专题03线段垂直平分线与角平分线、等腰三角形同步培优讲义（重点知识梳理+22大核心题型+分层练习）2026-2027学年苏科版八年级数学上册

专题03线段垂直平分线与角平分线、等腰三角形同步培优讲义 ✺知识框架 本节内容主要包含：线段垂直平分线的定义、性质与逆定理；角平分线的性质与逆定理；等腰三角形的相关概念、性质定理、判定定理；直角三角形斜边中线性质；含 30° 角直角三角形的性质；定理应用与推理辨析。 ✺学习目标 1.掌握线段垂直平分线、角平分线的性质定理与逆定理； 2.理解等腰三角形的定义、性质与判定； 3.掌握直角三角形斜边中线定理、含 30° 角直角三角形的性质，能够规范书写几何推理的符号语言。 4..能运用线段垂直平分线、角平分线的性质证明线段相等；借助等腰三角形与直角三角形相关性质进行角度、边长计算，识别基础几何模型，规范完成几何证明。 ✺知识梳理 知识点一、线段的垂直平分线 1.定义：垂直于一条线段，并且平分这条线段的直线，叫作这条线段的垂直平分线，简称中垂线。 如下图：直线MN垂直于线段AB，且平分线段AB，AC=BC,因此直线MN是线段AB的垂直平分线。 轴对称属性: 线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是它的一条对称轴。 性质定理:线段垂直平分线上的点，到这条线段两个端点的距离相等。 几何语言:∵点P在线段AB的垂直平分线上，∴PA=PB. 判定定理: 到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 几何语言：∵ PA=PB，∴点P在线段AB的垂直平分线上. 性质：点在垂直平分线上⟹ 到线段两端距离相等； 判定：到线段两端距离相等⟹ 点在垂直平分线上。 知识点二、角平分线 两类角平分线区分 （1）角的平分线：平分一个角的射线； 角是轴对称图形，角平分线所在直线为角的对称轴。 （2）三角形的角平分线：三角形内角平分线与对边相交，顶点与交点间的线段。 性质定理： 角平分线上的点，到角两边的垂线段长度相等。 几何语言：∵ OP平分∠AOB，PC⊥OA于C，PD⊥ OB于D ∴PC=PD 判定定理:在一个角的内部，到角两边垂线段距离相等的点，在这个角的平分线上。 几何语言：∵PC=PD，PC⊥OA于C，PD⊥ OB于D ∴点P在∠AOB的平分线上 性质与判定的互逆关系 ：角平分线性质定理与判定定理互为逆命题 性质：点在角平分线上⟹ 点到角两边垂距相等； 判定：角内部点到两边垂距相等⟹ 点在角平分线上。 注意：判定定理必须满足 “点在角内部”“垂直距离” 两个条件。 知识点三、等腰三角形 1.定义：有两条边相等的三角形叫作等腰三角形。相等的两边称为腰，另一边为底边；两腰的夹角为顶角，腰与底边的夹角为底角。 轴对称属性：等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线所在直线为其对称轴。 性质1：等腰三角形的两个底角相等。简称等边对等角 几何语言：∵ AB=AC∴∠B=∠C 性质2：等腰三角形顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。简称三线合一 ★等价推导：① AB=AC，AD平分∠BAC⟹ AD⊥BC，BD=DC ②AB=AC，AD⊥BC ⟹ AD平分∠BAC，BD=DC ③ AB=AC，BD=DC ⟹ AD平分∠BAC，AD⊥BC 判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边相等。简称等角对等边 几何语言：∵∠B=∠C，∴AB=AC 知识点四、等边三角形 定义： 三边相等的三角形叫作等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形。 性质： ① 三边长度全部相等； ② 三个内角均相等，每一个内角都等于60°； ③ 等边三角形有三条对称轴，任意一角平分线、对应底边上的中线、高三线合一。 判定方法 ：① 三边相等的三角形是等边三角形； ② 三个内角都相等的三角形是等边三角形； ③ 有一个内角是60°的等腰三角形是等边三角形。 知识点五、直角三角形性质 性质：直角三角形的两个锐角互余，和为90°。 符号语言：在RtABC，∠C=90°，则∠A+∠B=90°。 直角判定：两角互余的三角形为直角三角形 文字表述：若一个三角形中有两个内角的和等于90°，则该三角形是直角三角形。 几何语言：∵∠A+∠B=90°，∴ABC为直角三角形，∠C=90° 直角三角形斜边中线定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 几何语言： 在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为AB中点 ∴CD=AB=AD=BD 含30°角的直角三角形性质： 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 几何语言： ∵Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°∴BC=AB 易错点提醒 1.区分两类距离：线段垂直平分线是点到线段端点的距离相等；角平分线是点到角两边垂线段的距离相等。 2.角平分线逆定理必须同时满足：点在角内部、垂线段长度相等，缺少垂直条件不能判定。 3.“三线合一” 是等腰三角形的性质，不能直接使用“三线合一”判定等腰三角形；若三角形两线重合，需通过全等证明两边相等来判定。 4.等腰三角形边角计算常需要分类讨论，结果要检验三边关系。 5.斜边中线、30° 直角三角形性质，前提必须是直角三角形；30° 角对应的是对边直角边等于斜边一半。 6.几何证明书写，定理条件要写全，不可省略关键前提。 ✺题型精讲 题型1.线段垂直平分线的性质 1．如图，在中，分别以顶点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，，连接，分别与边，相交于点，．若，的周长为，则的周长为（     ） A．20 B．21 C．25 D．30 2．如图，在中，是的垂直平分线，与交于点，，，则的长为__________． 3．如图，，，垂直平分．求证：．（提示：连接，） 题型2.线段垂直平分线的判定 1．如图，在中，已知点D在上，，则点D在（   ） A．的垂直平分线上 B．的垂直平分线上 C．的中点处 D．的平分线上 2．如图，四边形中，．我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．相交于点，请结合图形写出一个正确的数学结论____________． 3．如图，已知是的高，E是上一点，，求证：． 题型3.角平分线的性质定理 1．如图，在中，点是，的平分线的交点，，过作于点，且，则的面积是（     ） A．15 B．18 C．30 D．36 2．如图，在中，，平分交于点，，垂足为，若，，则的长为_______． 3．如图，在中，平分，交于点，于点，于点，是的高，交于点．已知：，，． (1)求的长； (2)求的长． 题型4.角平分线的判定定理 1．如图，在中，，，，点D在边上，点D 到边，的距离相等，且，则的周长等于（     ） A．10 B．13 C．16 D．19 2．如图，，，当________时，点在的平分线上． 3．如图，在中，，，，，垂足分别为，，，相交于点．求证：平分． 题型5.角平分线性质的实际应用 1．如图，某公园有一块角形花坛，园丁沿的平分线铺设了一条喷灌管道，管道上装有一个自动喷灌喷头P，喷头P到花坛两边，的最短距离分别为，（于点M，于点N）．若，则的长为（     ） A． B． C． D． 2．如图，直线，，表示三条公路．现要建造一个中转站P，使P到三条公路的距离都相等，则中转站P可选择的点有______个． 3．如图，已知平分，，，，分别是线段，上的点，连接，，且，求证：． 题型6.等腰三角形的定义 1．若一个等腰三角形的两条边的长度分别为2和5，则这个等腰三角形的腰长为（     ） A．5 B．2 C．2或5 D．3 2．已知的两条边长分别为2和5，若为等腰三角形，则第三边c的值是______． 3．如图，和均为等腰直角三角形． 求证： (1) (2)判断和的关系，并说明理由 题型7.等边对等角 1．如图，在中，为边上一点，若，则以下结论正确的是（     ） A． B． C． D． 2．已知等腰三角形的一个内角等于，则顶角等于___________． 3．如图，在中，，点，在上，点在点左侧，，连接，，试说明：． 题型8.三线合一 1．如图，在中，，点是的中点，点E在上，则图中的全等三角形有（     ） A．0对 B．1对 C．2对 D．3对 2．如图，在中，，点D是的中点．图中全等三角形有__________对． 3．如图，在中，，点D是的中点，于点E，于点F． (1)求证：平分； (2)求证：． 题型9.格点图中画等腰三角形 1．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点．点A、B均在格点上，若存在格点P，使得是等腰三角形，则符合条件的格点P共有（     ） A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 2．如图，在的正方形网格中，点，都在格点处，若以线段为腰的等腰三角形另一顶点也在格点处，则点所处的位置个数为_____． 3．下列说法正确吗？如不正确，请说明理由． (1)半径确定了，圆就确定了． (2)弦是直径． (3)同一条弦所对的两条弧一定是等弧． (4)直径是圆中最长的弦． 题型10.找出图中的等腰三角形 1．线段和互相垂直平分于O点，且，顺次连结A、D、B、C，那么图中的等腰直角三角形共有（    ） A．4个 B．6个 C．8个 D．10个 2．如图，，，则图中的等腰三角形有 ___________个． 3．已知中，，，请画一条直线，把这个三角形分割成两个等腰三角形．（请你选用下面给出的备用图，把所有不同的分割方法都画出来．只需画图，不必说明理由，但要在图中标出相等两角的度数）． 题型11.根据等角对等边证明等腰三角形 1．如图①，②，③，下列3个三角形中，均有，则经过三角形的一个顶点的一条直线能够将这个三角形分成两个小等腰三角形的是（     ） A．①③ B．①②③ C．①② D．②③ 2．如图，中，，，，点D是的中点，点P在线段上以的速度由点B向点C运动，同时点Q在线段上由点C向点A运动，若两点在运动过程中和会出现全等的情况，则点Q的速度为________． 3．如图，在中，，点在上，点在上，射线交的延长线于点，．求证：是等腰三角形． 题型12.根据等角对等边证明边相等 1．已知，如图，在中，和分别平分和，过O作，分别交、于点D、E，若，，则的周长为（   ） A．5 B．7 C．8 D．9 2．如图，已知平分，平分，且，设，则的周长是 _______． 3．如图，在中，，点为内部一点，连接、，且，过点作交的延长线于点，，求证：． 题型13.根据等角对等边求边长 1．如图，在中，点在边上，连接，，若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 2．如图，中，平分，，若与互补，，则的长为________． 3．【教材呈现】如图是华师版八年级上册数学教材第105页的部分内容： 我们已经知道角是轴对称图形，角平分线所在的直线是角的对称轴．如图所示，是的平分线，P是上任意一点，作，，垂足分别为点D和点E，将沿对折，我们发现与完全重合．于是有： 角平分线的性质定理角平分线上的点到角两边的距离相等． 已知：如图1所示，是的平分线，P是上任意一点，作，，垂足分别为点D和点E． 求证：． 分析图中有和，只要证明这两个三角形全等，便可证得． (1)请根据教材内容，结合图1，补全定理的证明过程． (2)【应用】如图2，在中，，平分，于点E，点F在上，，若，，则的长为___________． (3)【拓展】如图3，在中，平分交于点D，于点E．若，，，，则的面积为__________． 题型14.等腰三角形的性质和判定 1．如图，已知，按照以下步骤作图：①分别以点A，点B为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点M，N，作直线，分别交，于点D，E；②以A为圆心，的长为半径画弧，交直线于点P，连接． 下列结论错误的是（    ） A． B． C．是等腰三角形 D．垂直平分 2．如图所示，线段，射线于点A，点C是射线上一动点，分别以为直角边作等腰直角三角形，得与，连接交射线于点M，则的长为________． 3．如图，和是顶角相等的等腰三角形，即，，且，若，延长交线段于点． (1)求证：； (2)若，求的长． 题型15.等边三角形的性质 1．边长为4的等边三角形的周长为（     ） A．6 B．8 C．10 D．12 2．在等边中，点是的中线上一点，，点是边上一点，若，则的度数为________． 3．用一条长为的细绳围成一个等腰三角形． (1)若腰长是底边长的2倍，求它的三边长． (2)能围成一个边长是偶数的等边三角形吗？若能，请求出它的三边长；若不能，请说明理由． 题型16.等边三角形的判定 1．下列结论中，正确的是（    ） A．等腰三角形是等边三角形 B．等边三角形是等腰三角形 C．等腰三角形一定是锐角三角形 D．等腰三角形一定是钝角三角形 2．已知，，是的三条边，若满足，则的形状为______． 3．如图，在四边形中，，过点作交于点，．求证：是等边三角形． 题型17.等边三角形的判定和性质 1．如图，在等边三角形中，是边上的高，，则与相等的线段条数为（     ） A．2 B．5 C．7 D．9 2．如图，直尺的一边经过含（）的直角三角板的顶点，对边与三角板的和边分别交于点，，若，则的度数是______． 3．如图，点D在等边的外部，连接，．过点D作交于点E，交于点F，判断的形状，并说明理由． 题型18.含30度角的直角三角形 1．如图，已知等边三角形的边长为10，为上一点，过点作于点，过点作于点，连结，若，则的长为（     ） A． B． C． D． 2．如图，在中，、分别是、边上的垂直平分线，、交于点O，连接、、，已知，，若，则的长为________． 3．已知，是等边边上的点． (1)如图1，过点作，且交于点，求证：； (2)如图2，连接，过点作，与的邻补角的平分线交于点，过作于点． ①求证：； ②猜想写出，，之间的数量关系式，并加以证明； (3)如图3，（2）中其它条件不变，若点在延长线上时，（2）中两个结论还成立吗？若不成立请直接写出新的数量关系式（不必证明）． 题型19.斜边的中线等于斜边的一半 1．如图，已知，D为边的中点，点A，B对应的刻度分别为，，则的长度为（     ） A． B． C． D． 2．如图，一根钢缆斜拉在竖直的电线杆与地面之间，电线杆与地面垂直，若点是钢缆的中点，、两点间的距离为，则钢缆的长为________．（接头处忽略不计） 3．如图（1），已知等腰直角中，为斜边上的中线，为上的一点，且于，交于． (1)求证：； (2)如图（2）若点在的延长线上，且于，与的延长线交于，问与能相等吗？若相等，请证明；若不相等，请说明理由． 题型20.直角三角形的两个锐角互余 1．直角三角形的一个锐角是，则另一个锐角的度数是（    ） A． B． C． D． 2．小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置处，与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面高的处接住她后用力一推，爸爸在处接住她．若妈妈与爸爸到的水平距离、分别为和，，爸爸在处接住小丽时，小丽距离地面的高度是______． 3．如图，，垂足分别为点在上，求证：与垂直且相等． 题型21.锐角互余的三角形是直角三角形 1．在中，若，且，则是（  ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 2．在中，，若要使是直角三角形，则可以是___________（写出一个即可）． 3．如图，已知和都是等腰直角三角形，，． (1)如图①所示，延长交于点F，求的度数； (2)将绕点A旋转如图②所示位置摆放，连接，，且与交于点F，请判断与之间位置与数量关系，并说明理由． 题型22.旋转模型(全等三角形的辅助线问题) 1．是边长为3的等边三角形，是等腰三角形，且．以D为顶点作一个角，使其两边分别交于点M，交于点N，连接，则的周长为（   ） A． B． C． D． 2．在中，，且E为边的中点，连接，以为边向上作等边三角形，连接，则的长为_______． 3．已知是边长为4的等边三角形，点P是直线上的一点（不与点B、C重合），以为边向右侧作等边三角形，连接． (1)如图①，点P在边上． ①求证：； ②当的周长最小时，求的度数； (2)当点P在点B的左侧时，在图②中画出符合题意的图形，写出、、之间的数量关系，并说明理由； (3)当是直角三角形时，直接写出的长． ✺分层练习 一、单选题 1．如图，点在一块直角三角板上，其中，于点，于点，连接．若，则的度数是（    ） A．10° B．15° C．20° D．30° 2．如图，中，，，分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧（所在圆的半径相等）相交于，两点；与交于点，则的大小为（     ） A． B． C． D． 3．如图，在中，，在上截取，作的平分线与相交于点，连接．若的面积为，则的面积为（     ） A． B． C． D． 4．如图，中，，平分，平分， ，过点作，分别交、于、，若周长是24，则长是（     ） A．8 B．12 C．14 D．16 5．如图，在中，边的垂直平分线与边的垂直平分线相交于点M，这两条垂直平分线分别交于点D，E，连接，，，，，已知的周长为7，的周长为15，则的长为（     ） A．3 B．3.5 C．4 D．6 二、填空题 6．如图，等边中，的平分线与的平分线交于点，过点作，分别交边、于点D、E．如果，那么的周长________． 7．如图，已知，点在边上，，点，在边上，．若，则的长是________． 8．如图，在中，高交于点，若的面积为，则的长为______． 三、解答题 9．电信部门要修建一个电视信号发射塔．如图所示，按照要求，发射塔到两个城镇A、B的距离必须相等，到两条高速公路和的距离也必须相等．发射塔应修建在什么位置？在图上标出它的位置． 10．如图，在中，，点为外一点，，，过点作于点，延长交于点． (1)求证：； (2)连接，若，平分，求的度数． 11．如图，点在上，，，，连接． (1)求证：，； (2)过点作，交的延长线于点，若，求证：平分． 12．如图1，在与是两个等腰直角三角形，即于点且，且，连接，交于点F． (1)求证：，； (2)如图2，若将（1）中的等腰直角三角形都换成等边三角形，其他条件不变． ①试猜想与的数量关系，并说明理由； ②你能求出的度数吗？请说明理由． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03线段垂直平分线与角平分线、等腰三角形同步培优讲义 ✺知识框架 本节内容主要包含：线段垂直平分线的定义、性质与逆定理；角平分线的性质与逆定理；等腰三角形的相关概念、性质定理、判定定理；直角三角形斜边中线性质；含 30° 角直角三角形的性质；定理应用与推理辨析。 ✺学习目标 1.掌握线段垂直平分线、角平分线的性质定理与逆定理； 2.理解等腰三角形的定义、性质与判定； 3.掌握直角三角形斜边中线定理、含 30° 角直角三角形的性质，能够规范书写几何推理的符号语言。 4..能运用线段垂直平分线、角平分线的性质证明线段相等；借助等腰三角形与直角三角形相关性质进行角度、边长计算，识别基础几何模型，规范完成几何证明。 ✺知识梳理 知识点一、线段的垂直平分线 1.定义：垂直于一条线段，并且平分这条线段的直线，叫作这条线段的垂直平分线，简称中垂线。 如下图：直线MN垂直于线段AB，且平分线段AB，AC=BC,因此直线MN是线段AB的垂直平分线。 轴对称属性: 线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是它的一条对称轴。 性质定理:线段垂直平分线上的点，到这条线段两个端点的距离相等。 几何语言:∵点P在线段AB的垂直平分线上，∴PA=PB. 判定定理: 到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 几何语言：∵ PA=PB，∴点P在线段AB的垂直平分线上. 性质：点在垂直平分线上⟹ 到线段两端距离相等； 判定：到线段两端距离相等⟹ 点在垂直平分线上。 知识点二、角平分线 两类角平分线区分 （1）角的平分线：平分一个角的射线； 角是轴对称图形，角平分线所在直线为角的对称轴。 （2）三角形的角平分线：三角形内角平分线与对边相交，顶点与交点间的线段。 性质定理： 角平分线上的点，到角两边的垂线段长度相等。 几何语言：∵ OP平分∠AOB，PC⊥OA于C，PD⊥ OB于D ∴PC=PD 判定定理:在一个角的内部，到角两边垂线段距离相等的点，在这个角的平分线上。 几何语言：∵PC=PD，PC⊥OA于C，PD⊥ OB于D ∴点P在∠AOB的平分线上 性质与判定的互逆关系 ：角平分线性质定理与判定定理互为逆命题 性质：点在角平分线上⟹ 点到角两边垂距相等； 判定：角内部点到两边垂距相等⟹ 点在角平分线上。 注意：判定定理必须满足 “点在角内部”“垂直距离” 两个条件。 知识点三、等腰三角形 1.定义：有两条边相等的三角形叫作等腰三角形。相等的两边称为腰，另一边为底边；两腰的夹角为顶角，腰与底边的夹角为底角。 轴对称属性：等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线所在直线为其对称轴。 性质1：等腰三角形的两个底角相等。简称等边对等角 几何语言：∵ AB=AC∴∠B=∠C 性质2：等腰三角形顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。简称三线合一 ★等价推导：① AB=AC，AD平分∠BAC⟹ AD⊥BC，BD=DC ②AB=AC，AD⊥BC ⟹ AD平分∠BAC，BD=DC ③ AB=AC，BD=DC ⟹ AD平分∠BAC，AD⊥BC 判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边相等。简称等角对等边 几何语言：∵∠B=∠C，∴AB=AC 知识点四、等边三角形 定义： 三边相等的三角形叫作等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形。 性质： ① 三边长度全部相等； ② 三个内角均相等，每一个内角都等于60°； ③ 等边三角形有三条对称轴，任意一角平分线、对应底边上的中线、高三线合一。 判定方法 ：① 三边相等的三角形是等边三角形； ② 三个内角都相等的三角形是等边三角形； ③ 有一个内角是60°的等腰三角形是等边三角形。 知识点五、直角三角形性质 性质：直角三角形的两个锐角互余，和为90°。 符号语言：在RtABC，∠C=90°，则∠A+∠B=90°。 直角判定：两角互余的三角形为直角三角形 文字表述：若一个三角形中有两个内角的和等于90°，则该三角形是直角三角形。 几何语言：∵∠A+∠B=90°，∴ABC为直角三角形，∠C=90° 直角三角形斜边中线定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 几何语言： 在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为AB中点 ∴CD=AB=AD=BD 含30°角的直角三角形性质： 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 几何语言： ∵Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°∴BC=AB 易错点提醒 1.区分两类距离：线段垂直平分线是点到线段端点的距离相等；角平分线是点到角两边垂线段的距离相等。 2.角平分线逆定理必须同时满足：点在角内部、垂线段长度相等，缺少垂直条件不能判定。 3.“三线合一” 是等腰三角形的性质，不能直接使用“三线合一”判定等腰三角形；若三角形两线重合，需通过全等证明两边相等来判定。 4.等腰三角形边角计算常需要分类讨论，结果要检验三边关系。 5.斜边中线、30° 直角三角形性质，前提必须是直角三角形；30° 角对应的是对边直角边等于斜边一半。 6.几何证明书写，定理条件要写全，不可省略关键前提。 ✺题型精讲 题型1.线段垂直平分线的性质 1．如图，在中，分别以顶点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，，连接，分别与边，相交于点，．若，的周长为，则的周长为（     ） A．20 B．21 C．25 D．30 【答案】C 【分析】由尺规作图可知是线段的垂直平分线，利用垂直平分线性质得到、，再结合周长，等量代换求出周长． 【详解】解：由作图可得是的垂直平分线， ∴，． ∴， ∵， ∴，即， ∴． 2．如图，在中，是的垂直平分线，与交于点，，，则的长为__________． 【答案】 【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到，结合图形计算，得到答案． 【详解】解：∵是的垂直平分线，， ∴， ∴． 3．如图，，，垂直平分．求证：．（提示：连接，） 【答案】证明：如图，连接， 垂直平分， ， 在和中，， ， ． 【分析】利用线段垂直平分线的性质求得，再利用全等三角形的判定和性质证明即可． 【详解】略 题型2.线段垂直平分线的判定 1．如图，在中，已知点D在上，，则点D在（   ） A．的垂直平分线上 B．的垂直平分线上 C．的中点处 D．的平分线上 【答案】A 【分析】本题考查了垂直平分线的判定，先结合，，得出，故点D在的垂直平分线上，即可作答． 【详解】解：∵，， ∴， 则点D在的垂直平分线上， 故选：A． 2．如图，四边形中，．我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．相交于点，请结合图形写出一个正确的数学结论____________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】此题考查了垂直平分的判定，根据垂直平分线的判定即可得出结论． 【详解】解：，理由如下： ∵，， ∴在的垂直平分线上， 即是线段的垂直平分线，即， 故答案为：（答案不唯一）． 3．如图，已知是的高，E是上一点，，求证：． 【答案】 证明：∵是的高（已知） ∴（高的定义） 在和中， ， ∴， （全等三角形的对应边相等）． 又， ∴是的垂直平分线， （垂直平分线上的点到线段两端的距离相等）． 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，线段垂直平分线的性质和判定， 先根据“斜边直角边”，可得是的垂直平分线，再根据线段垂直平分线的性质得出答案． 【详解】略 题型3.角平分线的性质定理 1．如图，在中，点是，的平分线的交点，，过作于点，且，则的面积是（     ） A．15 B．18 C．30 D．36 【答案】A 【分析】作于点，作于点，连接，由角平分线的性质定理可得，，再结合三角形的面积公式计算即可得出结果． 【详解】解：如图，作于点，作于点，连接， ∵在中，点是，的平分线的交点，， ∴，， ∴ ． 2．如图，在中，，平分交于点，，垂足为，若，，则的长为_______． 【答案】7 【分析】根据角平分线性质得，再由即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 又∵平分，， ∴， ∴． 3．如图，在中，平分，交于点，于点，于点，是的高，交于点．已知：，，． (1)求的长； (2)求的长． 【答案】(1)3 (2) 【分析】（1）根据角平分线的性质可得； （2）利用面积法即可求出的长． 【详解】（1）解：∵平分，于点，于点，且， ∴． （2）解：∵， ， ∴， 又∵是的高， ∴， 即， 解得． 题型4.角平分线的判定定理 1．如图，在中，，，，点D在边上，点D 到边，的距离相等，且，则的周长等于（     ） A．10 B．13 C．16 D．19 【答案】B 【分析】先根据角平分线的判定得出，根据证明，得出，然后根据三角形的周长公式求解即可． 【详解】解：∵点D 到边，的距离相等， ∴， 又，， ∴， ∴， ∵，，，， ∴， ∴的周长等于． 2．如图，，，当________时，点在的平分线上． 【答案】5 【分析】到角的两边距离相等的点在该角的角平分线上，据此结合题意可得答案． 【详解】解：∵，即， ∴当时，点在的平分线上． 3．如图，在中，，，，，垂足分别为，，，相交于点．求证：平分． 【答案】证明：，， ． 在和中， ， ． ， ∴， ． 又，， 平分． 【分析】证明，得到，则可证明，再根据到角的两边距离相等的点在该角的角平分线上可证明平分． 【详解】略 题型5.角平分线性质的实际应用 1．如图，某公园有一块角形花坛，园丁沿的平分线铺设了一条喷灌管道，管道上装有一个自动喷灌喷头P，喷头P到花坛两边，的最短距离分别为，（于点M，于点N）．若，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据角平分线的性质定理即可作答． 【详解】解：由题意得，平分， ∵， ∴． 2．如图，直线，，表示三条公路．现要建造一个中转站P，使P到三条公路的距离都相等，则中转站P可选择的点有______个． 【答案】4 【分析】本题考查了角平分线的性质，根据角平分线上的点到角的两边距离相等，分情况找点P的位置． 【详解】解：①三角形两个内角平分线的交点，共一处； ②三个外角两两平分线的交点，共三处， ∴中转站P可选择的点有共有4个． 故答案为：4． 3．如图，已知平分，，，，分别是线段，上的点，连接，，且，求证：． 【答案】 证明：∵平分，，， ∴，， ∵在和中，， ∴， ∴． 【分析】本题考查了角平分线的性质，证明三角形全等，熟练掌握角平分线的性质与三角形全等是解题的关键． 根据角平分线的性质得出，由于，根据可证明，从而得以证明． 【详解】略 题型6.等腰三角形的定义 1．若一个等腰三角形的两条边的长度分别为2和5，则这个等腰三角形的腰长为（     ） A．5 B．2 C．2或5 D．3 【答案】A 【分析】分类讨论腰长，结合三角形三边关系验证能否构成三角形，进而确定腰长． 【详解】解：当腰长为时，三边长为， ∵， ∴不能构成三角形，舍去； 当腰长为时，三边长为， ∵， ∴能构成三角形． 2．已知的两条边长分别为2和5，若为等腰三角形，则第三边c的值是______． 【答案】5 【分析】根据等腰三角形的性质讨论：当以2为腰时，根据三角形三边关系可得结论；当以2为底边时，再根据三角形三边关系解答即可． 【详解】解：当以2为腰时，三边长为2，2，5， 根据三角形三边关系，可得， 所以不符合题意； 当以2为底边时，三边长为2，5，5， 根据三角形三边关系，可得， 所以符合题意， 则第三边c的值为5． 3．如图，和均为等腰直角三角形． 求证： (1) (2)判断和的关系，并说明理由 【答案】(1)证明：∵和均为等腰直角三角形， ∴， ∴，即， 在和中， ∵， ∴； (2)解：且，理由如下： 如图，延长交于点H，交于点F， 由（1）得：， ∴，， ∵， ∴， ∴，即， 即和的关系为且． 【分析】（1）证明，即可求证； （2）根据全等三角形的性质可得，，从而得到，即可解答． 【详解】（1）略 （2） 略 题型7.等边对等角 1．如图，在中，为边上一点，若，则以下结论正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据等角对等边进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴， 根据已知条件无法判断，，，故D正确，A、B、C错误． 2．已知等腰三角形的一个内角等于，则顶角等于___________． 【答案】 或 【分析】按是底角和顶角分类讨论，结合等腰三角形的性质和三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：①当的内角为底角时， 等腰三角形的两个底角相等，三角形内角和为， 顶角的度数为； ②当的内角为顶角时，顶角的度数为； 综上，顶角等于或． 3．如图，在中，，点，在上，点在点左侧，，连接，，试说明：． 【答案】解：因为， 所以．     在和中， ， 所以， 所以 【分析】根据证明，即可解决问题． 【详解】略 题型8.三线合一 1．如图，在中，，点是的中点，点E在上，则图中的全等三角形有（     ） A．0对 B．1对 C．2对 D．3对 【答案】D 【分析】利用三线合一可得，推出，再证明相关三角形全等即可解答． 【详解】解：，点是的中点， ， ， 在与中， ， ， 在与中， ， ， 在与中， ， ， 所以图中的全等三角形有对． 2．如图，在中，，点D是的中点．图中全等三角形有__________对． 【答案】3 【分析】根据已知条件，D是中点，结合等腰三角形三线合一的性质，推导与的位置关系，以及图中相等的线段、相等的角．按照从大到小或从局部到整体的顺序，有序枚举所有可能的三角形组合，用等全等三角形判定定理逐一验证是否全等．统计符合全等条件的三角形对数，避免重复计数． 【详解】解：第一对： 已知，D是的中点， 故， 又公共边， ∴． 第二对：． 由，第一对全等可得，加上公共边， ∴． 第三对：． 由、第一对全等可得，即，加上公共边，． 综上，共有3对全等三角形． 3．如图，在中，，点D是的中点，于点E，于点F． (1)求证：平分； (2)求证：． 【答案】(1)证明：∵，点D是的中点， ∴平分（等腰三角形底边上的中线与顶角平分线重合，三线合一）． (2)证明：∵平分，，， ∴（角平分线上的点到角两边的距离相等）． 【分析】（1）根据等腰三角形三线合一进行证明即可； （2）根据角平分线的性质证明即可． 【详解】（1）略 （3） 略 题型9.格点图中画等腰三角形 1．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点．点A、B均在格点上，若存在格点P，使得是等腰三角形，则符合条件的格点P共有（     ） A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 【答案】D 【分析】结合网格特点与等腰三角形的定义，线段垂直平分线的定义可得答案. 【详解】解：如图， ∴当是等腰三角形，则符合条件的格点P共有个. 2．如图，在的正方形网格中，点，都在格点处，若以线段为腰的等腰三角形另一顶点也在格点处，则点所处的位置个数为_____． 【答案】6 【分析】根据网格结构，分别以、为圆心，为半径作圆与网格线的交点即为点，即可得到点的个数． 【详解】解：如图，以为等腰其中的一条腰时，符合条件的点有6个． 3．下列说法正确吗？如不正确，请说明理由． (1)半径确定了，圆就确定了． (2)弦是直径． (3)同一条弦所对的两条弧一定是等弧． (4)直径是圆中最长的弦． 【答案】(1)不正确，理由： ∵圆的位置由圆心确定，大小由半径确定，二者缺一不可． ∴仅半径确定时，圆心位置不固定，无法唯一确定圆． (2)不正确，理由： ∵弦是连接圆上任意两点的线段，直径是经过圆心的特殊弦． ∴弦不一定是直径． (3)不正确，理由： ∵同一条弦所对的弧有两条，当弦不是直径时，两条弧分别为优弧和劣弧，长度不相等；只有当弦为直径时，所对的两条弧是等长的半圆． ∴同一条弦所对的两条弧不一定是等弧． (4)正确 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 （4）略 题型10.找出图中的等腰三角形 1．线段和互相垂直平分于O点，且，顺次连结A、D、B、C，那么图中的等腰直角三角形共有（    ） A．4个 B．6个 C．8个 D．10个 【答案】C 【分析】作图，根据垂直平分线的性质，线段的数量关系，等腰三角形的判定，进行判断求解即可． 【详解】解：如图，    由题意知， ，，，， ∴图中的等腰直角三角形有：、、、、、、、，共8个， 故选：C． 【点睛】本题考查了垂直平分线的性质，等腰三角形的判定等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 2．如图，，，则图中的等腰三角形有 ___________个． 【答案】6 【分析】本题考查等腰三角形的判定，三角形的外角定理，三角形的内角和定理． 利用三角形的外角定理和三角形的内角和定理求出图中其他角的度数，根据“等角对等边”即可判定等腰三角形． 【详解】∵， ∴，是等腰三角形． ∵， ∴，是等腰三角形． ∵， ∴， ∴，是等腰三角形． ∵， ∴， ∴，是等腰三角形． ∵， ∴， ∴，是等腰三角形． ∵， ∴， ∴，是等腰三角形． 综上所述：图中等腰三角形有6个． 故答案为：6 3．已知中，，，请画一条直线，把这个三角形分割成两个等腰三角形．（请你选用下面给出的备用图，把所有不同的分割方法都画出来．只需画图，不必说明理由，但要在图中标出相等两角的度数）． 【答案】 解：所画直线如图所示： 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，根据所给条件，结合等腰三角形判定进行分析，即可解题． 【详解】略 题型11.根据等角对等边证明等腰三角形 1．如图①，②，③，下列3个三角形中，均有，则经过三角形的一个顶点的一条直线能够将这个三角形分成两个小等腰三角形的是（     ） A．①③ B．①②③ C．①② D．②③ 【答案】D 【详解】解：如图，图②和图③满足题意，图①不能分成两个小等腰三角形. 2．如图，中，，，，点D是的中点，点P在线段上以的速度由点B向点C运动，同时点Q在线段上由点C向点A运动，若两点在运动过程中和会出现全等的情况，则点Q的速度为________． 【答案】或 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，全等三角形的判定，分两种情况求解是解题的关键．设点P、Q的运动时间为，，分和两种情况，分别列方程求解，即可得到答案． 【详解】解：， ， 点D是的中点， ， 设点P、Q的运动时间为，， 则，， 当，时，， ， 解得， 点Q的速度为； 当，时，， ， 解得， 点Q的速度为； 综上所述，点Q的速度为或． 故答案为：或． 3．如图，在中，，点在上，点在上，射线交的延长线于点，．求证：是等腰三角形． 【答案】证明：， ， ． ， ， ， 是等腰三角形. 【分析】先证明，进而得到，等量代换结合等角对等边，推出，即可得证． 【详解】略 题型12.根据等角对等边证明边相等 1．已知，如图，在中，和分别平分和，过O作，分别交、于点D、E，若，，则的周长为（   ） A．5 B．7 C．8 D．9 【答案】D 【分析】先利用角平分线的定义、平行线的性质、等角对等边可得，再根据三角形的周长、线段的和差、等量代换可得的周长为即可解答． 【详解】解：∵和分别平分和， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的周长为． 2．如图，已知平分，平分，且，设，则的周长是 _______． 【答案】30 【分析】根据平行线的性质，角平分线的定义，等角对等边推出，再根据三角形的周长公式和等量代换进行求解即可. 【详解】解：∵平分，平分，且， ∴， ∴， ∴， ∴的周长. 3．如图，在中，，点为内部一点，连接、，且，过点作交的延长线于点，，求证：． 【答案】， ， ，， ， 又∵， ， ， ． 【分析】由等角对等边得到，然后证明，得到，即可证明． 【详解】略 题型13.根据等角对等边求边长 1．如图，在中，点在边上，连接，，若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用“等角对等边”可得，与相加即可求出． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 2．如图，中，平分，，若与互补，，则的长为________． 【答案】 10 【分析】延长交的延长线于点E，通过证明得出及，结合互补条件推导出，从而得到． 【详解】解：延长交的延长线于点E， ∵平分， ∴． ∵， ∴． 在和中， ∴ ∴， ∵与互补， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 3．【教材呈现】如图是华师版八年级上册数学教材第105页的部分内容： 我们已经知道角是轴对称图形，角平分线所在的直线是角的对称轴．如图所示，是的平分线，P是上任意一点，作，，垂足分别为点D和点E，将沿对折，我们发现与完全重合．于是有： 角平分线的性质定理角平分线上的点到角两边的距离相等． 已知：如图1所示，是的平分线，P是上任意一点，作，，垂足分别为点D和点E． 求证：． 分析图中有和，只要证明这两个三角形全等，便可证得． (1)请根据教材内容，结合图1，补全定理的证明过程． (2)【应用】如图2，在中，，平分，于点E，点F在上，，若，，则的长为___________． (3)【拓展】如图3，在中，平分交于点D，于点E．若，，，，则的面积为__________． 【答案】(1) 证明：∵是的平分线， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴； (2) (3)16 【分析】本题考查角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，等角对等边．熟练掌握角平分线上的点到角两边的距离相等，是解题的关键． （1）利用，证明，即可得证； （2）证明，得到，证明，得到，根据，根据线段的转化，进行求解即可． （3）过点作，得到，根据三角形内角和定理，推出，进而得到：，利用三角形的面积公式进行求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴； 故答案为：； （3）解：过点作，交于点， ∵平分交于点D，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 题型14.等腰三角形的性质和判定 1．如图，已知，按照以下步骤作图：①分别以点A，点B为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点M，N，作直线，分别交，于点D，E；②以A为圆心，的长为半径画弧，交直线于点P，连接． 下列结论错误的是（    ） A． B． C．是等腰三角形 D．垂直平分 【答案】B 【分析】根据作图步骤可知是线段的垂直平分线，利用线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质及平行线的判定定理对各选项进行判断即可． 【详解】解：由作图步骤①可知，是线段的垂直平分线， ，， 是等腰三角形，故C选项结论正确； ，由作图步骤②可知，， ，即， 根据等腰三角形“三线合一”性质可知，平分，且平分， ，垂直平分，故D选项结论正确； ， ，故A选项结论正确； 无法证明，故B选项结论错误． 2．如图所示，线段，射线于点A，点C是射线上一动点，分别以为直角边作等腰直角三角形，得与，连接交射线于点M，则的长为________． 【答案】 【分析】如图作于H，由得，再证明得，即可解决问题． 【详解】解：如图作于H， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵和都是等腰直角三角形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 3．如图，和是顶角相等的等腰三角形，即，，且，若，延长交线段于点． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)证明：，，，． 在和中， ， ，． ， ． ，， ． (2) 【分析】（1）证明，由全等三角形的性质得出，，由等边对等角得出，由等角的余角相等得出． （2）在上截取，连接．证明，由全等三角形的性质得出，，根据等角的补角相等得出，由等角对等边得出，进而可求出． 【详解】（1）略； （2）解：如图，在上截取，连接． ， ． 在和中， ， ，． ，， ， ， ． 题型15.等边三角形的性质 1．边长为4的等边三角形的周长为（     ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】D 【分析】利用等边三角形三边相等的性质，直接计算周长即可得到结果. 【详解】解：∵等边三角形的三条边长度相等，该等边三角形的边长为， ∴周长为：． 2．在等边中，点是的中线上一点，，点是边上一点，若，则的度数为________． 【答案】 或或 【分析】根据等边三角形三线合一的性质，得到垂直平分，结合三角形内角和定理求出相关角的度数，分点在、、三种情况讨论，利用等腰三角形的性质计算的度数. 【详解】解：是等边三角形，是中线，点是上一点， ，平分，，， ， 在中，， ， ， ∴， 分三种情况讨论： ①当点在边上时， ， ， ； 当点在边上时，此时点和点重合， ∵， ； 当点在边上时， ，， ， ， ， 又， ； 综上：的度数为或或. 3．用一条长为的细绳围成一个等腰三角形． (1)若腰长是底边长的2倍，求它的三边长． (2)能围成一个边长是偶数的等边三角形吗？若能，请求出它的三边长；若不能，请说明理由． 【答案】(1)等腰三角形的各边长为，， (2)不能围成一个边长是偶数的等边三角形，理由如下： 设边长为， ∵等边三角形三边相等, ∴， ∴（不是偶数）   ∴不能围成一个边长是偶数的等边三角形． 【分析】（1）设底边长为，则腰长是，根据三角形的周长公式列出关于的一元一次方程，解方程即可得出结果； （2）设边长为，根据等边三角形的性质列出关于的一元一次方程，解方程即可得出结果． 【详解】（1）解：设底边长为，则腰长是， 由题意可得， 解得， 则， ∴该等腰三角形的各边长为，，； （2） 略． 题型16.等边三角形的判定 1．下列结论中，正确的是（    ） A．等腰三角形是等边三角形 B．等边三角形是等腰三角形 C．等腰三角形一定是锐角三角形 D．等腰三角形一定是钝角三角形 【答案】B 【详解】解：有两条边相等的三角形是等腰三角形，三条边都相等的三角形是等边三角形． ∵等边三角形是特殊的等腰三角形， ∴B正确，A错误． ∵等腰三角形的顶角可以为锐角、直角或钝角， ∴等腰三角形不一定是锐角三角形，也不一定是钝角三角形，C、D错误． 2．已知，，是的三条边，若满足，则的形状为______． 【答案】等边三角形 【分析】本题考查了绝对值的非负性，偶次方的非负性，等边三角形的判定，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据绝对值的非负性，偶次方的非负性，得到，，继而得到，推出是等边三角形，即可得到答案． 【详解】解：，，， ，， ，， ， ，，是的三条边， 是等边三角形， 故答案为：等边三角形 ． 3．如图，在四边形中，，过点作交于点，．求证：是等边三角形． 【答案】证明：， ． 又， ． ∴， ， 是等边三角形． 【分析】根据平行线的性质和等角对等边，得出，然后根据有一个角是的等腰三角形是等边三角形，即可解答． 【详解】略 题型17.等边三角形的判定和性质 1．如图，在等边三角形中，是边上的高，，则与相等的线段条数为（     ） A．2 B．5 C．7 D．9 【答案】C 【分析】证明为等边三角形，即可求解． 【详解】解：在等边三角形中，∵是边上的高， ∴，， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴， 综上所述，与相等的线段条数为7． 2．如图，直尺的一边经过含（）的直角三角板的顶点，对边与三角板的和边分别交于点，，若，则的度数是______． 【答案】 【分析】易得为等边三角形，根据平行线的性质，即可得出结果. 【详解】解：由题意，， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∵直尺的两边平行， ∴. 3．如图，点D在等边的外部，连接，．过点D作交于点E，交于点F，判断的形状，并说明理由． 【答案】是等边三角形．理由如下： ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴是等边三角形． 【分析】利用平行线的性质，证明，，然后利用三个角相等的三角形是等边三角形即可解答． 【详解】略 题型18.含30度角的直角三角形 1．如图，已知等边三角形的边长为10，为上一点，过点作于点，过点作于点，连结，若，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】计算出，可得，推出三角形为等边三角形，即可得到，即可推出． 【详解】解：∵在等边三角形中，，， ， ， ∴， ， ， ， ， ∴， ， ， ， ， ， 为等边三角形， ． 2．如图，在中，、分别是、边上的垂直平分线，、交于点O，连接、、，已知，，若，则的长为________． 【答案】6 【分析】由、分别是、边的垂直平分线可得，，则，再由角的和差得，然后根据在直角三角形中，30度角所对的直角边等于斜边的一半，可得答案． 【详解】解：∵、分别是、边上的垂直平分线，， ∴，， ∵， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴． 3．已知，是等边边上的点． (1)如图1，过点作，且交于点，求证：； (2)如图2，连接，过点作，与的邻补角的平分线交于点，过作于点． ①求证：； ②猜想写出，，之间的数量关系式，并加以证明； (3)如图3，（2）中其它条件不变，若点在延长线上时，（2）中两个结论还成立吗？若不成立请直接写出新的数量关系式（不必证明）． 【答案】(1)证明：∵是等边三角形， ∴， ， ∴，， ∴是等边三角形， ； (2)①证明：如图2所示，过点作交于点， ∵是等边三角形， ∴， ∴； ∵平分， ∴， ∴； ∵， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∴，即； ∵，且， ∴， 又∵， ∴， ∴； ②，证明如下： 如图2所示，过点作于， ， ， 为等边三角形， ∴， ； ∵， ； ∵， ∴， 又∵， ， ， ， ∴； (3)结论①成立；结论②不成立，新的数量关系为 【分析】（1）证明是等边三角形，即可证明； （2）过点作交于点，证明是等边三角形，得到，则可证明；再证明，即可证明；②过点作于，先证明；再证明，得到，据此可得结论； （3）过点作交延长线于点，证明是等边三角形，得到，证明，得到，求出，证明，即可得到． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：如图3所示，过点作交延长线于点， ∵是等边三角形， ∴，； ， ， 是等边三角形， ， ， ，即； 同理可得， ， ， ， ， ， ， ， ∴，即． 题型19.斜边的中线等于斜边的一半 1．如图，已知，D为边的中点，点A，B对应的刻度分别为，，则的长度为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求解，再由直角三角形斜边上的中线的性质求解即可． 【详解】解：由题意得， ∵，D为边的中点， ∴． 2．如图，一根钢缆斜拉在竖直的电线杆与地面之间，电线杆与地面垂直，若点是钢缆的中点，、两点间的距离为，则钢缆的长为________．（接头处忽略不计） 【答案】 【分析】由垂直定义可得为直角三角形，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半建立与的数量关系即可求解． 【详解】解： ∵电线杆与地面垂直， ∴， ∵点是钢缆的中点， ∴是斜边上的中线， ∴， ∵， ∴， 即钢缆的长为． 3．如图（1），已知等腰直角中，为斜边上的中线，为上的一点，且于，交于． (1)求证：； (2)如图（2）若点在的延长线上，且于，与的延长线交于，问与能相等吗？若相等，请证明；若不相等，请说明理由． 【答案】(1)证明：∵是等腰直角三角形，为斜边上的中线， ∴，，即， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； (2)； 证明：如图， ∵是等腰直角三角形，为斜边上的中线， ∴，，即， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【分析】（1）首先证明，再证明，可利用定理判定，进而得到； （2）方法与（1）类似，证明，可得． 【详解】（1）略 （3） 略 题型20.直角三角形的两个锐角互余 1．直角三角形的一个锐角是，则另一个锐角的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：直角三角形的一个锐角是，则另一个锐角的度数是． 2．小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置处，与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面高的处接住她后用力一推，爸爸在处接住她．若妈妈与爸爸到的水平距离、分别为和，，爸爸在处接住小丽时，小丽距离地面的高度是______． 【答案】 【详解】解：如图，分别过点与点作、垂直于地面，与地面的交点为点、， ∵，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵与地面垂直，即， ， 爸爸与妈妈站立时与地面垂直，即， ∴四边形与四边形都是矩形， ∴，， 又∵妈妈在距地面高的处接住小丽，即， ∴， ∴， ∴， 即爸爸在处接住小丽时，小丽距离地面的高度为． 3．如图，，垂足分别为点在上，求证：与垂直且相等． 【答案】证明：， ， 在和中， ， ， ， 在中，， ， ， ， ． 【分析】要证明，可先通过已知条件得到，再结合，利用判定，从而得到；在中，，将替换为，可得，结合平角定义，可推出，进而证明． 【详解】略 题型21.锐角互余的三角形是直角三角形 1．在中，若，且，则是（  ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 【答案】C 【分析】本题考查了两个锐角互余的三角形是直角三角形．由且可求各角度数，从而判断三角形形状． 【详解】解：，设， 又， ， ， ，， ， 是等腰直角三角形． 故选：C． 2．在中，，若要使是直角三角形，则可以是___________（写出一个即可）． 【答案】 （或） 【分析】本题考查直角三角形的性质． 由已知可得为直角或为直角，即可得的度数． 【详解】解：在中，，要使是直角三角形，则为直角或为直角， 若为直角，则， 若为直角，即，则， ∴可以是或． 故答案为：（或）． 3．如图，已知和都是等腰直角三角形，，． (1)如图①所示，延长交于点F，求的度数； (2)将绕点A旋转如图②所示位置摆放，连接，，且与交于点F，请判断与之间位置与数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2) 与相互垂直，， 理由如下：， ， 即， 在和中，    ， ， ， ， ， ． 【分析】本题主要考查全等三角形的性质与判定及直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质与判定及直角三角形的性质是解题的关键； （1）由题意易得，则有，然后可得，进而问题可求证； （2）由题意易得，则有，然后可得，进而问题可求解． 【详解】（1）解：在和中， ， ， ， ， ， ； （2） 略 题型22.旋转模型(全等三角形的辅助线问题) 1．是边长为3的等边三角形，是等腰三角形，且．以D为顶点作一个角，使其两边分别交于点M，交于点N，连接，则的周长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质；主要利用等边三角形和等腰三角形的性质来证明三角形全等，构造另一个三角形是解题的关键． 将绕点逆时针旋转，得到相等的角和线段，得出，得出相等的线段，然后利用等量代换可求解． 【详解】解：如图，将绕点逆时针旋转， ∵是等腰三角形，， ∴与重合，， ∴， ∴，，， ∵是边长为3的等边三角形， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴点在同一条直线上， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， 又， ∴， ∴， ∴的周长为 ， 故选：A． 2．在中，，且E为边的中点，连接，以为边向上作等边三角形，连接，则的长为_______． 【答案】6 【分析】延长BC到F，使BF=2BC，得是等边三角形，再证明得即可解题． 【详解】解：延长BC到F，使BF=2BC，即， ∵在中，， ∴，， ∴是等边三角形， ∴，， 又∵在等边三角形中，，， ∴， ∴ （SAS）， ∴， 又∵，E为边的中点， ∴， ∴， ∴． 故答案为6． 【点睛】本题主要考查了等边三角形性质和判定、全等三角形性质和判定．解题关键是补全图形构造手拉手全等模型，从而由得． 3．已知是边长为4的等边三角形，点P是直线上的一点（不与点B、C重合），以为边向右侧作等边三角形，连接． (1)如图①，点P在边上． ①求证：； ②当的周长最小时，求的度数； (2)当点P在点B的左侧时，在图②中画出符合题意的图形，写出、、之间的数量关系，并说明理由； (3)当是直角三角形时，直接写出的长． 【答案】(1) ①证明：∵和是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； ②； (2) 解：，如图2，理由如下： ∵和是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； (3)的长为4或8 【分析】本题是三角形的综合题，主要考查全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，等腰三角形的判定，掌握这些性质与定理的内容是解题的关键． （1）①根据等边三角形的性质，利用证明； ②根据全等三角形的性质，通过等量代换可得的周长，因此根据垂线段最短求出的最小值即可； （2）同（1）可证，推出，进而可得结论； （3）分点P在点B的左侧和右侧两种情况，利用等腰三角形的判定分别求解即可． 【详解】（1）①略 ②解：∵， ∴， ∴的周长， 当时，取最小值， ∵是等边三角形，， ∴，， 又∵， ∴； （2）略 （3）解：①当点P在点B左侧时，如图3， 此时，为直角三角形， ∵，， ∴， 由（2）可得， ∴， ∴， ∴， ∴， ②当点P在点B右侧时，如图4，此时， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 综上所述：的长为4或8． ✺分层练习 一、单选题 1．如图，点在一块直角三角板上，其中，于点，于点，连接．若，则的度数是（    ） A．10° B．15° C．20° D．30° 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的判定，掌握到角两边距离相等的点在角的平分线上，角平分线将角分成相等的两部分是解题的关键． 根据到角两边距离相等的点在角平分线上，判断平分，再结合的度数求出的度数． 【详解】解：，，， 是的平分线． ， ． 故选：B． 2．如图，中，，，分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧（所在圆的半径相等）相交于，两点；与交于点，则的大小为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由作图方法可得垂直平分，则O点是的中点，再由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半推出，由等边对等角得出，最后由角的和差关系可得答案． 【详解】解：由作图方法可得垂直平分， ∴， ∴为中线， 又中，， ∴， ∴， ∴． 3．如图，在中，，在上截取，作的平分线与相交于点，连接．若的面积为，则的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用等腰三角形的“三线合一”和三角形中线平分其面积的性质，可推出的面积是面积的一半． 【详解】解：，且平分， 为的中线，为中点， 为的中线， ，， ，， ，即， ， ． 4．如图，中，，平分，平分， ，过点作，分别交、于、，若周长是24，则长是（     ） A．8 B．12 C．14 D．16 【答案】D 【分析】根据角平分线的定义以及平行线的性质可得，从而得到，再根据直角三角形的性质可得，然后结合周长是24，即可求解． 【详解】解：∵平分，平分， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵周长是24， ∴， ∴． 5．如图，在中，边的垂直平分线与边的垂直平分线相交于点M，这两条垂直平分线分别交于点D，E，连接，，，，，已知的周长为7，的周长为15，则的长为（     ） A．3 B．3.5 C．4 D．6 【答案】C 【分析】根据中垂线的性质，结合三角形的周长公式，推出，，即可得出结果. 【详解】解：∵边的垂直平分线与边的垂直平分线相交于点M，这两条垂直平分线分别交于点D，E， ∴， ∵的周长为7，的周长为15， ∴， ∴. 二、填空题 6．如图，等边中，的平分线与的平分线交于点，过点作，分别交边、于点D、E．如果，那么的周长________． 【答案】12 【分析】根据角平分线的定义可得，，根据平行线的性质可得，，进而根据等角对等边证得，，最后将的周长转化为进行计算． 【详解】解：是等边三角形， ， 平分，平分， ，， ， ，， ，， ，， 的周长 ． 7．如图，已知，点在边上，，点，在边上，．若，则的长是________． 【答案】 【分析】过点P作于点D，则，根据直角三角形的性质可得，再根据等腰三角形的性质可得，即可求解． 【详解】解：如图，过点P作于点D，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 8．如图，在中，高交于点，若的面积为，则的长为______． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形证判定及性质，直角三角形的判定，三角形面积公式等，熟练掌握全等三角形证判定及性质是解题的关键．以为边，点为顶点作，延长与交于点，先通过角度等量代换证明，再依据全等三角形证明，进而利用三角形面积公式即可求解． 【详解】解：如图，以为边，点为顶点作，延长与交于点， 则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是的高， ∴， ∴ ∵，， ∴（）， ∴． ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 三、解答题 9．电信部门要修建一个电视信号发射塔．如图所示，按照要求，发射塔到两个城镇A、B的距离必须相等，到两条高速公路和的距离也必须相等．发射塔应修建在什么位置？在图上标出它的位置． 【答案】修建在线段的垂直平分线与公路夹角的角平分线的交点处，作图见解析 【分析】连接，作线段的垂直平分线交公路夹角的角平分线于点，点即为所求． 【详解】解：如图，点即为所求发射塔的位置. ∴发射塔应该修建在线段的垂直平分线与公路夹角的角平分线的交点处. 10．如图，在中，，点为外一点，，，过点作于点，延长交于点． (1)求证：； (2)连接，若，平分，求的度数． 【答案】(1)证明：∵，， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． (2) 【分析】（1）根据证明，即可得证； （2）由全等的性质得到，再由直角三角形的两锐角互余可得，最后根据角平分线的定义即可得解． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）得，， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴． 11．如图，点在上，，，，连接． (1)求证：，； (2)过点作，交的延长线于点，若，求证：平分． 【答案】(1)证明：∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； (2)证明：∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分． 【分析】（1）证明，得到，，由已知易得，得到，根据即可得证； （2）证明，得到，由，得到，等量代换得出，即可得证． 【详解】（1）略 （2）略 12．如图1，在与是两个等腰直角三角形，即于点且，且，连接，交于点F． (1)求证：，； (2)如图2，若将（1）中的等腰直角三角形都换成等边三角形，其他条件不变． ①试猜想与的数量关系，并说明理由； ②你能求出的度数吗？请说明理由． 【答案】(1) 证明：∵，， ∴， ， ， 在和中， ， ∴， ，， 如图，与交于点， ， ， ， ， ， ， ∴，； (2) 解：①，理由如下： ∵与是等边三角形， ，，，， ， ， 在和中， ， ∴， ； ②能，理由如下： 与交于点， ∵， ， ∵，，， ∴， 即的度数为． 【分析】本题考查了等边三角形性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的性质和判定的应用． （1）由等腰直角三角形求出，证出，推出，，根据求出，求出即可； （2）①如图3中，结论：，只要证明即可； ②由，得到，再结合，得到 ． 【详解】（1）略 （2）略 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $