河南省洛阳市高一数学上学期作业设计（人教A版必修第一册第二章）

人教A版高一数学 “二次函数与一元二次方程、不等式”课时作业设计 教材版本：人教A版必修第一册 | 地区适配：河南省普通高中 | 贴合本地化教学需求 一、作业设计说明 （一）教材分析 本节选自高中数学人教A版必修第一册第二章《一元二次函数、方程和不等式》。二次函数是高中首个非线性函数，其图像与性质研究方法是后续学习指数函数、对数函数的重要基础。一元二次方程与不等式是二次函数图像性质的代数表达，三者存在内在联系。 （二）内容分析 本课核心围绕“二次函数与一元二次方程、不等式之间的关系”展开，包括图像与x轴交点和方程根的关系、利用图像求解不等式的方法及三者综合应用，体现数形结合思想。 （三）单元学习目标 1. 理解二次函数的图像特征，掌握开口方向、对称轴、顶点坐标的确定方法。 2. 掌握一元二次方程根的判别方法，能根据判别式判断根的情况。 3. 理解二次函数图像与一元二次不等式解集之间的关系，能利用图像求解不等式。 4. 体会函数、方程、不等式三者之间的联系，形成完整的知识网络。 （四）核心素养目标 素养目标 内容 数学抽象 从具体实例中抽象出一般形式，概括图像与方程、不等式之间的关系。 逻辑推理 基于二次函数图像推理一元二次不等式的解集结构，培养演绎推理能力。 数学建模 将实际问题转化为二次函数模型，通过求解函数问题回答实际问题。 直观想象 借助二次函数图像的直观性，理解代数问题的几何意义。 二、作业整体设计思路 本课作业设计遵循“夯实基础—提升能力—拓展探究”的三级进阶思路。 基础巩固性作业聚焦二次函数图像与x轴交点、判别式等核心概念的直接应用，确保学生掌握基本知识技能。 能力提升性作业设置需综合运用多个知识点的题目，侧重考查分析能力和运算能力。 拓展探究性作业融入跨学科情境，引导学生运用数学工具解决物理、经济等领域的实际问题，培养创新实践能力。 整体题量合理，预计完成时间约20分钟，基础题8分钟，提升题7分钟，拓展题5分钟，利于减负。 适用场景：适用于课后巩固或单元复习，可课堂发放或作为家庭作业。 三、作业设计内容 二次函数与一元二次方程、不等式 基础巩固性作业 1.【改编自课本】利用二次函数图像，求不等式x²-5x+6>0的解集。 【设计意图】 考查借助图像求解不等式能力，强化数形结合思想。 【参考答案】 设二次函数 y=x²−5x+6。 令 y=0，即x²−5x+6=0，因式分解得(x−2)(x−3)=0，解得x₁=2，x₂=3。 因为二次项系数a=1>0，抛物线开口向上，图像与x轴交于点(2,0)和(3,0)。 由函数图像可知，当x<2或x>3时，图像位于x 轴上方，即y>0。 故不等式x²−5x+6>0的解集为{x|x<2或x>3}。 2. 【原创】已知二次函数y=ax²+bx+c的图像如图所示，该图像经过点 A(-1,0)、B(3,0)和 C(0,-3)。 （1）求该二次函数的解析式；· A （2）求该函数图像的顶点坐标和对称轴； （3）根据图像，直接写出当 y < 0 时，x 的取值范围。 【设计意图】 本题以函数图像为切入点，综合考查直观想象与数学抽象素养，强化“以形助数”的解题策略。 【创新点】 以图像反推解析式，培养逆向思维与数学抽象。 【参考答案】 （1）方法一： 因为该图像经过点 A(-1,0)、B(3,0)， C(0,-3)， 所以 解得 所以该二次函数的解析式为y=x²-2x-3。 方法二： 因为该图像经过点 A(-1,0)、B(3,0)，所以x=-1和x=3是二次函数的两个零点， 可设二次函数为零点式y=a(x+1)(x-3)， 又因为经过点C(0,-3)， 所以-3=a(0+1)(0-3)，解得a=1, 所以y=(x+1)(x-3)=x²-2x-3。 （2）顶点坐标为(1，-4)，对称轴为x=1。 （3）由图像可知，当-1<x<3时，函数图像在x轴下方，即y<0。故x的取值范围为{x|-1<x<3}。 3.【选取自课本】利用二次函数图像，求不等式 -2x²+x≤-3的解集。 【设计意图】 将不等式求解转化为函数图像在x轴上方的部分，强化“看图解题”的直观想象能力。 【参考答案】 移项得-2x²+x+3≤0。令f(x)=-2x²+x+3，图像开口向下，与x轴交点为(-1,0)和(,0)。 由图像可知，当x≤-1或x≥时f(x)≤0 故解集为(-∞,-1]∪[,+∞)。 能力提升性作业 4.【选取自课本】已知M={x|4x²-4x-15>0},N={x|x²-5x-6>0},求M∩N，M∪N。 【设计意图】 考查不等式求解与集合运算综合能力，强化数形结合思想。 【参考答案】 由 4x²−4x−15>0， 即 (2x−5)(2x+3)>0，解得x<−或x>，故 M={x|x<−或x>}。 由 x²−5x−6>0，即(x−6)(x+1)>0，解得x<−1或x>6，故N={x|x<−1或x>6}。 ∴ M∩N={x|x<−或x>6}，M∪N={x|x<−1或 x>}。 5.【原创】（跨学科·物理） 一个小球从地面竖直上抛，抛出后t秒时小球的高度（米）与时间t的关系近似为h(t) = -5t² + 20t。 （1）小球抛出后几秒到达最高点？最高点高度是多少？ （2）小球从抛出到落地共经过多少时间？ 【设计意图】 以物理抛体运动为情境，将二次函数最值问题与实际运动过程结合，渗透跨学科融合理念。 【创新点】 融合物理抛体运动情境，渗透跨学科建模思维。 【参考答案】 （1）h(t)=-5t²+20t=-5(t-2)²+20。 当t=2时，h取最大值20。故小球抛出后2秒到达最高点，最高点高度为20米。（2）令h(t)=0，即-5t²+20t=0，-5t(t-4)=0，解得t=0或t=4。t=0为抛出时刻，t=4为落地时刻，故小球从抛出到落地共经过4秒。 拓展探究性作业 6.【选取自课本】（跨学科·经济学） 某网店销售一批新款削笔器，每个削笔器的最低售价为15元，若按最低售价销售，每天能卖出30个；若一个削笔器的售价每提高1元，日销售量将减少2个。为了使这批削笔器每天获利400元以上的销售收入，应怎样制定这批削笔器的销售价格？ 【设计意图】 以真实商业定价为情境，考查二次函数最值与不等式综合应用，培养数学建模与经济决策素养。 【参考答案】 设每个削笔器售价为x元（x≥15），则日销售量为30−2(x−15)=60−2x个。 由题意得x(60−2x)>400，整理得 x²−30x+200<0，即(x−10)(x−20)<0，解得 10<x<20。 又因为x≥15，所以15≤x<20。 销售价格应定在15元到20元之间（不含 20 元）。 四、易错点提醒 1.求解一元二次不等式时，易忽略二次项系数为负时开口方向变化，导致解集方向错误。 2.利用图像求解时，易混淆“大于取两边”与“小于取中间”的适用条件，需注意二次项系数正负。 3.实际问题建模中，易忽略实际意义限制条件（如售价不低于最低价），导致解集超出合理范围。 五、作业整体评价设计 评价维度 评价内容 自评 互评 师评 知识掌握 考查二次函数图像与x轴交点、判别式、不等式解法等核心知识的理解与运用 ☆☆☆ ☆☆☆ ☆☆☆ 能力发展 考查运算求解、逻辑推理及数形结合的分析能力 ☆☆☆ ☆☆☆ ☆☆☆ 过程方法 考查解题过程规范性、思路清晰度及方法选择的合理性 ☆☆☆ ☆☆☆ ☆☆☆ 素养体现 考查数学建模、直观想象等核心素养在综合问题中的体现 ☆☆☆ ☆☆☆ ☆☆☆ 学科网（北京）股份有限公司 $