专题02 利用勾股定理求最短路径问题有关的四种模型（高效培优专项训练）数学新教材苏科版八年级上册

可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题02利用勾股定理求最短路径问题有关的四种模型 题型归纳 题型一圆柱中的最短路径模型 题型二长方体中的最短路径模型 题型三阶梯中的最短路径模型 题型四构造直角三角形中的最短路径模型 题型专练 题型一：圆柱中的最短路径模型 1.(25-26八年级下·广东广州期末)如图，一圆柱体的底面圆周长为6，高AB为4，BC是上底的直径， 一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到C,则爬行的最短距离是 2。（25-26七年级下陕西西安期末)如图所示，有一个圆柱，底面圆的直径B-24 =元，高BC=10:p为 BC的中点.一只蚂蚁从A点出发沿着圆柱的表面爬到P点的最短距离为 B 3.(25-26八年级上广东茂名·期中)动手操作： (I)如图1，把矩形AMBB卷成以AB为高的圆柱形，则点A与点重合，点B与点重合： 1/11 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B (1) 探究与发现： (2)如图2，若圆柱的底面周长是30cm，高是40cm,从圆柱底部A处沿侧面缠绕一圈丝线到顶部B处作 装饰，则这条丝线的最小长度是多少？ (2) (3)如图3，在(2)的条件下，若用丝线从该圆柱的底部A缠绕4圈直到顶部B处，则至少需要多少丝 线？ B (3) 4.(25-26八年级下广东·期末)综合与实践 【问题】在圆柱表面，蚂蚁怎么爬行路径最短？（计算过程中的π取3） B 测量路径 调节圆柱高 的细线 度的橡皮筋 圆柱底面 底面圆直径为6cm 直径 高为10cm的圆柱 图1 图2 图3 素材1如图1，圆柱形纸盒的高AC为12厘米，底面直径BC为6厘米，在圆柱下底圆周上的A点有一只 蚂蚁，它想吃到上底面圆周上与A点对应的B点处的食物 素材2如图3所示的实践活动器材包括：底面直径为6厘米，高为10厘米的木质圆柱、橡皮筋、细线 2/11 面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (借助细线来反映爬行的路线)、直尺，通过调节橡皮筋的位置达到改变圆柱的高度的目的，(1)中两 种路线路程的长度如下表所示（单位：厘米）： 圆柱高度 沿路线一路程x 沿路线二路程y 比较x与y的大小 11 10.3 x>y 10 9.85 x>y a 9.49 b (1)若蚂蚁沿图1中的折线A→C→B爬行的最短路径记为“路线一”，此时最短路程是12+6=18厘米.将 圆柱沿着AC将侧面展开得到图2，请在图2中画出蚂蚁爬行的最短路径（此路径记为“路线二”），此时 最短路程是 厘米：比较可知：蚂蚁爬行的最短路径是路线。 (用“一”或“二”填空) (2)填空：表格中a的值是 一：表格中b表示的大小关系是 - (3)经历上述探究后，请你思考：若圆柱的半径为r,圆柱的高为h.在r不变的情况下，当圆柱半径为r与 圆柱的高度h存在怎样的数量关系时，蚂蚁在圆柱表面的两种爬行路线的路程相等？ 5.(2026八年级上山东青岛·专题练习)课本再现： 12 - 图1 图2 图3 图4 图5 方法探究：(1)对于立体图形中求最短路程问题，应把立体图形展开成平面图形，再确定AB两点的位 置，依据“两点之间线段最短”，结合勾股定理，解决相应的问题.如图2，在圆柱的侧面展开图中，点 AB对应的位置如图所示，利用勾股定理求出蚂蚁爬行的最短路程是 cm 方法应用：(2)如图3，直四棱柱的上下底面是正方形，底面边长为3cm,高为10Cm.在其侧面从点A 开始，绕侧面两周，嵌入装饰彩条至点B停止.彩条的最短长度为 (3)如图4，一个底面为正六边形的直六棱柱，从顶点A到顶点B沿六棱柱的侧面镶有一圈金属丝，己知 此六棱柱的高AB为7cm,底面边长为4cm,则这圈金属丝的长度至少为 (4)如图5，一个无盖的半圆柱形容器，它的高为6cm,底面半圆直径AC为4cm,点A处有一只蚂蚁沿 如图所示路线爬行，它想吃到上底面圆心B处的食物，则爬行的最短路程是 (π取3) 题型二：长方体中的最短路径模型 3/11 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 6.(25-26八年级下·广东阳江·期末)如图，某市某海鲜配送站有一个长方体保温箱，长AB=4米，宽 BC=1米，高BB=2米.工作人员要从箱底的A点沿箱体表面，拉一根保温软管到箱顶的C'点，用来输 送冷气，则这根软管的最短长度是 米 D' B 7. (25-26八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期中)如图，棱柱的底面是边长为4的正方形，侧面都是长为8的长 方形，点D是BC的中点，在棱柱下底面的A点处有一只蚂蚁，它想吃到上底面点D处的食物，需要爬行 的最短路程是s,则s的值为一 8.(25-26八年级下·湖北宜昌·期末)公园中一长方体石凳如图所示，长为30cm,宽为30cm,高为40cm, 一只蚂蚁以3cms的速度从顶点M爬到对角顶点N(M,N不在同一个面上) ←30cm 30cm不 40cm M ()若要通过展开长方体表面为平面的方法找最短爬行路径，一共有几种形状不同的展开方式？请分别画出 对应的平面展开示意图， (②)在()的基础上，求蚂蚁从点M爬到点N的最短爬行路线长度，以及按此路线爬行最快需要多长时间到 达（结果保留小数点后一位）？(V58=7.616,V13=3.605) 9.(25-26八年级上辽宁沈阳期中)如图1所示，一只蚂蚁从实心长方体的顶点A出发，沿长方体的表 面爬到对角项点C处，要想使路程较短，有三种不同的方式：①沿面ABB4和而AB,CD爬行；②沿面 ABBA和而BCCB爬行；③沿面AADD和面AB,CD爬行. 4/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3cm 16cm M 12cm 9cm 图1 图2 (1)图2为按第①种方式展成的平面图形，请你画出另两种方式展成的平面图形： (②)若AB=4,BC=2,BB=1,请通过计算，判断第几种方式所走路程最短？最短路程为多少？ (3)如图是一个长方体盒子（尺寸如图所示），在长方体下底面的M点有一只蚂蚁，它想吃到上底面N点 的食物(P是长方体的顶点，P=3cm),请根据上面探究的结论求蚂蚁需爬行的最短路程是多少. 10.(24-25八年级上山西运城期中)学科实践 【驱动任务】某校为推进素质教育发展，成立了科技模型社团.学期末，该社团将创作的作品邮寄给希望 小学，让更多的同学感受科技带来的魅力.现需将不同的模型装入纸箱打包，然后邮寄。 【包装准备】 如图，根据模型的尺寸，现准备两种纸箱，第一种长方体纸箱，尺寸规格为25cm×16cm×l6cm;第二种长 方体纸箱，尺寸规格为38cm×35cm×21cm,其中该纸箱有两个扣手，尺寸规格为2cm×4cm,并且扣手到 所在面相对两条边的距离相等 16cm 25cm 21cm ▣2cm 4cm 35cm 16cm 38cm 【问题解决】 ()如图1，当使用第一种纸箱时，若从顶点A到项点B需贴胶带，则胶带的最短长度为 cm (2)如图2，将两个第二种长方体纸箱捆绑在一起，现需要在点C和点D之间按照如图所示的方式拉一条绳 子固定，请画出长度最短的部分展开图，并求这根绳子的最短长度.（提示：需考虑扣手的大小） A B 16cm 25cm 21cmC 35cm 16cm 38cm 38cm 图1 图2 题型三：阶梯中的最短路径模型 11.(26-27八年级全国暑假作业)如图，三级台阶每一级的长宽高分别是5cm,3cm和lcm,A和B是 这个台阶的两个相对的端点，点A上有一只蚂蚁，想到点B去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到点B 5/11 面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 的最短路程长为 cm 5 B 12.(25-26八年级下·新疆吐鲁番·期末)如图，在一张矩形纸板ABCD上放着一根长方体木块.已知 AD=8dm,AB=l2dm,该木块的长与AD平行，横截面是边长为ldm的正方形，一只蚂蚁从点A爬过木 块到达点C需要爬行的最短路程是」 dm 13.(25-26八年级下·吉林松原·期中)2026年2月，谷爱凌再度为国争光，成为冬奥历史上首位卫冕女子 U型池场地金牌的运动员，如图，该U型池可以看作是一个长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑 行的部分的截面是半径为4m的半圆，其边缘AB=CD=18m,点E在CD上，CE=2m.从A点滑到E点， 滑行的最短路程是 m. (边缘部分的厚度忽略不计，兀取3) E 14.(2026山东潍坊·一模)如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别等于5m、3m、1m A和B是这个台阶的两个相对的端点，一只蚂蚁从A点沿着台阶面爬到B点，其爬行的最短距离是 dm 15,(25-26八年级上山东枣庄阶段检测)【问题情境】数学综合与实践活动课上，老师提出如下问题： 一个三级台阶，它每一级的长、宽、高分别为20dm,3dm,2dm,A和B是一个三级台阶上两个相对的端点. 【探究实践】老师让同学们探究：如图(1)，若A点处有一只蚂蚁要到B点去吃食物，则蚂蚁沿着台阶爬 6/11 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 到B点的最短路程是多少？ 20 20 图(1) 图(2) 图(3) 图(4) (1)同学们经过思考得到如下解题方法：如图(2)为三级台阶的平面展开图，可得到长为20dm,宽为 l5dm的长方形，连接AB,经过计算得到AB的长度为 ,就是最短路程， 【变式探究】(2)如图(3)，已知圆柱底面的周长为6dm,圆柱高为4dm,在圆柱的侧面有一只蚂蚁， 从点A爬到点C,再从点C爬回点A,恰好爬行一圈，则这只蚂蚁爬行的最短路程为 【拓展应用】(3)如图(4)，圆柱形玻璃杯的高为9cm,底面周长为l6cm,在杯内壁离杯底4cm的点 A处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在外壁离杯口lCm,且与蜂蜜相对的点B处，则蚂蚁从外壁B处到 内壁A处所爬行的最短路程是多少？（杯壁厚度不计） 题型四：构造直角三角形中的最短路径模型 16.(25-26八年级上四川成都期中)如图，C为线段BD上一动点，分别过点B、D作AB⊥BD, ED⊥BD:连接AC、CE.已知AB=3,DE=2,BD=12,设CD=x. (1)①用含x的代数式表示AC+CE的长： ②求出AC+CE的最小值. (2)根据(1)中的规律和结论，重新构图求出代数式Vx2+1+V(8-x)}+25的最小值. (3)若正实数a,b,c满足a+b=5-c,请构图求出代数式V+9+Vb2+16+Vc2+25的最小值. 17.(25-26八年级上江苏扬州期中)如图，C为线段BD上一动点，分别过点B、D作 AB⊥BD,ED⊥BD,连接AC、EC,己知AB=5,DE=L,BD=8,设CD=x 7/11 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E (1)则AC的长为 (用含x的代数式表示)，CE的长为 (用含x的代数式表示)： (2)当点C在BD上运动时，求AC+CE的最小值： (3)根据(2)中的规律和结论，则代数式Vx2+4+√(12-x)2+9的最小值为 (④仿照上面的方法，则代数式V(4-x)}+9-Vx2+4(x是任意实数)的最大值为 18.(25-26八年级下·北京期中)先阅读以下材料，然后解答后面的问题， 例：求代数式2+32+V2-x)}2+22的最小值.分析：√+32和V2-}+2是勾股定理的形式， √x2+32是直角边分别是x和3的直角三角形的斜边，V12-x)+2是直角边分别是12-x和2的直角三角 形的斜边，因此，我们构造两个直角△ABC和△DEF,并使直角边BC和EF在同一直线上（图I),向右 平移直角△ABC使点B和E重合（图2），这时CF=x+12-x=12,AC=3,DF=2,问题就变成“点B 在线段CF的何处时，AB+DB最短？”根据两点间线段最短，得到线段AD就是它们的最小值. 12-x 12-x x B(E) 2 图1 图2 (1)代数式2+32+V12-x}+2的最小值为 (2②)变式训练：求代数式Vx2+25+V8-x)+9的最小值 (3)解决问题：己知正数x满足V25-x2+V44-x2=13,则x的值为 19.(25-26八年级上山东青岛期中)“数形结合”和“建模思想”是数学中的两个重要的思想方法，先 阅读以下材料，然后解答问题. (I)赵爽弦图：4个全等的直角三角形与一个小正方形EFGH拼成一个大正方形ABCD,其中 8/11 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AB=c,AF=a,BF=b,请你利用图形验证勾股定理. D G (2)求代数式Vx2+32+V(12-x}+2的最小值. 分析：√2+32和V(12-x}+2是勾股定理的形式，√+32是直角边分别是x和3的直角三角形的斜边， V12-x)'+2是直角边分别是12-x和2的直角三角形的斜边，因此，我们构造两个直角△ABC和ADEF, 并使直角边BC和EF在同一直线上（图1），向右平移直角△ABC使点B和E重合（图2），这时 CF=x+12-x=12,AC=3,DF=2,问题就变成“点B在线段CF的何处时，AB+DB最短？”根据两点 间线段最短，得到线段AD就是它们的最小值 12-X B(E)12-XF 图1 图2 图3 【模型应用】 (1)代数式Vx2+32+12-x}+2的最小值为 (2)变式训练：利用图3，求代数式+4+5-x}+P的最小值 20.(25-26八年级上·广东深圳期中)“数形结合”和“建模思想”是数学中的两个很重要的思想方法， 阅读以下素材并解决问题. 几何模型在最短路径问题中的应用 素 提出问题：求代数式Vx2+32+V(12-x}+2的最小值. 材 素 建立模型：Vx2+32可看作直角边分别是x和3的直角三角形的斜边， 9/11 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 √(12-x}+2是直角边分别是12-x和2的直角三角形的斜边.因此，构造两个 直角三角形，使它们的一个项点重合、各有一条直角边在同一直线上（如图1所 示)，这时CF=x+12-x=12,AC=3,DF=2.原问题就变成“点B在线段 材 CF的何处时，AB+DB的值最小？” B12-x D 图1 解答过程：如图2连接AD,交CF于点B,此时AB+DB的值最小，将AC延长 至AH使得CH=DF=2,连接HD,则：AH=AC+CH=3+2=5 素 HD=CF=12,在Rt△ADH中，AD=V52+122=13,AB+DB=AD=13 材 √2+32+12-x}+2的最小值是13. 三 H D 图2 问题解决 任 务 根据以上学习：代数式V2+22+V5-x}+1的最小值为 知识运用：如图，一条河的两岸平行，河宽5km,A村庄到河岸的垂直距离为 2km,B村庄到河岸的垂直距离为3km,且A、B到河岸的垂足之间的水平距离 任 为12km,现计划在河上建一座垂直于河岸的桥P№，使得从A到P,过桥P№， 务 再从Q到B的路程最短，则最短路程为 km ·B A 任 思维拓展：已知正数x满足V36-xX2+V64-x2=10,求x的值. 10/11 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 务 三 11/11可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题02利用勾股定理求最短路径问题有关的四种模型 题型归纳 题型一圆柱中的最短路径模型 题型二长方体中的最短路径模型 题型三阶梯中的最短路径模型 题型四构造直角三角形中的最短路径模型 题型专练 题型一：圆柱中的最短路径模型 1.5 2.13 3. 【答案】(1)A',B'(2)50cm(3)40W10cm. 【详解】解：(1)把矩形AABB卷成以AB为高的圆柱形，则点A与点A'重合，点B与点B重合， 故答案为：A,B: (2)如图所示，连接AB, B 这条丝线的最小长度即为AB的长， 由勾股定理得：AB'=VA4+AB2=V302+40=50(cm), 即这条丝线的最小长度是50cm: (3)若用丝线从该圆柱的底部A缠绕4圈直到项部B处，如图所示： 1/15 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B B ----- 在R△MC中，AM=-30cm,4C-0-10em, AC=√AA2+AC2=V302+102=1010(cm), 则4×10V10=4010(cm) 答：至少需要40W10cm的丝线， 4. 【答案】(I)画出蚂蚁爬行的最短路径，如图 B 图2 15；二： (2)9,x<y r 【详解】(（1)解：展开后，半圆长为d=×3x6=9, 2 此时最短路程是V122+92=15厘米， 15<18 比较可知：蚂蚁爬行的最短路径是路线二， (2)解：a=3+6=9, 9<9.49. 表格中b表示的大小关系是x<y; (3)解：根据题意可得h+2r=V2+(3r)2, 即2+4hr+4r2=2+9r2, 2/15 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 赦当？=时，蚂蚁在圆挂表面的两种爬行路线的路程相等 5 5. 【答案】(1)15，(2)26cm(3)25cm(4)10cm 【详解】解：(1)展开后A、B、C构成直角三角形，两直角边分别为9cm和l2cm. 根据勾股定理，最短路径为：V92+122=V81+144=√225=15cm (2)底面是正方形，周长为3×4-12cm,垂直方向为直四棱柱的高10cm,绕一周高为10÷2=5(cm), 根据勾股定理，V122+52=V144+25=V169=13cm, 绕两周彩条最短长度为：13×2=26cm: (3)底面是正六边形的直六棱柱，周长为4×6=24cm,绕一周垂直长度为7cm: 根据勾股定理，金属丝最短长度为：√242+72=576+49=√625=25Cm (4)底面是半圆长加一个半径，πr+r=3×2+2=8,高为6cm, 根据勾股定理，爬行最短长度为V82+6=√00=10cm. 题型二：长方体中的最短路径模型 6.5 7.10 8. 【答案】(1)解：有三种展开方式，如图， 30cm 40cm 40cm 30cm M 30cm M 30cm30cm M 30cm 40cm (2)最短路线长度为72.1cm,最快需要24.0秒. 【详解】(1)解：蚂蚁从点M爬到顶点N,有三种展开方式： ①将前面和上面（或后面和下面）展开成一个平面，此时M、N所在的直角三角形两条直角边分别为 3/15 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 40+30=70(cm),30cm,展开图如下： N 30cm 将前面和右面（或后面和左面）展开成一个平面，此时、所在的直角三角形 40cm M 30cm ② M N 两条直角边分别为：30+30=60(cm),40cm,展开图如下： 40cm将右面和下面（或左面和上面）展开成一个平面，此时 、 所在的直 M 30cm30cm ③ M N 角三角形两条直角边分别为：30+40=70(cm),30cm,展开图如下： 30cm M 30cm 40cm (2)解：第①③两种展开方式下点M到点N的距离相等： MN=V702+30=√5800=10√58≈76.16(cm), 第②种展开方式下点M到点N的距离为： MN=V402+602=√5200=20W13≈72.1(cm), .√5800>V5200 最短路线长度为5200=2013≈72.1(cm),72.1÷3≈24.0(s), 答：最快需要24.0秒 9. 4/15 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B 【答案】(1)解：如图： B C (2)沿第①种方式爬行路程最短，最短路程是5 (3)蚂蚁需爬行的最短路程是20cm 【详解】(1)略 (2)解：①AC=V42+(1+2}=V25=5: ②AG=V(4+2)}2+12=V37； ③AC=V1+4)2+22=V29: 可知沿第①种方式爬行路程最短，最短路程是5： (3)解：由(2)可知，最短路径的两条直角边应为最长边及较短两边和， 如图： 93N P 16 M 则蚂蚁需爬行的最短路程是MW=V162+(9+3)}=√256+144=√400=20cm. 10. 【答案】(1)V1649 (2)70cm 【详解】(1)解：分三种展开方式求解： ①前与右： V(16+16)2+252=V1649. ②左与后： V(16+25)2+162=1937: ③前与下： V(16+25)}+16=1937: .√1937>V1649, ∴胶带的最短长度为：1649， 故答案为：V1649. 5/15 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)如图所示为长度最短的部分展开图： D 如图，连接，，易得 C6- -E CE DE ∠CED=90° 由题可得CE=2x4+2×2x(68-4)=42(cm.DE=21+35=56cm）. 在Rt△CDE中，由勾股定理，得CD=VCE2+DE2=V422+56=70(Cm). 所以，这根绳子的最短长度为70cm. 题型三：阶梯中的最短路径模型 11.13 12.2W65 13.20 14.13 15. 【答案】(1)25；(2)10dm；(3)10cm 【详解】解：(1)由题意得：AB2=152+202=625, AB=25(dm), 故答案为：25； (2)将圆柱体展开，如图， B 由题意得AC2=AB2+BC2= 6 +42=25, AC=5(dm)」 故这只蚂蚁爬行的最短路程为2×5=10dm 6/15 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 故答案为：I0dm; (3)如图， .D E B 从玻璃杯侧面展开，作B关于EG的对称点C,作CD⊥AE交AE延长线于点D,连接AC交EG于点F, .BF=CF,DE=CG=BG=1cm, ∴，AF+BF=AF+CF=AC,此时蚂蚁从外壁B处到内壁A处所爬行的最短，最短路程为AC的长， :AD=9-4+DE=5+1=6cm,CD=16÷2=8cm .AC2=CD2+AD2=82+62=100. .AC=10cm, ∴.蚂蚁从外壁B处到内壁A处所爬行的最短路程是I0cm. 题型四：构造直角三角形中的最短路径模型 16. 【答案】(1①4C+CE=V32+12-x}+Vx+4:②13 (2)10 (3)13 【详解】(1)解：①：BD=12,CD=x, .BC=12-x, 在Rt△ABC中，AC=VAB2+BC2=V32+12-x, 在Rt△CDE中，CE=VCD2+DE2=Vx2+4, ∴AC+CE=V32+(12-x}+VR+4. ②过点D作DF⊥BD,过点A作AF⊥AB,连接AE,如图， A 7/15 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴当A、CE三点共线时，AC+CE的值最小， .AC+CE=AE=AF2+EF2=122+52=13, .AC+CE的最小值为13 (2)解：AB⊥BD,ED⊥BD,AB=5,DE=1,BD=8,如图： 8 ---F 5 B 8-x E 过点D作DF⊥BD,过点A作AF⊥AB,连接AE,交BD于点C, 代数式V+1+V(8-x+25的最小值为4E的长， AB=5,DE=1,BD=8, .AE=√AF2+EF2=V82+62=10, :代数式V+1+V(8-x+25的最小值为10： (3)解：a+b=5-c a+b+c=5, 将V2+9、√2+16、VC+25看作直角三角形的斜边，如图所示： Va2+9 3 √a2+9 Vb2+16 √b2+16 b b 3+4+5 c2+25 C2+25 5 a+b+c 通过平移可得水平位移的总长为a+b+c=5,垂直位移总长为3+4+5=12， 8/15 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .√a2+9+Vb+16+Ve2+25的最小值为V122+52-13. 17. 【答案】(1)V8-x)2+25:√x2+1 (2)10 (3)13 (417 【详解】(I)解：CD=x,则BC=BD-CD=8-x, .AB⊥BD, 由勾股定理得：AC=VBC2+AB2=V8-x}+52=V8-x}+25, CE=CD2+DE2=x2+12=x2+1, 故答案为：V8-x2+25;V+1: (2)解：当A、C、E三点共线时，AC+CE的值最小，即为AE,如图： Bh ---E 过点E作EH⊥AB交AB的延长线于点H, AB⊥BD, .BD∥EH, ,BH⊥HE,ED⊥BD .BH=DE=1,同理BD=EH=8, .AE=VAH2+HE2=V(5+1)2+82=10, ∴，AC+CE的最小值为I0: (3)解：如图所示，作线段BD=I2,C为线段BD上一动点，过点B作AB⊥BD,过点D作ED⊥BD, 使AB=2,ED=3, 9/15 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 设BC=x,则CD=BD-BC=12-x, ∴由勾股定理得：AC=√AB+BC2=4+x,CE=VDE2+CD2-=V12-x+9, :AC+CE=VX2+4+V12-x2+9, ∴当点A,C,E共线时，AC+CE取得最小值即V2+4+V12-x+9,即为4E的长， 过点A作AF⊥ED交ED的延长线于点F, ---GF D 则同上可得AB=DF=2,AF=BD=12,EF=ED+DF=3+2=5, AE=VAF2+EF2=V122+52=13, 即Vx2+4+V2-2+9的最小值为13. (4)解：如图，构造数轴，设点A表示的数为4，点O表示的数为0，点D表示的数为x,过点A作 AB⊥O0A,且AB=3,过点0作0C⊥OA,且OC=2, B C C-GE X O 4h D O A :A0=4,AD=4-,0D=x, 过点C作CE⊥AB于点E,则同上可得OC=AE=2,A0=CE=4, .'BE=AB-AE=1, 10/15 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 由勾股定理得，BD=VAB2+AD2=V(4-x+9,BC=VCE2+BE2=√4+P=7, CD=VC02+D02=Vx2+4, :三角形任意两边之差小于第三边， .BC≥BD-CD, V(4-x)}+9-Vx2+4≤7 ∴当点B,C,D共线时，BC的长即为代数式V(4-x)}+9-Vx2+4的最大值， V(4-x)}+9-Vx2+4的最大值为7. 18. 【答案】(1)13 (2)8V2 因rg 【详解】(1)解：如图2，过点D作AC的垂线，交AC的延长线于点I,连接AD, 3 12-x X B(E) 图2 根据题意，∠ACF=∠F=90°， .∠ICF=180°-∠AC℉=90°， .DI⊥AI, .∠AID=90°， ∴.四边形CIDF是矩形， CI=DF=2,ID=C℉=12， .AI=AC+CI=5, 在R△ADI中，AD=√AI2+D2=V52+122=13, 根据题意，AB=√x+32,BD=V12-x}+22, ,AB+BD≥AD, 11/15 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.当A、B、D三点共线时，AB+BD取得最小值AD, :+32+V12-x}2+22的最小值为13： (2)解：如图3，设AC=5,BC=x,BF=8-x,DF=3,∠ACF=∠F=90°， B H 图3 同理(1)可得，四边形CHDF是矩形， ..CH=DF=3,DH CF BC BF =8, .AH=AC+CH=8. 由勾股定理可得，AB=VAC2+C=√2+25，BD=VBF2+DF2=V8-x}'+9, AD =AH2+DH2 =82+8=82, .AB+BD≥AD, .当A、B、D三点共线时，AB+BD取得最小值AD, V2+25+V8-x)2+9的最小值为82： (3)解：如图，△ABC中，AC=5,BC=12,CD=x,CD⊥AB, S 12 B 由勾股定理可得，AD=VAC2-CD2=V25-x,0=√BC2-CD2=V144-x2, .AD+BD=V25-x2+V144-x2=13,即AB=13, AB2=169=AC2+BC2, .∠ACB=90°， 8. AB.CD=1AC.BC, 2 :CD=4C-BC=5x1260 AB1313 12/15 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 60 .x=13 19. 【答案】 (1)由图及题意可知： 大正方形ABCD的面积为c',小正方形EFGH的面积为(a-b,四个直角三角形的面积为 S=4x-ab=2ab c2=2ab+(a-b}2, 整理得：a2+b2=c2: 模型应用：(1)13；(2)V34 【详解】解：(1)略 模型应用：(1)由题意得：线段4D即为Vx+32+V12-x+2的最小值， .由勾股定理可得：AD=√AH2+DH=V52+122=13: 即v2+32+V12-x}+22的最小值为13： 故答案为13； (2)如图，由题意可构造如下三角形， 图3 ∴线段D即为VP+4+V5-x+1的最小值， .AD=√AW+DM2=V32+52=V34, 即V2+4+V⑤-x}+P的最小值为34. 20.【答案】任务一：V34;任务二：18，任务三：x的值为4.8 【详解】解：任务一：如图，构造两个直角三角形，使它们的一个顶点重合、各有一条直角边在同一直线 上，AC=2,DF=1,BC=BF=5-x, 13/15 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 H 0 连接AD,交CF于点B,此时AB+DB的值最小，将AC延长至AH使得CH=DF=2,连接HD, .AH=AC+CH=2+1=3.HD=CF=x+5-x=5, 在RteADH中，AD=V32+52=V34, 4B+DB=AD=34, :代数式V2+2+V5-x+1的最小值为34. 故答案为：√34 任务二：如图：AP+P№+QB为总路程，由于P№=Skm,则要求AP+P№+QB的最小值，只需求得 AP+OB D D A A 如图：将点AC向上平移5km得到4C,此时C,D共线，AC⊥CD;延长DB到D,使DD=AC, 则四边形ACDD,是长方形，连接AB交CD于Q,此时AQ+BO的最小值为AB 由题意可得：AD,=CD=12km,BD,=DD+BD=AC+BD=AC+BD=2+3=5km), .4Q+BQ的最小值为AB=V122+52=13km). ∴.最短路程为13+5=18km) 故答案为：18. 任务三：解：如图，构造△ABC,CDLAB于D,AC=6,BC=8, B D 图4 设CD=x,则AD=V36-x2,BD=V64-x2, 14/15 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .AB=V36-x2+V64-x2=10, .62+82=102, .∠ACB=90° “2×6x8=2X10xx, 解得：x=4.8, .x的值为4.8. 15/15 专题02 利用勾股定理求最短路径问题有关的四种模型 题型一 圆柱中的最短路径模型 题型二 长方体中的最短路径模型 题型三 阶梯中的最短路径模型 题型四 构造直角三角形中的最短路径模型 题型一：圆柱中的最短路径模型 1．（25-26八年级下·广东广州·期末）如图，一圆柱体的底面圆周长为6，高为4，是上底的直径，一只蚂蚁从点出发，沿着圆柱的侧面爬行到，则爬行的最短距离是________． 【答案】5 【分析】根据圆柱的性质、两点之间线段最短以及勾股定理解题． 【详解】解：如图，圆柱体的侧面展开图如下，蚂蚁从点出发，沿着线段爬行时，距离最短； 由题意知，，为圆柱体底面周长的一半，即， ∴， 即爬行的最短距离是． 2．（25-26七年级下·陕西西安·期末）如图所示，有一个圆柱，底面圆的直径，高，为的中点．一只蚂蚁从A点出发沿着圆柱的表面爬到P点的最短距离为_________． 【答案】13 【分析】将圆柱侧面展开，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵为的中点，高， ∴， 将圆柱侧面展开，如图所示： ∵这个圆柱的底面圆的直径为， ∴在侧面展开图中，，， ∴在中，， 即一只蚂蚁从点出发沿着圆柱的表面爬到点的最短距离为13． 3．（25-26八年级上·广东茂名·期中）动手操作： （1）如图1，把矩形卷成以AB为高的圆柱形，则点A与点______重合，点B与点______重合； 探究与发现： （2）如图2，若圆柱的底面周长是，高是，从圆柱底部A处沿侧面缠绕一圈丝线到顶部B处作装饰，则这条丝线的最小长度是多少？ （3）如图3，在（2）的条件下，若用丝线从该圆柱的底部A缠绕4圈直到顶部B处，则至少需要多少丝线？ 【答案】（1），（2）（3）． 【分析】（1）根据对称性即可推出答案； （2）最短距离可以转化为两条直角边分别为，的直角三角形的斜边即可； （3）用丝线从该圆柱的底部缠绕4圈直到顶部处时，剖面图即为为的，求出即可． 本题考查了平面展开最短路径问题，勾股定理，几何体的平面展开图，本题重点理解几何体平面展开图的对应点关系以及熟练解直角三角形的综合应用是解题关键． 【详解】解：（1）把矩形卷成以为高的圆柱形，则点与点重合，点与点重合， 故答案为：，； （2）如图所示，连接， 这条丝线的最小长度即为的长， 由勾股定理得：， 即这条丝线的最小长度是； （3）若用丝线从该圆柱的底部缠绕4圈直到顶部处，如图所示： 在中，，， ， 则． 答：至少需要的丝线． 4．（25-26八年级下·广东·期末）综合与实践 【问题】在圆柱表面，蚂蚁怎么爬行路径最短？（计算过程中的取3） 素材1  如图1，圆柱形纸盒的高为12厘米，底面直径为6厘米，在圆柱下底圆周上的A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面圆周上与A点对应的B点处的食物． 素材2  如图3所示的实践活动器材包括：底面直径为6厘米，高为10厘米的木质圆柱、橡皮筋、细线（借助细线来反映爬行的路线）、直尺，通过调节橡皮筋的位置达到改变圆柱的高度的目的，（1）中两种路线路程的长度如下表所示（单位：厘米）： 圆柱高度 沿路线一路程x 沿路线二路程y 比较x与y的大小 5 11 10.3 4 10 9.85 3 a 9.49 b (1)若蚂蚁沿图1中的折线A→C→B爬行的最短路径记为“路线一”，此时最短路程是厘米．将圆柱沿着将侧面展开得到图2，请在图2中画出蚂蚁爬行的最短路径（此路径记为“路线二”），此时最短路程是_______厘米；比较可知：蚂蚁爬行的最短路径是路线______（用“一”或“二”填空） (2)填空：表格中a的值是________；表格中b表示的大小关系是_________； (3)经历上述探究后，请你思考：若圆柱的半径为r，圆柱的高为h．在r不变的情况下，当圆柱半径为r与圆柱的高度h存在怎样的数量关系时，蚂蚁在圆柱表面的两种爬行路线的路程相等？ 【答案】(1)画出蚂蚁爬行的最短路径,如图 15；二； (2)， (3) 【分析】（1）根据勾股定理以及线段长度得出即可； （2）利用圆柱形木块的高为，底面半径为6，即可得出沿爬行的路程长并比较大小； （3）构造方程即可得到结论． 【详解】（1）解：展开后，半圆长为， 此时最短路程是厘米， ∵ 比较可知：蚂蚁爬行的最短路径是路线二， （2）解：， ∵， ∴表格中b表示的大小关系是； （3）解：根据题意可得， 即， ∴， 故当时，蚂蚁在圆柱表面的两种爬行路线的路程相等． 5．（2026八年级上·山东青岛·专题练习）课本再现： 方法探究：（1）对于立体图形中求最短路程问题，应把立体图形展开成平面图形，再确定两点的位置，依据“两点之间线段最短”，结合勾股定理，解决相应的问题．如图2，在圆柱的侧面展开图中，点对应的位置如图所示，利用勾股定理求出蚂蚁爬行的最短路程是___________． 方法应用：（2）如图3，直四棱柱的上下底面是正方形，底面边长为，高为．在其侧面从点A开始，绕侧面两周，嵌入装饰彩条至点B停止．彩条的最短长度为___________． （3）如图4，一个底面为正六边形的直六棱柱，从顶点A到顶点B沿六棱柱的侧面镶有一圈金属丝，已知此六棱柱的高为，底面边长为，则这圈金属丝的长度至少为___________． （4）如图5，一个无盖的半圆柱形容器，它的高为，底面半圆直径为，点A处有一只蚂蚁沿如图所示路线爬行，它想吃到上底面圆心B处的食物，则爬行的最短路程是___________（取3） 【答案】（1），（2）26（3）（4） 【分析】本题考查立体图形中的最短路径问题，解题的关键是将立体图形展开为平面图形，利用“两点之间线段最短”确定路径，再结合勾股定理计算长度．需针对每个小问的立体结构特点，分析展开后对应边的长度，进而构建直角三角形求解． 【详解】解：（1）展开后、、C构成直角三角形，两直角边分别为和． 根据勾股定理，最短路径为： （2）底面是正方形，周长为，垂直方向为直四棱柱的高，绕一周高为， 根据勾股定理，， 绕两周彩条最短长度为：； （3）底面是正六边形的直六棱柱，周长为，绕一周垂直长度为； 根据勾股定理，金属丝最短长度为： （4）底面是半圆长加一个半径，，高为6， 根据勾股定理，爬行最短长度为． 题型二：长方体中的最短路径模型 6．（25-26八年级下·广东阳江·期末）如图，某市某海鲜配送站有一个长方体保温箱，长米，宽米，高米．工作人员要从箱底的点沿箱体表面，拉一根保温软管到箱顶的点，用来输送冷气．则这根软管的最短长度是________米． 【答案】 【分析】根据三种平面展开图，利用勾股定理计算的长度，再比较即可求解． 【详解】解：情况一：米，米， 米； 情况二：米，米， 米； 情况三：米，米， 米； ， 这根软管的最短长度是米． 7．（25-26八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图，棱柱的底面是边长为的正方形，侧面都是长为的长方形，点是的中点，在棱柱下底面的点处有一只蚂蚁，它想吃到上底面点处的食物，需要爬行的最短路程是，则的值为______． 【答案】 【分析】将棱柱展开，根据两点之间线段最短即可得到最短路径，利用勾股定理解答即可． 【详解】解：棱柱展开前面与右边如图所示， ∵棱柱的底面是边长为的正方形，侧面都是长为的长方形，点是的中点， ∴， ∴， 棱柱展开前面与上面如图所示， ∴， 棱柱展开左面与上面如图所示， ∴， ∵， ∴需要爬行的最短路程是． 8．（25-26八年级下·湖北宜昌·期末）公园中一长方体石凳如图所示，长为，宽为，高为，一只蚂蚁以的速度从顶点爬到对角顶点（，不在同一个面上） (1)若要通过展开长方体表面为平面的方法找最短爬行路径，一共有几种形状不同的展开方式？请分别画出对应的平面展开示意图． (2)在的基础上，求蚂蚁从点爬到点的最短爬行路线长度，以及按此路线爬行最快需要多长时间到达（结果保留小数点后一位）？（，） 【答案】(1)解：有三种展开方式，如图， ；；； (2)最短路线长度为，最快需要秒． 【分析】根据蚂蚁从点爬到顶点，有三种展开方式，分别画出图形即可； 求出各种展开方式下点到点的距离，然后比较可得出最短爬行路线长度，再求出时间即可． 【详解】（1）解：蚂蚁从点爬到顶点，有三种展开方式： 将前面和上面（或后面和下面）展开成一个平面，此时、所在的直角三角形两条直角边分别为，，展开图如下： 将前面和右面（或后面和左面）展开成一个平面，此时、所在的直角三角形两条直角边分别为：，，展开图如下： 将右面和下面（或左面和上面）展开成一个平面，此时、所在的直角三角形两条直角边分别为：，，展开图如下： （2）解：第两种展开方式下点到点的距离相等： ， 第②种展开方式下点到点的距离为： ， ∵， ∴最短路线长度为，， 答：最快需要秒． 9．（25-26八年级上·辽宁沈阳·期中）如图1所示，一只蚂蚁从实心长方体的顶点出发，沿长方体的表面爬到对角顶点处，要想使路程较短，有三种不同的方式：①沿面和而爬行；②沿面和而爬行；③沿面和面爬行． (1)图2为按第①种方式展成的平面图形，请你画出另两种方式展成的平面图形； (2)若，请通过计算，判断第几种方式所走路程最短？最短路程为多少？ (3)如图是一个长方体盒子（尺寸如图所示），在长方体下底面的M点有一只蚂蚁，它想吃到上底面N点的食物（是长方体的顶点，），请根据上面探究的结论求蚂蚁需爬行的最短路程是多少． 【答案】(1)解：如图： (2)沿第①种方式爬行路程最短，最短路程是5 (3)蚂蚁需爬行的最短路程是 【分析】本题考查了勾股定理的应用． （1）根据爬行方式作图即可； （2）根据勾股定理求出三种方式的路程，比较即可； （3）根据（2）画出最短路径，进而计算即可． 【详解】（1）略 （2）解：①； ②； ③； 可知沿第①种方式爬行路程最短，最短路程是5； （3）解：由（2）可知，最短路径的两条直角边应为最长边及较短两边和， 如图： 则蚂蚁需爬行的最短路程是． 10．（24-25八年级上·山西运城·期中）学科实践 【驱动任务】某校为推进素质教育发展，成立了科技模型社团．学期末，该社团将创作的作品邮寄给希望小学，让更多的同学感受科技带来的魅力．现需将不同的模型装入纸箱打包，然后邮寄． 【包装准备】 如图，根据模型的尺寸，现准备两种纸箱，第一种长方体纸箱，尺寸规格为；第二种长方体纸箱，尺寸规格为，其中该纸箱有两个扣手，尺寸规格为，并且扣手到所在面相对两条边的距离相等． 【问题解决】 (1)如图1，当使用第一种纸箱时，若从顶点A到顶点B需贴胶带，则胶带的最短长度为_______． (2)如图2，将两个第二种长方体纸箱捆绑在一起，现需要在点C和点D之间按照如图所示的方式拉一条绳子固定，请画出长度最短的部分展开图，并求这根绳子的最短长度．（提示：需考虑扣手的大小） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了平面展开图——最短路径问题，勾股定理，理解转化思想是解题的关键． （1）根据题意，分三种情况展开长方体，再由勾股定理求出线段长比较大小即可得到答案． （2）将长方体展开，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：分三种展开方式求解： ①前与右：； ②左与后：； ③前与下：； ∵， ∴胶带的最短长度为：， 故答案为：． （2）如图所示为长度最短的部分展开图： 如图，连接，，易得． 由题可得． 在中，由勾股定理，得． 所以，这根绳子的最短长度为． 题型三：阶梯中的最短路径模型 11．（26-27八年级·全国·暑假作业）如图，三级台阶每一级的长宽高分别是，和，A和B是这个台阶的两个相对的端点，点A上有一只蚂蚁，想到点B去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到点B的最短路程长为________． 【答案】13 【分析】本题主要考查了平面展开图中的最短路径问题，勾股定理，熟练掌握平面展开图及勾股定理是解决本题的关键． 先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答． 【详解】解：如图所示， ∵三级台阶平面展开图为长方形，宽为，长为， ∴蚂蚁沿台阶面爬行到点B最短路程是此长方形的对角线长， 由勾股定理得，， 则蚂蚁沿着台阶面爬到点B的最短路程是； 故答案为：13 12．（25-26八年级下·新疆吐鲁番·期末）如图，在一张矩形纸板上放着一根长方体木块．已知，，该木块的长与平行，横截面是边长为的正方形，一只蚂蚁从点爬过木块到达点需要爬行的最短路程是________． 【答案】 【分析】将木块展开，然后根据两点之间线段最短，利用勾股定理解答． 【详解】由题意可知，将木块展开，相当于是加上个正方形的边长， 展开后的矩形的长为，宽为． 最短路程为：． 13．（25-26八年级下·吉林松原·期中）2026年2月，谷爱凌再度为国争光，成为冬奥历史上首位卫冕女子型池场地金牌的运动员，如图，该型池可以看作是一个长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行的部分的截面是半径为的半圆，其边缘，点在上，．从点滑到点，滑行的最短路程是______m．（边缘部分的厚度忽略不计，取3） 【答案】20 【分析】将半圆面展开成矩形，连接．则是最短距离，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：将半圆面展开如图所示，连接． 根据题意，得，． ， 在中，由勾股定理，得 ， 从点滑到点，滑行的最短路程是． 14．（2026·山东潍坊·一模）如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别等于、、，和是这个台阶的两个相对的端点，一只蚂蚁从点沿着台阶面爬到点，其爬行的最短距离是________dm． 【答案】 【分析】将台阶展开得到的是一个矩形，蚂蚁要从点到点的最短距离，便是矩形的对角线，利用勾股定理即可解出答案． 【详解】解：将台阶展开，如图， ，， ， 即蚂蚁爬行的最短线路为． 15．（25-26八年级上·山东枣庄·阶段检测）【问题情境】数学综合与实践活动课上，老师提出如下问题：一个三级台阶，它每一级的长、宽、高分别为和是一个三级台阶上两个相对的端点． 【探究实践】老师让同学们探究：如图（1），若点处有一只蚂蚁要到点去吃食物，则蚂蚁沿着台阶爬到点的最短路程是多少？ （1）同学们经过思考得到如下解题方法：如图（2）为三级台阶的平面展开图，可得到长为，宽为的长方形，连接，经过计算得到的长度为____________，就是最短路程． 【变式探究】（2）如图（3），已知圆柱底面的周长为，圆柱高为，在圆柱的侧面有一只蚂蚁，从点爬到点，再从点爬回点，恰好爬行一圈，则这只蚂蚁爬行的最短路程为____________． 【拓展应用】（3）如图（4），圆柱形玻璃杯的高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在外壁离杯口，且与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处所爬行的最短路程是多少？（杯壁厚度不计） 【答案】（1）25；（2）；（3） 【分析】本题考查了平面展开图—最短路径问题，勾股定理，解答本题的关键是熟练运用数形结合的思想解决问题． （1）直接利用勾股定理进行求解即可； （2）将圆柱体展开，利用勾股定理求解即可； （3）从玻璃杯侧面展开，作关于的对称点，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：（1）由题意得：， ， 故答案为：； （2）将圆柱体展开，如图， 由题意得， ， 故这只蚂蚁爬行的最短路程为． 故答案为：； （3）如图， 从玻璃杯侧面展开，作关于的对称点，作交延长线于点，连接交于点， ，， ，此时蚂蚁从外壁处到内壁处所爬行的最短，最短路程为的长， ， ∴， ， ∴蚂蚁从外壁处到内壁处所爬行的最短路程是． 题型四：构造直角三角形中的最短路径模型 16．（25-26八年级上·四川成都·期中）如图，C为线段上一动点，分别过点B、D作，；连接、．已知，，，设． (1)①用含x的代数式表示的长； ②求出的最小值． (2)根据（1）中的规律和结论，重新构图求出代数式的最小值． (3)若正实数a，b，c满足，请构图求出代数式的最小值． 【答案】(1)①；② (2) (3) 【分析】本题考查勾股定理和勾股定理的逆定理，熟练掌握数形结合思想，正确构造直角三角形是解题的关键， （1）①根据勾股定理即可表示出的长；②过点作，过点作，连接，当三点共线时，的值最小，再利用勾股定理求出的最小值； （2）根据题意构造图形，过点作，过点作，连接，交于点，所以代数式的最小值为的长，由勾股定理求得的最小值； （3）由条件得，将看作直角三角形的斜边，通过平移可得水平位移的总长为，垂直位移为，再根据两点间距离最短，可得的最小值． 【详解】（1）解：①∵，， ∴， 在中，， 在中，， ∴． ②过点作，过点作，连接，如图， ∴当三点共线时，的值最小， ∴， ∴的最小值为． （2）解：，，，，，如图： 过点作，过点作，连接，交于点， ∴代数式的最小值为的长， ∵，，， ∴， ∴代数式的最小值为． （3）解：∵ ∴， 将、、看作直角三角形的斜边，如图所示： 通过平移可得水平位移的总长为，垂直位移总长为， ∴的最小值为． 17．（25-26八年级上·江苏扬州·期中）如图，C为线段上一动点，分别过点B、D作，连接，已知，设． (1)则的长为_______（用含x的代数式表示），的长为_______（用含x的代数式表示）； (2)当点C在上运动时，求的最小值； (3)根据（2）中的规律和结论，则代数式的最小值为_______； (4)仿照上面的方法，则代数式（x是任意实数）的最大值为_______． 【答案】(1)； (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了勾股定理，实数与数轴，两点之间线段最短等知识，解题的关键是正确运用数形结合的思想． （1）对运用勾股定理求解； （2）当 A、C、E 三点共线时，的值最小，即为，过点作交的延长线于点，然后对运用勾股定理求解; （3）可作，过点作，过点作，使，，当点共线时，则的长即为代数式的最小值，然后构造，根据勾股定理即可求得的值； （4）构造数轴，设点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，过点A作，且，过点作，且， 则，，过点作于点，则同上可得，则，那么由勾股定理得，，，，由，得当点共线时，的长即为代数式的最大值，即可求解． 【详解】（1）解：，则， ∵， ∴由勾股定理得：， ， 故答案为：；； （2）解：当 A、C、E 三点共线时，的值最小，即为，如图： 过点作交的延长线于点， ∵， ∴， ∵， ∴，同理， ∴， ∴的最小值为； （3）解：如图所示，作线段，C为线段上一动点，过点作，过点作，使，， 设，则， ∴由勾股定理得：，， ∴， ∴当点共线时，取得最小值即，即为的长， 过点作交的延长线于点， 则同上可得，，， ， 即的最小值为13． （4）解：如图，构造数轴，设点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，过点A作，且，过点作，且， ∴，， 过点作于点，则同上可得， ∴， ∴由勾股定理得，，，， ∵三角形任意两边之差小于第三边， ∴， ∴ ∴当点共线时，的长即为代数式的最大值， ∴的最大值为． 18．（25-26八年级下·北京·期中）先阅读以下材料，然后解答后面的问题． 例：求代数式的最小值．分析：和是勾股定理的形式，是直角边分别是和3的直角三角形的斜边，是直角边分别是和2的直角三角形的斜边，因此，我们构造两个直角和，并使直角边和在同一直线上（图1），向右平移直角使点和重合（图2），这时，，，问题就变成“点在线段的何处时，最短？”根据两点间线段最短，得到线段就是它们的最小值． (1)代数式的最小值为______； (2)变式训练：求代数式的最小值______； (3)解决问题：已知正数满足，则的值为______． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）过点作的垂线，交的延长线于点，连接，容易证明四边形是矩形，则，，由勾股定理可得．根据题意，，，由线段公理可得，，因此当、、三点共线时，取得最小值； （2）类比（1）的解法，构造，，，，，则．由勾股定理可得，，，，由可得，的最小值为； （3）构造，，，，，由勾股定理可得，，，根据题意可得，由可判断，利用面积法计算出． 【详解】（1）解：如图2，过点作的垂线，交的延长线于点，连接， 根据题意，， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， 在中，， 根据题意，，， ∵， ∴当、、三点共线时，取得最小值， ∴的最小值为； （2）解：如图3，设，，，，， 同理（1）可得，四边形是矩形， ∴，， ∴， 由勾股定理可得，，，， ∵， ∴当、、三点共线时，取得最小值， ∴的最小值为； （3）解：如图，中，，，，， 由勾股定理可得，，， ∴，即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 19．（25-26八年级上·山东青岛·期中）“数形结合”和“建模思想”是数学中的两个重要的思想方法，先阅读以下材料，然后解答问题． （1）赵爽弦图：4个全等的直角三角形与一个小正方形拼成一个大正方形，其中，请你利用图形验证勾股定理． （2）求代数式的最小值． 分析：和是勾股定理的形式，是直角边分别是和3的直角三角形的斜边，是直角边分别是和2的直角三角形的斜边，因此，我们构造两个直角和，并使直角边和在同一直线上（图1），向右平移直角使点和重合（图2），这时，，问题就变成“点在线段的何处时，最短？”根据两点间线段最短，得到线段就是它们的最小值． 【模型应用】 （1）代数式的最小值为_______________； （2）变式训练：利用图3，求代数式的最小值． 【答案】 （1）由图及题意可知： 大正方形的面积为，小正方形的面积为，四个直角三角形的面积为， ∴， 整理得：； 模型应用：（1）；（2） 【分析】本题主要考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键； （1）根据等积法可进行求证； 模型应用：（1）根据题意及勾股定理可进行求解； （2）同理，根据题中的方法构造图形，进而根据勾股定理可求最小值． 【详解】解：（1）略 模型应用：（1）由题意得：线段即为的最小值， ∴由勾股定理可得：； 即的最小值为； 故答案为； （2）如图，由题意可构造如下三角形， ∴线段即为的最小值， ∴， 即的最小值为． 20．（25-26八年级上·广东深圳·期中）“数形结合”和“建模思想”是数学中的两个很重要的思想方法，阅读以下素材并解决问题． 几何模型在最短路径问题中的应用 素材一 提出问题：求代数式的最小值． 素材二 建立模型：可看作直角边分别是和3的直角三角形的斜边，是直角边分别是和2的直角三角形的斜边．因此，构造两个直角三角形，使它们的一个顶点重合、各有一条直角边在同一直线上（如图1所示），这时，．原问题就变成“点在线段的何处时，的值最小？” 素材三 解答过程：如图2连接，交于点，此时的值最小，将延长至使得，连接，则．，在中，，，的最小值是13． 问题解决 任务一 根据以上学习：代数式的最小值为___________． 任务二 知识运用：如图，一条河的两岸平行，河宽，村庄到河岸的垂直距离为村庄到河岸的垂直距离为，且、到河岸的垂足之间的水平距离为．现计划在河上建一座垂直于河岸的桥，使得从到，过桥，再从到的路程最短，则最短路程为___________km． 任务三 思维拓展：已知正数满足，求的值． 【答案】任务一：；任务二：18；任务三：的值为 【分析】本题主要考查轴对称求最短距离、勾股定理等知识点，灵活应用勾股定理是解题的关键． （1）根据题目所给的方法直接建立模型进行求解即可； （2）将实际问题转化成已建立的模型求解即可； （3）如图4构造△ABC，于D，，设，则，，易证；再用等面积法即可求得，再验证即可解答． 【详解】解：任务一：如图，构造两个直角三角形，使它们的一个顶点重合、各有一条直角边在同一直线上，，， 连接，交于点，此时的值最小，将延长至使得，连接， ．， 在中，， ， ∴代数式的最小值为． 故答案为：． 任务二：如图：为总路程，由于，则要求的最小值，只需求得， 如图：将点向上平移得到，此时共线，；延长到使，则四边形是长方形，连接交于，此时的最小值为． 由题意可得：，， ∴的最小值为． ∴最短路程为． 故答案为：18． 任务三：解：如图，构造，于D，， 设，则， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴的值为． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $