精品解析：河南省开封市尉氏县第三高级中学2026-2027学年高二上学期第一次月考试题

高二数学第一次月考试题 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求. 1. 若向量是直线的一个方向向量，则的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 已知平面的一个法向量，平面的一个法向量，若，则（ ） A. B. C. D. 3. 与直线关于坐标原点对称的直线方程为（ ） A. B. C. D. 4. 已知向量，，且与互相垂直，则（ ） A. B. C. D. 2 5. 已知为空间中四点，任意三点不共线，且，若四点共面，则的最小值为（ ） A. 4 B. 5 C. D. 9 6. 已知正方体，过点且与垂直的平面为，则与平面所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知为直线的一个方向向量，点,则点到直线的距离为（ ） A. 4 B. C. D. 8. 下列说法正确的是（ ） A. 过点且在两坐标轴上截距相等的直线l方程为 B. 若直线：与直线：互相平行，则或2 C. 对任意的，“”是“直线与直线垂直”的充分不必要条件 D. 已知直线和以，为端点的线段相交，则实数k的取值范围为 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知空间向量，，下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若在上的投影向量为，则 D. 若与夹角为钝角，则 10. 下列说法正确的是（ ） A. 直线与两坐标轴围成的三角形的面积是4 B. 点(0，2)关于直线y=x+1的对称点为(1，1) C. 过(x1,y1)，(x2,y2)两点的直线方程为 D. 若直线l沿x轴向左平移3个单位长度，再沿y轴向上平移2个单位长度后，回到原来的位置，则该直线l的斜率为－ 11. 半正多面体亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体．如图1，这是某广场放置的石凳，它是由一个正方体截去八个一样的四面体得到的，其直观图如图2所示．若，则（ ） A. 该石凳的表面积是 B. 异面直线AC与所成的角为 C. 直线与平面ABC所成角的余弦值是 D. 点到平面ABC的距离是 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，向量满足，，则向量与的夹角为________. 13. 动直线与一点．当点到直线的距离最大时，直线的方程为___________． 14. 如图，二面角的棱上有两个点，线段与分别在这个二面角两个面内，并且都垂直于棱.若二面角的平面角为，且，则________________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知直线过点． （1）若直线与直线垂直，求直线的方程 （2）若直线在两坐标轴的截距互为相反数，求直线的方程． 16. 已知的三个顶点分别是，，. （1）求边上的高所在的直线方程； （2）若直线过点，且与直线平行，求直线的方程； （3）求边上的中线所在的直线方程. 17. 如图，已知平行六面体中，底面是边长为1的正方形， .设． （1）试用 表示向量，， （2）求； （3）求证： 18. 如图，在棱长为4的正方体中，，分别是，上的动点，且. （1）求证：； （2）当三棱锥的体积取得最大值时，求平面与平面的夹角的正切值. 19. 如图，在四棱锥中，平面平面，，，，M为棱的中点. （1）证明：平面； （2）若，， （ⅰ）求二面角的余弦值； （ⅱ）在线段上是否存在点Q，使得点Q到平面的距离是？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学第一次月考试题 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求. 1. 若向量是直线的一个方向向量，则的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据直线的方向向量计算直线的斜率，再结合倾斜角的取值范围求解倾斜角. 【详解】设直线的倾斜角为， 由向量是直线的一个方向向量，故直线斜率， 则，故. 2. 已知平面的一个法向量，平面的一个法向量，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量共线列方程，然后解方程即可. 【详解】因为，所以，解得，， 所以. 3. 与直线关于坐标原点对称的直线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 设出所求对称直线上的点的坐标，求出关于原点的对称点坐标，代入已知直线方程，即可. 【详解】设所求对称直线上任意一点的坐标为，则关于原点对称点的坐标为，该点在已知的直线上，则，即. 故选：D. 【点睛】本题主要考查了直线关于点对称问题，考查运算能力，属于基础题. 4. 已知向量，，且与互相垂直，则（ ） A. B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】利用向量垂直数量积等于零即可求解. 【详解】，， 与互相垂直则， 则. 故选：B. 5. 已知为空间中四点，任意三点不共线，且，若四点共面，则的最小值为（ ） A. 4 B. 5 C. D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】利用空间向量四点共面定理和基本不等式“1”的妙用求解即可． 【详解】因为四点共面，则有 由共面定理可得，，即， 所以， 当且仅当，即，即时，等号成立. 故选：C. 6. 已知正方体，过点且与垂直的平面为，则与平面所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，求平面的法向量，再用线面角公式求解即可. 【详解】设正方体棱长为，以为原点，、、分别为、、轴，建立空间直角坐标系， 则，，，. 所以，. 因为平面过点且与垂直，所以就是平面的法向量， 设与平面所成角为， 所以. 所以. 故选：D. 7. 已知为直线的一个方向向量，点,则点到直线的距离为（ ） A. 4 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据点到直线的距离的向量求法计算可得结果. 【详解】因为，，所以， 又为直线的一个方向向量， 所以， 不妨令，可得所以， 设直线与直线所成角为， 则，可得， 因此点到直线的距离为． 故选：B. 8. 下列说法正确的是（ ） A. 过点且在两坐标轴上截距相等的直线l方程为 B. 若直线：与直线：互相平行，则或2 C. 对任意的，“”是“直线与直线垂直”的充分不必要条件 D. 已知直线和以，为端点的线段相交，则实数k的取值范围为 【答案】C 【解析】 【分析】对于选项A，按照过点的直线过原点和不过原点进行讨论求解；对于选项B，利用两条直线平行的公式求出的值，将的值代入直线检验是否有平行，从而得到结论；对于选项C，利用两条直线垂直的公式求出的值，利用充分条件和必要条件求解；对于选项D，求出直线恒过的定点，求出，，结合图形得到的范围. 【详解】对于选项A，当过点的直线过原点时，此直线在两坐标轴上的截距均为， 截距相等，此时，此直线的斜率为，方程为； 当过点的直线不过原点时， 此直线在两坐标轴上截距相等，设此直线方程为， 代入，得到，解得， 设此直线方程为， 综上可知，过点且在两坐标轴上截距相等的直线l方程为或，故选项A错误； 对于选项B，直线：与直线：互相平行， ，，或， 当时，直线：与直线：，； 当时，直线：与直线：，直线重合； 综上可知，直线：与直线：互相平行， 则，故选项B错误； 对于选项C，直线与直线垂直， ，，或， “”是“直线与垂直”的充分不必要条件， 故选项C正确； 选项D，直线转化为，，解得， 则直线恒过点， ，， 直线和以，为端点的线段相交， 或，故选项D错误. 故选：C. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知空间向量，，下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若在上的投影向量为，则 D. 若与夹角为钝角，则 【答案】AB 【解析】 【分析】根据向量的加法的坐标运算，计算即可判断A；根据两向量平行的坐标关系，可判断B；根据投影向量的求法，代数计算，即可判断C；根据夹角为钝角，可得，且与不共线，根据数量积公式求解可判断D. 【详解】对于A，由， 则，即，解得，故正确； 对于B，若，显然与不共线， 若，与共线，则， 解得，故正确； 对于C，因为在上的投影向量为， 所以，即，解得或，故错误； 对于D，若与夹角为钝角，可得，且与不共线， 则，解得，且，即， 所以，故错误， 故选：AB. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 直线与两坐标轴围成的三角形的面积是4 B. 点(0，2)关于直线y=x+1的对称点为(1，1) C. 过(x1,y1)，(x2,y2)两点的直线方程为 D. 若直线l沿x轴向左平移3个单位长度，再沿y轴向上平移2个单位长度后，回到原来的位置，则该直线l的斜率为－ 【答案】BD 【解析】 【分析】对选项A，根据直线与两坐标轴的交点即可判断A错误，对选项B，首先设出对称点，再解方程组即可判断B正确，对选项C，根据直线两点式公式即可判断C错误，对选项D，设直线方程为，根据题意得到，再解方程即可判断D正确. 【详解】对选项A，直线，当时，，当时，， 所以与两坐标轴围成的三角形的面积，故A错误. 对选项B，设关于直线的对称点为， 则，解得，即对称点为，故B正确. 对选项C，当或时，直线方程无意义，故C错误. 对选项D，由题知：直线方程斜率存在，设直线方程为， 直线l沿x轴向左平移3个单位长度，再沿y轴向上平移2个单位长度后， 回到原来的位置，则， 所以，解得，故D正确. 故选：BD 11. 半正多面体亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体．如图1，这是某广场放置的石凳，它是由一个正方体截去八个一样的四面体得到的，其直观图如图2所示．若，则（ ） A. 该石凳的表面积是 B. 异面直线AC与所成的角为 C. 直线与平面ABC所成角的余弦值是 D. 点到平面ABC的距离是 【答案】ACD 【解析】 【分析】由题意可得该石凳是由6个边长为的正方形和8个边长为的等边三角形围成，结合面积公式，可得判定A；将石凳的直观图补全成正方体，建立坐标系，由异面直线所成角的求法可判断B；由线面角的向量公式可判断C；由点到平面的距离公式可判断D. 【详解】对于A，由题意可得该石凳是由6个边长为的正方形和8个边长为的等边三角形围成， 所以其表面积是，A正确． 对于B，将石凳的直观图补全成正方体，建立如图所示的空间直角坐标系． 因为，则， 所以，． 因为0，所以， 所以异面直线AC与EF所成的角为，B错误． 对于C，设平面ABC的法向量为， 则令，得． 设直线EF与平面ABC所成的角为， 则， 故，C正确． 对于D，因为平面ABC的一个法向量为，且， 所以点到平面ABC的距离是，D正确． 故选：ACD. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，向量满足，，则向量与的夹角为________. 【答案】## 【解析】 【分析】由的坐标求出，由已知数量积求出，代入夹角公式求解. 【详解】由已知得， 所以，， 又，所以. 13. 动直线与一点．当点到直线的距离最大时，直线的方程为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据分析直线过定点，当直线与直线垂直时，点到直线的距离最大，可得直线及其方程. 【详解】直线方程变形为：， 由解的：，即直线过定点， 当直线与直线垂直时，点到直线的距离最大，又 此时，则，则直线的方程为，即. 故答案为：. 14. 如图，二面角的棱上有两个点，线段与分别在这个二面角两个面内，并且都垂直于棱.若二面角的平面角为，且，则________________. 【答案】 【解析】 【分析】由图可得，利用空间向量数量积的运算律即可求出的长. 【详解】由条件知，，， 又二面角的平面角为，则， 所以 ，所以. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知直线过点． （1）若直线与直线垂直，求直线的方程 （2）若直线在两坐标轴的截距互为相反数，求直线的方程． 【答案】（1）； （2）或． 【解析】 【分析】（1）根据直线方程垂直设出方程求解未知数即可； （2）根据截距的概念分类讨论求方程即可. 【小问1详解】 因为直线与直线垂直， 所以可设直线的方程为， 因为直线过点，所以，解得， 所以直线的方程为 【小问2详解】 当直线过原点时，直线的方程是，即． 当直线不过原点时，设直线的方程为， 把点代入方程得，所以直线的方程是． 综上，所求直线的方程为或 16. 已知的三个顶点分别是，，. （1）求边上的高所在的直线方程； （2）若直线过点，且与直线平行，求直线的方程； （3）求边上的中线所在的直线方程. 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）利用斜率坐标公式及垂直关系求出高所在直线的斜率，再利用直线的点斜式方程求解即得. （2）设出直线的方程，利用待定系数法求出直线方程. （3）求出中点坐标及中线所在直线的斜率，再利用直线的点斜式方程求解即得. 【小问1详解】 直线的斜率，则边上的高所在的直线斜率为3， 所以边上的高所在的直线方程为，即. 【小问2详解】 依题意，设直线的方程为，而直线过点，则，解得， 所以直线的方程为. 【小问3详解】 依题意，边的中点，因此边上的中线所在直线的斜率， 所以边上的中线所在直线的方程为，即. 17. 如图，已知平行六面体中，底面是边长为1的正方形， .设． （1）试用 表示向量，， （2）求； （3）求证： 【答案】（1），； （2）； （3）证明: 因为． 所以. 【解析】 【分析】（1）根据向量的加法、减法运算即可求解； （2）根据向量的数量积运算及模长公式即可求解； （3）根据向量的减法、数量积运算性质及垂直的向量表示即可证明. 【小问1详解】 ， . 【小问2详解】 因为， 所以， ，     ，  所以. 【小问3详解】 略. 18. 如图，在棱长为4的正方体中，，分别是，上的动点，且. （1）求证：； （2）当三棱锥的体积取得最大值时，求平面与平面的夹角的正切值. 【答案】（1） 如下图，构建空间直角坐标系，令且， 所以，，，， 则，，故， 所以，即. （2）. 【解析】 【分析】（1）构建空间直角坐标系，令且，应用向量法求证垂直即可； （2）由三棱锥体积最大，只需面积最大求出参数，再标出相关点的坐标，求平面与平面的法向量，进而求它们夹角的余弦值，即可得正切值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1），三棱锥体积取最大，即面积最大， 所以，当时，故E，F为，上的中点， 所以，，，故，， 若为面的法向量，则， 令，故， 又面的法向量为，易得平面与平面的夹角为锐角， 所以， 则， 故平面与平面的夹角正切值为. 19. 如图，在四棱锥中，平面平面，，，，M为棱的中点. （1）证明：平面； （2）若，， （ⅰ）求二面角的余弦值； （ⅱ）在线段上是否存在点Q，使得点Q到平面的距离是？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【答案】（1）取的中点，连接，， 为中点，是的中位线， ，且， 由题意得，，， 且， 四边形是平行四边形，， 又平面，平面， 由线面平行的判定定理得：平面. （2） 二面角的余弦值为 设，， ，，则， ，平面的法向量，， 点到平面的距离公式： ， 令，即， ，，即，解得， 故线段上存在满足条件的点， ， . 【解析】 【分析】取中点，可证四边形是平行四边形，可得，得证； 建立空间直角坐标系，利用向量法求解；假设存在点到平面的距离为，利用点到面距离的向量法求解即可. 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 ，，， ，， 又平面平面，平面平面，平面， 平面， ，以为原点，分别以的方向为轴正方向，建立空间直角坐标系， 由已知得各点坐标： ， 是中点，. ， 设平面的法向量为， 令，解得，得， 平面在平面内，取平面的一个法向量， ， 由图可知二面角为钝二面角， 二面角的余弦值为； 略. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $