设， ， ，. 设平面的法向量， 则，即 ， 令，，. 于是， 如果直线平面， 那么，解得 . 所以，存在点为线段靠近点的三等分点，使得直线平面. 19. 定义域在R的单调函数满足恒等式，且. （1）求，； （2）判断函数的奇偶性，并证明； （3）若对于任意都有成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）， （2）函数是奇函数，证明如下： 令∴∴，即 ∴函数是奇函数. （3） 【解析】 【分析】（1）取代入函数满足的等式，整理可得，再令，根据，可算出； （2）令，可得，即，可得函数为奇函数； （3）根据函数是单调函数且，得是定义域在上的增函数，再结合函数为奇函数，将题中不等式转化为在上恒成立，最后采用变量分离的方法结合换元法求函数的最小值，可算出的取值范围. 【小问1详解】 令可得，令∴∴∴； 【小问2详解】 函数是奇函数，证明略； 【小问3详解】 是奇函数，且在时恒成立， ∴在时恒成立， 又∵是定义域在R的单调函数，且∴是R上的增函数，∴即在时恒成立，∴在时恒成立.令， ∵∴.由抛物线图象可得∴，则实数的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 普宁市华侨中学2026—2027学年度第一学期高二级 第一次月考数学科试题 说明：1．本试题共4页，满分150分，考试时间120分钟. 2．答题前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己姓名、试室号、座位号填写在答卷上. 3. 答题必须使用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷上各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 4．考生必须保持答题卷整洁，考试结束后，将答题卷交回，试卷自己保存. 一、单选题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 函数的最小正周期是（ ） A. B. C. D. 3. 在中，线段为边上的中线，点满足，记，则（ ） A. B. C. D. 4. 若过点的直线的倾斜角为，则（ ） A. B. C. D. 5. 下列说法正确的是（ ） A. 不等式的解集为 B. 关于的不等式组的解集为，则实数的取值范围为 C. 若，则函数的最小值为 D. 当时，不等式恒成立，则的取值范围是 6. 已知 为正实数，且，则的最小值为（ ） A. 4 B. 7 C. 9 D. 11 7. 已知向量，的夹角为，且，在上的投影向量的模为，则（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在平行六面体中，底面为正方形，，棱为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分） 9. 设复数在复平面内对应的点为，原点为，为虚数单位，则下列说法错误的是（ ） A. 若，则或 B. 若点的坐标为，且是关于的方程的一个根，则 C. 若，则的虚部为 D. 若，则点的集合所构成的图形的面积为 10. 如图所示，长方体，底面是边长为1的正方形，高为2，是的中点，则（ ） A. B. 三棱锥的体积为 C. 平面平面 D. 三棱锥的外接球的表面积为 11. 给定两个不共线的空间向量与，定义叉乘运算： ①是与都垂直的向量； ②三个向量构成右手系（如图1）； ③． 如图2，在长方体中， ，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 长方体的体积 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 在中，为线段的中点，点在线段上端点不重合，若，则的最大值为__________. 13. 在四面体中，点D满足，若A，B，C，D四点共面，则_______. 14. 已知三棱锥，是直角三角形，，，平面，，求点到平面的距离_______. 四、解答题：本大题共5小题，共77分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数 （1）求函数的最小值； （2）设的内角的对边分别为，且，若向量与向量共线，求的值． 16. 教育部《关于落实主体责任强化校园食品安全管理的指导意见》指出：非寄宿制中小学、幼儿园原则上不得在校内设置食品小卖部、超市，已经设置的，要逐步退出.为了了解学生对校内开设小卖部的意见，某校对65名住校生30天内在小卖部消费过的天数进行了统计，情况如下： 天数 人数 4 7 18 9 27 （1）用分层抽样的方法在消费天数不低于15天的住校生中选择6人进行意见调查，分别求其中消费天数在区间，，内的人数； （2）从（1）中选择的6人中任意抽取2人对取消校内小卖部给出具体意见，求这2人消费天数均在内的概率. 17. 在中，内角所对的边分别为. （1）若，求A； （2）若，且的面积为，求的值. 18. 如图四棱锥的底面是直角梯形，，，平面，点M是SA的中点，． （1）求证：平面； （2）求二面角的大小； （3）判断在线段SC上是否存在一点E，使得平面？若存在，确定E点的位置；若不存在，请说明理由． 19. 定义域在R的单调函数满足恒等式，且. （1）求，； （2）判断函数的奇偶性，并证明； （3）若对于任意都有成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $