3.2.1 单调性与最大(小)值(第1课时）课件-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

3.2.1 函数的单调性与最大（小）值（第1课时） 人教A版2019数学 必修第一册 第三章 函数的概念与性质 函数的概念及其表示 函数的基本性质 函数的单调性与最大值 奇偶性 幂函数 幂函数 函数的应用（一） 函数的应用 本章知识框图 函数的概念 函数的表示法 对勾函数与飘带函数 课标要求 借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性、最大 （小）值， 理解它们的作用和实际意义。 结合具体函数，了解奇偶性的概念和几何意义。 结合三角函数，了解周期性的概念和几何意义。 本单元的学习，可以帮助学生建立完整的函数概念，不仅把函数理解为刻画变量之间依赖关系的数学语言和工具，也把函数理解为实数集合之间的对应关系；能用代数运算和函数图象揭示函数的主要性质；在现实问题中，能利用函数构建模型，解决问题。 03 01 02 能用单调性的定义证明函数单调性，并总结归纳出基本步骤，发展逻辑推理、数学运算素养. 通过具体实例，经历函数单调性概念的抽象过程，能准确说出单调递增、单调递减以及增函数、减函数的定义；能用例子说明 “任意”“都有” 等关键词的含义，发展直观想象、数学抽象素养. 课时教学目标 经历从图像直观到代数符号证明的过程，体会数形结合思想，提升逻辑推理能力. 环节一 新课导入 问题1：我们知道:“变化中的不变性就是性质，变化中的规律性也是性质”， 结合已经学习的函数，你认为可以从哪些角度研究函数的性质？ 用什么方法发现函数的性质？ 上一节内容，我们已经学习了用集合的语言，从对应关系说的角度给出函数的定义，知道了刻画了自变量x与函数值y之间的对应关系.这样，我们就可以通过研究函数的变化规律来把握客观世界中事物的变化规律． 随着自变量的增大函数值是增大还是减小 有没有最大值或最小值 函数图象有什么特征 函数图象是直观形象的，通过观察函数图象特征，发现函数的性质 认识客观规律的重要方法 问题2：我们知道，先画出函数图象，通过观察和分析图象的特征，可以得到函 数的一些性质．观察下图中的各个函数图象，你能说说它们分别反映了 相应函数的哪些性质吗？ 环节一 新课导入 图象从左到右是上升的， 且关于原点成中心对称 图象有升有降，有最高点 函数有升有降，有最低点， 且关于y轴对称 环节一 新课导入 函数图象的上升、下降;最高点、最低点;对称性等都是函数性质在图象上的反映.今天我们研究如何用符号语言准确地描述函数图象的上升、下降所反映的性质，这就是函数的单调性,后面的几节课将会研究函数的其他性质. 在初中，我们利用函数图象研究过函数值随自变量的增大而增大 （或减小）的性质，这一性质叫做函数的单调性．但是初中只是对单调性进行了直观描述，“形缺数时难入微”，所以我们要结合函数的解析式，从符号语言的角度表达函数的单调性，下面进一步用符号语言刻画这种性质． 环节二 新课探究 问题3：如图，的图象在y轴左侧部分从左到右是下降的，如 何用数学符号刻画自变量和函数值之间变化的数量关系？ 图象特征： 图象在y轴左侧部分从左到右是下降的 文字语言： 当时， y随x的增大而减小 符号语言： 自变量由增大到，表明， 函数值由减小到，表明 函数在区间上是单调递减的 ,当时，都有 结 论： 蕴含着只要自变量增大了函数值就会减小的含义 任意取 环节二 新课探究 追问：你能说明为什么吗？ 数的逻辑推理视角 环节二 新课探究 图象特征： 图象在y轴右侧部分从左到右是上升的 文字语言： 当时， y随x的增大而增大 符号语言： 函数在区间上是单调递增的 ,当时，都有 结 论： 同理，我们可以研究的图象在y轴右侧部分的情况，并用符号语言刻画其变化规律. 环节二 新课探究 问题4：请你模仿上述过程，说说函数，各有怎样的单调性？ 并用符号语言表达。       图象特征 文字语言 符号语言 结 论 图象在y轴左侧部分从左到右是下降的 图象在y轴右侧部分从左到右是上升的 当时， y随x的增大而减小 当时， y随x的增大而增大 ,当时，都有 ,当时，都有 函数在区间上是单调递减的 函数在区间上是单调递增的 环节二 新课探究 问题4：请你模仿上述过程，说说函数，各有怎样的单调性？ 并用符号语言表达。 图象特征 文字语言 符号语言 结 论 图象在y轴左侧部分从左到右是上升的 图象在y轴右侧部分从左到右是下降的 当时， y随x的增大而增大 当时， y随x的增大而减小 ,当时，都有 ,当时，都有 函数在区间上是单调递增的 函数在区间上是单调递减的       环节二 新课探究 问题5：我们已经用严格的符号语言表达了，的 单调性，观察它们的共同特征，你能给出函数在区间D上单调递增、 单调递减的定义吗？ 单调递增 单调递减 结 论 ,当时，都有 ,当时，都有 ,当时，都有 ,当时，都有 ,当时，都有 ,当时，都有 函数在区间D上 单调递增 函数在区间D上单调递减 设函数的定义域为，区间D ⊆ I 单调递增 单调递减 环节二 新课探究 ,当时， 都有，就称函数在区间D上单调递增 一般地，设函数的定义域为，区间⊆I： ,当时， 都有，就称函数 在区间D上单调递减 特别地，当函数在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数 特别地，当函数在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数 单调递减区间 单调递增区间 单调为函数的局部性质 环节二 新课探究 问题6：设A是区间D上某些自变量的值组成的集合，而且,当时，都 有，我们能说函数在区间D上单调递增吗？你能举例说明吗？ 仅仅是几个自变量甚至无限个自变量满足都不能跟单调性定义中的“ ”中的““任意” 二字的含义划等号 环节二 新课探究 注意：反比例函数的两个单调递减区间要用和或“，”连接，不 能写成并集形式，其他函数也是类似的. 在上单调递减，在上也单调递减， 但在整个定义域内不具备统一的单调性， 所以，反比例函数 不是减函数。 的单调区间： 和 环节二 新课探究 说明： (1)区间D 可以是整个定义域I ，也可以是定义域的真子集． (2)同区间性，即x1，x2∈ D. (3)任意性，即不可以用区间D上的特殊值代替． (4)有序性，即要规定x1，x2的大小． (5)“单调递增(递减)”“x1，x2的大小”“f(x1)与f(x2)的大小”知二求一． (6)单调递增(递减)是函数的局部性质，增(减)函数是函数的整体性质． 环节三 应用新知 例1 环节三 应用新知 例1 环节三 应用新知 用定义证明函数的单调性的步骤: 取值：设，是某个区间上任意两个值，且; 作差：作差; 变形：通过因式分解、通分、配方、有理化等方法，转化为易判断正负的关系式，一般化为积或商的形式 ; 定号：确定 的符号，当符号不确定时，进行分类讨论； 结论：确定函数的增减性. 环节三 应用新知 例2 物理学中的玻意耳定律(为正常数)告诉我们，对于一定量气体，当其体积减小时，压强将增大.试对此用函数的单调性证明. 环节三 应用新知 例3 环节四 新知拓展——函数单调性的概念辨析 例4 正确 正确 错误 错误 【答案】B 环节四 新知拓展——函数单调性的概念辨析 变式训练 ①③⑤ ②④⑥ 环节四 新知拓展——函数的单调区间 【答案】AD 例5 对于区间端点，由于它的函数值是唯一确定的常数，没有增减的变化，所以不存在单调性问题，因此在写单调区间时，可以包括，也可以不包括. 注意：函数在区间端点处无定义时，单调区间就不能包括这些点. 环节四 新知拓展——函数的单调区间 【答案】C 例5 若一个函数出现两个或两个以上的单调性相同的区间，不一定能用“”连接,用“，”或“和” 环节四 新知拓展——函数的单调区间 【答案】B 变式训练 环节四 新知拓展——函数的单调区间 变式训练 环节四 新知拓展——函数单调性比较大小问题 【答案】A 例6 环节四 新知拓展——函数单调性比较大小问题 【答案】A 例6 环节四 新知拓展——函数单调性比较大小问题 变式训练 环节四 新知拓展——函数单调性的参数问题 例7 【答案】D 环节四 新知拓展——函数单调性的参数问题 例7 【答案】A 环节四 新知拓展——函数单调性的参数问题 例7 【答案】B 环节四 新知拓展——函数单调性的参数问题 变式训练 环节四 新知拓展——函数单调性的参数问题 【答案】A 变式训练 环节五 归纳小结 函数单调性的概念 环节六 作业布置 巩固作业： 教科书第85-86页习题3.2第1,2,3,6,8,9题 感谢聆听 分析：根据题意，只要证明函数是减函数即可． 证明：，且，则． 由，得；由，得； 又，于是，即． 所以，根据函数单调性的定义，函数是减函数． 也就是说，当体积减小时，压强将增大． 证明：，且，有 ． 由，得，．所以．又由，得． 于是，即． 所以，函数在区间上单调递增． 下列说法中正确的个数为（   ） ①定义在 上的函数，如果有无穷多个 ，当 时，有 ，那么 在 上为增函数； ②如果函数 在区间 上为减函数，在区间 上也为减函数，那么 在 上就一定是减函数； ③对任意的 ，且 ，当 时， 在 上是减函数； ④对任意的 ，且 ，当 时， 在 上是增函数． A．1 B．2 C．3 D．4 对于任意的 ，给出下列条件： ① ；② ；③ ； ④ ；⑤ ；⑥ . 能判断 在 上为增函数的是______________；为减函数的是_____________. 1.（多选）已知函数 的图象如图所示，则（    ） A． 在区间 上单调递减 B． 在区间 上单调递增 C． 在区间 上单调递减 D． 在区间 上单调递增 2.如图所示的是定义在区间 上的函数 的图象，则下列关于函数 的说法错误的是( ) A.函数在区间 上单调递增 B.函数在区间[1,4]上单调递增 C.函数在区间 上单调递减 D.函数在区间 上没有单调性 1.设定义在 上的函数的图像如图所示，则关于函数 的单调区间表述正确的是（    ） A．在 上单调递减 B．在 上单调递减，在 上单调递增 C．在 上单调递减 D．在 上单调递增 3.已知函数 的图象如图所示，则其单调递减区间是_________________. 4.函数 的单调递减区间是__________,单调递增区间是_________. 2.函数 的单调递减区间是________，单调递增区间是________. 2.已知函数 是定义在 上的减函数，且 ，求 的取值范围. 【详解】∵ 是定义在上的减函数，且 ， ∴ ，解得 .∴ 的取值范围是 . 1.已知函数 是的减函数，则下列各大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 2.已知函数 是定义在 上的减函数，且 ，求 的取值范围. 【详解】∵ 是定义在上的减函数，且 ， ∴ ，解得 .∴ 的取值范围是 . 1.已知函数 是的减函数，则下列各大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 1.已知 在定义域 上是减函数，且 ，则 的取值范围为______ 2.已知函数 对任意 都有 ,且 ， 则实数 的取值范围是_____________ 1.若函数 在上是增函数，则实数 的取值范围是(　　) A． B． C． D． 2.设函数 在区间 上是减函数，则实数 的最大值为 . 3.若函数 在区间 是单调函数，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【详解】根据题意，函数 为二次函数，其对称轴为 ， 若其在 是单调函数，则 或 ，解得： 或 ， 即实数a的取值范围是 . 4.已知函数 在上单调递增，则实数 的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【详解】依题意得， ，解得， 故实数 的取值范围是 ． 4.已知函数 在上单调递增，则实数 的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【详解】由已知条件得函数 在R上是严格单调递减函数， 故 是开口向上的抛物线，其对称轴为 ，即： QUOTE ; 在 上递减的充要条件是系数 ，且 ，整理得 QUOTE , 综合三个条件，得 的取值范围是 . 2.已知 在 上满足 ，则实数 的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【详解】由题意知， 在 上单调递增， 当 时， ，满足题意；当 时， 得 ， 所以 ． 单调递增 单调递减 定义 一般地，设函数 的定义域为 ，区间 ，如果 当 时，都有 __ ____， 那么就称函数 在区间I上单调递增. 当 时，都有___ ____， 那么就称函数 在区间I上单调递减. 图象 描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的. 特别地，当函数 在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数 特别地，当函数 在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数 $