2.4.2 圆的一般方程 作业-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 高中数学同步练（圆的一般方程）采用基础巩固与能力进阶分层设计，通过概念识别→运算应用→综合探究的梯度路径，强化抽象能力与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|圆的一般方程概念、圆心半径计算、弦中点问题|以选择填空为主，如方程表示图形判断（题1）、圆心半径直接计算（题4），夯实运算能力| |能力进阶|轨迹方程、动直线与圆位置关系、综合应用|含轨迹问题（题7）、含参数直线垂线问题（题8）及圆方程与中点轨迹综合解答（题9），深化模型意识|

2.4.2 圆的一般方程 【基础巩固】 1．方程x2＋y2－2x－4y＋4＝0表示的轨迹是(　　) A．圆心为(1，2)的圆 B．圆心为(2，1)的圆 C．圆心为(－1，－2)的圆 D．不表示任何图形 2．(2026·河南周口月考)已知a∈R，方程a2x2＋(a＋2)y2＋2x＋4a＝0表示圆，则圆心的坐标为(　　) A．(1，0) B．(－1，0) C．或(1，0) D．或(－1，0) 3．已知圆x2＋y2＋4x－5＝0的弦AB的中点坐标为(－1，1)，则直线AB的方程为(　　) A．x＋2y－1＝0 B．x＋y＝0 C．2x－y＋3＝0 D．y＝1 4．圆C：x2＋y2＋4x－2y＋3＝0的圆心是 ，半径是 ． 5．若圆的方程为x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0，则当圆面积最大时，圆心坐标为 ． 6．求经过点A(－2，－4)且与直线x＋3y－26＝0相切于点B(8，6)的圆的方程． 【能力进阶】 7．当点P在圆x2＋y2＝1上运动时，它与定点Q(3，0)的连线PQ的中点的轨迹方程是(　　) A．(x＋3)2＋y2＝4 B．(x－3)2＋y2＝1 C．(2x－3)2＋4y2＝1 D．(2x＋3)2＋4y2＝1 8．过点P(－5，0)作直线(1＋2m)x－(m＋1)y－4m－3＝0(m∈R)的垂线，垂足为M，已知点N(3，11)，则|MN|的取值范围是 ． 9．已知圆C过点A(6，0)，B(1，5)，且圆心在直线l：2x－7y＋8＝0上． (1)求圆C的方程； (2)P为圆C上任意一点，定点Q(8，0)，求线段PQ中点M的轨迹方程． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.4.2 圆的一般方程 【基础巩固】 1．方程x2＋y2－2x－4y＋4＝0表示的轨迹是(　　) A．圆心为(1，2)的圆 B．圆心为(2，1)的圆 C．圆心为(－1，－2)的圆 D．不表示任何图形 解析：A　因为x2＋y2－2x－4y＋4＝0等价于(x－1)2＋(y－2)2＝1，所以该方程表示圆心为(1，2)的圆． 2．(2026·河南周口月考)已知a∈R，方程a2x2＋(a＋2)y2＋2x＋4a＝0表示圆，则圆心的坐标为(　　) A．(1，0) B．(－1，0) C．或(1，0) D．或(－1，0) 解析：B　因为方程a2x2＋(a＋2)y2＋2x＋4a＝0表示圆，所以a2＝a＋2≠0，解得a＝2或a＝－1. 当a＝2时，方程化为x2＋y2＋x＋2＝0，此时2＋02－4×2＝－<0，方程不表示圆； 当a＝－1时，方程化为x2＋y2＋2x－4＝0，即(x＋1)2＋y2＝5，所得圆的圆心坐标为(－1，0)． 综上，圆心坐标为(－1，0)． 3．已知圆x2＋y2＋4x－5＝0的弦AB的中点坐标为(－1，1)，则直线AB的方程为(　　) A．x＋2y－1＝0 B．x＋y＝0 C．2x－y＋3＝0 D．y＝1 解析：B　圆x2＋y2＋4x－5＝0的标准方程为(x＋2)2＋y2＝9，则圆心为C(－2，0)．设AB的中点为P(－1，1)，由垂径定理可知PC⊥AB，又直线PC的斜率为kPC＝＝1，所以直线AB的斜率kAB＝－＝－1，所以直线AB的方程为y－1＝－(x＋1)，即x＋y＝0.故选B. 4．圆C：x2＋y2＋4x－2y＋3＝0的圆心是 ，半径是 ． 解析：由圆C：x2＋y2＋4x－2y＋3＝0，得(x＋2)2＋(y－1)2＝2，∴圆C的圆心坐标为(－2，1)，半径为. 答案：(－2，1)　 5．若圆的方程为x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0，则当圆面积最大时，圆心坐标为 ． 解析：将圆的方程配方得2＋(y＋1)2＝－k2＋1，即r2＝1－k2＞0， ∴rmax＝1，此时k＝0. ∴圆心为(0，－1)． 答案：(0，－1) 6．求经过点A(－2，－4)且与直线x＋3y－26＝0相切于点B(8，6)的圆的方程． 解：设所求圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则圆心坐标为. ∵圆与x＋3y－26＝0相切于点B， ∴·＝－1， 即E－3D－36＝0， ① ∵(－2，－4)，(8，6)在圆上， ∴2D＋4E－F－20＝0， ② 8D＋6E＋F＋100＝0. ③ 联立①②③，解得D＝－11，E＝3，F＝－30， 故所求圆的方程为x2＋y2－11x＋3y－30＝0. 【能力进阶】 7．当点P在圆x2＋y2＝1上运动时，它与定点Q(3，0)的连线PQ的中点的轨迹方程是(　　) A．(x＋3)2＋y2＝4 B．(x－3)2＋y2＝1 C．(2x－3)2＋4y2＝1 D．(2x＋3)2＋4y2＝1 解析：C　设P(x1，y1)，PQ的中点M的坐标为(x，y)， ∵Q(3，0)，∴∴x1＝2x－3，y1＝2y.又点P在圆x2＋y2＝1上， ∴(2x－3)2＋4y2＝1，故选C. 8．过点P(－5，0)作直线(1＋2m)x－(m＋1)y－4m－3＝0(m∈R)的垂线，垂足为M，已知点N(3，11)，则|MN|的取值范围是 ． 解析：由直线(1＋2m)x－(m＋1)y－4m－3＝0(m∈R)得m(2x－y－4)＋(x－y－3)＝0， 令解得所以直线过定点(1，－2)，设为Q.因为M为垂足，所以△PQM为直角三角形，斜边为PQ，所以M在以PQ为直径的圆上运动，由点P(－5，0)可知以PQ为直径的圆的圆心坐标为(－2，－1)，设为C，半径r＝， 则|MN|的取值范围为|CN|－r≤|MN|≤|CN|＋r， 又因为|CN|＝＝13， 所以. 答案： 9．已知圆C过点A(6，0)，B(1，5)，且圆心在直线l：2x－7y＋8＝0上． (1)求圆C的方程； (2)P为圆C上任意一点，定点Q(8，0)，求线段PQ中点M的轨迹方程． 解：(1)直线AB的斜率k＝＝－1， 所以线段AB的垂直平分线m的斜率为1. 线段AB的中点为. 因此，直线m的方程为y－，即x－y－1＝0.又圆心在直线l上，所以圆心是直线m与直线l的交点． 联立方程组解得所以圆心坐标为C(3，2)．又半径r＝|CA|＝， 则所求圆的方程是(x－3)2＋(y－2)2＝13.(2)设线段PQ的中点M(x，y)，P(x0，y0)，则解得 将P(2x－8，2y)代入圆C的方程中，得(2x－8－3)2＋(2y－2)2＝13，即线段PQ中点M的轨迹方程为2＋(y－1)2＝. 学科网（北京）股份有限公司 $