2.4.1 圆的标准方程 作业-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 本同步练围绕“圆的标准方程”设基础巩固（6题）和能力进阶（4题）两层，梯度从概念识别到综合应用，强化数学思维与几何直观。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|圆心半径识别、方程构建、点圆位置关系、对称变换、外接圆方程|以选择填空为主，如直接求圆心坐标（第1题）、已知条件构造方程（第2题），夯实概念理解与基本运算| |能力进阶|圆的对称性、轨迹问题、几何性质综合应用|含多选及情境题，如等腰三角形顶点轨迹（第9题）、对称圆方程（第8题），发展推理能力与模型观念|

2.4.1　圆的标准方程 【基础巩固】 1．圆(x－1)2＋(y＋3)2＝11的圆心坐标是(　　) A．(1，3)　　　　　 B．(－1，3) C．(1，－3) D．(－1，－3) 2．圆心在x轴上，半径为2，且过点(1，2)的圆的标准方程是(　　) A．(x－1)2＋y2＝4 B．(x＋1)2＋y2＝4 C．(x＋2)2＋y2＝4 D．(x－2)2＋y2＝4 3．若点(2a，a－1)在圆x2＋(y－1)2＝5的外部，则a的取值范围为 ． 4．已知圆C1：(x＋1)2＋(y－1)2＝1，圆C2 与圆C1关于直线x－y＝0对称，则圆C2的标准方程为 ． 5．(2025·河南郑州高二月考)△ABC三个顶点的坐标分别是A(1，1)，B(4，2)，C(3，0)，则△ABC外接圆的方程是 ． 6．已知圆C过点A(3，1)，B(5，3)，圆心在直线y＝x上，求圆C的标准方程． 【能力进阶】 7．(多选)已知圆C关于y轴对称，经过点(1，0)且被x轴分成两段，弧长比为1∶2，则圆C可能的方程为(　　) A.x2＋2＝ B．x2＋2＝ C．2＋y2＝ D．2＋y2＝ 8．已知圆心在第二象限，半径为2的圆C与两坐标轴都相切，则圆C的标准方程为 ；与圆C关于直线x－y＋2＝0对称的圆的方程为 ． 9．已知等腰三角形ABC的底边BC对应的顶点是A(4，2)，底边的一个端点是B(3，5)，则底边另一个端点C的轨迹方程是 ． 10．已知点A(1，－2)，B(－1，4)，求: (1)过点A，B且周长最小的圆的方程； (2)过点A，B且圆心在直线2x－y－4＝0上的圆的方程． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.4.1　圆的标准方程 【基础巩固】 1．圆(x－1)2＋(y＋3)2＝11的圆心坐标是(　　) A．(1，3)　　　　　 B．(－1，3) C．(1，－3) D．(－1，－3) 解析：C　由圆的标准方程(x－1)2＋(y＋3)2＝11，得圆心为(1，－3)，选C. 2．圆心在x轴上，半径为2，且过点(1，2)的圆的标准方程是(　　) A．(x－1)2＋y2＝4 B．(x＋1)2＋y2＝4 C．(x＋2)2＋y2＝4 D．(x－2)2＋y2＝4 解析：A　因为圆心在x轴上，所以设圆心(a，0)，则＝2，即a＝1，故选A. 3．若点(2a，a－1)在圆x2＋(y－1)2＝5的外部，则a的取值范围为 ． 解析：因为点(2a，a－1)在圆x2＋(y－1)2＝5的外部，所以4a2＋(a－2)2＞5，解得a＞1或a＜－. 答案：∪(1，＋∞) 4．已知圆C1：(x＋1)2＋(y－1)2＝1，圆C2 与圆C1关于直线x－y＝0对称，则圆C2的标准方程为 ． 解析：圆C1：(x＋1)2＋(y－1)2＝1的圆心为(－1，1)，半径为1，圆C2与圆C1关于直线x－y＝0对称，则圆C2的圆心坐标为(1，－1)，半径为1，故圆C2的标准方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝1. 答案：(x－1)2＋(y＋1)2＝1 5．(2025·河南郑州高二月考)△ABC三个顶点的坐标分别是A(1，1)，B(4，2)，C(3，0)，则△ABC外接圆的方程是 ． 解析：依题意，直线AC的斜率kAC＝，直线BC的斜率kBC＝＝2，则kAC·kBC＝－1，即AC⊥BC.因此△ABC外接圆是以线段AB为直径的圆．AB的中点为，半径r＝＝，所以△ABC外接圆的方程是2＋2＝. 答案：2＋2＝ 6．已知圆C过点A(3，1)，B(5，3)，圆心在直线y＝x上，求圆C的标准方程． 解：设圆心C(a，a)，半径为r， 则 解得 ∴圆C的标准方程为(x－3)2＋(y－3)2＝4. 【能力进阶】 7．(多选)已知圆C关于y轴对称，经过点(1，0)且被x轴分成两段，弧长比为1∶2，则圆C可能的方程为(　　) A.x2＋2＝ B．x2＋2＝ C．2＋y2＝ D．2＋y2＝ 解析：AB　由已知圆心在y轴上，且被x轴所分劣弧所对圆心角为，设圆心坐标为(0，a)，半径为r，则r sin ＝1，r cos ＝|a|，解得r＝，即r2＝＝，即a＝±，故圆C的方程为x2＋2＝. 8．已知圆心在第二象限，半径为2的圆C与两坐标轴都相切，则圆C的标准方程为 ；与圆C关于直线x－y＋2＝0对称的圆的方程为 ． 解析：由题意可得所求的圆在第二象限，圆心为(－2，2)，半径为2， 所以圆的标准方程为(x＋2)2＋(y－2)2＝4. 设(－2，2)关于直线x－y＋2＝0的对称点为(a，b)． 则有解得 故所求圆的圆心为(0，0)，半径为2. 所以所求圆的标准方程为x2＋y2＝4. 答案：(x＋2)2＋(y－2)2＝4　x2＋y2＝4 9．已知等腰三角形ABC的底边BC对应的顶点是A(4，2)，底边的一个端点是B(3，5)，则底边另一个端点C的轨迹方程是 ． 解析：设C(x，y)，由题意知，△ABC的腰长为，∴C的轨迹方程为(x－4)2＋(y－2)2＝10. 又点A，B，C构成三角形，即三点不可共线， 所以需要去掉重合点(3，5)，反向共线点(5，－1)． 答案：(x－4)2＋(y－2)2＝10(去掉(3，5)，(5，－1)两点) 10．已知点A(1，－2)，B(－1，4)，求: (1)过点A，B且周长最小的圆的方程； (2)过点A，B且圆心在直线2x－y－4＝0上的圆的方程． 解：(1)当AB为直径时，过A，B的圆的半径最小，从而周长最小．即AB中点(0，1)为圆心，半径r＝＝. 则圆的方程为x2＋(y－1)2＝10. (2)法一：AB的斜率为k＝－3，则AB的垂直平分线的方程是y－1＝x. 即x－3y＋3＝0，由圆心在直线2x－y－4＝0上，得两直线交点为圆心，即圆心坐标是C(3，2)． r＝|AC|＝. 故所求圆的方程是(x－3)2＋(y－2)2＝20. 法二：待定系数法 设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2. 则⇒ 故所求圆的方程为(x－3)2＋(y－2)2＝20. 学科网（北京）股份有限公司 $