陕西省镇安中学2026-2027学年高三上学期10月阶段检测数学试题

888 ● 88 888 2027届高三10月质量检测 ● ● O 数学试题 注意事项： 1.本试卷共4页，满分150分，时间120分钟 2.答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。 3.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需 学 校 改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.涂写在本试卷上无效 4.作答非选择题时，将答案书写在答题卡上，书写在本试卷上无效 5.考试结束后，监考员将答题卡按顺序收回，装袋整理：试卷不回收 姓 名 杯 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的 1.设集合A={-2,-1,0,1,2},B={x-1≤x<2},则A∩B= 0 A.{-1,0 B.{0,1,2 C.{-1,0,1} D.{-1,0,1,2 班 级 2.已知z=2+ ,则：的虚部为 A.i B.1 C.-2i D.-2 3.在等差数列{an}中，a4=7,a5=-1,则该数列的前8项和S。= 考 号 A.24 B.36 C.48 D.60 4.在同一坐标系中，函数y=a(a>0且a≠1)与y=log.x+2 的图象可能是 翻 解 试 场 0 5.已知A(1,2),B(2,3),点P在直线AB上，且|AP=2A1,则点P的坐标为 000000000 O A.(-1,0） B.(-1,-3) C.(3,4) D.(-1,0)或(3,4) ●● ● ● ● ● 6.已知a,b,c是空间中的三条直线，且a⊥b,则“a∥c”是“b⊥c”的 ● ● ● ●● A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 ● ● ● C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 高三数学试题第1页（共4页） ● ● ●● 7.已知正四棱台的上、下底面边长分别为2、4，侧棱长为5，则该棱台的体积为 A.1 828 C 56 3 D.28 3 8.已知函数f(x)=a一的最大值为2，则a= x-In x 1 .2 B.1 c D.2 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要 求，全部选对的得6分，部分选对的得分分，有选错的得0分 9.已知圆C:x2+y-4x-2y+1=0,直线l:y=kx-1(k∈R),则下列说法正确的是 A.圆C的半径为2 B.直线1恒过定点(0，-1) C.当k=0时，直线l与圆C相切 D.当k=2时，直线1平分圆C 10.已知函数x)=m2x+）与g(x)=cos(oar+p)的图象关于直线x=3对称，则 8 A.函数g(x)的最小正周期为T B函数x)在区间(7引 单调递增 C函数)图象的-个对称中心为（侣，0 D.中的-个可能取值为平 11.已知点A,B分别为双曲线T:x2-y2=入2(A>0)的左，右顶点，点P为T上异于A,B的动点，直线 PA,PB与y轴的两个交点分别为C,D,下列结论正确的是 A.双曲线T的渐近线方程为y=±x B.直线PA,PB的斜率之积为1 C.△PAD是直角三角形 D.|CD的取值范围是（入，+∞）》 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.已知tan=2,则cos2a= 13.一个动圆的圆心在抛物线y2=4x上，且动圆与该抛物线的准线相切，则动圆必过定点的坐标 为 14.任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1：若是偶数，就将该数除以2.反复进行上述 两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈1→4→2→1.这就是数学史上著名的“冰雹猜想” (又称“角谷猜想”等).若取正整数m=16,根据上述运算法则得出16→84→2→1，共需经过4 个步骤变成1（简称为4步“雹程”）.已知数列{an}满足：a,=m(m为正整数)，a+1= ?,当a,为偶数时， 若a,=1,则m的最小值为 3an+1,当an为奇数时 高三数学试题第2页（共4页）】 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(本小题满分13分) 在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且acos B+bcos A+2 ccos C=0. (1)求C; (2)若a=2b,△ABC的面积为25，求△ABC的周长 16.(本小题满分15分) 某工厂开发了一种新型机床产品，为评估新型机床的生产能力，现从新型国产机床和原有的进 口机床所生产的产品中各抽取了200件，对两台机床的产品进行检验，得到如下数据： 机床类型 良品 次品 合计 新型国产机床 160 40 200 原有进口机床 140 60 200 合计 300 100 400 (1)根据小概率值α=0.05的独立性检验，能否判断产品的质量与使用机床的类型有关： (2)从这400件样品中有放回的抽取3次，每次抽取1件产品，记抽到新型国产机床生产的良品 的次数为X,求X的分布列和数学期望. n(ad-bc)2 =(a+b)(c+d)(a+e)(b+d) 其中n=a+b+c+d. 0.05 0.01 0.001 Xa 3.841 6.635 10.828 高三数学试题第3页（共4页） 17.(本小题满分15分) 在如图所示的几何体中，四边形ABCD为矩形，AF⊥平面ABCD,EF∥AB,其中AD=2AB=2AF= 4,P是棱DF的中点 (1)求证：BF∥平面APC; ● (2)平面APC与平面BCE有可能垂直吗，若有可能，求出EF的长； 若没有可能，说明理由， (第17题图) 18.(本小题满分17分) 已知椭圆C:+1(@b>0)的离心率为二点A,B在椭圆C上，当直线B过椭圆C的一个 燕 焦点且垂直于x轴时，弦长AB|=3. 赔 g (1)求椭圆C的方程； 子 (2)过点(1,0)且斜率不为0的直线l交椭圆C交于D,E两点，点D关于x轴的对称点为D', 游 直线D'E与x轴的交点为P,求点P的坐标 世 哦 19.（本小题满分17分) 已知函数f(x）=e-aax2-x-1. (1)当a=2时，求曲线y=f(x)在点(1f(1))处的切线方程； 0 (2)当a=之时，证明：当x≤0时代)≤0： (3)若f(x)有两个零点，求a的取值范围. 高三数学试题第4页（共4页）》 2027届高三10月质量检测 数学试题参考答案及评分标准 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的， 1.C【解析】因为A={-2,-1,0,1,2},B={x-1≤x<2}, 所以A∩B={-1,0,1}. 2.D【解析1由题意得，2-2生i-（2+):（-山-1-21， ii·(-i) 所以z的虚部为-2. 3.A【解析1S,-8(a,as）=4(a,+s)=4(a+a,)=24. 2 4B【解析】易知函数y=。与y=lg,(+宁)都单调递减或都单洞递增，故A,C不持合题意； 函教y=a与y=lg。(+2)都不过原点，D不符合题意. 5.D【解析】设P(x,y),则A=(x-1,y-2),AB=(1,1), 因为|A2=2AB, 当A=2AB=(2,2)时，x-1=2,y-2=2,即x=3,y=4; 当AP=-2AB=(-2,-2)时，x-1=-2,y-2=-2,即x=-1,y=0, 故P(-1,0)或(3,4). 6.A【解析】若a⊥b,a∥c,则b⊥c,充分性得证； 若a⊥b,b⊥c,则a,c异面、平行、相交都有可能， 所以“a∥c”是“b⊥c”的充分不必要条件. 7.B【解析】如图，过正四棱台上下底面的对角线作该棱台的截面，AD,BC为侧棱，作AE⊥CD,垂足为E, 则AD=BC=√3，AB=2V2,CD=42, B DE=】x(42-22)=2, 2 所以AE=√AD-DE2=1,即棱台的高为1. 故诚枚台的体积为V=号(4+16+V4xI6)x1=器 3 &D【解折1设8（到=h,则g(-士 当0<x<1时，g'(x)<0,g(x)单调递减； 当x>1时，g'(x)>0,g(x)单调递增， 故g(x)≥g(1)=1, 易知a>0,所以fx)=a≤a,故f(x)x=a=2. x-In x 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.若有两个正确选 项，则选对一个得3分，全部选对得6分；若有3个正确选项，则选对一个得2分，选对两个得4分，全部选对得6 分；有选错的得0分. 9.ABC【解析】x2+y2-4x-2y+1=0变形为(x-2)2+(y-1)2=4,即圆心坐标为(2,1)，半径为2，故A正确； 对于直线l:y=x-1,当x=0时，y=-1,所以直线l恒过定点(0，-1)，故B正确； 高三数学试题答案第1页（共5页） 当k=0时，直线1的方程为：y=-1,圆心C(2,1)到直线1的距离为2，故直线1与圆C相切，故C正确； 当k=2时，直线l的方程为：y=2x-1,圆心C(2,1)显然不在此直线上，故D错误 10.ACD【解析】画数的最小正周期为，又函数)与g()的因象关于直线x晋对称， 所以函数g(x)的最小正周期为T,A正确； 显然gc(7受），且智）=1≥)，所以函数)在区间（受，）上不单调，B错误： 因为）=0，故函数)的图象关于点(0）中心对称，C正确： 当g()=c(2x-）时，(）=0，函数f)与g()的图象关于直线x=对称，D正确 8 11.ABC【解析】根据题意，如图所示： 对于A,易知双曲线T为等轴双曲线，故其渐近线方程为y=±x,故A正确； 对于B,设P(x0,0),满足x行-=A2,A(-入，0)，B(入，0)， 则k·pg=h6三分 +从6入好-=1，故B正确； 对于C,直线PB的方程为y=0(-A),令x=0得D(0,九)， x0-入 -y0-0 Yo 所以直线D的斜车如0一A)入 kp·ko=0 x0+入 ()荐蓉，mm 所以△PAD是直角三角形，故C正确； 对于D,直线PA的方程为y=(x+入)， x0+入 ◆g=0得c)周1o-a-2 由-到)'-1分1，故会1.p16D>24.D4 Yo yo 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12子【解桥】因为ama=2,所以sina=±25 所以cos2a=1-2sin2a=-3 13.(1,0)【解析】由题可知动圆的圆心在y=4x上，且与抛物线的准线相切， 根据抛物线定义可知，动圆恒过抛物线的焦点(1,0)， 14.2【解析】方法1：因为a5=1, 若a4为偶数，则a4=2,若a4为奇数，则不成立，所以a4=2; 若a3为偶数，则a3=4,若a3为奇数，则不成立，所以a3=4; 若a2为偶数，则a2=8,若a2为奇数，则a2=1,所以a2=8或a2=1; ①当a2=8时， 若a1为偶数，则a1=16,若a1为奇数，则不成立，所以a1=16; ②当a2=1时， 若a1为偶数，则a1=2,若a1为奇数，则不成立，所以a1=2, 高三数学试题答案第2页（共5页） 所以m的最小值为2. 方法2：当m=1时，a5=4,不符合题意； 当m=2时，01=2，则a2=1,a=4,a4=2,a5=1,符合题意， 所以m的最小值为2. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.解：(1)由acos B+bcos A+2 ccos C=0及正弦定理， sin Acos B+cos Asin B+2sin Ccos C=0, 所以sinC+2 sin Ccos C=0, 由于nC0,所以coG=子 因为0<C<m,所以C=2m (6分) 31 (2)因为C= 3,a=26, 所以5m=2sG=2,-2万，解得6=2，以而a=4 2 所以c2=a2+b2-2 abcos C,即c2=16+4-2×4×2× 2 =28,解得c=27(负值已舍去)， 故△ABC的周长为a+b+c=6+27.… (13分) 16.解：(1)由列联表得X=(a+b)(c+d)(a+c)(6+d) n(ad-bc)2 16≈5.333. 因为5.333>3.841， 所以依据小概率值α=0.05的独立性检验，能判断产品的质量与使用机床的类型有关.…(7分) (2)每次抽到新型国产机床生产的良品的概率为160=2 4005 依题意X的可能取值为0,1,2,3， 所以Px=o)=c(号)'-号)'器PX=1)=c()'(-号)费 Px=2)-c(号)-号)-P=3)-c(号)'-号) 故X的分布列为： 0 1 2 3 27 P 54 36 8 125 125 125 2 易知X~B电，子），故B(x)=3x子=9 55 (15分) 17.解：(1)证明：连接BD交AC于点O,连接OP, 因为P,O分别为DF,DB的中点， 所以BF∥PO, 又POC平面APC,BF丈平面APC, 则BF∥平面APC.… (5分) (2)假设当EF=m时，平面APC⊥平面BCE, 以A为原点，AB,AD,AF所在直线分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系， 则A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,4,0),D(0,4,0),E(m,0,2),P(0,2,1), 高三数学试题答案第3页（共5页） 所以A=(0,2,1),A元=(2,4,0)，B武=(0,4,0)，B2=(m-2,0,2), 设平面APC的法向量为m=(x,y,z), m…市=0，即2+=0，令x=2,得m=(2,-1,2), 即 (m·AC=0,(2x+4y=0, 设平面BCE的法向量为n=(a,b,c), =0即46=0， 则0·眩=0，(m-2)a+20 令a=2,得n=(2,0,2-m), 所以m·n=4+2(2-m)=0,解得m=4, 故当EF=4时，平面APC⊥平面BCE. (15分) 18.解：(1)不妨设C的一个焦点为F(c,0),A(x4,ya), 则当时授1部得号 所以AB1=2=3, a 所以3a2=b2+c2,解得a=2,b=√5，c=1. 262 =3, a 故椭圆c的方程为+号=1. (7分) 43 (2)若直线1与x轴垂直，则点D'与E重合，不符合题意； 依题意可设直线DE方程为x=my+1,D'(x1,-y1),D(x1,y1),E(2y2), 联立 层号=l化箱得3m4F46ay9-0, x=my+1, 显然4>0，且1+y2=2二6m。 -9 3m2+4%=2 3m2+41 又因为og=五也 x2-1 所以DE的方程为+，=(x-X, x2-x1 令y=0,得x=名2 yi+y2 将x1=my1+1,x2=my2+1代入上式， -9 2m· 可得=(m2+1)+(m+1)2_2mtyt2_2 3m2+4+1=4, yi+y2 y1+y2 6m 3m2+4 故点P的坐标为(4,0). (17分) 19.解：(1)当a=2时f(x)=e*-2x2-x-1,则f'(x)=e-4x-1, 从而f1)=e-4,f'(1)=e-5, 故所求切线方程为y-(e-4)=(e-5)(x-1),即y=(e-5)x+1.… (4分) (2)证明：当a=2时x)=。2-x-1,则f(=e-x1, 高三数学试题答案第4页（共5页） 设g(x)=f'(x)=e*-x-1,则g'(x)=e*-1. 显然g'(x)≤0在(-∞，0]上恒成立， 因此f'(x)在(-∞，0)上单调递减. 又f'(0)=0,因此f'(x)≥0在(-∞，0]上恒成立， 因此f(x)在(-∞，0)上单调递增， 故f代x)≤f0)=0, 即当x≤0时f(x)≤0. (8分) (3)由题意可得f'(x)=e-2ax-1. 设h(x)=f'(x)=e-2ax-1,则h'(x)=e-2a. ①若a≤0，显然h'(x)>0,因此h(x)在(-∞，+∞)上单调递增，即f'(x)在(-∞，+∞)上单调递增 又f'(0)=0,因此当x∈(-∞，0)时，f'(x)<0; 当xe(0,+∞)时f'(x)>0, 因此f(x)在(-∞，0)上单调递减，在(0，+0)上单调递增， 又f(0)=0,因此f(x)只有一个零点，故a≤0不符合题意 ②若0a<2,则当xe(-m,h(2a)时，h(x)<0;当xe(n(2a),+m)时，kr()>0, 因此f'(x)在(-∞，ln(2a)上单调递减，在(ln(2a),+∞)上单调递增. 又f'(0)=0,因此f'(h(2a)<0,又f(2a)=e>0, 因此存在唯一的%（云h(2)）,使得f"()-0 当x∈(-o,xo)U(0,+∞)时f'(x)>0;当x∈(x,0)时f'(x)<0, 因此f(x)在(-，x),(0,+∞)上单调递增，在(x,0)上单调递减。 又f0)=0,因此f(xo)>0,又当x→-∞时f(x)→-0， 因此x)恰有两个零点，因此0<a<2符合题意。 ③若a=分，由(2)易知f"(x)≥0在R上恒成立，因此x)在(-0，+0)上单调递增， 又f0)=0,因此f(x)只有一个零点，因此a=】不符合题意 ④若a>2,则当xe(-0,h(2a)时，hN'(x)<0:当xe(a(2a),+)时，h'(x)>0, 因此f'(x)在(-o,ln(2a)上单调递减，在(ln(2a),+∞)上单调递增. 又f'(0)=0,因此f'(ln(2a)<0,又当x→+o时，f'(x)+o, 因此存在唯一的x1∈(1n(2a),+∞)，使得f'(x1)=0. 当xe(-o,0)U(x1,+o)时f'(x)>0: 当x∈(0，x1)时f'(x)<0, 因此f(x)在(-∞，0)，(x1,+∞)上单调递增，在(0，x)上单调递减。 又f(0)=0,因此f(x)<0,又当x一→+∞时f(x)→+∞， 因此)恰有两个零点，因此a>符合题意 综上，ae(o,)u(分，*m）月 (17分) 高三数学试题答案第5页（共5页）