精品解析：广西壮族自治区玉林市五校联考2025-2026学年高二上学期9月月考数学试题

2025年9月高二五校联考试题（数学） 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每个小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 已知向量，，若与共线，则（ ） A. 12 B. 9 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由空间向量共线的充要条件列式求得，，即得. 【详解】由向量，共线， 故存在，使得，即， 解得，，所以． 故选：C． 2. 已知直线与垂直，则实数的值为（ ） A. 2 B. -2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】对分类讨论，利用相互垂直的直线的斜率之间的关系即可求解. 【详解】当时，得，此时与不垂直； 当时，若，则，解得. 故选：A. 3. 过点的直线与轴､轴分别交于两点，且恰好是的中点，则的斜率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用中点坐标公式可求得坐标，由两点连线斜率公式可求得结果. 【详解】设，，则，解得：，，， . 故选：D. 4. 已知四棱锥的底面为正方形，平面，，点是的中点，则点到直线的距离是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用坐标法，根据点到直线的距离的向量求法即得. 【详解】如图建立空间直角坐标系，则， 所以， 所以， 所以点到直线的距离是. 故选：D. 5. 直线过点，且与以为端点的线段有公共点，则直线的斜率范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分别计算直线过点A，B的斜率，数形结合，即得解 【详解】 当直线过点B时，设直线的斜率为，则 当直线过点A时，设直线的斜率为，则 故要使直线过点，且与以，为端点的线段有公共点， 则直线的斜率的取值范围为：或. 故选：B. 6. 若点到直线的距离相等，则实数的值为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】利用点到直线的距离公式得到方程，解得即可. 【详解】点到直线的距离公式得，解得或． 故选：C 7. 如图，在正方体中，点M，N分别是，的中点，则下述结论中正确的个数为（ ） ①∥平面； ②平面平面； ③直线与所成的角为； ④直线与平面所成的角为． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用法向量的性质，结合空间向量夹角公式逐一判断即可. 【详解】建立如下图所示的空间直角坐标系，设该正方体的棱长为， ， 由正方体的性质可知：平面，则平面的法向量为， ，因为，所以，而平面， 因此∥平面，故①对； 设平面的法向量为，，， 所以有， 同理可求出平面的法向量， 因为，所以，因此平面平面，故②正确； 因为，， 所以， 因为异面直线所成的角范围为，所以直线与所成的角为，故③正确； 设直线与平面所成的角为， 因为，平面的法向量为， 所以， 所以直线与平面所成的角不是，因此④错误， 一共有个结论正确， 故选：C 8. 在如图所示的试验装置中，两个正方形框架的边长都是3，且它们所在的平面互相垂直.活动弹子M，N分别在正方形对角线AC和BF上移动，则MN的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，证明两两垂直，再建立空间直角坐标系，利用点到平面距离的向量求法求出最小值. 【详解】由正方形，得，而平面平面，平面， 得平面，又四边形是正方形，则直线两两垂直， 以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， ，， 设与都垂直的向量，则，令，得， 所以的最小值为. 故选：B 【点睛】思路点睛：求两条异面直线上两点间距离最小值，可以利用空间向量求出两条异面直线的公共法向量，再求投影长即可. 二、多选题（本大题共3小题，每题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对6分，部分选对得部分分，有错选的得0分） 9. 已知直线：，直线：，则（ ） A. 当时，与的交点是 B. 直线与都恒过 C. 若，则 D. ，使得 【答案】ABC 【解析】 【分析】将代入，联立两直线方程即可求得交点，则A可解；由直线过定点问题可求B；由直线垂直的条件可判断C；由直线平行的条件可判断D. 【详解】对于A，当时，直线，直线， 联立，解得， 所以两直线的交点为，故A正确； 对于B，将点代入的方程，两方程对任意参数都成立，所以直线与都恒过，故B正确； 对于C：若，则，解得，故C正确； 对于D，假设存在，使，则， 解得或， 当，，，两直线重合，舍去， 当时，，即， ，即，两直线重合，舍去， 所以不存在，使，故D错误. 故选：ABC. 10. 下列命题中正确的是（ ） A. 若是空间任意四点，则有 B. 若直线的方向向量与平面的法向量的夹角等于，则直线与平面所成的角等于 C. 已知是空间的一个基底，则也是空间的一个基底 D. 已知为坐标原点，向量，，，则点不能构成三角形 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据空间向量加法的运算法则，线面角的定义，结合空间向量基底的性质、向量共线的意义可逐项判断即可. 【详解】对于A，由向量加法的三角形法则得，故A正确； 对于B，注意线面角的范围是，因为直线的方向向量与平面的法向量的夹角为， 所以直线与平面所成的角为； 与两向量夹角的差为，即，故B错误； 对于C，假设不是空间一个基底， 那么存在实数使得成立． 因为是空间的一个基底，所以，该方程组没有实数解， 因此假设不成立，所以也是空间的一个基底, 故C正确； 对于D，由题意得，，则共线， 故点不能构成三角形，故D正确． 故选：ACD. 11. 如图，平行六面体中，，，与交于点，则下列说法不正确的有（    ） A. 直线直线 B. 若，则平面 C. D. 若，则A1A与AC夹角的余弦值为 【答案】CD 【解析】 【分析】A选项，根据空间向量计算出，得到，A正确；B选项，作出辅助线，证明出平面，得到，根据得到为直角三角形，即，结合，证明出线面垂直；C选项，根据空间向量基本定理得到；D选项，利用空间向量计算出，从而得到. 【详解】对于A，因为，， 所以，， 所以， 因为，所以， 所以，所以，A正确， 对于B，连接， 由选项A知， 因为在平行四边形中，，所以四边形为菱形， 所以， 因为，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 因为，，所以， 所以，由于， 所以， 所以为直角三角形，即，因为，所以， 因为，平面，所以平面， 所以B正确， 对于C，因为四边形为平行四边形，所以为的中点， 所以，所以，所以C错误， 对于D，设，，因为在菱形中，， 所以， 因为， 所以 ， 所以，所以D错误， 故选：CD. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知，，且，则 ________________ ． 【答案】 【解析】 【分析】直接利用向量垂直的充要条件可求出的值，进而可求出的坐标，结合空间向量的模长公式可求出的值. 【详解】因为，，且， 所以，解得. 故，所以，故． 故答案为：． 13. 若直线与直线之间的距离为，则实数的值为________； 【答案】或 【解析】 【分析】根据给定条件，利用平行线间距离公式列式求出值. 【详解】直线，即与直线之间的距离为， 则，解得或，经验证，符合题意， 所以实数的值为或. 故答案为：或 14. 如图，已知四棱柱的底面为平行四边形，为棱的中点，，，与平面交于点，则________. 【答案】 【解析】 【分析】设，其中，用、、表示向量、、，利用共面向量的基本定理可知存在、使得，由空间向量基本定理可得出关于、、的方程组，即可解得实数的方程组，即可解得实数的值. 【详解】设，其中， ， ，， 因为、、、四点共线，则向量、、共面， 由共面向量定理可知，存在、使得， 即 ， 所以，，解得. 故答案为：. 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或验算步骤） 15. （1）已知的三个顶点分别为，求： ①边上的中线所在直线的方程； ②边上的高所在直线的方程． （2）已知直线经过点，若在两坐标轴上的截距互为相反数，求直线的方程. 【答案】（1）①；②；（2）或. 【解析】 【分析】（1）①解法1，由两点式可得；解法2，由点斜式可得；②由垂直关系得斜率，由点斜式求方程； （2）对截距是否为0进行讨论，并用待定系数法求方程. 【详解】（1）①解法1：线段的中点， 由两点式得所在直线方程为，即. 解法2：线段的中点， 直线的斜率， 所以所在直线方程为，即． ②直线的斜率，， 所以边上的高所在直线方程为，即. （2）当截距为时，设直线方程为， 因为直线过点，则，解得，所以直线方程为； 当截距互为相反数且不为时，设直线方程为， 因为直线过点，则代入直线方程得，，则直线方程为． 所以直线方程为或. 16. 如图，已知棱长为1的正四面体，，分别是，的中点． （1）用表示向量，并求的模长； （2）求与所成角的余弦值． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）利用向量的三角形法则即可表示出向量，两边同时平方即可求得结果. （2）利用空间向量夹角的计算公式即可求得结果. 【小问1详解】 ， ，所以 【小问2详解】 设为异面直线与所成的角， ，所以异面直线与所成的角. 17. 已知直线的方程为． （1）证明：直线过定点，并求定点到直线的距离； （2）当为何值时，点到直线的距离最大？最大距离是多少？ 【答案】（1）证明：将直线的方程整理得， 令，解得所以直线恒过点． 则定点到直线的距离为． （2）， 【解析】 【分析】（1）将直线的方程整理得，令，解出即可定点，由点到直线的距离公式即可求解； （2）由（1）可得直线过定点，设定点为，当时，点到直线的距离最大，且最大距离，由两点间的距离公式即可求最大距离，又由斜率公式即可求. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可得直线过定点，设定点为． 当时，点到直线的距离最大，且最大距离， 即点到直线的最大距离为． 此时，而直线的斜率， 所以，解得． 18. 如图，在四棱柱中，平面，，．分别为的中点， （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角余弦值； （3）求点到平面的距离． 【答案】（1） 取中点，连接，， 由是的中点，故，且， 由是的中点，故，且， 则有、， 故四边形是平行四边形，故， 又平面，平面， 故平面； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）取中点，连接，，借助中位线的性质与平行四边形性质定理可得，结合线面平行判定定理即可得证； （2）建立适当空间直角坐标系，计算两平面的空间向量，再利用空间向量夹角公式计算即可得解； （3）借助空间中点到平面的距离公式计算即可得解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以为原点建立如图所示空间直角坐标系， 有、、、、、， 则有、、， 设平面与平面的法向量分别为、， 则有，， 分别取，则有、、，， 即、， 则， 故平面与平面的夹角余弦值为； 【小问3详解】 由，平面的法向量为， 则有， 即点到平面的距离为. 19. 在四棱锥中，底面是边长为的正方形，平面为中点. （1）如果与平面所成的线面角为，求证：平面. （2）当与平面所成角的正弦值最大时，求三棱锥的体积. 【答案】（1） 证明：平面，平面， 为与平面平面所成的线面角，， ∵与平面所成的线面角为， ， ∵为的中点，， ∵底面是边长为的正方形，即， ∵平面， 平面， 又∵平面，∴， ∵平面， 平面. （2） 【解析】 【分析】（1）由题知，进而证明，即可证明结论； （2）根据题意，建立空间直角坐标系，设，进而利用坐标法求解线面角得，在计算体积即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立如图空间直角坐标系， 设，则， ， 设平面的法向量为， 则，即， ，取，得， 与平面所成角的正弦值为 ， 当且仅当，即时等号成立. ， 三棱锥的体积. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年9月高二五校联考试题（数学） 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每个小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 已知向量，，若与共线，则（ ） A. 12 B. 9 C. D. 2. 已知直线与垂直，则实数的值为（ ） A. 2 B. -2 C. D. 3. 过点的直线与轴､轴分别交于两点，且恰好是的中点，则的斜率为（ ） A. B. C. D. 4. 已知四棱锥的底面为正方形，平面，，点是的中点，则点到直线的距离是（ ） A. B. C. D. 5. 直线过点，且与以为端点的线段有公共点，则直线的斜率范围是（ ） A. B. C. D. 6. 若点到直线的距离相等，则实数的值为（ ） A. B. C. 或 D. 或 7. 如图，在正方体中，点M，N分别是，的中点，则下述结论中正确的个数为（ ） ①∥平面； ②平面平面； ③直线与所成的角为； ④直线与平面所成的角为． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 在如图所示的试验装置中，两个正方形框架的边长都是3，且它们所在的平面互相垂直.活动弹子M，N分别在正方形对角线AC和BF上移动，则MN的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本大题共3小题，每题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对6分，部分选对得部分分，有错选的得0分） 9. 已知直线：，直线：，则（ ） A. 当时，与的交点是 B. 直线与都恒过 C. 若，则 D. ，使得 10. 下列命题中正确的是（ ） A. 若是空间任意四点，则有 B. 若直线的方向向量与平面的法向量的夹角等于，则直线与平面所成的角等于 C. 已知是空间的一个基底，则也是空间的一个基底 D. 已知为坐标原点，向量，，，则点不能构成三角形 11. 如图，平行六面体中，，，与交于点，则下列说法不正确的有（    ） A. 直线直线 B. 若，则平面 C. D. 若，则A1A与AC夹角的余弦值为 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知，，且，则 ________________ ． 13. 若直线与直线之间的距离为，则实数的值为________； 14. 如图，已知四棱柱的底面为平行四边形，为棱的中点，，，与平面交于点，则________. 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或验算步骤） 15. （1）已知的三个顶点分别为，求： ①边上的中线所在直线的方程； ②边上的高所在直线的方程． （2）已知直线经过点，若在两坐标轴上的截距互为相反数，求直线的方程. 16. 如图，已知棱长为1的正四面体，，分别是，的中点． （1）用表示向量，并求的模长； （2）求与所成角的余弦值． 17. 已知直线的方程为． （1）证明：直线过定点，并求定点到直线的距离； （2）当为何值时，点到直线的距离最大？最大距离是多少？ 18. 如图，在四棱柱中，平面，，．分别为的中点， （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角余弦值； （3）求点到平面的距离． 19. 在四棱锥中，底面是边长为的正方形，平面为中点. （1）如果与平面所成的线面角为，求证：平面. （2）当与平面所成角的正弦值最大时，求三棱锥的体积. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $