精品解析：河南许昌市建安区第三高级中学、许昌高级中学2026-2027学年高二上学期第一次月考数学试题

2026-2027学年上学期高二数学第一次月考试题 一、单选题 1. 已知向量，，且，则（ ） A. B. 2 C. 4 D. 6 2. 已知空间向量，，且，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在三棱柱中，点M在线段上，且．若，，，则可表示为（ ） A. B. C. D. 4. 若是空间的一个基底，且向量，，不能构成空间的一个基底，则（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在平行六面体中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（     ） A. B. C. D. 6. 一家造纸厂的厂房的外形可以近似看作如图所示的六面体模型，其中四边形和为直角梯形，A，D，C，B为直角顶点，其他四个面均为矩形．若，且，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. 如图，圆柱的轴截面是正方形，且正方形的对角线长为，点在上，，点在上，在平面的同侧．记二面角，的大小分别为，若，则点到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在直三棱柱中，，是棱的中点，且，则直线到平面的距离为 （ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 如图，在平行六面体中，设，则（     ） A. B. C. D. 10. 关于空间向量，以下说法正确的是（ ） A. 空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面 B. 若，则与的夹角是钝角 C. 若向量是不共面的向量，则也是不共面的向量 D. 若对空间中任意一点，有，则四点共面 11. 如图所示，长方体，底面是边长为1的正方形，高为2，是的中点，则（ ） A. B. 三棱锥的体积为 C. 平面平面 D. 三棱锥的外接球的表面积为 三、填空题 12. 在空间直角坐标系中，若，，，四点共面，则______. 13. 如图，在三棱锥中，平面，，，，为的中点，为上靠近的三等分点，过点，的平面与交于点，则当时，_____. 14. 已知正四棱锥，，侧棱，若向量满足，则的取值范围是________． 四、解答题 15. 已知平行六面体，化简下列表达式，并在图中标出化简结果的向量： （1）； （2）. 16. 已知空间中三点，，. （1）求向量在向量上的投影向量的坐标； （2）若点在平面内，求的值. 17. 在四棱锥中，，，，，，，分别为线段和的中点. （1）证明：平面； （2）若，求平面与平面夹角的正弦值； 18. 如图，某智慧快递物流仓库搭建直三棱柱钢制立体货架，底座托盘满足．竖直支撑立柱，搭载自主导航升降分拣小车沿立柱上下停靠，停靠位置记为，设，四面体为存放异形快件的封闭式储物仓． （1）证明：平面平面； （2）设四面体的表面积为，写出解析式，并求的取值范围； （3）分拣小车沿立柱上下工作时，为了安全，需从定点引出吊装钢索，钢索另一端点连在线段上，并且满足，求钢索的长度的取值范围. 19. 定义：若四面体的三组对棱分别互相垂直，则称该四面体为对垂四面体.如图，在中，为边上的高，，，．将沿折起，得到四面体（点对应点），且满足． （1）求证：四面体为对垂四面体； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）设点在棱上，点在棱上，且满足（），记平面与平面所成的锐二面角为，求的最大值及此时的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年上学期高二数学第一次月考试题 一、单选题 1. 已知向量，，且，则（ ） A. B. 2 C. 4 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量垂直的坐标运算可求得的值. 【详解】由， 因为，， 所以由. 2. 已知空间向量，，且，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】因为，，所以在方向上的投影向量为. 3. 如图，在三棱柱中，点M在线段上，且．若，，，则可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由题意可得： . 4. 若是空间的一个基底，且向量，，不能构成空间的一个基底，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用三个向量不能构成基底即它们共面的性质，将表示为和的线性关系，进而通过比较已知基底向量的对应系数列出方程组求解出. 【详解】因为和显然不共线， 因此必然存在实数，使得， 即， 即， 所以有，联立，解得， 代入，即. 5. 如图，在平行六面体中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（     ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，，，由，转化为直线与所成的角，利用向量的运算法则，求得，，结合向量的夹角公式，即可求解. 【详解】设，，， 因为，且，， 则，且，，则， 在平行六面体中，可得， 所以异面直线与所成的角，即为直线与所成的角， 又因为，， 可得， 且，， 所以， 即异面直线与所成角的余弦值为. 6. 一家造纸厂的厂房的外形可以近似看作如图所示的六面体模型，其中四边形和为直角梯形，A，D，C，B为直角顶点，其他四个面均为矩形．若，且，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，建立空间直角坐标系，利用空间向量数量积的坐标表示求解. 【详解】依题意，直线两两垂直，如图，以D为坐标原点建立空间直角坐标系, 设，由，得， 则，，， ，解得，所以. 7. 如图，圆柱的轴截面是正方形，且正方形的对角线长为，点在上，，点在上，在平面的同侧．记二面角，的大小分别为，若，则点到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，以点为坐标原点，分别以所在的直线为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，设点，分别求出平面和平面的法向量，利用公式求出，再结合题意求出即可. 【详解】因为圆柱的轴截面是正方形，且正方形的对角线长为， 所以，，底面圆， 因为点在上，=，所以， 如图，以点为坐标原点，分别以所在的直线为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系， 所以点，，， 设点，其中，，且即为点到平面的距离， 设平面的法向量为，，， 由，得，令，则，所以， 设平面的法向量为，，， 由，得，令，则，所以， 依题意，平面的一个法向量为， 记二面角，的大小分别为，为锐角，为钝角， 因为，所以，， 所以， 所以，， ，所以，， 所以， 因为，所以，又因为，所以， 所以点到平面的距离为． 8. 如图，在直三棱柱中，，是棱的中点，且，则直线到平面的距离为 （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查利用坐标法求线面距，以为原点建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，通过计算，从而得出平面，将直线到平面的距离转化为点到平面的距离，利用点面距的公式计算得出答案 【详解】在直三棱柱中，平面， 又， 以为原点，分别以、、所在的直线为轴、轴、轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， ，，，，， ，，，， 设平面的法向量为，则 ，即，令，， 所以平面的法向量为， ，， 又平面，平面 设直线到平面的距离为，则 . 二、多选题 9. 如图，在平行六面体中，设，则（     ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【详解】对于A，由平行六面体的性质，，． ，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D正确． 10. 关于空间向量，以下说法正确的是（ ） A. 空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面 B. 若，则与的夹角是钝角 C. 若向量是不共面的向量，则也是不共面的向量 D. 若对空间中任意一点，有，则四点共面 【答案】ACD 【解析】 【分析】A利用共线定理和共面定理可判断A；考虑共线反向可判断B；利用反证法判断C；利用空间向量共面的推论判断D. 【详解】A选项，因空间中任意两个向量是共面的， 故若有两个向量共线，则这三个向量一定共面，故A正确； B选项，若，则与的夹角是钝角或者平角，故B错误； C选项，若是共面的向量，则存在实数使得， 即，则向量是共面的向量， 与向量是不共面的向量矛盾， 所以是不共面的向量，故C正确； D选项，因，则由空间向量共面的推论可知，四点共面， 故D正确. 故选：ACD 11. 如图所示，长方体，底面是边长为1的正方形，高为2，是的中点，则（ ） A. B. 三棱锥的体积为 C. 平面平面 D. 三棱锥的外接球的表面积为 【答案】BD 【解析】 【分析】根据四棱柱的几何性质，建立空间直角坐标系，写出点的坐标，求出直线的方向向量和平面的法向量，根据向量方法证明选项A和选项C；根据三棱锥的体积的求法，求出三棱柱的体积，判断选项B的正误；根据四棱柱外接球的性质，求出外接球的半径，进而求出表面积，判断选项D正误. 【详解】如图，以为坐标原点，以所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 由题意可得， 因为是的中点，所以， 选项A：，显然不存在实数使， 所以不平行，故选项A错误； 选项B：可知， 因为平面， 所以，故选项B正确； 选项C：取平面的一个法向量为， 设平面的法向量为， 可知 ， 可得，即， 令，解得，即， 因为，所以两平面不垂直，故选项C错误； 选项D：三棱锥的四个顶点均为长方体的顶点，其外接球即为长方体的外接球， 长方体的体对角线长为， 所以外接球半径为，表面积，故选项D正确. 三、填空题 12. 在空间直角坐标系中，若，，，四点共面，则______. 【答案】 【解析】 【分析】计算出相关向量，利用共面向量定理列方程，坐标对应相等解方程组即可. 【详解】，，， 四点共面等价于向量、、共面，根据共面向量定理知存在实数，使得： ，即， 所以，则. 13. 如图，在三棱锥中，平面，，，，为的中点，为上靠近的三等分点，过点，的平面与交于点，则当时，_____. 【答案】## 【解析】 【分析】首先建立空间直角坐标系，根据，利用空间向量位置关系求出点N的坐标，再代入两点间距离公式，即可求解． 【详解】以点A为原点，，为，轴的正方向，过点A作y轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， ，，，，则． 由于为的中点，可得． 设，由于为上靠近的三等分点， 则 ． 因为，所以，得． 此时，， 所以． 14. 已知正四棱锥，，侧棱，若向量满足，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】设底面的中心为原点，构建合适的空间直角坐标系，标注出相关点坐标，设，结合已知条件得到，设，，则，再应用向量数量积的运算律及坐标运算得到，最后由柯西不等式得，即可得. 【详解】设底面的中心为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系， 因为正四棱锥的底面边长，所以， 侧棱长，则高， 则，，，，， 设向量，则，， 由，整理得， 因为，所以，得， 设，，则，当且仅当时取等号， 由，其中，， 则，，且， 所以， 所以， 由于，而，当且仅当时两处等号同时成立， 所以，则，即为. 四、解答题 15. 已知平行六面体，化简下列表达式，并在图中标出化简结果的向量： （1）； （2）. 【答案】（1），向量如图所示. （2），向量如图所示. 【解析】 【分析】根据平行六面体基本性质及空间向量基本运算化简每个小题即可. 【小问1详解】 ， 设P是线段的中点， 则， 向量如图所示. 【小问2详解】 ， 设Q是线段的中点， 则， 向量如图所示. 16. 已知空间中三点，，. （1）求向量在向量上的投影向量的坐标； （2）若点在平面内，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先求出、的坐标，再代入投影向量公式，其中数量积与模的平方要分别算出后再回代，注意所求是"投影向量"，最后必须乘回； （2）由共面向量定理设，把三个分量对应相等列成方程组，用前两个分量解出、，再代入第三个分量求出. 【小问1详解】 ，. 由，， 得在上的投影向量为. 【小问2详解】 ，因为在平面内， 所以存在实数、使. 即， 由前两个分量得，，解得，. 代入第三个分量得，故. 17. 在四棱锥中，，，，，，，分别为线段和的中点. （1）证明：平面； （2）若，求平面与平面夹角的正弦值； 【答案】（1）连接，因为为中点，所以， 又，，所以且，所以四边形为平行四边形， 又，，所以四边形为正方形，所以，， 又因为，，所以，所以， 又因为，分别为线段和的中点，所以，所以， 又，平面，所以平面. （2） 【解析】 【分析】(1)通过线面垂直判断方法求解. (2)建立空间直角坐标系后通过求解法向量来求面面角的正弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为，，所以，所以，由(1)知， 又，平面，所以平面，又，，所以， 所以，，两两垂直，以为坐标原点，以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系， 则，，，，所以，，， 设平面的法向量为，则， 令，则，，则， 由（1）知平面，所以平面的一个法向量为，设平面与平面夹角为， 所以， 所以， 所以平面与平面夹角的正弦值为. 18. 如图，某智慧快递物流仓库搭建直三棱柱钢制立体货架，底座托盘满足．竖直支撑立柱，搭载自主导航升降分拣小车沿立柱上下停靠，停靠位置记为，设，四面体为存放异形快件的封闭式储物仓． （1）证明：平面平面； （2）设四面体的表面积为，写出解析式，并求的取值范围； （3）分拣小车沿立柱上下工作时，为了安全，需从定点引出吊装钢索，钢索另一端点连在线段上，并且满足，求钢索的长度的取值范围. 【答案】（1）证：因为平面，平面，所以， 又，，平面，平面，所以平面， 平面，所以平面平面成立. （2） ， （3） 【解析】 【分析】(1)通过线面垂直证明面面垂直. (2)通过证明线面垂直求出棱锥的高后利用等体积法求得，进而求出表面积和其范围. (3)建立空间直角坐标系，通过垂直和平行的坐标性质求解坐标的表达式，并求解距离范围. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 作于点. 因为平面，平面，所以，又，平面， 所以平面，即为棱锥的高. 因为，所以， 解得. 因为，所以， 解得. 故表面积. 由此可知单调递增，因为，，. 所以. 【小问3详解】 建立如图空间直角坐标系， 可知，，，，， 所以，，，， 因为，所以，. 又，设，所以，. 解得，，，， 所以 ， 因为，所以 19. 定义：若四面体的三组对棱分别互相垂直，则称该四面体为对垂四面体.如图，在中，为边上的高，，，．将沿折起，得到四面体（点对应点），且满足． （1）求证：四面体为对垂四面体； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）设点在棱上，点在棱上，且满足（），记平面与平面所成的锐二面角为，求的最大值及此时的值． 【答案】（1）由折叠的不变性，折叠前，故折叠后有， 因为，且平面，所以平面， 又平面，所以． 因为，且平面，得平面， 又平面，所以． 又平面，所以平面， 又平面，所以． 综上，三组对棱两两垂直，故四面体为对垂四面体． （2） （3）时，取得最大值 【解析】 【分析】（1）利用折叠不变性与线面垂直判定定理，证明三组对棱两两垂直，满足对垂四面体定义完成证明； （2）以D为原点建空间直角坐标系，求出平面法向量，套用线面角向量公式计算正弦值； （3）根据比例参数λ写出P、Q坐标，求两平面法向量得到锐二面角余弦表达式，再用基本不等式求最大值与对应λ． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知两两互相垂直， 以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，所以， 设平面的法向量为，则，即， 令，得，故， 设直线与平面所成的角为，则， 故直线与平面所成角的正弦值为． 【小问3详解】 由，得，由，得， 所以， 设平面的法向量为，则，即， 令，得，故， 平面的一个法向量为， 锐二面角满足， 分子分母同除以，得， 由基本不等式，得，当且仅当，即时取等号， 因此，，即时，取得最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $