广西壮族自治区玉林市五校联考2026-2027学年高二上学期10月阶段检测数学试题

《2026年10月高二年级试题》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 8 9 10 11 答案 C B B A A D D AD AC AC 1.C【详解】因为(0,2,4)=2(0,1,2)=2a,所以C选项满足题意： 其他选项不存在λeR，使1a写成该选项的形式，所以其他选项均不满足题意.故选：C 2.B【详解】因为k>0,所以AC错；当x=-1时，y=0,故B对；故选：B 3.C【详解】圆x2+y2-2x+4y+1=0变为标准方程为(x-1)2+(y+2)2=4, 圆心为(1，-2)，半径r=2,所以点P到圆心的距离d=√1-1)2+(-1+2)2=1<2=r, 所以点P在圆内，且不是圆心.故选：C 4.B【详解】如图， oi+B+AC)=0A+x240=0i+A0=00. 2 故选：B 5.A【详解】两直线4：ax+2y-1=0,l:x+(a+I)y-1=0平行， 则9-2(a≠-)，交叉相乘得 1a+1 a(a+1)=2→a2+a-2=0→(a+2)(a-1)=0. 故a=-2或a=1,但两直线不重合，需进一步检验. 当a=1时，4：x+2y-1=0,2:x+2y-1=0,两直线重合，不符合题意： 当a=-2时，1：-2x+2y-1=0,12:x-y-1=0,两直线不重合，且斜率相等，满足平行. 因此a=-2. 6.A【详解】设点M的坐标为M(x,y),因为M点是线段P2的中点， 可得02-2小点0车圆上则2x-广+=4，(+y产-1故：A 01 1 7.D【详解】设∠BPA=O,则sin5= 9元-C,∠BPA=0<恒成立.即地2PCK)则PC>2恒成 3 立。PC最短即为点C到直线U的距离d,则)>2，解得a>2V2或a<-2V2.放选： 8.【详解】解：因为l:x+(m+1)y-2m-2=0,即x+y-2+m(y-2)=0, x+y-2=0 ，解得 x=0 由 y-2=0 y=2 所以直线I过定点A(0,2): 同理可得直线I过定点B(2,0): 又因为1×(m+I)+(-I)×(m+I)=0,所以l⊥2，即有PA⊥PB,所以PAP+|PBP-ABP=8, 所以|PA+|PBKV2(PAP+|PB)=4,当且仅当|PAHPB=2时，取等号. 所以IPA+|PBI的最大值为4. 故选：D. 9.AD【详解】对于A,过点B(-2,0),且与x轴垂直，则直线的方程为x=-2,即x+2=0,故A正确： 对于B,斜率是-4，在y轴上的截距为7，所以直线的方程为y=-4x+7,故B不正确： 对于C,经过两点A(-1,8),B(4,-2),则直线的斜率为k-8-(-2)-2, -1-4 所以直线的方程为y-(-2)=-2(x-4),即2x+y-6=0,故C不正确： 对于D,在y轴上的截距是2，且与x轴平行，则直线的方程为：y=2,故D正确.故选：AD 答案第1页（共6页） 10.AC【详解】若方程x2+y2+2-2ay=0表示的圆，则其标准方程为(x+a)}+(y-a=2a2, 所以，2a>0,可得a≠0，圆心为C(-a,a),半径为r=2d,对于A选项，圆心C(-a,a)在直线y=-x 上，A对；对于B选项，因为a≠0，所以，圆心不可能在x轴上，B错：对于C选项，因为(0+a)+(0-a}=2a2, 则该圆过原点，C对：对于D选项，该圆的半径为r=V2a,D错故选：AC 11.AC【详解】以A为坐标原点，分别以AB,AD,A4所在直线为x,y,z轴，建立空间直角坐标系 则A0,0,0),B(4,0,0),C(4,4,0),D(0,4,0),A(0,0,4),B(4,0,4), D P C1(4,4,4),D(04,4),P(0,2,4). 对于A项，设M(m,0,0),其中0<m<4. 则PM=（m,-2,-4),BD=（-4,4,4): 若两直线平行，则存在实数2，使（m,-2,-4)=(-4,4,4).由-2=42得 DL- 人=2而由4=4以得A=-1山，矛后，故两直线不平行 再判断两直线是否相交 设AP+sPM=AB+tBD,即（sm,2-2s,4-4s)=(4-4L,4L,41). 由第三个坐标得1=1-3，代入第二个坐标得2-2s=4-4s,所以s=1,t=0 再由第一个坐标得m=4,这与0<m<4矛盾.因此PM与BD不相交且不平行， 所以它们一定是异面直线，A项正确. 对于B项，当M是AB的中点时，M(2,0,O) 此时BM=（-2,0,-4).平面ABP内有两个不共线向量AB,=（4,0,4)，AP=(0,2,4): 设平面ABP的法向量为n=(x,y,z),则 n·AB=0,n.AP=0 即4x+4z=0,2y+4z=0 解得x=-2,y=-2z 取z=1,得平面AB,P的一个法向量为n=（-1,-2,1), 设直线B,M与平面AB,P所成角为O: 则sin0= BM.n 1(-2,0,-4)(-1,-2,10川 2-42 1 BM1V-2y2+02+(-42.V-1)2+(-2)2+1P√20V62W56V30 因为高华麻似上达说 对于C项，设三棱锥P-AAB的外接球球心为O(x,y,z) 由OA=OA得z=2,由OA=OB得x=2,再由OA=OP得y=1,故O(2,l,2). 平面ABP中，AB=(4,0,4),AP=(0,2,4), 所以平面ABP的一个法向量可取方=（-1，-2,1)，又A0=(2,1,2), 因此球心O到平面ABP的距离为d= 40-2-2+2_2_V6 可+4v6,c项正确 对于D项，设N(x,y,4),其中0<x<4,0<y<4 由BN/1平面AB,P,得BN=（x-4,y,4)与平面ABP的法向量（-1，-2,1)垂直， 所以-(x-4)-2y+4=0,即x+2y=8 4 √5 苦直线CC与BN所成角的余弦值为3，则 x-4+旷+16 3,于是(x-4+y2=32 将x=8-2y代入，得5y2-16y-16=0,解得y=4或y=5 4 其中y=4对应x=0,在正方形边界上： 答案第2页（共6页） y=号不符合0<y<4,因此在题设条件下该余弦值不可能取到，D项错误 12.牙【详解】解：：直线1的方程为y=x+1,设其倾斜角为a, 则其斜率k=ma=1,:ae0,小.a-牙故答案为：子 13.i西【详解1因为问=6=22a与6的夹角为120，所以-3a5=1x3xcas2w=多 所以pá-=4-46-6+=4-4×（引9=19，故2a-小=19放答案为：9 14.)5【详解1曲线C:+户=2+2， 当x20,y≥0时，曲线C的方程可化为(x-1)2+y-1)2=2, 当x≤0，y≥0时，曲线C的方程可化为(x+1)+(y-1)2=2, 当x≥0，y≤0时，曲线C的方程可化为(x-1)2+(y+1)2=2, 当x≤0，y≤0时，曲线C的方程可化为(x+)2+(y+1)=2, 作出曲线如图： 则曲线C上任意点T(化y)到直线4x+3y-18=0的距离d-4x+3y-18 结合曲线的对称性，只需考虑x≥0，y≥0时的情况：当x≥0，y≥0时，曲线C的方程为(x-1)+y-)2=2, 曲线为圆心为(，)，半径为V2的圆的一部分，且(，)到直线4x+3y-18=0的距离为4+3-18_ 5 由圆的性质得尚线C上一点到直线4红+3y-18=0的距装最小为}-、反放答案为：号2 15.(1)x+y-2=0(2)x-y=0(3)(1,1) 【详解1（直线BC的剂率c= =-1,…2分 故直线BC的方程为y=-(x-2),化简得x+y-2=0.…4分 （2)因为直线I与直线BC垂直，故k,·kc=-1…6分 所以k,=1，,…8分 直线I的方程为y-1=x-1,化简得x-y=0.…9分 (3)联立 x+y-2=0 x-y=0 …11分 x=1 解得 y=1即)， 所以直线BC与直线1交点的坐标为(1,1)…13分 16.1)BD=+c-a,V2(2 6 【详解】(1)记AB=a,AD=b,A4=c, 则回=--l,(a=6,d=(6,a)=60, a-b-b.c-c-a-z …2分 答案第3页（共6页） BD=BA+BC+BB=-AB+AD+AA=i+c-a,…4分 BD2=6+c-a=a++e2+26.c-2c-a-2a-6=1+1+1+1-1-1=2,…6分 BD=√2，即BD,的长为√2；…8分 (2)AC=a+6,故4C=0+2a-6+6-1+1+1=3, 故AC=V3,…I0分 由(1)知BD=b+c-a,BD=V2 BDAC=(B+c-a)(a+b)-B.a+B+a.c+B.c-@-a-b =6+a-c+6-c-d=1++-1=1,…13分 22 ÷cos(BD,4C） BD·AC1√6 BD AC2×V56· 。…15分 17.(1)A(-2,2),B(12,0),AB=10W2(2)(x-6}2+y-82=100 (3)轮船会进入安全预警区，在安全预警区内会行驶)小时 【详解】(1)由题意知：OA=22,OB=12,A0B=135, ∴.A(-2,2),B(12,0）小…2分 AB=V(-2-12)}+(2-0=102.…4分 (2)设经过O,A,B三点的圆的方程为：x2+y2+Dx+Ey+F=0(D+E2-4F>0), 「F=0 {4+4-2D+2E+F=0,…5分 144+12D+F=0 [D=-12 解得： E=-16,…7分 F=0 .所求圆的一般方程为：x2+y2-12x-16y=0, 则经过O,A,B三点的圆的标准方程为：（x-6)+(y-8)=100.…9分 C (3)由题意知：C(0,-10),则轮船航向所在直线方程为：y=x-10,即x-y-10=0, 由(2)知：经过0，A,B三点的圆的圆心为(6,8)，半径r=10,…10分 圆心6,8)到直线-y-10=0的距离d-6-810-6N2<10,12分 2 “直线x-y-10=0与圆(x-6)}+(y-8)}2=100相交，即轮船会进入安全预警区；…13分 设直线与圆的交点为E,F,则EF=22-d2=2V100-72=47,…14分 则轮船在安全预警区内会行驶45=号小时.…15分 8V72 18.(4)证明见解析(226)y6 6 【详解】(I)如图，连接AC,交BD于点F,连接EF,…1分 由题意可知E,F分别为PC,AC的中点，故PA/1EF,…2分 又EFC平面BDE,PAC平面BDE,所以PAII平面BDE,…4分 (2)因为PD⊥平面ABCD,CD,BCC平面ABCD,所以PD⊥CD,PD⊥BC.…5分 又PD=CD=2,E为PC的中点，所以DE=√2，且DE⊥PC.…6分 又BC⊥CD,PD⊥BC,PDOCD=D,PD,CDC平面PCD, 所以BC⊥平面PCD.…7分 又DEc平面PCD,所以BC⊥DE. 答案第4页（共6页） 又DE⊥PC,且PCOBC=C,PC,BCC平面PBC,所以DE⊥平面PBC,…9分 所以点D到平面PBC的距离等于线段DE的长，即点D到平面PBC的距离为√2.…I0分 (3)以D为坐标原点，DA,DC,DP所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，…11分 则D(0,0,0),A(1,0,0),P(0,0,2),E(0,1,1),B(1,2,0), DE=(0,1,1),DB=(1,2,0),PA=(1,0,-2),AB=(0,2,0), 设i=(x,y,z)是平面BDE的一个法向量， 历-D呢=y+2=0.i=(2,-1）.13分 则 nDB=x+2y=0 设m=（x,y,z)是平面PAB的一个法向量， m.AB=2y=0 则 m=(2,0,1).…15分 mPA=x-2z=0 设平面BDE与平面PAB的夹角为O, 网网V30=6,sin0=-cos'a= m530 则cos0= 6 所以平面BDE与平面PAB夹角的正弦值为Y6.17分 6 19.(1)证明：连接OD,OC,OT,如图所示；OD为△PAB的中位线，则OD/PA, 而PAc平面PAT,OD丈平面PAT,得OD∥平面PAT,…1分 由AB是圆锥底面圆的直径，T是圆O上的动点（异于点A,B),C是劣弧TB的中点， 得∠BHTB0T=∠BOC,得0CM,面Arc平面PAT,0Cz平面PAT,得oCW平面PAT, 又OC∩OD=O,OC,ODc平面OCD,得平面OCD∥平面PAT, 而CDc平面OCD,得CD∥平面PAT,…3分 (2)若AT=TC=CB,则∠AOT=∠TOC=∠COB=60°， 因为PO⊥圆锥底面，AB在圆锥底面内，所以PO⊥AB, 以O为原点，分别以OB,OP所在直线为y,z轴，过O垂直于AB的直线为x轴，建立空间直角坐标系Oxz, 如图所示：不妨设0A=0P=2,则B(0,2,0,T(V3,-1,0,P(0,0,2,A(0,-2,0), 得BT=(3,-3,0,AP=(0,2,2),AT=51,0）,…4分 设平面PAT的法向量为n=（x,y,z), n.AP=2y+2z=0 .AT=3x+y=0' 令x=1,得i=1,-3,3, …6分 B 设直线BT与平面PAT所成角为B,则 BT.n43 sin B=cos(BT,n)= 2W7 B7问2W3×V万-7，故直线B7与平面PAT所成角的正弦值为2万 8分 (3)以O为原点，分别以OB,OP所在直线为y,z轴，过O垂直于AB的直线为x轴，建立空间直角坐标 答案第5页（共6页） 系Oz,如图所示：不妨设OA=OP=2,则点T在圆O:x2+y2=4上运动， 设r2easa2na0.0sa<2x且a+且a+受，而BQ2.0,P002A40-20). 则PT=(2cosa,2sina,-2),AP=(0,2,2),BP=(0,-2,2),…9分 m,·AP=2y+2z=0 设平面APT的法向量为m=(x,,z),得 mPT=2x cosa+2y sina-2z=0 令乙1=cosa,得m=(1+sina,-cosa,cosa）,…l1分 m,·BP=-2y2+2z2=0 设平面BPT的法向量为m2=(x2,y2,2),得 mPT=2x cosa+2y,sin a-2z2=0 令z2=cosa,得m2=(1-sina,cosa,cosa),…l3分 因为平面APT和平面BPT的夹角为O, m·m2 1-sin'a B 则cos0=cos(m,m儿 m-m2 (1+sina)+2cosa.(1-sina)'+2cosa 1-sin2a 1-sin2a 1-sin2a V3-sin2a+2sina.3-sin2a-2sin a 3-sin'a)-4sin'a /sin'a-10sin'+5 令t=1-sin2a,则sin2a=1-t,则0≤1-t<1,即0<t≤1， 则cos0 V0-)}-101-)+9P+88 …16分 由0<1<1，得之1，则当=1时，即sina=0时，os8取得最大值为写17分 答案第6页（共6页）2026年10月高二年级试题 数学 (本卷满分150分，考试时间120分钟) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上 2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其他答案标号 3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案写在答题卡规定的位置上 4.所有题目必须在答题卡上作答，在试卷上答题无效 第I卷（选择题） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题意的.） 1.下列向量中与d=(0,1,2)共线的是() A.(1,0,2) B.(1,2,3) C.(0,2,4) D.(0,2,-1) 2.直线y=k(x+)(k>0)可能是() 3.点P(1,-1)与圆x2+y2-2x+4y+1=0的位置关系是( A.点P在圆上 B.点P在圆外 C.点P在圆内且不是圆心 D.点P在圆内且是圆心 4.已知四面体OABC中，D是BC的中点，则OA+(AB+AC)=() A.AD B.OD C.BD D.DO 5.己知两条不重合的直线l:x+2y-1=0和l2:x+(a+1)y-1=0,a∈R,若l1∥l2,则a的 值为() A.-2 B.-2或1 C.1 D.-1或2 试卷第1页（共4页） 6.点P(1,0),点9是圆x2+y2=4上的一个动点，则线段P9的中点M的轨迹方程是( a(-+=l +=4 c.y- 7.已知动点P在直线：x-y=0上，过P总能作圆C:(x-a)+y2=1的两条切线，切点为 A,B,且∠BPA<T恒成立， 则a的取值范围是() A.（-4,0U(0,4) B.（-0,-4)U(4,+∞) c.（-22,0U(0,22) D.（-o,-22U(22+∞) 8.直线l:x+(m+l)y-2m-2=0与直线2：(m+1)x-y-2m-2=0相交于点P,对任意 实数m,直线4,2分别恒过定点A,B,则|PA+|PB的最大值为() A.2 B.2√2 C.42 D.4 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题意的.) 9.下列命题正确的是() A.经过点B(-2,0),且与x轴垂直的直线方程是x+2=0 B.斜率是4，在y轴上的截距是7的直线方程是y=-4x-7 C.经过A(-1,8),B(4,-2)两点的直线方程是x+2y-6=0 D.在y轴上的截距是2，且与x轴平行的直线方程是y=2 10.关于方程x2+y2+2-2y=0表示的圆，下列叙述中正确的是() A.圆心在直线y=-x上 B.其圆心在x轴上 C.过原点 D.半径为V2a 11.在棱长为4的正方体ABCD-AB,CD中，点P为AD,的中点，动点M在线段AB (不含端点)上，动点N在正方形A,B,CD内（不含边界），则下列结论正确的有() A,直线PM与直线BD一定是异面直线 D B.当M是AB中点时，BM与平面ABP所成角的正弦值为2 P B C.三棱锥P-4AB外接球球心到平面ABP的距离为V6 D.若BN1/平面AB,P,则直线CC与BN所成角的余弦值可能是3 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.) 12.已知直线1的方程为y=x+1,则该直线1的倾斜角为 13.己知d=1,6=(1,2,-2),ā与6的夹角为120，则2a-b= 试卷第2页（共4页） 14.数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念、公式符 号、推理论证、思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美在平面直角坐标 系中，曲线C:x2+y2=2x+2y就是一条形状优美的曲线，则曲线C上任意一点到直 线4x+3y-18=0的最小距离为 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15.（13分)在平面直角坐标系xOy中，点AL,1),B(-1,3),C(2,0) (1)求直线BC的方程； (2)求过点A与直线BC垂直的直线I的方程； (3)求直线BC与直线1交点的坐标 16.(15分)如图所示，四棱柱ABCD-ABCD中，底面为平行四边形，以顶点A为端点 的三条棱长都为1，且两两夹角为60°.设AB=a,AD=b,A4=C. D (I)用{a,b,c为基底表示向量BD,并求BD,的长； (2)求cos(BD,AC)的值. A 17.(15分)为了保证我国东海油气田海域海上平台的生产安全，海事部门在某平台O的北 偏西45°方向2√2km处设立观测点A,在平台O的正东方向12km处设立观测点B,规定 经过O,A,B三点的圆以及其内部区域为安全预警区如图所示：以O为坐标原点，O的 正东方向为x轴正方向，建立平面直角坐标系 (1)试写出A,B的坐标，并求两个观测点A,B之间的距离： (2)试求经过O,A,B三点的圆的标准方程： (3)某日经观测发现，在该平台O正南方向10km的C处，有一艘轮船正以每小时8√7km 的速度沿北偏东45°方向行驶，如果航向不变，该轮船是否会进入安全预警区？如果 不进入，请说明理由；如果进入，则它在安全预警区内会行驶多长时间？ 试卷第3页（共4页） 18.(17分)如图，已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是矩形，侧棱PD⊥底面ABCD, PD=DC=2,AD=1,E是PC的中点. (I)证明：PA/I平面BDE; (2)求点D到平面PBC的距离： (3)求平面BDE与平面PAB夹角的正弦值. 19.(17分)如图，在圆锥PO中，P是圆锥的顶点，O是圆锥底面圆的圆心，AB是圆锥底 面圆的直径，OA=OP,T是圆O上的动点（异于点A,B),C是劣弧TB的中点，D是 BP的中点 (1)证明：CD∥平面APT: (2)若AT=TC=CB,求直线BT与平面PAT所成角的正弦值； (3)若平面APT和平面BPT的夹角为O,求cos0的最大值， 试卷第4页（共4页）