第3章勾股定理3.3勾股定理的简单运用同步练习2026-2027学年苏科版数学八年级上册

3.3勾股定理的简单运用（知识梳理+同步练习） 知识梳理 一、解题核心思路 把实际问题转化为直角三角形模型，利用勾股定理求解线段长度。无直角时，作垂线构造直角三角形。 二、常见实际问题模型 1. 梯子滑动问题 梯子长度不变，作为斜边；墙、地面互相垂直，构成直角边，滑动前后分别用勾股定理计算。 2. 航行、方位距离问题 两个方向互相垂直，构建直角三角形，求两点之间直线距离。 3. 折叠问题 折叠前后对应边相等、对应角相等；设未知数，在直角三角形中列勾股方程求解。 4. 最短路径问题 立体图形展开为平面图形，两点之间线段最短，构造直角三角形求最短距离。 5. 高度、河宽测量问题 竖直方向与水平方向垂直，直接使用勾股定理求未知边长。 三、方程思想 设未知线段长为，用含的代数式表示直角三角形三边，根据列一元一次方程求解。 四、解题一般步骤 1. 读懂题意，画出几何图形 2. 找准直角三角形，分清斜边、直角边 3. 已知两边直接求第三边；未知量较多时设未知数建立方程 4. 计算并检验结果，舍去负数解 同步练习 一、单选题 1．（25-26八年级下·吉林·期末）《九章算术》中有一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折者高几何？”题目大意是：“如图，一根竹子高1丈（1丈尺），在点A处折断后竹子顶端点B触地，测得点B离竹子底端点C距离为3尺（即尺），问折断处离地面高为多少尺？”．设折断处离地面高为尺，可列方程为（     ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·山东泰安·期末）如图，某社区要在三角形健身区边上安装一个饮水点P，经测量米，米，米，则饮水点到三角形顶点C的最小距离为（     ） A．6米 B．4.8米 C．4米 D．9.6米 3．（26-27九年级上·广西南宁·开学考试）如图，一支铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒的内部底面直径是，内壁高．若这支铅笔长为，则这支铅笔在笔筒外面部分长度的最小值为（     ）． A． B． C． D． 4．（25-26八年级下·云南玉溪·期中）如图，沿折叠直角三角形纸片，使两个锐角顶点B和C重合，，，求的长．设，则所列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级下·江西南昌·期末）如图，一圆柱体的底面周长为，高为，是直径，一只蚂蚁从点A出发沿着圆柱的表面爬行到点C的最短路程为（     ） A． B． C． D． 6．（25-26八年级下·广东江门·期末）公园里一根长方体石柱如图所示，若一只蚂蚁以的速度从点爬到点，最快需要多长时间（     ） A． B． C． D． 7．（25-26八年级下·广东广州·期末）如图，点是一港口，渔船从出发沿北偏东方向以6海里/时的速度出海，渔船同时从出发沿南偏东方向以5海里/时的速度出海，两个小时后，两艘渔船的距离为（     ）． A．海里 B．海里 C．海里 D．海里 8．（25-26八年级下·广西玉林·期末）如图，小巷左右两侧是竖直的墙，当一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙脚的距离为，梯子顶端到地面的距离为，若保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙，此时梯子顶端到地面的距离为，则小巷的宽为（     ） A． B． C． D． 9．（25-26八年级下·河北沧州·期末）某班数学小组到十四中平坦的操场上测量旗杆的高度，信息如下： ①如图：绳子一端系在旗杆顶端处，甲同学拉直绳子退至离旗杆3.5米（米）的点处，此时手上的绳子还剩0.5米； ②甲同学继续往后退1.5米（米）到达点，此时手上的绳子刚好用完； ③甲同学拉绳子的手到地的距离始终是1.6米； 则旗杆的高度为（     ） A．12米 B．12.6米 C．13米 D．13.6米 10．（25-26八年级下·河北唐山·期末）如图，在一张边长为的正方形纸板上，放着一根长方体木块，已知木块的较长边与平行且相等，横截面是一个边长为的正方形，一只蚂蚁从点出发，翻过木块到达点处，则蚂蚁爬行的最短路径长为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 11．（25-26八年级下·陕西榆林·期末）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，点、、、均在格点（网格线的交点）上，在点、、中，到点的距离为的是点________． 12．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，一棵树在离地面6米处断裂，树顶端落在离底部8米的地面上，则树折断之前有_______米． 13．（25-26八年级下·云南昆明·期中）如图，长为的梯子斜靠在竖直的墙上，梯子的底端离墙脚线的距离为0.7m，梯子顶端到地面的距离为________． 14．（26-27九年级上·广东深圳·开学考试）翠园东晓中学旧改工程顺利完成．举行竣工典礼时，在高，长的一段台阶面上铺上地毯，台阶的剖面如图所示，则地毯的长度至少需要________m． 15．（2026·安徽阜阳·二模）如图，每个小正方形的边长都为1，A，B，C是小正方形的顶点，则___________． 16．（25-26八年级下·新疆乌鲁木齐·期末）公园内有两棵相距的树，一棵树高为，另一棵树高为，一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞__________m． 17．（25-26八年级下·黑龙江大庆·阶段检测）如图所示的一块菜地，，，，，，这块菜地的面积为________． 18．（25-26八年级下·山西吕梁·阶段检测）明代数学家程大位在他的著作《算法统宗》中写了一首计算秋千绳索长度的词《西江月》：“平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步与人齐，五尺人高曾记．”大意：如图，秋千静止的时候，踏板离地高一尺（尺），将它往前推进两步（尺），此时踏板升高离地五尺（尺）．需求秋千绳索（或）的长度．设秋千绳索的长为尺，则可列方程：________． 19．（25-26八年级下·辽宁丹东·期中）如图，A，B两单位分别位于一条封闭街道的两旁，直线，是街道两边沿，现准备合作修建一座过街人行天桥．恰当地架桥可使由A单位到B单位的路程最短，请根据图中的数据求出最短路程_______． 20．（25-26七年级下·山东泰安·期末）学校将要举办趣味运动会，规则如下：如图，在线上摆满沙包，学生从点出发，跑到线上任意一点拿到沙包，再将沙包运送到线上任意一点即为完成一次比赛．已知，长度足够，两条线夹角，小明发现该比赛存在一条最短路径，请计算，若小明沿最短路径完成比赛，他至少需要跑________． 三、解答题 21．（25-26八年级下·新疆乌鲁木齐·期中）图1，图2中每个小正方形的边长都是1，在图1中画一个面积为2的直角三角形；在图2中画一条长度等于的线段． 22．（25-26八年级下·福建南平·期中）为了响应“绿色汉中，文明汉中”的号召，某小区要在一块四边形空地上补种草皮．如图，经测量，若补种草皮的单价是20元，求完成补种共需要多少钱． 23．（25-26八年级下·广西南宁·期中）图1是某品牌手推车，图2为其简化结构示意图．现测得，，，，其中与之间由一个固定为的零件连接（即） (1)求线段的长度； (2)安全标准规定：需满足，请判断该车是否符合安全标准，并说明理由． 24．（25-26八年级下·湖北孝感·期末）我国古代数学著作《九章算术》记载了一道有趣的问题．原文是：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何．译为：如图，有一个水池，水面是一个边长为尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，这根芦苇的长度与水的深度分别是多少？ 25．（25-26八年级下·广西南宁·期中）如图，在一条东西走向的街道l上有两个快递投放点B，C．快递投放点C的正北方向处有一小区A，小区A到快递投放点B的距离为． (1)求快递投放点B，C之间的距离； (2)为了方便居民取件，优化快递配送服务，计划在街道l上增设一个快递自提柜D，并且使得自提柜D到小区A与快递投放点B的距离相等，求自提柜D与快递投放点B之间的距离． 26．（25-26八年级下·西藏·期中）台风是一种自然灾害，它在以台风中心为圆心，一定长度为半径的圆形区域内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，监测中心监测到一个台风中心沿监测点B与监测点A所在的直线由东向西移动，已知点C为一处海港，且点C与A、B两点的距离分别为、，，过点C作于点E，以台风中心为圆心，半径为的圆形区域内为受影响区域． (1)求监测点A与监测点B之间的距离． (2)请判断海港C是否会受此次台风的影响，并说明理由． 27．（25-26八年级下·陕西榆林·期末）如图1是小明在草地上放风筝的示意图，其中点A为风筝所在的位置，为牵线放风筝的手到风筝的水平距离，为风筝线的长度，为风筝到地面的垂直距离（点C在上，且）．经测量，．如图2，风筝沿方向再竖直上升到达点E处时（即），小明放风筝的手移至点F处（点F在上），若风筝线的长度不变（即），则小明移动的距离为多少米？（整个过程中风筝线近似地看作线段） 试卷第8页（共9页） 学科网（北京）股份有限公司 答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D B B C B B D C D D 1．D 【详解】解：由题意得尺，尺，， 设高为尺，则尺， 由勾股定理得，即． 2．B 【详解】解：∵米，米，米， ∴， ∴， ∵点P在上， ∴当时，的值最小， ∴此时， ∴， ∴， ∴饮水点到三角形顶点C的最小距离为4.8米． 3．B 【详解】 解：如图所示：铅笔斜放在圆柱形笔筒内的时候，铅笔在笔筒外面的长度最小， ，，， 由勾股定理得：， （负值已舍去）， ， 答：铅笔在笔筒外面部分长度的最小值是． 4．C 【详解】解：由折叠得， 设，则， ， ， ，在中，， ． 5．B 【详解】解：如图所示： 由于圆柱体的底面周长为， 则． 由题意得，， 所以． 故蚂蚁从点出发沿着圆柱体的表面爬行到点的最短路程是． 6．B 【详解】解：①当把长方体沿正面和上面（或后面和下面）进行展开时： 蚂蚁以的速度从点爬到点需要； ②当沿长方体的正面和右面（或后面和左面）进行展开时： ， 蚂蚁以的速度从点爬到点需要； ∵， ∴最快需要． 7．D 【详解】解：渔船A从O出发沿北偏东方向以6海里/时的速度出海，渔船B同时从O出发沿南偏东方向以5海里/时的速度出海， ∴， 两小时后，海里，海里， 由勾股定理可得，（海里）． 8．C 【详解】解：由题意和勾股定理，得， ， ∴，即小巷的宽为. 9．D 【详解】解：由题意可得：米，米，米， ∴米， 设绳子的长度为米，则米，米， 由勾股定理得，， ∴， ∴， 解得， ∴米， ∴旗杆的高度为米． 10．D 【详解】解：将蚂蚁经过的表面展开如下： 由题意可知，，， 由勾股定理可得，． 11． 【详解】解：，，， ∴在点、、中，到点的距离为的是点． 12．16 【详解】解：树折断之前有x米，模型如图， 根据题意有：，，，， 即， 根据勾股定理有：， ∴， ， ∴， 解得：（负值舍去）， 即树折断之前有米． 13．2.4 【详解】解：由题意可知，梯子、墙面与地面构成直角三角形，且斜边长为 ，一条直角边长为 ， 根据勾股定理，得梯子顶端到地面的距离为：． 故答案为：2.4． 14． 【详解】解：设台阶水平方向的总长度为， 由图可知，台阶剖面构成一个直角三角形，其中斜边长为，一条直角边（高度）长为， 根据勾股定理得：， 台阶水平方向的总长度为， 地毯铺在台阶面上，其长度等于所有台阶竖直高度之和与水平宽度之和， 地毯的长度至少为． 15． 【详解】解：如图：连接， 由勾股定理可得：，， ∵， ∴为等腰直角三角形，且， ∴． 16．5 【详解】解：根据题意画图如下：其中，， ∴， 过C作，交于， ∴， ∴两棵树的高度差，两棵树的水平距离， 根据勾股定理可得， 即小鸟至少要飞． 17． 【详解】解：如图，连接． 在中，， ， 在中，， ， ∴这块菜地的面积为 18． 【详解】由题意可知：尺，尺，尺，尺， （尺）， 尺， 在中，， ． 19．85 【详解】解：过点作的垂线，并截取等于街道的宽度，即，连接交于点，过点作于点，则线段即为天桥所建的位置，此时由经过天桥走到的路线最短， ∵，， ∴线段可以看作由线段平移得到， ∴， ∴， 过点作于点，则，， ∴， ∴， ∴由经过天桥走到的最短路线的长为． 20． 【详解】解：作关于的对称点，作，连接，则即为最短距离，最短距离等于， ∵，， ∴， 则， ∵， ∴， ∴， ． 21． 如图，，线段为所求． 【详解】解：由图可得，， ∴． 由图可得． 22．2880元 【详解】解：如图，连接，   ， ，， ，，， ， 是直角三角形， ， 四边形的面积， （元）， 答：完成补种共需要元． 23．(1)线段的长度为 (2)解：该车符合安全标准， 理由：∵，，， ∴， ∵， ∴， 即该车符合安全标准． 【详解】（1）解：∵，，， ∴在中，． （2）解：该车符合安全标准， 理由：∵，，， ∴， ∵， ∴， 即该车符合安全标准． 24．这根芦苇的长度为尺，水深为尺． 【详解】解：设水深为尺，则芦苇的长度为尺， ∵水面是一个边长为尺的正方形，芦苇在水池正中央， ∴尺， 在中，, ∴， 解得：， ∴（尺）． 答：这根芦苇的长度为尺，水深为尺． 25．(1) (2) 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∴快递投放点B，C之间的距离为； （2）解：设， ∴， 在中，， ∴， 则有，解得， ∴自提柜D与快递投放点B之间的距离为． 26．(1) (2)解：海港C不会受到台风影响，理由如下： 在中，， ， ， 解得：， ∵ ∴海港C不会受到此次台风的影响． 【详解】（1）解：依题意得，在中，，，， ， 答：监测点A与监测点B之间的距离为； （2）解：海港C不会受到台风影响，理由如下： 在中，， ， ， 解得：， ∵ ∴海港C不会受到此次台风的影响． 27．4m 【详解】解：在中，， ， 由题意可得，， 在中，， ． 答：小明移动的距离为4m． $