精品解析：陕西师范大学附属中学2026-2027学年第一学期高三第二次月考数学试题

陕西师大附中2026-2027高三第二次月考 数学试题 注意事项： 1.本考试满分150分，时间120分钟， 2.答卷前将答题纸上的个人考试信息填写完整. 3.本试卷答案均写在答题纸上，答卷必须使用0.5mm的黑色签字笔书写，字迹工整､笔迹清晰.并且必须在题号所指示的答题区内作答，超出答题区域的书写无效. 4.只交答题纸，不交试题卷. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数模的定义直接求解即可. 【详解】因为， 所以. 故选：C 2. 命题：“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】依据存在量词命题的否定为全称命题的规则，更换量词、否定结论且保留原取值范围即可得到结果. 【详解】，对应选项A. 3. 已知点，，若以线段为直径作圆，则该圆的标准方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由直径的两个端点确定圆心和半径，再代入圆的标准方程即可． 【详解】线段的中点为，故圆心为． 又 ，所以． 因此所求圆的标准方程为． 4. 设是两个不同的平面，是一条直线，且，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】由面面平行的判定定理与性质定理判断充分性和必要性即可． 【详解】先验证充分性：当且时，若与相交，则得到与两平面交线平行， 故不一定成立，即充分性不成立； 再验证必要性：当且时，，必要性成立． 综上，在给定条件下，“”是“”的必要不充分条件． 5. 已知向量，的夹角为，且，在上的投影向量的模为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用向量投影公式求出，再对平方展开求解. 【详解】由题意得在上的投影向量的模为，即，得． 由，得，即，解得． 6. 已知的面积为1，取各边的中点作，然后再取各边的中点作依此方法一直继续下去.记的面积为，数列的前项和为，则（ ） A. 数列为常数列 B. 数列为递增数列 C. 数列为递减数列 D. 数列为递增数列 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，结合相似三角形性质求出及，再利用数列单调性定义逐项分析判断. 【详解】依题意，各次作得的三角形都相似，相邻两次作得的三角形相似比为，则，， 因此数列是首项、公比都为的等比数列，，， 对于AB，，数列是递减的等比数列，AB错误； 对于CD，，， ， 即，，因此， 数列为递减数列，C正确，D错误. 故选：C 7. 已知函数若函数恰有2个零点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】当时，对函数求导，对参数的取值进行分类讨论，大致画出分段函数的图象，再由数形结合即可得出实数的取值范围. 【详解】易知当时，函数单调递增，且; 当时，函数，易知, 显然当时，恒成立，即在上单调递增； 当时，；当时，， 此时函数的图象大致如下图所示： 若函数恰有2个零点，即函数的图象与有两个交点， 由上图可知； 当时，根据对勾函数性质可知， 当且仅当时，等号成立； 此时其图象大致如下图： 显然函数的图象与没有交点，不合题意； 综上可知，实数的取值范围是. 故选：B. 8. 已知为坐标原点，为双曲线：的右焦点，，为的左右顶点，M为C上一点，轴，过的直线分别交y轴和线段于H，N两点，直线交y轴于G点，且，则双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，可得，利用相似三角形建立关系求得，进而得到，得解. 【详解】如图，设，由，得， 由，可得，即，则， 又，得，即， ，即，解得， ，即， 所以双曲线的渐近线方程为. 故选：B. 二､多选题：本解共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多个符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若正实数满足，则（ ） A. 的最小值是 B. 的最大值是 C. 的最大值是. D. 的最小值是 【答案】BCD 【解析】 【分析】对A，根据条件，利用基本不等式“1”的妙用，即可求解；对B和C，利用基本不等式，即可求解；对D，根据条件，得到，利用二次函数的性质，即可求解. 【详解】对于A，因为，则， 当且仅当，即时取等号，所以A错误； 对于B，因为，当且仅当时取等号，即，故B正确； 对于C，因为，当且仅当时取等号，故C正确； 对于D，由，得到，则， 当且仅当时取等号，故D正确. 10. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A. 的解析式可以为 B. 将图象上的所有点的横坐标变为原来的2倍，再向左平移个单位，得到的图象，则 C. 的对称中心为 D. 若，则 【答案】AD 【解析】 【分析】由正弦函数图象求正弦函数解析式的方法可判断；利用三角函数的图象变换可判断；根据正弦函数的对称中心的求法可判断；利用换元法，结合三角函数的性质可判断. 【详解】对于：由图知，，所以， 过点，所以， 可取，则，故正确； 对于：由知， 将图象上的所有点的横坐标变为原来的2倍，可得， 再向左平移个单位，得到的图象， 则， , 二者不相等，故错误； 对于：由知，所以， 解得，所以的对称中心为，故错误； 对于：，令， 则，因为， 则，，所以， 即，即， 所以，故正确. 故选：. 11. 数学中有许多形状优美的曲线，曲线就是其中之一，下列选项中关于曲线的说法正确的有（ ） A. 当时，曲线与轴有个交点 B. 曲线的图象关于对称 C. 当时，曲线上的一点到原点距离的最大值为 D. 当时，曲线上的一点到原点距离的最小值小于 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，令，求出有4个解；对于B，将点关于直线的对称点为，分别代入曲线方程中判断即可；对于C，D，对函数求导，判断单调性，确定最值. 【详解】对于A选项，当时，在曲线的方程中，令，可得， 解得，所以当时，曲线与轴有4个交点，A正确； 对于B选项，在曲线上任取一点，则点关于直线的对称点为， 因为，即点也在曲线上， 所以曲线的图象关于直线对称，B对； 对于C，D选项，当时，在曲线上的一点，则， 则，其中， 令，其中，则， 因为函数、在上均为增函数，故函数在上为增函数， 因为，， 所以，存在使得，则， 当时，；当时，. 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，C错误； ， 因为，所以，则， 所以， 所以，，故，D正确. 故选：ABD. 三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共15分 12. 已知角的终边经过点，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据任意角三角函数的定义，由终边上一点的坐标求该点到原点的距离，再求正弦值． 【详解】因为角的终边经过点，所以． 因此． 13. 一个袋子里有大小和质地相同的4个球，标号为1，2，3，4，从中有放回地随机取球，每次取1个球，共取4次，把每次取出的球的标号排成一列数，则这列数中恰有3个不同整数的概率为______. 【答案】 【解析】 【分析】求得总的取法数，进而求得符合条件的取法数，利用古典概型概率公式可求解. 【详解】每次均有4种不同的取法，故总的取法数有种， 这列数中恰有3个不同整数，则必有一个数取了2次， 故这列数中恰有3个不同整数的取法数有种， 故这列数中恰有3个不同整数的概率为. 故答案为：. 14. 平面向量满足，则的最小值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据向量不共线时，借助平行四边形，可得，进而利用余弦定理以及基本不等式即可求解最值. 【详解】如图：当不共线时，取,则, 故，故, 在中，, 故， 故， 由于，故，故，当且仅当时取等号， 则，由于，故的最大值为， 由于的夹角为,即为, 由于与互补，故的最小值为， 当共线时，不妨设则，可得， 当时，此时的夹角为,即为, 时，此时的夹角为,即为, 综上可知：的夹角的最小值为 故答案为： 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 记为数列的前项和，是首项与公差均为的等差数列， （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项的和 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据条件，求出，再利用与间的关系，即可求解； （2）由（1）可得，再利用裂项相消法，即可求解. 【小问1详解】 因为是首项与公差均为1的等差数列， ， 则，当时，， 两式相减得，当时，，也满足上式， 故数列的通项公式为. 【小问2详解】 由（1）得， 所以数列的前2026项的和为 . 16. 已知分别为三个内角的对边，向量，. （1）求； （2）若.求的面积. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）根据数量积的坐标表示可得，利用正弦定理把边化为角，再利用三角形内角和定理、和差公式及辅助角公式即可求解； （2）利用向量的线性运算可得，结合题意由、向量数量积及面积公式即可求解. 【小问1详解】 因为，所以， 所以， 所以， 所以， ，即， 又，故，即. 【小问2详解】 ，所以， ， , 又,即, , 或（舍）, 故. 17. 如图，在四棱锥中，. （1）证明:平面平面； （2）若，为锐角，且平面与平面所成二面角的正弦值为，求. 【答案】（1） 作，垂足为，连接. 在中，由，解得. ，四边形是平行四边形， ，则，，即. ，又平面，平面. 平面，平面平面. （2） 【解析】 【分析】（1）作，垂足为，连接.利用已知可得，利用勾股定理和逆定理可证，利用线线垂直可证线面垂直，进而可证面面垂直； （2）建立空间直角坐标系，求得平面的一个法向量和平面的一个法向量，利用向量法可求. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ，. 如图2，以为坐标原点，以的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，设， ，， ， 设平面、平面的法向量分别为， 由，取，得. 由，取，得. 因为平面与平面所成二面角的正弦值为，则其余弦值的绝对值为， 所以， 解得或46. 当时，，此时为钝角，不符合题意； 当时，，此时为锐角，符合题意， 故. 18. 椭圆的离心率为，曲线过椭圆的左顶点． （1）求椭圆的方程； （2）过坐标原点的直线与相交于点，（异于），直线，分别与相交于，， ①证明：； ②记，的面积分别是，，求的最小值及此时直线的方程． 【答案】（1） （2）①若直线的斜率不存在，则，，，所以，即； 若直线的斜率存在，设直线的方程为，， ，所以，， ， 所以，即 ②的最小值为，此时直线的方程为 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的离心率及抛物线方程列式计算求解即可得出椭圆方程； （2）①联立方程结合韦达定理计算得出斜率乘积为得出垂直关系；②联立方程组结合面积公式计算，最后应用基本不等式计算求解最小值. 【小问1详解】 曲线过椭圆的左顶点令，则，所以，所以． 又，从而，，故椭圆的方程为． 【小问2详解】 ①略 ②设直线， 由垂直关系可得：直线， 联立，所以，同理； 联立，所以，同理， ， 所以的最小值为，取等条件是， 当时，，直线的方程为； 当时，，直线的方程为； 故直线的方程为. 19. 已知函数，． （1）当时，求的单调区间． （2）函数，且． （ⅰ）证明：有唯一的极值点，且． （ⅱ）若为的零点，为的极值点，且，证明：． 【答案】（1）在上单调递增，在上单调递减 （2）由已知，，，. 证明：（i），令，， 则，所以在上单调递减. 因为，所以， 所以，. 根据零点存在定理，可知，使得，即. 当时，，即，单调递增； 当时，，即，单调递减. 综上，有唯一的极值点，且. （ii）由（i）知，即，所以. 因为为的零点，且，所以，即，可得， 将代入中，可得，即. 因为当时，，又，所以， 所以. 对两边同时取对数得，移项可得. 综上，得证. 【解析】 【分析】（1）对函数求导，再根据的取值范围讨论的单调性. （2）构造辅助函数，结合零点存在定理证明（i），利用（i）中结论，借助时，完成放缩即可证明（ii）. 【小问1详解】 已知函数，定义域为， ， 又，，所以恒成立. 当时，，则，单调递增； 当时，，则，单调递减. 综上，在上单调递增，在上单调递减. 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 陕西师大附中2026-2027高三第二次月考 数学试题 注意事项： 1.本考试满分150分，时间120分钟， 2.答卷前将答题纸上的个人考试信息填写完整. 3.本试卷答案均写在答题纸上，答卷必须使用0.5mm的黑色签字笔书写，字迹工整､笔迹清晰.并且必须在题号所指示的答题区内作答，超出答题区域的书写无效. 4.只交答题纸，不交试题卷. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 4 2. 命题：“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 已知点，，若以线段为直径作圆，则该圆的标准方程为（ ） A. B. C. D. 4. 设是两个不同的平面，是一条直线，且，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知向量，的夹角为，且，在上的投影向量的模为，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知的面积为1，取各边的中点作，然后再取各边的中点作依此方法一直继续下去.记的面积为，数列的前项和为，则（ ） A. 数列为常数列 B. 数列为递增数列 C. 数列为递减数列 D. 数列为递增数列 7. 已知函数若函数恰有2个零点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知为坐标原点，为双曲线：的右焦点，，为的左右顶点，M为C上一点，轴，过的直线分别交y轴和线段于H，N两点，直线交y轴于G点，且，则双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本解共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多个符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若正实数满足，则（ ） A. 的最小值是 B. 的最大值是 C. 的最大值是. D. 的最小值是 10. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A. 的解析式可以为 B. 将图象上的所有点的横坐标变为原来的2倍，再向左平移个单位，得到的图象，则 C. 的对称中心为 D. 若，则 11. 数学中有许多形状优美的曲线，曲线就是其中之一，下列选项中关于曲线的说法正确的有（ ） A. 当时，曲线与轴有个交点 B. 曲线的图象关于对称 C. 当时，曲线上的一点到原点距离的最大值为 D. 当时，曲线上的一点到原点距离的最小值小于 三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共15分 12. 已知角的终边经过点，则________． 13. 一个袋子里有大小和质地相同的4个球，标号为1，2，3，4，从中有放回地随机取球，每次取1个球，共取4次，把每次取出的球的标号排成一列数，则这列数中恰有3个不同整数的概率为______. 14. 平面向量满足，则的最小值为__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 记为数列的前项和，是首项与公差均为的等差数列， （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项的和 16. 已知分别为三个内角的对边，向量，. （1）求； （2）若.求的面积. 17. 如图，在四棱锥中，. （1）证明:平面平面； （2）若，为锐角，且平面与平面所成二面角的正弦值为，求. 18. 椭圆的离心率为，曲线过椭圆的左顶点． （1）求椭圆的方程； （2）过坐标原点的直线与相交于点，（异于），直线，分别与相交于，， ①证明：； ②记，的面积分别是，，求的最小值及此时直线的方程． 19. 已知函数，． （1）当时，求的单调区间． （2）函数，且． （ⅰ）证明：有唯一的极值点，且． （ⅱ）若为的零点，为的极值点，且，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $