专题09图形变换与坐标变化同步讲义（重点知识梳理+17大核心题型+分层练习）2026-2027学年苏科版八年级数学上册

专题09图形变换与坐标变化同步讲义 ✺知识框架 本节以平面直角坐标系为工具，研究图形变换与点坐标变化的对应关系。 内容包含平移与坐标变化、轴对称与坐标变化两部分；可由图形变换推导坐标变化规律，也可根据坐标变化判断图形变换；运用坐标作出变换后的图形，借助数形结合思想求解简单几何计算问题。 ✺学习目标 1.探究平面直角坐标系中点平移的坐标变化规律，能够根据平移方向、距离写出平移后点的坐标，也可依据平移前后点的坐标，判断平移的方向与平移距离。 2.掌握点关于 x 轴、y 轴对称的坐标特征，能求已知点关于坐标轴的对称点坐标，并利用坐标绘制轴对称图形。 3.认识到图形整体变换等价于图形全部顶点同步进行相同的坐标变换，理解平移、轴对称为全等变换。 4.建立数形结合意识，能够结合坐标求解变换后图形的线段长度、图形面积，解决简单的综合问题。 ✺知识梳理 知识点一、平移变换与坐标变化 平移性质：图形平移仅改变图形位置，形状、大小保持不变；图形上所有点沿同一方向、移动相同距离。 1.点的平移坐标规律：设点(P(x,y)，(a>0,b>0) 向右平移a个单位：坐标P(x,y)⟹ P(x+a,y) 向左平移a个单位：坐标P(x,y)⟹，P(x-a,y) 向上平移b个单位：坐标P(x,y)⟹ P(x,y+b) 向下平移b个单位：，坐标P(x,y)⟹ P(x,y-b) 2.在平面直角坐标系内，把一个图形各个点的横坐标都加上（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a个单位长度。（即：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减。） 图形平移作图：多边形平移，只需求出所有顶点平移后的对应点坐标，顺次连接各对应顶点，即可得到平移后的图形。 平移逆向判定：对比图形对应顶点坐标，横坐标变化量判定左右平移，纵坐标变化量判定上下平移。 知识点二、对称点的坐标特征 关于x轴对称的点的坐标特点： 点P(x,y)关于x轴的对称点坐标(x,-y)；横坐标不变，纵坐标互为相反数。 关于y轴对称的点的坐标特点： 点P(x,y)关于y轴的对称点的坐标是(-x,y)；纵坐标不变，横坐标互为相反数。 关于坐标原点对称特点： 即点P(x,y)关于原点对称的点的坐标是P(﹣x,﹣y)；横、纵坐标互为相反数。 轴对称图形作图：求出多边形各顶点关于坐标轴的对称点坐标，顺次连接对称顶点，得到轴对称图形。 易错提醒 1.图形平移时，全部顶点需同步变换，不可只移动部分顶点。 2.坐标运算规则：向右、向上平移，坐标作加法；向左、向下平移，坐标作减法。 3.对称点坐标区分：关于x轴对称，改变纵坐标符号；关于y轴对称，改变横坐标符号，切勿混淆。 4.平移、轴对称均为全等变换，变换前后对应线段、对应角相等。 ✺题型精讲 题型1. 求点到坐标轴的距离 1．已知直线轴，且，则的长为(        ) A．4 B．5 C．9 D．15 2．在平面直角坐标系中，点，点，若轴，且，则________． 3．在平面直角坐标系中，已知点． (1)若点P在x轴上，求点P的坐标； (2)若点P的纵坐标比横坐标大2，求点P的坐标； (3)若点P到两坐标轴的距离相等，求点P的坐标． 题型2. 坐标系中的平移 1．在方格纸上有A、B两点，若以B点为原点建立平面直角坐标系，则点A的坐标为，若以点A为坐标原点建立平面直角坐标系，则点B的坐标为（   ） A． B． C． D． 2．在平面直角坐标系中，已知点，点，平移线段，使点A，B的对应点C，D均落在坐标轴上，则点C的坐标是________． 3．在数学研究课上，研究小组研究了平面直角坐标系中的特殊线段的长度：在平面直角坐标系中有不重合的两点和点，若，则轴，且线段的长度为，若，则轴，且线段的长度为． 【实践操作】 （1）若点，，则轴，的长度为______； 【拓展应用】 （2）如图，在平面直角坐标系中，，， ①如图1，的面积为______； ②如图2，点D在线段上，将点D沿x轴正方向向右平移3个单位长度至E点，若的面积等于14，求点坐标． 题型3. 求点沿x轴、y轴平移后的坐标 1．在平面直角坐标系中，将点先向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度得到点B，则点B的坐标是（　　） A． B． C． D． 2．将点平移个单位，使其落在轴上，的最小值是_______． 3．中国象棋是我国传统文化中的一部分，体现了古人的智慧，象棋的一个规则是所有棋子最后都要落在网格的格点处．小明是象棋爱好者，在学习了平面直角坐标系后，在如图所示的一半棋盘上建立了一个直角坐标系，这样，“炮”的位置是 (1)请你在图中画出小明建立的直角坐标系，并写出棋子“相”的坐标； (2)棋子“马”走的规则是每步走“日”字形，例如：图中“马”走到“A”处我们可以说成：“马”向上平移1个单位，向右平移2个单位．请回答下列问题： ①“马”可以走到“B”处吗？若可以请写出平移的方法？ ②直接写出点“B”与“炮”所在点之间的线段上任意一点的坐标． 题型4. 由平移方式确定点的坐标 1．在平面直角坐标系中，已知点，，将线段向下平移个单位，再向右平移个单位得到线段，设点为线段上任意一点，则，满足的条件为（     ） A．， B．， C．， D．， 2．如图，第一象限内有两点，，将线段平移使点P落在y轴上，点Q落在x轴上，则点P平移后的对应点的坐标是_______________． 3．如图，三角形的顶点坐标分别为，，．若将三角形向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度得到三角形，其中点，，分别是点，，的对应点． (1)画出三角形； (2)若三角形内有一点经过上述平移后的对应点为，直接写出点的坐标； (3)若点在轴上且三角形的面积为4，直接写出点的坐标． 题型5. 已知点平移前后的坐标，判断平移方式 1．如图，已知点，，若将线段平移至，其中点，．则的值为（     ） A．64 B．16 C．8 D． 2．如图，在平面直角坐标系中，，，平移线段，使点A，B均落在坐标轴上，则点A平移后的对应点的坐标是__________． 3．如图，在平面直角坐标系中，四边形的顶点坐标分别是，，，． (1)请在图中画出四边形； (2)将四边形平移后得到四边形，点的对应点为点，点的对应点分别为点，请在图中画出四边形，并写出点的坐标． 题型6. 已知图形的平移，求点的坐标 1．如图，在平面直角坐标系中，将平移后，点的对应点是点，则点的对应点的坐标为（     ） A． B． C． D． 2．如图，已知点，，将线段平移至的位置，其中点，则点D的坐标为_________． 3．如图，在平面直角坐标系中，三角形中，点的坐标是，点的标是，点的坐标是．将三角形平移后得到三角形，其中点的对应点的坐标为． (1)分别写出点和点的坐标： ， ； (2)在坐标系中画出三角形． 题型7. 已知平移后的坐标求原坐标 1．在平面直角坐标系中，将点向上平移个单位得到点，则点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．在平面直角坐标系中，将线段先向下平移3个单位长度，再向右平移1个单位长度，是线段上一点，点平移后的对应点为，则点的坐标为________． 3．已知点． (1)当，满足怎样的条件时，点在第二象限？ (2)若将点先向下平移个单位长度，再向右平移个单位长度，得到点，求，的值． 题型8. 坐标系中的对称 1．如果点P关于x轴的对称点为，关于y轴的对称点为，则点P的坐标为（   ） A． B． C． D． 2．在平面直角坐标系中，点关于对称的点的坐标是______． 3．如图，解答下列问题： (1)写出A_______，B_______，C_____三点的坐标； (2)若各顶点的横坐标不变，纵坐标都乘，请你在同一坐标系中描出对应的点，并依次连接这三个点． (3)已知P为x轴上一点，若的面积是的面积的4倍，则_____，此时点P的坐标______． 题型9. 坐标与图形变化——轴对称 1．如图，与关于y轴对称．如果中的任意一点M的坐标为，它的对应点N的坐标是（   ） A． B． C． D． 2．已知点与点关于x轴对称，求______． 3．如下图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别是，，． (1)将向上平移4个单位长度得到，请画出． (2)请画出与关于轴对称的． (3)请写出点，的坐标． 题型10. 坐标系中的旋转 1．如图，在平面直角坐标系中，点在第一象限，点到轴的距离为4，，点为轴上一点，且．将绕点顺时针旋转，每秒旋转，则第79秒时点的坐标为（   ） A．B． C． D． 2．如图，在平面直角坐标系中，点，点，点C、D分别在y轴正半轴和x轴负半轴上，，将绕O点顺时针旋转一周，当与平行时，点C的坐标为__________． 3．在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立如图所示的平面直角坐标系，已知格点（顶点为网格线的交点）． (1)将绕点旋转得到，作出； (2)将向上平移4个单位得到，作出； (3)已知是内一点，其坐标为，经过上面两次位置变换后，写出中的对应点的坐标． 题型11. 求关于原点对称的点的坐标 1．点关于原点对称点的坐标是（     ） A． B． C． D． 2．点与点B关于原点对称，则点B的坐标是________． 3．如图所示，在平面直角坐标系中，已知、、． (1)若点与点关于原点对称，则点的坐标为_____ (2)是否是直角三角形？_____（填“是”或“否”）； (3)仅用无刻度直尺在轴上找一点，使得射线平分． 题型12. 已知两点关于原点对称求参数 1．点与点关于原点对称，则a，b的值分别为（） A．，6 B．1， C．， D．1，6 2．在平面直角坐标系中，已知点与点关于原点对称，则的值为______． 3．在平面直角坐标系中，点，点． (1)若点A和点B关于x轴对称，求的值； (2)若点A和点B关于原点对称，求的值． 题型13. 判断两个点是否关于原点对称 1．在平面直角坐标系中，已知点和点，则A、两点（  ） A．关于轴对称 B．关于轴对称 C．关于原点对称 D．关于直线对称 2．在平面直角坐标系中，点与点是关于某点成中点对称的两点，则对称中心的坐标为___________ 3．在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，格点三角形ABC（顶点是网格线的交点的三角形）的顶点，的坐标分别为，． (1)请在如图所示的网格平面内作出平面直角坐标系； (2)请作出关于轴对称的并写出点的坐标； (3)将每个顶点的横坐标保持不变，纵坐标分别乘，顺次连接这些点，会得到一个新图案，这个新图案与有怎样的位置关系？ 题型14. 中点坐标 1．在探究平面图形的重心时发现：把一个平面图形分割成甲乙两部分，若甲．乙两部分的面积分别为，建立平面直角坐标系，重心分别为，原图形的重心坐标为，则有，如图，若，，以点B为坐标原点，所在直线为x轴，“1”为一个单位长度，建立平面直角坐标系，则此“L”形的重心坐标为（     ） A． B． C． D． 2．在平面直角坐标系中，若，，点为平面内一点，且的中点在轴上，的中点在轴上，则的长度为______． 3．【综合与实践】确定组合图形匀质薄板的重心位置． 我们已发现：平行四边形匀质薄板的重心在两条对角线的交点处． 通过实验操作，得出结论：若一个平面图形组合图形匀质薄板的重心坐标为，面积为S，被分成n部分匀质薄板的重心坐标分别为，，…，，面积分别为，，…，，则，． 如图1①，“L”形匀质薄板中，，，，，确定该薄板的重心位置的步骤： ①先求出该薄板的面积； ②将该薄板分为两个长方形薄板Ⅰ，Ⅱ，以B为原点，以1为单位长度建立平面直角坐标系（如图1②）； ③确定长方形薄板Ⅰ的重心为，面积；长方形薄板Ⅱ的重心为，面积； ④求出，，得到该匀质薄板的重心坐标为． 【解决问题】 (1)如图2，正方形中，，直接写出正方形的重心坐标； (2)如图3，多边形中，，，，请以C点为原点，1为单位长度建立平面直角坐标系，并求出多边形的重心坐标． 题型15. 坐标系中的动点问题（不含函数） 1．在平面直角坐标系中，轴，，且，则点B的坐标为（     ） A． B．或 C． D．或 2．在平面直角坐标系中，若点，点，点在轴上，且三角形的面积为，则点的坐标为____________． 3．在平面直角坐标系中，对于两点给出如下定义：点到轴的距离中的最大值等于点到轴的距离中的最大值，则称两点为“等距点”．如点与两点即为等距点． (1)已知点的坐标为． ①点中，与点为“等距点”的是________； ②若点的坐标为，且两点为“等距点”，求出点的坐标； (2)若点与点两点为“等距点”，在轴上有异于原点的一点，连接．若的面积为，的面积，求的值． 题型16. 点坐标规律探索 1．“冰雹猜想”是一个至今未被完全解决的数学问题，但计算机已经证明了以下的每一个数字都符合这个规律．其内容为：对于任意正整数，若为奇数，则下一步计算；若为偶数，则下一步计算重复以上操作，这组数字最终会进入循环．在平面直角坐标系中，将点中的横坐标和纵坐标分别按照“冰雹猜想”的要求进行2026次运算，得到的点的坐标为（     ） A． B． C． D． 2．如图，小红设置了一个击球小程序，在点处第一次击球到点，第二次击球到点，第三次击球到点，第四次击球到点．按此规律，第次击球到点，则点的坐标为______． 3．在平面直角坐标系中，对于点，若点的坐标为，其中为常数，则称点是点的“级关联点”．例如，点的“级关联点”为点，点的坐标为，即． (1)求点的“级关联点”点的坐标． (2)若点的“级关联点”点在轴上，求点的坐标． 题型17. 用方向角和距离确定物体的位置 1．如图，用方向和距离描述图书馆相对于小青家的位置，下列选项中正确的是（     ） A．北偏东方向，距离小青家 B．北偏东方向，距离小青家 C．东偏北方向 D．东偏北方向，距离小青家 2．如图，描述点的位置：点在点的北偏东_______方向上处． 3．五个小朋友各站在一处做传球游戏，说：“我的位置在．” 说：“我和各站在一个正方形的四个顶点上，并且与相距都是．” 说：“在我的正北方，的正西方，我与相距．”（注：每一个小正方形的对角线长） (1)在图中标出的位置； (2)以所处的位置为观测点，在的（    ）偏（    ）（    ）°方向上，距离是（    ）． ✺分层练习 一、单选题 1．已知点在第二象限，且到两坐标轴的距离相等，则a的值为（     ） A．4 B． C．1 D． 2．在平面直角坐标系中，将点向上平移3个单位长度得到点，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 3．如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，按箭头的方向依次移动，每次移动1个单位长度，得到点，，，……那么点的坐标是（     ） A． B． C． D． 二、填空题 4．点向左平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度所得对应点的坐标是________． 5．如图，雷达探测器在一次探测中发现五个目标．若目标A，B的位置分别记为，则目标的位置记为_______． 6．如图，在中，点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为，点D在平面直角坐标系中，且与全等，则点D的坐标是________________． 三、解答题 7．在平面直角坐标系中，若，满足． (1)直接写出：___________，__________； (2)如图1，，，以A点为顶点、为腰，在第三象限作等腰．求点C的坐标； (3)如图2，P为y轴负半轴上一个动点，当P点在y轴负半轴上向下运动时，若以P为直角顶点，为腰作等腰，当点D在第四象限时，过D作轴于E点，求的数量关系 8．如图，在网格中，三角形的三个顶点均为格点，将三角形进行平移，使得点落在处，点B的对应点为E，点C的对应点为F． (1)画出三角形，那么点F的坐标为________； (2)点为三角形内的任意一点，则平移后点P的对应点的坐标是________； (3)求三角形的面积． 9．探究下列问题： 【模型建立】 (1)如图1，，，过点作于点，过点作于点．由，得．又，可以推理得到．进而得到 ， ． 【问题解决】 (2)如图2，在平面直角坐标系中，已知，，，且，连接．求的度数． 【拓展延伸】 (3)如图3，在（2）的条件下，点坐标为，点在直线上，点在轴上，当为等腰直角三角形，且时，请直接写出点的坐标． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09图形变换与坐标变化同步讲义 ✺知识框架 本节以平面直角坐标系为工具，研究图形变换与点坐标变化的对应关系。 内容包含平移与坐标变化、轴对称与坐标变化两部分；可由图形变换推导坐标变化规律，也可根据坐标变化判断图形变换；运用坐标作出变换后的图形，借助数形结合思想求解简单几何计算问题。 ✺学习目标 1.探究平面直角坐标系中点平移的坐标变化规律，能够根据平移方向、距离写出平移后点的坐标，也可依据平移前后点的坐标，判断平移的方向与平移距离。 2.掌握点关于 x 轴、y 轴对称的坐标特征，能求已知点关于坐标轴的对称点坐标，并利用坐标绘制轴对称图形。 3.认识到图形整体变换等价于图形全部顶点同步进行相同的坐标变换，理解平移、轴对称为全等变换。 4.建立数形结合意识，能够结合坐标求解变换后图形的线段长度、图形面积，解决简单的综合问题。 ✺知识梳理 知识点一、平移变换与坐标变化 平移性质：图形平移仅改变图形位置，形状、大小保持不变；图形上所有点沿同一方向、移动相同距离。 1.点的平移坐标规律：设点(P(x,y)，(a>0,b>0) 向右平移a个单位：坐标P(x,y)⟹ P(x+a,y) 向左平移a个单位：坐标P(x,y)⟹，P(x-a,y) 向上平移b个单位：坐标P(x,y)⟹ P(x,y+b) 向下平移b个单位：，坐标P(x,y)⟹ P(x,y-b) 2.在平面直角坐标系内，把一个图形各个点的横坐标都加上（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a个单位长度。（即：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减。） 图形平移作图：多边形平移，只需求出所有顶点平移后的对应点坐标，顺次连接各对应顶点，即可得到平移后的图形。 平移逆向判定：对比图形对应顶点坐标，横坐标变化量判定左右平移，纵坐标变化量判定上下平移。 知识点二、对称点的坐标特征 关于x轴对称的点的坐标特点： 点P(x,y)关于x轴的对称点坐标(x,-y)；横坐标不变，纵坐标互为相反数。 关于y轴对称的点的坐标特点： 点P(x,y)关于y轴的对称点的坐标是(-x,y)；纵坐标不变，横坐标互为相反数。 关于坐标原点对称特点： 即点P(x,y)关于原点对称的点的坐标是P(﹣x,﹣y)；横、纵坐标互为相反数。 轴对称图形作图：求出多边形各顶点关于坐标轴的对称点坐标，顺次连接对称顶点，得到轴对称图形。 易错提醒 1.图形平移时，全部顶点需同步变换，不可只移动部分顶点。 2.坐标运算规则：向右、向上平移，坐标作加法；向左、向下平移，坐标作减法。 3.对称点坐标区分：关于x轴对称，改变纵坐标符号；关于y轴对称，改变横坐标符号，切勿混淆。 4.平移、轴对称均为全等变换，变换前后对应线段、对应角相等。 ✺题型精讲 题型1. 求点到坐标轴的距离 1．已知直线轴，且，则的长为(        ) A．4 B．5 C．9 D．15 【答案】B 【分析】本题考查了坐标与图形，点到坐标轴的距离．由轴可知点与点的横坐标相等，据此求出的值，再计算纵坐标之差的绝对值即为的长度． 【详解】解：轴， 点与点的横坐标相等， 即， ， ． 此时点的纵坐标为，点的纵坐标为， 的长度为． 故选：B． 2．在平面直角坐标系中，点，点，若轴，且，则________． 【答案】或3/3或 【分析】平行于轴的直线上点的纵坐标相等，两点间距离等于横坐标差的绝对值，根据轴求出的值，再根据求出的所有可能值，最后计算即可． 【详解】解：轴，点，点 点与点的纵坐标相等 解得 整理得 或 解得或 当，时， 当，时， 综上可知，或3 3．在平面直角坐标系中，已知点． (1)若点P在x轴上，求点P的坐标； (2)若点P的纵坐标比横坐标大2，求点P的坐标； (3)若点P到两坐标轴的距离相等，求点P的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）点在x轴上的特征是纵坐标为0，由求m，再代入横坐标表达式得到点P坐标． （2）“纵坐标比横坐标大2”转化为方程，求出m的值，从而确定点P的坐标． （3）点到两坐标轴的距离相等，则横坐标与纵坐标相等或互为相反数，去绝对值时分为相等与互为相反数两种情况，分别求出m的值，确定点P的坐标即可． 【详解】（1）解：因为点在x轴上，在平面直角坐标系中，x轴上的点纵坐标为0， 所以可得， 解得， 将代入横坐标，得， 所以，点P的坐标为． （2）解：已知点P的纵坐标比横坐标大2，则可列出方程： ， 把代入横坐标，可得； 代入纵坐标，可得． 所以，点P的坐标为． （3）解：因为点P到两坐标轴的距离相等，所以， 分两种情况：或， 当时，解得， 此时横坐标，纵坐标， 所以，点P的坐标为． 当时，解得， 此时横坐标，纵坐标， 所以，点P的坐标为， 综上所述，点P的坐标为或． 题型2. 坐标系中的平移 1．在方格纸上有A、B两点，若以B点为原点建立平面直角坐标系，则点A的坐标为，若以点A为坐标原点建立平面直角坐标系，则点B的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平面直角坐标系中原点变换后的坐标规律，先确定点相对于点的位置，再根据相对位置关系求出以为原点时点的坐标即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：在方格纸上有A、B两点，若以B点为原点建立平面直角坐标系，则点A的坐标为，若以点A为坐标原点建立平面直角坐标系，则点B的坐标为， 故选：B． 2．在平面直角坐标系中，已知点，点，平移线段，使点A，B的对应点C，D均落在坐标轴上，则点C的坐标是________． 【答案】或 【分析】设平移后横坐标的变化量为，纵坐标的变化量为，则，，再分两种情况：①当点在轴上，点在轴上时，②当点在轴上，点在轴上时，分别求出的值即可． 【详解】解：设平移后横坐标的变化量为，纵坐标的变化量为， 由题意得：，， ∵，， ∴与轴、轴均不平行， ∴点不可能同时落在轴上，也不可能同时落在轴上， 则分以下两种情况： ①当点在轴上，点在轴上时， 则，， 解得， ∴， ∴此时点的坐标是； ②当点在轴上，点在轴上时， 则，， 解得， ∴， ∴此时点的坐标是； 综上，点的坐标是或． 3．在数学研究课上，研究小组研究了平面直角坐标系中的特殊线段的长度：在平面直角坐标系中有不重合的两点和点，若，则轴，且线段的长度为，若，则轴，且线段的长度为． 【实践操作】 （1）若点，，则轴，的长度为______； 【拓展应用】 （2）如图，在平面直角坐标系中，，， ①如图1，的面积为______； ②如图2，点D在线段上，将点D沿x轴正方向向右平移3个单位长度至E点，若的面积等于14，求点坐标． 【答案】（1）3 （2）①10；② 【分析】本题考查了坐标与图形的性质，平移的性质，熟练掌握平移的坐标变换规律“左减右加”是解题关键． （1）根据材料给的与坐标轴平行直线上两点的距离公式求解即可； （2）①先计算，，再利用面积公式计算即可； ②设，由等积法，得到，再结合图形，利用得到点的坐标． 【详解】解：（1）∵点，， ∴轴， ∴， 故答案为：3． （2）①，，， ，， ， ②连接，， 设， ∵点D沿x轴正方向向右平移3个单位长度至E点， ∴， ， ， ， ∴， ， ， ， ， ． 题型3. 求点沿x轴、y轴平移后的坐标 1．在平面直角坐标系中，将点先向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度得到点B，则点B的坐标是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】左平移横坐标减，下平移，纵坐标减，得新点坐标． 【详解】解：左平移3个单位长度，横坐标变为，向下平移2个单位长度，纵坐标变为，点B的坐标为； 故选：D 【点睛】本题考查直角坐标系平移与坐标变化；掌握平移方向与坐标加减的法则是解题的关键． 2．将点平移个单位，使其落在轴上，的最小值是_______． 【答案】 【分析】根据轴上点的纵坐标为，平移后点落在轴上，平移距离的最小值为点到轴的距离，计算点纵坐标的绝对值即可得到结果． 【详解】解：轴上点的纵坐标为， 点到轴的距离为， 平移后点落在轴上时，平移距离的最小值为． 3．中国象棋是我国传统文化中的一部分，体现了古人的智慧，象棋的一个规则是所有棋子最后都要落在网格的格点处．小明是象棋爱好者，在学习了平面直角坐标系后，在如图所示的一半棋盘上建立了一个直角坐标系，这样，“炮”的位置是 (1)请你在图中画出小明建立的直角坐标系，并写出棋子“相”的坐标； (2)棋子“马”走的规则是每步走“日”字形，例如：图中“马”走到“A”处我们可以说成：“马”向上平移1个单位，向右平移2个单位．请回答下列问题： ①“马”可以走到“B”处吗？若可以请写出平移的方法？ ②直接写出点“B”与“炮”所在点之间的线段上任意一点的坐标． 【答案】(1)棋子“相”的坐标为，建立直角坐标系如下： (2)①可以，“马”向上平移2个单位，向右平移1个单位 ② 【分析】本题主要考查了建立平面直角坐标系，点的平移，点的坐标，解题的关键是掌握平面直角坐标系． （1）根据“炮”的位置建立平面直角坐标系，然后根据坐标系写出点的坐标即可； （2）①根据点的平移规律进行求解即可；②在线段上找出一点，写出坐标即可． 【详解】（1）解：∵“炮”的位置是， ∴棋子“相”的坐标为； （2）解：①略 ②如图所示， 点“B”与“炮”所在点之间的线段上的任一点，该点的横坐标取值范围为，纵坐标为2， 故点“B”与“炮”所在点之间的线段上任意一点的坐标为． 题型4. 由平移方式确定点的坐标 1．在平面直角坐标系中，已知点，，将线段向下平移个单位，再向右平移个单位得到线段，设点为线段上任意一点，则，满足的条件为（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】先根据平移规则求出平移后的点的坐标，再根据点为线段上任意一点，求出，满足的条件即可. 【详解】解：∵点，，将线段向下平移2个单位，再向右平移3个单位得到线段， ∴的横坐标为，纵坐标为，即，同理得， ∵点为线段上任意一点， ∴，. 2．如图，第一象限内有两点，，将线段平移使点P落在y轴上，点Q落在x轴上，则点P平移后的对应点的坐标是_______________． 【答案】 【分析】根据轴上的点横坐标为，轴上的点纵坐标为，平移后点P落在y轴上，点Q落在x轴上，进而可求坐标． 【详解】解：由轴上的点横坐标为，轴上的点纵坐标为， ∵平移后点P落在y轴上，点Q落在x轴上， ∴得横坐标平移量为， 平移后点Q纵坐标为0， 得纵坐标平移量为， 因此点P平移后的纵坐标为， ∴点P平移后的对应点的坐标是． 3．如图，三角形的顶点坐标分别为，，．若将三角形向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度得到三角形，其中点，，分别是点，，的对应点． (1)画出三角形； (2)若三角形内有一点经过上述平移后的对应点为，直接写出点的坐标； (3)若点在轴上且三角形的面积为4，直接写出点的坐标． 【答案】(1) 如图，三角形即为所求； (2) (3)或 【分析】本题考查作图平移变换，平移变换的性质，三角形的面积，解题的关键是掌握平移变换的性质． （1）利用平移变换的性质分别作出，，的对应点，，即可； （2）利用平移变换的性质判断即可； （3）设，结合三角形面积公式建立方程求解，即可解题． 【详解】（1）略 （2）解：若三角形内有一点经过上述平移后的对应点为， 则点的坐标为：； （3）解：设点． 则有， ， 点的坐标为或． 题型5. 已知点平移前后的坐标，判断平移方式 1．如图，已知点，，若将线段平移至，其中点，．则的值为（     ） A．64 B．16 C．8 D． 【答案】A 【分析】根据题意易得平移方式为先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，然后问题可求解． 【详解】解：由点，，若将线段平移至，其中点，，可知：平移方式为先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度， ∴， ∴， ∴． 2．如图，在平面直角坐标系中，，，平移线段，使点A，B均落在坐标轴上，则点A平移后的对应点的坐标是__________． 【答案】或 【分析】本题考查平面直角坐标系内图形的平移，掌握平移的性质是解题的关键．在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移规律相同．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．设平移后点A、B的对应点分别是、．分两种情况进行讨论：①在y轴上，在x轴上；②在x轴上，在y轴上． 【详解】解：设平移后点A、B的对应点分别是、． 分两种情况： ①在y轴上，在x轴上，则横坐标为0，纵坐标为0， ∴线段向右平移个单位，向下平移n个单位， ∴，即， 此时点B平移后的对应点的坐标是，符合题意； ②在x轴上，在y轴上，则纵坐标为0，横坐标为0， ∴线段向右平移个单位，向下平移个单位， ∴，即， 此时点B平移后的对应点的坐标是，符合题意； 故答案为：或． 3．如图，在平面直角坐标系中，四边形的顶点坐标分别是，，，． (1)请在图中画出四边形； (2)将四边形平移后得到四边形，点的对应点为点，点的对应点分别为点，请在图中画出四边形，并写出点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）描点连线即可； （2）根据点的对应点为点得到平移方式，进而作图即可． 【详解】（1）略； （2）解：∵点的对应点为点， ∴平移方式为向右平移2个单位，再向下平移2个单位， 作图略． 题型6. 已知图形的平移，求点的坐标 1．如图，在平面直角坐标系中，将平移后，点的对应点是点，则点的对应点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵将平移后，点的对应点是点， 即左移2个单位下移2个单位， 则平移后为． 2．如图，已知点，，将线段平移至的位置，其中点，则点D的坐标为_________． 【答案】 【分析】本题考查点的平移，根据点与点得出平移方式，即可求解． 【详解】解：∵点的对应点C的坐标为， ∴平移规律为横坐标减3，纵坐标加1． ∵点的对应点为点D， ∴点D的坐标为，即． 故答案为：． 3．如图，在平面直角坐标系中，三角形中，点的坐标是，点的标是，点的坐标是．将三角形平移后得到三角形，其中点的对应点的坐标为． (1)分别写出点和点的坐标： ， ； (2)在坐标系中画出三角形． 【答案】(1)， (2)如下图，即为所求． 【分析】（1）根据点A平移前后的坐标得出平移方式，进而可求出点和点的坐标． （2）利用平移方式画出平移后的三角形即可． 【详解】（1）解：∵点的坐标是，点的坐标为 ∴点向右移动5个单位长度，向下移动3个单位长度，可得到， ∴向右移动5个单位长度，向下移动3个单位长度得到， 又∵，， ∴，． （2）略 题型7. 已知平移后的坐标求原坐标 1．在平面直角坐标系中，将点向上平移个单位得到点，则点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】利用平移变换的性质判断出点的坐标，根据四个象限的符号特点即可得结论． 【详解】解：将点向上平移个单位得到点， ， 点在第四象限， 故选：． 【点睛】考查坐标与图形变化一平移，解题的关键是掌握平移变换的性质，以及记住各象限内点的坐标的符号． 2．在平面直角坐标系中，将线段先向下平移3个单位长度，再向右平移1个单位长度，是线段上一点，点平移后的对应点为，则点的坐标为________． 【答案】 【分析】点平移的坐标变化规律“左减右加，上加下减”． 【详解】解：由题意可知，点先向下平移个单位长度，再向右平移个单位长度后得到对应点.， 因此将点向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度即可得到点， 则点的坐标为，即． 3．已知点． (1)当，满足怎样的条件时，点在第二象限？ (2)若将点先向下平移个单位长度，再向右平移个单位长度，得到点，求，的值． 【答案】(1)当且时，点在第二象限； (2) 【分析】本题考查了点的坐标特征，点的坐标的平移法则，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据第二象限的点的特征：横坐标小于零，纵坐标大于零，得出，，求解即可得出结果； （2）根据点的坐标的平移法则：左减右加，上加下减，计算即可得出结果． 【详解】（1）解：∵点在第二象限， ∴，， 解得，， 即当且时，点在第二象限； （2）解：∵点先向下平移个单位长度，纵坐标变为；再向右平移个单位长度，横坐标变为，得到点， ∴， 解得：． 题型8. 坐标系中的对称 1．如果点P关于x轴的对称点为，关于y轴的对称点为，则点P的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查点的坐标关于坐标轴对称，熟练掌握点的坐标关于坐标轴对称的方法是解题的关键． 根据点关于x轴对称时横坐标不变、纵坐标变相反数；点关于y轴对称时纵坐标不变、横坐标变相反数，设点P坐标，根据对称点即可求值． 【详解】解：设点P的坐标为， ∵点P关于x轴的对称点为， ∴； ∵关于y轴的对称点为， ∴， ∴点P的坐标为． 故选：C． 2．在平面直角坐标系中，点关于对称的点的坐标是______． 【答案】 【分析】此题主要考查了点的对称，正确把握对称的性质是解题关键． 点关于点对称时，对称中心是两点的中点，利用中点公式列方程求解． 【详解】解：设对称点的坐标为，则点是点和点的中点． 根据中点公式，得： 对于坐标：，解得； 对于坐标：，解得． 故对称点的坐标为． 3．如图，解答下列问题： (1)写出A_______，B_______，C_____三点的坐标； (2)若各顶点的横坐标不变，纵坐标都乘，请你在同一坐标系中描出对应的点，并依次连接这三个点． (3)已知P为x轴上一点，若的面积是的面积的4倍，则_____，此时点P的坐标______． 【答案】(1)；； (2) 解：如图所示． (3)5；或 【分析】本题考查坐标与图形，坐标与轴对称．熟练掌握轴对称的性质，分割法求面积，是解题的关键． （1）根据点的位置，直接写出点的坐标即可； （2）确定点的坐标，描点即可； （3）利用分割法求的面积；设的高为点坐标为，面积公式求出的值，进而求出点的坐标即可． 【详解】（1）解：由图可知：三点的坐标分别是，，， 故答案为：；；； （2）略 （3）解：． 设边上的高为点坐标为， ， ∵的面积是的面积的 4 倍， ， 解得， ∴当点在轴负半轴时，； 当点在轴正半轴时，， ∴点的坐标为或． 故答案为：5；或． 题型9. 坐标与图形变化——轴对称 1．如图，与关于y轴对称．如果中的任意一点M的坐标为，它的对应点N的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】关于y轴对称的点的坐标特点：纵坐标不变，横坐标互为相反数，据此即可得出答案． 【详解】解：与关于y轴对称，M的坐标为， 点N的坐标是． 2．已知点与点关于x轴对称，求______． 【答案】2 【详解】直接利用关于x轴对称点的性质得出关于m，n的方程组，进而得出答案． 【解答】解：∵点与点关于x轴对称， ∴， 解得， 则． 3．如下图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别是，，． (1)将向上平移4个单位长度得到，请画出． (2)请画出与关于轴对称的． (3)请写出点，的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)， 【分析】（1）利用平移的性质得出对应点位置，然后依次连接各点得出结论； （2）利用轴对称的性质作出三角形的对应顶点，然后依次连接各点得出结论； （3）利用所画图象依据坐标的特征写出结论即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求． （2）解：如图所示，即为所求． （1） 解：，． 题型10. 坐标系中的旋转 1．如图，在平面直角坐标系中，点在第一象限，点到轴的距离为4，，点为轴上一点，且．将绕点顺时针旋转，每秒旋转，则第79秒时点的坐标为（   ） A．B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了点的坐标变化规律，勾股定理，根据题意利用勾股定理求得的长，再根据题意得到点的坐标每8次一循环，求出此时点的坐标即可解决问题．能根据题意发现点的坐标每8次一循环是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作交于点， ，点到轴的距离为4， ， 根据勾股定理可得， 设，则， 根据勾股定理可得， 即， 解得， ， 根据将绕点顺时针旋转，每秒旋转， 当时间为第1秒时，如图，过点作交于点， ， 此时， 则， ， 当时间为第2秒时，点落在轴负半轴上，则， 当时间为第3秒时，同第1秒原理，可得， 当时间为第4秒时，点落在轴负半轴上，可得， 当时间为第5秒时，同第1秒原理，可得， 当时间为第6秒时，点落在轴正半轴上，可得， 当时间为第7秒时，同第1秒原理，可得， 当时间为第8秒时，点落在轴正半轴上，可得， 点的坐标为8秒一循环， ， 第79秒时点的坐标为， 故选：A 2．如图，在平面直角坐标系中，点，点，点C、D分别在y轴正半轴和x轴负半轴上，，将绕O点顺时针旋转一周，当与平行时，点C的坐标为__________． 【答案】或 【分析】先求出，再由勾股定理得，可推出，求出，再求出，再由旋转的性质及平行线的性质进行解答即可． 【详解】解：点，点， ， ， ， ，， ， ， 如图，将绕O点顺时针旋转到如图位置时，，过点C作轴于H，设交轴于点； ， ， ， ， ， ， 点C的坐标为， 如图，将绕O点顺时针旋转到如图位置时，， 此时，点C与点关于原点对称， 点的坐标为， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了图形的旋转，坐标与图形的性质，勾股定理，平行线的性质及直角三角形的性质，解决本题的关键是熟练掌握图形的旋转，坐标与图形的性质， 3．在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立如图所示的平面直角坐标系，已知格点（顶点为网格线的交点）． (1)将绕点旋转得到，作出； (2)将向上平移4个单位得到，作出； (3)已知是内一点，其坐标为，经过上面两次位置变换后，写出中的对应点的坐标． 【答案】(1) 解：如图所示，即为所求． (2) 解：如图所示，即为所求． (3) 【分析】本题考查作图——旋转变换，平移变换等知识，解题的关键是根据旋转变换和平移变换的定义作出变换后的对应点． （1）分别作出 的对应点，再顺次连接即可； （2）根据平移分别作出点的对应点再顺次连接即可； （3）根据所画图形，写出对应坐标的变化规律即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：是内一点，其坐标为， ∵上的点是由上的点横纵坐标都乘以，然后横坐标不变，纵坐标得到的， ∴中的对应点的坐标为． 题型11. 求关于原点对称的点的坐标 1．点关于原点对称点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据关于原点对称的两个点，其坐标值全部互为相反数可直接得到答案． 【详解】解：点关于原点的对称点的坐标为． 2．点与点B关于原点对称，则点B的坐标是________． 【答案】 【分析】关于原点对称的点的横纵坐标都互为相反数，据此可得答案． 【详解】解：∵点与点B关于原点对称， ∴点B的坐标是． 3．如图所示，在平面直角坐标系中，已知、、． (1)若点与点关于原点对称，则点的坐标为_____ (2)是否是直角三角形？_____（填“是”或“否”）； (3)仅用无刻度直尺在轴上找一点，使得射线平分． 【答案】(1) (2)否 (3) 点即为所求： 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，等腰三角形的性质，使用无刻度的直尺作图等知识点． （1）根据关于原点对称的点的横纵坐标互为相反数即可求解； （2）先由勾股定理求解，再计算较短的两边的平方和是否等于最长边的平方即可； （3）取格点，连接与轴交点即为点，由（2）得，则，可证明得到，根据等腰三角形三线合一即可得到射线平分． 【详解】（1）解：∵，点与点关于原点对称， ∴点的坐标为， 故答案为：； （2）解：由勾股定理得，，，， ∵， ∴， ∴不是直角三角形， 故答案为：否； （3） 略 题型12. 已知两点关于原点对称求参数 1．点与点关于原点对称，则a，b的值分别为（） A．，6 B．1， C．， D．1，6 【答案】B 【分析】本题考查关于原点对称的点的坐标性质，利用“关于原点对称的两个点，横纵坐标均互为相反数”的性质即可计算出和的值． 【详解】解：∵点与点关于原点对称，且关于原点对称的点横纵坐标均互为相反数， ∴，， 即，． 2．在平面直角坐标系中，已知点与点关于原点对称，则的值为______． 【答案】 【分析】关于原点对称的两个点，横纵坐标分别互为相反数，据此求出和的值，再计算即可. 【详解】解：∵点与点关于原点对称， ∴，， ∴. 3．在平面直角坐标系中，点，点． (1)若点A和点B关于x轴对称，求的值； (2)若点A和点B关于原点对称，求的值． 【答案】(1)0 (2) 【分析】本题主要考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，关于原点对称的点的坐标特点，关键是掌握点的坐标的变化规律． （1）根据“关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”列方程组求解即可； （2）根据关于原点对称的点的坐标规律：横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，可得方程组，根据解方程组，可得a、b的值，根据有理数的乘法，可得答案． 【详解】（1）解：∵点A和点B关于x轴对称， ∴， 解得， ∴； （2）解：∵点A和点B关于原点对称， ∴， 解得， ∴． 题型13. 判断两个点是否关于原点对称 1．在平面直角坐标系中，已知点和点，则A、两点（  ） A．关于轴对称 B．关于轴对称 C．关于原点对称 D．关于直线对称 【答案】C 【分析】根据这两点的坐标特点，即可判定． 【详解】解：点和点的横纵坐标都互为相反数， A、两点关于原点对称， 故选：C． 【点睛】本题考查了关于坐标轴及原点对称的点的坐标特点，熟练掌握和运用关于坐标轴及原点对称的点的坐标特点是解决本题的关键． 2．在平面直角坐标系中，点与点是关于某点成中点对称的两点，则对称中心的坐标为___________ 【答案】 【分析】根据两个点的横纵坐标均为相反数，得到两个点关于原点对称，即可． 【详解】解：∵，，两个点的横纵坐标均为相反数， ∴点关于原点对称， ∴对称中心的坐标为：； 故答案为：． 【点睛】本题考查坐标与中心对称．解题的关键是掌握关于原点对称的两个点的横纵坐标均为相反数． 3．在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，格点三角形ABC（顶点是网格线的交点的三角形）的顶点，的坐标分别为，． (1)请在如图所示的网格平面内作出平面直角坐标系； (2)请作出关于轴对称的并写出点的坐标； (3)将每个顶点的横坐标保持不变，纵坐标分别乘，顺次连接这些点，会得到一个新图案，这个新图案与有怎样的位置关系？ 【答案】(1) 建立平面直角坐标系如图所示． (2) 如图，即为所求． (3)关于原点对称 【分析】本题考查利用轴对称设计图案，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键． （1）根据点的坐标建立平面直角坐标系即可． （2）根据轴对称的性质作图，即可得出答案． （3）根据轴对称的性质作图，即可得出答案． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：如图所示，即为所求； 这个新图案与关于原点对称． 题型14. 中点坐标 1．在探究平面图形的重心时发现：把一个平面图形分割成甲乙两部分，若甲．乙两部分的面积分别为，建立平面直角坐标系，重心分别为，原图形的重心坐标为，则有，如图，若，，以点B为坐标原点，所在直线为x轴，“1”为一个单位长度，建立平面直角坐标系，则此“L”形的重心坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】画出平面直角坐标系，根据题意计算甲．乙两部分的面积分别为，重心分别为，原图形的重心坐标为，利用提供的计算方法，解答即可． 【详解】解：根据题意，画出平面直角坐标系如下： 根据题意，得， ， 即，即， ， 故此“L”形的重心坐标为． 2．在平面直角坐标系中，若，，点为平面内一点，且的中点在轴上，的中点在轴上，则的长度为______． 【答案】 【分析】设点的坐标为，根据坐标轴上点的坐标特征，结合中点坐标公式求出点的坐标，再利用两点间距离公式计算的长度. 【详解】解：设点的坐标为， ，的中点在轴上，轴上点的横坐标为， ∴由中点坐标公式得， 解得：， ，的中点在轴上，轴上点的纵坐标为， ∴由中点坐标公式得， 解得：， 点的坐标为， 由两点间距离公式得 . 3．【综合与实践】确定组合图形匀质薄板的重心位置． 我们已发现：平行四边形匀质薄板的重心在两条对角线的交点处． 通过实验操作，得出结论：若一个平面图形组合图形匀质薄板的重心坐标为，面积为S，被分成n部分匀质薄板的重心坐标分别为，，…，，面积分别为，，…，，则，． 如图1①，“L”形匀质薄板中，，，，，确定该薄板的重心位置的步骤： ①先求出该薄板的面积； ②将该薄板分为两个长方形薄板Ⅰ，Ⅱ，以B为原点，以1为单位长度建立平面直角坐标系（如图1②）； ③确定长方形薄板Ⅰ的重心为，面积；长方形薄板Ⅱ的重心为，面积； ④求出，，得到该匀质薄板的重心坐标为． 【解决问题】 (1)如图2，正方形中，，直接写出正方形的重心坐标； (2)如图3，多边形中，，，，请以C点为原点，1为单位长度建立平面直角坐标系，并求出多边形的重心坐标． 【答案】(1) (2)多边形的重心坐标 【分析】本题考查坐标与图形的应用、有理数的混合运算，解决本题的关键是读懂材料中重心定义和运算法则． （1）根据正方形的性质可知点的坐标是，根据正方形对角线的交点就是正方形的重心，可知正方形的重心是线段中点的坐标，根据平面直角坐标系中两点中点的坐标公式求解即可； （2）把多边形分成三个规则的矩形：正方形、长方形、正方形，根据重心的定义分别求出三个矩形的重心，再根据不规则图形重心的公式求解即可． 【详解】（1）解：四边形是正方形，点的坐标是， ， 点的坐标是， 连接交于点M， 线段中点M的坐标是， 正方形的重心坐标为； （2）解：如下图所示，建立平面直角坐标系分割图形， 多边形的面积为， 点的坐标是，点的坐标是， 正方形的重心坐标是，， 点的坐标是，点的坐标是， 四边形的重心坐标是，， 点的坐标是，点的坐标是， 正方形的重心坐标是，， ， 多边形的重心坐标． 题型15. 坐标系中的动点问题（不含函数） 1．在平面直角坐标系中，轴，，且，则点B的坐标为（     ） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【分析】利用平行于轴的直线上点的横坐标相等确定点的横坐标，再根据线段长度列方程求解纵坐标，分情况得到点B的坐标． 【详解】解：∵轴，点的坐标为， ∴点的横坐标为， ∵， ∴，即， 解得或， ∴点的坐标为或． 2．在平面直角坐标系中，若点，点，点在轴上，且三角形的面积为，则点的坐标为____________． 【答案】或 【分析】设点的坐标为，由，都在轴上，可得线段的长度为，点到轴的距离是中边上的高，长度为，根据三角形面积公式列方程求解即可得到点的坐标． 【详解】解：设点坐标为， 点在轴上，点的坐标为， ， 点的坐标为， 点到轴的距离为，即中边上的高为， ， ， 整理得， 或， 解得或， 点的坐标为或． 3．在平面直角坐标系中，对于两点给出如下定义：点到轴的距离中的最大值等于点到轴的距离中的最大值，则称两点为“等距点”．如点与两点即为等距点． (1)已知点的坐标为． ①点中，与点为“等距点”的是________； ②若点的坐标为，且两点为“等距点”，求出点的坐标； (2)若点与点两点为“等距点”，在轴上有异于原点的一点，连接．若的面积为，的面积，求的值． 【答案】(1)①；②或 (2)4 【分析】（1）①根据“等距点”的定义作答即可；②根据“等距点”的定义列出方程及的取值范围，再计算即可； （2）根据“等距点”的定义求出，或，，根据面积法列方程计算即可． 【详解】（1）①解：点到x，y轴的距离中的最大值为4， 到x，y轴的距离中的最大值为，不是点A的“等距点”； 到x，y轴的距离中的最大值为，是点A的“等距点”； 到x，y轴的距离中的最大值为，是点A的“等距点”； 综上，与点为“等距点”的是； ②解：∵A，M两点为“等距点” ∴或且， 解得：或或且 ∴或， ∴点的坐标为或； （2）解：∵点与点两点为“等距点”， ∴或， 解得：， ∴，或，（舍去）或，或，（舍去）， ∴，或，， 当，时，如图所示： ∴，即的值为； 当，时， 同理，得， 即的值为． 题型16. 点坐标规律探索 1．“冰雹猜想”是一个至今未被完全解决的数学问题，但计算机已经证明了以下的每一个数字都符合这个规律．其内容为：对于任意正整数，若为奇数，则下一步计算；若为偶数，则下一步计算重复以上操作，这组数字最终会进入循环．在平面直角坐标系中，将点中的横坐标和纵坐标分别按照“冰雹猜想”的要求进行2026次运算，得到的点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】计算前若干次运算结果，发现数值存在循环周期，利用周期规律简化次运算的求解． 【详解】解：先计算横坐标的运算结果． ∵初始横坐标为， 第次运算得， 第次运算得， 第次运算得， 第次运算得， ……， ∴运算结果以为一个周期，周期为． ∵，余数为， ∴横坐标经过次运算的结果为． 再计算纵坐标的运算结果． ∵初始纵坐标为， 第次运算得， 第次运算得， 第次运算得， 第次运算得， 第次运算得， 第次运算得， 第次运算得， 第次运算得， ∴从第次运算开始，结果以为一个周期，周期为． ∵前次运算未进入循环， ∴剩余循环内运算次数为． ∵，余数为， ∴纵坐标经过次运算的结果为． ∴最终点的坐标为． 2．如图，小红设置了一个击球小程序，在点处第一次击球到点，第二次击球到点，第三次击球到点，第四次击球到点．按此规律，第次击球到点，则点的坐标为______． 【答案】 【分析】根据题意得到的横坐标为，当为奇数时，的纵坐标为，当为偶数时，的纵坐标为，据此解答即可求解． 【详解】解：∵，，，，， ∴相邻两点横坐标相差，纵坐标以，，，，呈周期性变化， ∴的横坐标为，当为奇数时，的纵坐标为，当为偶数时，的纵坐标为， ∴点的坐标为． 3．在平面直角坐标系中，对于点，若点的坐标为，其中为常数，则称点是点的“级关联点”．例如，点的“级关联点”为点，点的坐标为，即． (1)求点的“级关联点”点的坐标． (2)若点的“级关联点”点在轴上，求点的坐标． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）根据题意得出点是点的“级关联点”，求出，再代入，即可求解； （2）根据题意得出点是点的“级关联点”，求出，再代入，即可求解，最后根据点在轴上，即可求解． 【详解】（1）解：∵由题意可得，点是点的“级关联点”， ∴， ∵， ∴，即； （2）解：∵由题意可得，点是点的“级关联点”， ∴， ∵， ∴，即， ∵点在轴上， ∴，解得：， ∴． 题型17. 用方向角和距离确定物体的位置 1．如图，用方向和距离描述图书馆相对于小青家的位置，下列选项中正确的是（     ） A．北偏东方向，距离小青家 B．北偏东方向，距离小青家 C．东偏北方向 D．东偏北方向，距离小青家 【答案】B 【分析】根据方位角的定义，结合图中位置可得答案． 【详解】解：由图知， ∴图书馆相对于小青家的位置是北偏东方向，距离小青家． 2．如图，描述点的位置：点在点的北偏东_______方向上处． 【答案】40 【详解】解：， ∴点在点的北偏东方向上处． 3．五个小朋友各站在一处做传球游戏，说：“我的位置在．” 说：“我和各站在一个正方形的四个顶点上，并且与相距都是．” 说：“在我的正北方，的正西方，我与相距．”（注：每一个小正方形的对角线长） (1)在图中标出的位置； (2)以所处的位置为观测点，在的（    ）偏（    ）（    ）°方向上，距离是（    ）． 【答案】(1) 如图所示 (2)南，东，45，4． 【分析】本题考查方位角的应用，掌握知识点是解题的关键． （1）根据方位角的定义解答即可； （2）根据方位角的定义解答即可． 【详解】（1）略 （2）C在E的南偏东方向处． 故答案为：南，东，45，4． ✺分层练习 一、单选题 1．已知点在第二象限，且到两坐标轴的距离相等，则a的值为（     ） A．4 B． C．1 D． 【答案】D 【分析】根据点M在第二象限得出，，再根据点M到两坐标轴的距离相等得出，再化简绝对值即可． 【详解】解：∵点在第二象限， ∴，， ∵点到两坐标轴的距离相等， ∴， ∴， 解得． 2．在平面直角坐标系中，将点向上平移3个单位长度得到点，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：将点向上平移3个单位长度，横坐标不变，纵坐标为，即点的坐标为． 3．如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，按箭头的方向依次移动，每次移动1个单位长度，得到点，，，……那么点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】一动点从原点O出发，按向下向右向上向上向右向下的方向依次不断移动，每六次重复相同的运动轨迹，周期为，再结合，得出（为正整数，即为第几个周期），由此规律计算即可得出结果． 【详解】解：一动点从原点O出发，按向下向右向上向上向右向下的方向依次不断移动，每六次重复相同的运动轨迹，周期为， ，， 结合图象可得，，，，…， ∴（为正整数，即为第几个周期）， 令，解得， ∴， ∴点的坐标是， ∴点的坐标是． 二、填空题 4．点向左平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度所得对应点的坐标是________． 【答案】 【分析】根据坐标平移的变化规律计算，向左平移横坐标减，向上平移纵坐标加，即可得到对应点的坐标． 【详解】解：坐标平移的变化规律为：横坐标左移减，右移加；纵坐标上移加，下移减． ∵点的坐标为， ∴向左平移个单位长度后，横坐标变为， ∴再向上平移个单位长度后，纵坐标变为， ∴对应点的坐标为． 5．如图，雷达探测器在一次探测中发现五个目标．若目标A，B的位置分别记为，则目标的位置记为_______． 【答案】 【分析】本题考查用坐标表示实际位置，根据A，B的位置得到第一个数为所在的圈数，第二个数为从逆时针旋转的度数，进而表示出点D的位置即可． 【详解】解： A，B的位置分别记为， 坐标中第一个数为所在的圈数，第二个数为从逆时针旋转的度数， 由图可知，在第三个圈，从位置逆时针旋转的位置上， 目标的位置记为． 故答案为：． 6．如图，在中，点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为，点D在平面直角坐标系中，且与全等，则点D的坐标是________________． 【答案】或或 【分析】根据全等三角形的性质结合轴对称的性质求解即可. 【详解】解：∵点不与点重合，且与全等， ∴可画图形如下， 当点C、D关于线段的垂直平分线对称时，． 当点C、D关于直线对称时，，. 综上：的坐标为或或. 三、解答题 7．在平面直角坐标系中，若，满足． (1)直接写出：___________，__________； (2)如图1，，，以A点为顶点、为腰，在第三象限作等腰．求点C的坐标； (3)如图2，P为y轴负半轴上一个动点，当P点在y轴负半轴上向下运动时，若以P为直角顶点，为腰作等腰，当点D在第四象限时，过D作轴于E点，求的数量关系 【答案】(1)2，4 (2) (3) 【分析】（1）根据非负数的性质作答即可； （2）过点作轴于点，于是可得，由直角三角形的两个锐角互余可得，由是等腰直角三角形可得，，进而可得，于是可得，利用可证得，于是可得，，进而可得，据此即可得出点的坐标； （3）过点作轴于点，于是可得，由直角三角形的两个锐角互余可得，由是等腰直角三角形可得，，进而可得，于是可得，利用可证得，于是可得，由轴可得，根据题意可知，再结合，进而可得，则，于是得解． 【详解】（1）解：∵，，， ∴，， 解得：，； （2）解：由（1）知，，即，， 如图，过点作轴于点， ， ， 是等腰直角三角形， ，， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ； （3）解：如图，过点作轴于点， ， ， 是等腰直角三角形， ，， ， ， 在和中， ， ， ， 轴， ， ∴； 根据题意可知：， 又， ∴， ， ， ∴． 8．如图，在网格中，三角形的三个顶点均为格点，将三角形进行平移，使得点落在处，点B的对应点为E，点C的对应点为F． (1)画出三角形，那么点F的坐标为________； (2)点为三角形内的任意一点，则平移后点P的对应点的坐标是________； (3)求三角形的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由A到D平移方式为向右平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度，按此方式平移B、C得到对应点E、F，顺次连接点D、E、F即可得三角形，根据平面直角坐标系直接读出点F坐标即可； （2）根据点落在处确定坐标变化，即可得点的坐标； （3）用三角形的外接矩形减去三个直角三角形即可得三角形的面积． 【详解】（1）略 （2）解：∵平移到处， ∴坐标变化规律为横坐标加，纵坐标减； ∴平移后点P的对应点的坐标是； （3）解：． 9．探究下列问题： 【模型建立】 (1)如图1，，，过点作于点，过点作于点．由，得．又，可以推理得到．进而得到 ， ． 【问题解决】 (2)如图2，在平面直角坐标系中，已知，，，且，连接．求的度数． 【拓展延伸】 (3)如图3，在（2）的条件下，点坐标为，点在直线上，点在轴上，当为等腰直角三角形，且时，请直接写出点的坐标． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】（1）根据全等三角形的性质可得结论； （2）过点作于点，证明，得到，，证明是等腰直角三角形，即可求解； （3）过点作轴于，分两种情况讨论：当点F在y轴右边时和当点F在y轴左边时，证明三角形全等，同理可得结论． 【详解】（1）略 （2）解：如图，过点作于点， ， ，即， ， ， ， ， 又∵， ， ，， ∵，，， ，， ，， ， ， ， ， ∴是等腰直角三角形， ∴； （3）解：过点作轴于点，如图，当点F在y轴右边时， ， ， ∵点坐标为， ∴， 同理可证， ，， ∵轴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ， ， ； 如图，当点F在y轴左边时， 同理可得，，， ， ； 综上，点的坐标为或． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $