四川省乐山市高一数学上册单元整合作业设计 (人教A版必修第一册第二章一元二次函数、方程和不等式)

应用场景：高一上学期第二章《函数的概念与性质》单元结束后单元整合作业，用于单元学情检测、巩固核心概念，课堂限时训练+课后拓展使用。 高一上学期《一元二次函数、方程和不等式》单元整合作业设计 一、作品基础信息 项目 填写内容 作品名称 《一元二次函数、方程和不等式》单元整合作业 学段学科 高中 数学 适用年级 高一 教材版本 人教A版必修第一册 对应内容 第二章 一元二次函数、方程和不等式 作业类型 单元整合作业 完成时长 45分钟 设计者 陈红梅 二、设计背景与意图 1、本章学习目标 1.等式性质与不等式性质 梳理等式的性质，理解不等式的概念，掌握不等式的性质. 2.基本不等式 掌握基本不等式 结合具体实例，能用基本不等式解决简单的最大值或最小值问题. 3.从函数观点看一元二次方程 会结合二次函数的图象，判断一元二次方程实根的存在性及实根的个数，了解函数的零点与方程根的关系. 4.从函数观点看一元二次不等式 (1)经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义；能借助二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集. (2)借助二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系. 2、教学重难点： 重点：不等式的基本性质，等式与不等式的共性与差异.基本不等式的定义、证明方法和几何解释，用基本不等式解决简单的最值问题.二次函数与一元二次方程、不等式的联系，借助二次函数求解一元二次不等式 难点：类比等式的基本性质及其蕴含的思想方法，研究不等式的基本性质；等式与不等式的共性与差异.基本不等式的几何解释，用基本不等式解决简单的最值问题.二次函数与一元二次方程、不等式的联系，借助二次函数求解一元二次不等式 3、作业设计理念 依据新课标“立足核心素养，面向全体学生”的要求，实施分层作业，因材施教。将作业分为基础巩固层（全员必做）、能力提升层（中等生选做）、拓展创新层（优等生挑战），分层设置目标、题量、难度，实现减负增效。又设置综合小题、新情境、探究类题目，兼顾不同层次学生，诊断学生单元学习漏洞。 • 基础巩固层：聚焦基础知识、基本公式、基本运算，落实四基，解决“会做、做对”； • 能力提升层：针对易错点、常规综合题型，训练方法迁移，突破“会而不对”； • 拓展创新层：侧重数形结合、分类讨论、数学建模，培养逻辑推理，对接高考思维。 适用：人教A版必修第一册第二章，作业总时长建议控制在45分钟以内。 4、学情分析 维度 具体描述 已有基础 学生具备初中运算基础，但停留在机械解题层面，缺少数形结合、分类讨论的思维。 现有困惑 1、知识割裂，无法建立“三个二次”内在关联。2、题型固化，缺乏动态分析意识 3、不等式变形不严谨，习惯性沿用等式思维。4、只会模仿套路，缺少逻辑推理能力。 差异分析 基础层学生能只会机械套用公式口诀，不能灵活变通，对一元二次函数不能用图像解释解集的由来，数形结合意识薄弱。中等层学生可处理简单综合；提高层学生需探究类、新情境类题目训练思维。 3、 作业内容与目标对应表 题号 问题情境 核心知识 评价要求 思想方法 关键能力 选择题 1 数学（A） 不等式的基本性质 掌握 化归与转化 推理论证 2 数学（B） 不等式的概念 掌握 化归与转化 推理论证 3 现实（B） 不等式的概念 掌握 化归与转化 抽象概括 4 数学（B） 二次函数、方程和不等式的联系 掌握 化归与转化 推理论证 5 数学（B） 一元二次不等式的解法 掌握 数形结合 逻辑思维 6 数学（C） 基本不等式 理解 化归与转化 推理论证 填空题 7 数学（A） 用基本不等式求简单最值问题 掌握 化归与转化 推理论证 8 数学（B） 用基本不等式求简单最值问题 掌握 特殊与一般 推理论证 9 数学（A） 不等式恒成立问题 掌握 函数与方程 运算求解 10 数学（C） 二次函数、方程和不等式的联系 理解 数形结合 直观想象 解答题 11 现实（B） 用基本不等式求简单最值问题 掌握 函数与方程 数学建模 12 新定义（C） 二次函数、方程和不等式的联系 了解 函数与方程 数学建模 四、作业评价标准 维度 A（优秀） B（良好） C（待改进） 权重 得分 知识理解 基础题几乎无错，函数概念无混淆 1至3处小题失误，概念基本掌握 多处基础题错误，概念模糊 25% 能力运用 思路正确，计算准确，注意定义域限制 思路大体正确，少量计算失误 思路偏差，常忽略定义域条件 35% 思维发展 探究、新定义题完整推理，逻辑严谨 探究题完成部分推导，不够完整 面对抽象综合题无从下手 30% 书写规范 步骤完整规范，符号书写准确 基本步骤齐全，少量疏漏 只写答案，缺少推导过程 10% 五、试题详情 《一元二次函数、方程和不等式》单元整合作业 一、单选题（每题5分，共30分） 1．下列命题中正确的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 2．已知，，，则M，N的大小关系是（ ） A． B． C． D．不能确定 3．用一段长为30米的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18米．设这个矩形的平行于墙面的边长为米，当米时菜园面积最大，最大值为平方米，则（ ） A．， B．， C．， D．， 4．函数 （其中）的最大值是（ ） A． B． C．1 D．2 5．命题“，”为假命题，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 6．关于基本不等式，下列选项正确的有（ ） A．的最小值为2 B．的最小值为2 C．存在a，使得不等式成立 D．的最大值为1 2、 填空题（每空5分，共30分，请将答案填在对应题号的位置上） 7、若，则函数的最小值为_______________.此时的值为_______________. 8．已知，，且，则的最小值为_______________. 9．若关于的不等式对恒成立，则实数a的取值范围为____________. 10．如图，二次函数为常数）的图象经过点，，则 ①不等式的解集为_______________． ②不等式的解集为_______________． 三、解答题（每小题20分，共40分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 11．共享单车给市民出行带来了诸多便利，某公司购买了一批单车投放到某地给居民使用，据市场分析，这批单车的运营累计利润（单位：元）与运营天数（单位：天，为正整数）满足关系：． (1)要使这批单车的运营累计利润高于800元，求运营天数的取值范围； (2)判断这批单车的日平均运营利润能否超过20元，并说明理由． 12．高斯，著名的数学家、物理学家、天文学家、近代数学奠基者之一，享有“数学王子”之称．函数称为高斯函数，其中表示不超过实数的最大整数，如，．若不等式的解集为，求正数的取值范围． 六、试题难度、知识点、答案详情 《一元二次函数、方程和不等式》单元整合作业 一、单选题（每题5分，共30分） 1．下列命题中正确的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【难度】0.92 【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确、由不等式的性质比较数（式）大小 【详解】对于AB，取，满足，而，AB错误； 对于C，由，，得，C正确；对于D，取，则，D错误. 2．已知，，，则M，N的大小关系是（ ） A． B． C． D．不能确定 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】作差法比较代数式的大小 【详解】， ，，所以，即. 3．用一段长为30米的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18米．设这个矩形的平行于墙面的边长为米，当米时菜园的面积最大，最大值为平方米，则（ ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】利用二次函数模型解决实际问题、基本（均值）不等式的应用、基本不等式求积的最大值 【分析】根据靠墙围成矩形，列出面积的表达式，再利用基本不等式求最大值即可. 【详解】因为篱笆总长度为30米，平行于墙面的边长为米，因此垂直于墙面的边长为米，又因为平行于墙面的边长不能超过墙长，且边长为正数，所以， 则菜园的面积为：， 当且仅当，即时等号成立，此时面积取到最大值为，即. 4．函数 （其中）的最大值是（ ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】基本不等式求积的最大值或一元二次函数求最大值（数形结合），一题多解。 【详解1】，因为，可得，所以，当且仅当时，即时，等号成立，所以函数的最大值是． 【详解2】从一元二次函数角度，利用画开口向下的抛物线，恰好在顶点处得最大值（数形结合）。 5．命题“，”为假命题，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】根据特称（存在性）命题的真假求参数、特称命题的否定及其真假判断、一元二次不等式在实数集上恒成立问题 【详解】命题“，”的否定“，”为真命题. 依题意需满足 ，即，解得， 即实数的取值范围为. 6．关于基本不等式，下列选项正确的有（ ） A．的最小值为2 B．的最小值为2 C．存在a，使得不等式成立 D．的最大值为1 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】求二次函数的值域或最值、基本不等式求积的最大值、基本不等式求和的最小值 【分析】根据题意，结合选项，利用基本不等式，以及二次函数的性质，逐项求解，即可得到答案. 【详解】对于A，由， 当且仅当，即时，此时不存在这样的实数， 所以等号不成立，即，所以A不正确； 对于B，当时，可得，当且仅当，即时，取等号； 当时，可得， 当且仅当，即时，取等号， 综上可得，的取值范围为，所以B不正确； 对于C，当时，可得， 当且仅当，即时，等号成立， 所以存在实数，使得不等式成立，所以C正确； 对于D，由， 当时，，所以的最大值为，所以D错误. 二、填空题（每空5分，共30分，请将答案填在对应题号的位置上） 7、若，则函数的最小值为_______________.此时的值为_______________. 【答案】最小值4，此时；【难度】0.95 【知识点】基本不等式求和的最小值、基本不等式求积的最大值 【分析】直接利用基本不等式求解即可． 【详解】（1）因为，所以，当且仅当，即时等号成立. 所以函数在时取得最小值4. 8．已知，，且，则的最小值为_______________. 【答案】 【难度】0.85 【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】利用基本不等式求得正确答案. 【详解】， 当且仅当时，即时等号成立. 此时的最小值为. 9． 若关于的不等式对恒成立，则实数a的取值范围为__________. 【答案】 【难度】0.75 【知识点】一元二次不等式在实数集上恒成立问题 【分析】对二次项系数分情况讨论，结合一元二次不等式恒成立问题列不等式组求解即可. 【详解】①当时，不等式化为，对任意恒成立，符合题意； ②当时，一元二次不等式对恒成立， 则有 ，  解得.   故实数a的取值范围为. 10．如图，二次函数为常数）的图象经过点，，则 ①不等式的解集为_______________. ②不等式的解集为_______________． 【答案】① ② 【难度】0.65 【知识点】二次函数的图象分析与判断、解不含参数的一元二次不等式、由一元二次不等式的解确定参数、一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的关系、解不含参数的一元一次不等式【分析】由二次函数的两个零点求出对称轴，写出交点式，用表示和；逐个代入选项判断符号、求解不等式. 【详解】因为二次函数为常数）的图象经过点，， 所以关于的一元二次方程的两根为和， 由根与系数的关系得，，即， 由图可知，二次函数为常数）的图象开口向上， 所以，则， 对于①，由得，因为，所以，解得， 所以不等式的解集为； 对于②，由不等式得， 因为，所以，即，解得， 则不等式的解集为. 三、解答题（每小题20分，共40分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 11．共享单车给市民出行带来了诸多便利，某公司购买了一批单车投放到某地给居民使用，据市场分析，这批单车的运营累计利润（单位：元）与运营天数（单位：天，为正整数）满足关系：． (1)要使这批单车的运营累计利润高于800元，求运营天数的取值范围； (2)判断这批单车的日平均运营利润能否超过20元，并说明理由． 【答案】(1) (2)不能，理由如下： 这批单车的日平均运营利润为， 因，则，当且仅当，即时取等. 此时，故这批单车的日平均运营利润不能超过20元. 【难度】0.74 【知识点】基本不等式求和的最小值、利用二次函数模型解决实际问题、解不含参数的一元二次不等式 【分析】（1）根据题意列出不等式，求解即得； （2）先求出这批单车的日平均运营利润的表达式，利用基本不等式推出即可判断. 【详解】（1）由题意，得，即，解得， 即运营天数的取值范围为 （2）不能，理由如下： 这批单车的日平均运营利润为， 因，则，当且仅当，即时取等. 此时，故这批单车的日平均运营利润不能超过20元. 12．高斯，著名的数学家、物理学家、天文学家、近代数学奠基者之一，享有“数学王子”之称．函数称为高斯函数，其中表示不超过实数的最大整数，如，．若不等式的解集为，求正数的取值范围． 【答案】 【难度】0.62 【知识点】利用不等式求值或取值范围、解含有参数的一元二次不等式、由一元二次不等式的解确定参数 【分析】根据一元二次不等式的求解方法结合的定义列不等式组求解即可. 【详解】可化为， 令，解得或. 因为，则，所以不等式的解为. 当时，可取的整数为-1,0,1,2,3， 因为不等式的解集为，所以，解得.故正数的取值范围是. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $