江苏江阴市第一中学2026-2027学年高三上学期10月份质量调研评估数学试题

高三10月份质量调研评估(数学) 2026年10月6日 1、 单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1．已知集合，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，利用集合交集的概念与运算，即可求解. 【详解】由集合，， 根据集合交集的概念与运算，可得. 2．命题“，”的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【详解】因为存在命题的否定是全称命题， 所以命题“，”的否定是，. 3．已知函数，则（    ） A．有极小值，且极小值点为1 B．有极大值，且极大值点为1 C．有极小值，且极小值点为 D．有极大值，且极大值点为 【答案】A 【分析】利用导数，结合单调性，即可判断选项. 【详解】由题意得，，当时，，在单调递减； 当时，，在单调递增， 所以有极小值，且极小值点为1． 故选：A． 4．设是第二象限角，为其终边上的一点，且，则等于（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由三角函数的定义可得，故要想求的值需要先求出的值，可由求出的值，进一步求出. 【详解】因为是第二象限角，所以，即． 又，解得（舍去）， 所以． 故选：. 5．已知函数的图象为，为了得到函数的图象，只要把上所有的点（    ） A．向右平行移动个单位长度 B．向左平行移动个单位长度 C．向右平行移动个单位长度 D．向左平行移动个单位长度 【答案】A 【分析】根据三角函数的图象变换计算即可. 【详解】易知向右平行移动个单位长度可得 . 故选：A 6．函数 的图象可能为（    ） A．   B．     C．     D．     【答案】A 【分析】由题意，函数满足，所以函数为奇函数，其图象关于原点对称，排除C、D；又由当时，，，故此时恒成立，排除B，即可得到答案． 【详解】由题意，函数， 满足，所以函数为奇函数，其图象关于原点对称，排除C、D； 又由当时，，，故此时恒成立，排除B 所以，函数的图象为选项A， 故选：A 【点睛】本题主要考查了函数图象的识别问题，其中解答中合理利用函数的基本性质的应用，以及函数值的估算是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力． 7．已知是定义域为R的单调函数，且对任意实数，都有，则的值为（    ） A．0 B． C． D．1 【答案】B 【分析】通过整体换元令，再令得，再构造函数，并判断函数的单调性及二分法求函数的零点，从而可得，故可求得函数值. 【详解】根据题意，令，可得，且， 又因为是定义域为R的单调函数，所以为常数，即为常数. 再令时，有，因为在R上单调递减，所以为R上的单调递增， 再令，在R上单调递增，且，， 所以在区间有唯一零点，取区间的中点，. 所以在R上有唯一零点，即是唯一解. 又因为，所以，即， 所以． 故选：B. 8．在中，已知，点是BC的中点，点是线段AD上一点，且，连接CE并延长交边AB于点，则线段CP的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先根据平面向量基本定理的推论求得与的关系，即可利用基底表示，再两边平方，利用平面向量数量积公式，即可求解. 【详解】, 因为点三点共线，所以，得， 即， ，两边平方， ， 所以.    故选：B 二、多项选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.全部选对的得6分，部分选对得得部分分，有选错得得0分. 9．函数的部分图象如图所示，则（    ）    A． B．函数是偶函数 C．函数在区间上单调递增 D．函数的图象的对称轴方程为 【答案】AC 【分析】对选项A，根据函数图象即可得到最小正周期为，即可判断A正确，对选项B，根据为奇函数，即可判断B错误，对选项C，根据即可判断C正确，对选项D，根据函数的对称轴方程为，即可判断D错误. 【详解】对于A，由图可得的最小正周期为，则， 故A正确； 对于B，由A分析，， 则为奇函数，故B错误； 对于C，因，则， 因在上单调递增，则函数在区间上单调递增， 故C正确； 对于D，令，，解得， 所以的对称轴方程为，故D错误， 故选：AC 10．已知单位向量，的夹角为，则下列结论正确的有（    ） A． B．在方向上的投影向量为 C．若，则 D．若，则 【答案】AB 【分析】对于A,只需验证和的数量积是否为0即可;对于B,在方向上的投影向量表示为;对于C,先求平方，再利用数量积即可求夹角;对于D,对式子进行化简，进而判断. 【详解】对于A，因为，是单位向量， 所以， 所以，故A正确； 对于B，因为，是单位向量， 所以在方向上的投影向量为，故B正确； 对于C，因为， 所以， 又因为，所以，故C错误； 对于D，因为，所以， 所以， 所以，故D错误； 故选：AB． 11．已知定义域为R的函数的图象关于直线对称，且对任意的，恒有．若，则下列说法正确的是（    ） A．的一个周期为3 B．直线为的图象的一条对称轴 C． D． 【答案】BCD 【分析】由题设易得，即可判断A；由直线是对称轴可得，进而得到，即可判断B；先根据周期性可得，再利用赋值法求解判断C；由易得，再求出，进而求解判断D. 【详解】依题意，，则， 即，故的周期，故A错误； 已知直线是对称轴，则， 而，则， 故为的图象的一条对称轴，故B正确； 由，则， 令，可得，则， 由，令，可得，故C正确； 由 ， 所以， 已知，而，则， 则，故D正确． 三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．复数（其中i是虚数单位）．则________． 【答案】 【详解】原式，因为， 所以，则. 13．若函数在区间上的最小值为4，则的最小值为__________． 【答案】 【分析】根据题中条件得到在区间上是单调递增函数，则在处取最小值，求出最小值为，变形为，则， 利用基本不等式求解即可. 【详解】，，在区间上是单调递增函数， 在处取最小值，且最小值为， ，，， ， 等号成立， 当且仅当，即，解得， 的最小值为. 故答案为：. 14．________． 【答案】2 【分析】利用余弦二倍角，辅助角公式和诱导公式化简求解即可. 【详解】 . 故答案为：2 四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 15．已知集合，集合． (1)若，求实数m的取值范围； (2)命题p：，命题q：，若p是q的充分条件，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用交集运算的性质列不等式求解即可，注意的情况； （2）将充分条件转化为集合之间的包含关系求解即可. 【详解】（1），即：， 所以，故集合， 若， 则：或 或， 解得或或， 即. 故实数m的取值范围是. （2）若p是q的充分条件， 则, 即：， 解得：. 故实数m的取值范围是. 16．已知函数 (1)求的值； (2)若，，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用三角恒等变换整理可得，代入运算求解即可； （2）根据题意可得，以为整体，结合两角和差公式运算求解. 【详解】（1）由题意可知：， 所以. （2）因为，即， 且，则，可得， 所以 . 17．已知向量，，且，. (1)求的值； (2)在中，内角的对边分别为. 若，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用向量点积公式列方程，用辅助角公式化简为单一三角函数，结合的取值范围求解； （2）结合三角形内角和，用正弦定理将边的比转化为角的正弦比，再用三角恒等变换化简，最后求三角函数值域. 【详解】（1）根据向量点积公式：， 用辅助角公式化简：，即. 已知，故，则， 解得. （2）已知，故，即 ，. 根据正弦定理，得， 代入，化简得 ， 因此：. 由得，故，代入得. 18．已知函数为奇函数. (1)判断函数的单调性，并用定义证明； (2)若存在实数，使得成立，求实数的取值范围； (3)若的解集为R，求实数的取值范围． 【答案】(1)单调递增，证明见解析； (2)； (3). 【分析】（1）先由为奇函数解得参数，再利用作差法证明函数单调性即可； （2）由函数的奇偶性与单调性，将转化为，再运用换元法令（），得，再利用二次函数的单调性求出的最小值，即可得解； （3）运用换元法，令，因此可转化为，再分类讨论的符号，即可得解. 【详解】（1）因为函数为奇函数，定义域为， 所以，即， 此时，则，满足题意， 所以. 判断在R上单调递增， 证明：， 任取，且， 则 因为，则， 故， 即，所以在R上单调递增. （2）由，即， 因为函数在上单调递增，所以，即， 由题意，存在实数，使得成立，则， 令（），则， 因为，所以，当时，， 即，所以k的取值范围为. （3）令，的值域为， 不等式变为，因式分解得， 所以，当时，不等式恒成立， 若，不等式解为，需，则，                             若，不等式解为，需，所以 ， 若，不等式为，不成立. 综上，的取值范围为. 19．已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论的单调性； (3)当时，，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)单调递增区间为，递减区间为. (3) 【分析】（1）当时，求得，得到且，结合导数的几何意义，即可求解； （2）求得，令，求得的根，结合定义域，即可求得函数的单调区间； （3）根据题意，得到不等式，当时，转化为，令，求得，结合，求得，利用导数求得，得到递增，得到，求得，再由，求得时，不等式也成立，即可求解. 【详解】（1）解：当时，，其定义域为， 可得，则且，即切点坐标为，斜率为， 所以曲线在点处的切线方程，即. （2）解：由函数，其定义域为， 且，令， 令，即，可得， 解得， 由（舍去），， 当时，，即，单调递增； 当时，，即，单调递减， 所以函数的单调递增区间为，递减区间为. （3）解：由不等式，可得， 当时，，满足； 当时，不等式可化为 令，可得， 令，可得， 令，可得， 当时，可得，在上单调递增； 当时，可得，在上单调递减， 因为， 所以存在，使得， 当时，，函数在上单调递增； 当时，，函数在上单调递减， 又由， 所以当时，，所以单调递增， 所以，则； 可得， 令，可得， 所以在上单调递增，所以， 综上可得，当时，不等式，即恒成立， 所以实数的取值范围为 试卷第14页（共14页） 试卷第13页（共14页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三10月份质量调研评估(数学) 2026年10月6日 1、 单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1．已知集合，，则（     ） A． B． C． D． 2．命题“，”的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 3．已知函数，则（    ） A．有极小值，且极小值点为1 B．有极大值，且极大值点为1 C．有极小值，且极小值点为 D．有极大值，且极大值点为 4．设是第二象限角，为其终边上的一点，且，则等于（     ） A． B． C． D． 5．已知函数的图象为，为了得到函数的图象，只要把上所有的点（    ） A．向右平行移动个单位长度 B．向左平行移动个单位长度 C．向右平行移动个单位长度 D．向左平行移动个单位长度 6．函数 的图象可能为（    ） A．   B．     C．     D．     7．已知是定义域为R的单调函数，且对任意实数，都有，则的值为（    ） A．0 B． C． D．1 8．在中，已知，点是BC的中点，点是线段AD上一点，且，连接CE并延长交边AB于点，则线段CP的长度为（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.全部选对的得6分，部分选对得得部分分，有选错得得0分. 9．函数的部分图象如图所示，则（    ）    A． B．函数是偶函数 C．函数在区间上单调递增 D．函数的图象的对称轴方程为 10．已知单位向量，的夹角为，则下列结论正确的有（    ） A． B．在方向上的投影向量为 C．若，则 D．若，则 11．已知定义域为R的函数的图象关于直线对称，且对任意的，恒有．若，则下列说法正确的是（    ） A．的一个周期为3 B．直线为的图象的一条对称轴 C． D． 三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．复数（其中i是虚数单位）．则________． 13．若函数在区间上的最小值为4，则的最小值为__________． 14．________． 四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 15．已知集合，集合． (1)若，求实数m的取值范围； (2)命题p：，命题q：，若p是q的充分条件，求实数m的取值范围． 16．已知函数 (1)求的值； (2)若，，求的值. 17．已知向量，，且，. (1)求的值； (2)在中，内角的对边分别为. 若，求的取值范围. 18．已知函数为奇函数. (1)判断函数的单调性，并用定义证明； (2)若存在实数，使得成立，求实数的取值范围； (3)若的解集为R，求实数的取值范围． 19．已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论的单调性； (3)当时，，求实数的取值范围. 试卷第2页（共3页） 试卷第3页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $