第二十六章 二次函数 单元综合练习 2026--2027学年人教版九年级数学上册

第二十六章《二次函数》五星版单元综合练习 人教版（2026）九年级数学上册 · 第二十六章 二次函数（约14课时） 对标《义务教育数学课程标准（2022年版）》· 基础巩固—能力提升—综合应用分层测评 适配江苏、广东、浙江、上海、山东等地区（情境素材可替换为当地数据） 项目 内容 考试范围 第二十六章 二次函数：概念、图象与性质（开口/对称轴/顶点/增减性/最值）、平移、二次函数与一元二次方程、实际问题最值；不涉及反比例函数（第二十七章） 建议时长 60分钟（基础＋提升＋综合）；月考仿真小测另计15分钟 卷面满分 100分（难度配比：基础∶提升∶综合＝5∶3∶2，按分值计） 素养指向 抽象能力、几何直观、模型观念、推理能力 地区素材 江苏（南京·喷泉公园）、广东（深圳·无人机表演）、浙江（杭州·桥梁限高）、上海（商品利润）、山东（青岛·拱桥） 题量结构（细目表） 板块 题号 题量 分值 难度 题型 基础巩固 A1–A10 10 50 ★ 选择4＋填空6 能力提升 B1–B6 6 30 ★★ 选择2＋填空2＋解答2 综合应用 C1–C3 3 20 ★★★ 解答3（利润/拱桥/喷泉） 合计 — 19 100 — — 综合与实践（附加） 项目 1 课标对接 — 项目式学习（可选做） 月考仿真小测（附加） M1–M8 8 80（另计） ★～★★ 限时15分钟 【作答说明】 1．本卷分三部分，先易后难，建议按卷面顺序作答。 2．求解析式题须写出“设式—代入—求解”过程；画草图须标出顶点、对称轴与坐标轴交点。 3．应用题按“设未知数—列函数式—配方或公式求最值—检验—作答”五步完成。 4．独立完成后对照“参考答案与解析”自评，错题归入错题本。 一、基础巩固（过关必会，每题5分，共50分） A1（选择·★）下列函数中，是二次函数的是（　） A．y=2x-1　B．y=x²+1　C．　D．y=ax²+bx+c A2（选择·★）抛物线y=3(x+2)²-1的顶点坐标是（　） A．(2,1)　B．(-2,-1)　C．(2,-1)　D．(-2,1) A3（选择·★）抛物线y=-x²+4x-3的对称轴是（　） A．直线x=2　B．直线x=-2　C．直线x=4　D．直线x=-4 A4（选择·★）将抛物线y=2x²向上平移3个单位，所得抛物线的解析式是（　） A．y=2x²+3　B．y=2x²-3　C．y=2(x+3)²　D．y=2(x-3)² A5（填空·★）抛物线y=x²-6x+8的顶点坐标是（　）。 A6（填空·★）二次函数y=-x²+2x，当x＝（　）时，y有最（　）值（　）。 A7（填空·★）抛物线y=x²-3x+2与x轴交点的横坐标是（　）。 A8（填空·★）若抛物线y=x²-2x+m的顶点在x轴上，则m＝（　）。 A9（填空·★）抛物线y=-2x²的对称轴是（　）；当x>0时，y随x增大而（　）。 A10（填空·★）二次函数y=x²-4x+3的图象与y轴的交点坐标是（　）。 二、能力提升（方法进阶，每题5分，共30分） B1（选择·★★）若二次函数y=ax²+bx+c的图象开口向下，对称轴为直线x=2，且经过点(0,-1)，则a、b、c的符号为（　） A．a<0，b>0，c<0　B．a<0，b<0，c<0　C．a<0，b>0，c>0　D．a>0，b<0，c<0 B2（选择·★★）已知二次函数y=x²-2x+c的图象与x轴有两个交点，则c的取值范围是（　） A．c<1　B．c>1　C．c≤1　D．c=1 B3（填空·★★）把抛物线y=x²-2x+3化为顶点式，得（　），其顶点坐标为（　）。 B4（填空·★★）二次函数y=-x²+2x+3的图象与x轴交于点A、B（A在B左侧），则AB的长为（　）。 B5（解答·★★）已知二次函数的图象经过点(0,1)、(1,0)、(-1,6)，求该函数的解析式。 B6（解答·★★）已知抛物线y=x²+bx+c经过点(1,0)和(-3,0)。 (1) 求b、c的值； (2) 求抛物线的顶点坐标，并说明抛物线在x< -1时的增减性。 三、综合应用（素养落地，共20分） C1（跨学科·财经·★★★）（上海·示例数据）某商店销售一种商品，进价为每件40元，售价为每件60元，每天可售出80件。市场调查发现：每件售价每上涨1元，每天少卖2件。设每件上涨x元，每天的利润为y元。（本题6分） (1) 求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围； (2) 每件上涨多少元时，每天利润最大？最大利润是多少？ C2（跨学科·工程·★★★）（山东·青岛）如图1，一座抛物线形拱桥，拱顶到水面的距离为5米，水面宽为10米。以拱顶O为原点建立平面直角坐标系，桥拱可用y=ax²表示。（本题6分） (1) 求该抛物线的解析式； (2) 一条宽6米、高3米的货船要安全通过（货船顶部到水面3米），判断能否通过并说明理由。 图1　抛物线形拱桥（C2） C3（跨学科·信息科技·★★★）（江苏·南京）某公园喷泉的水柱可近似看作抛物线y=-0.05x²+0.8x（x、y的单位为米，喷口在地面原点处）。（本题8分） (1) 水柱最高点离喷口的水平距离和最大高度各是多少米？ (2) 若喷泉周围设置安全警戒线，要求游客站在水柱射程外，警戒线至少应离喷口多少米？（射程指水柱落回地面的水平距离） 四、综合与实践 · 项目式学习（附加，可选做） 【项目名称】身边的最值 任务1　发现问题：从生活（商品定价、车流量、足球射门高度、喷泉射程）中找出一个可用二次函数描述的问题。 任务2　收集数据：测量或查找3组以上数据（如售价与销量、水平距离与高度），记录成表。 任务3　建立模型：用待定系数法求出y与x的二次函数关系式（可用AI工具辅助验算）。 任务4　求解最优：求对称轴、顶点，解释最值的实际意义，并检验结果是否合理。 任务5　展示交流：用图表把“数据—模型—最值”讲给同学听，接受提问。 课标对接：“综合与实践”以跨学科主题学习与项目式学习为主，本项目融合财经（定价策略）、物理（抛体）、信息科技（AI验算）与统计（数据整理）。 评价维度 分值 评价标准 问题与数据 20 问题真实、数据≥3组、来源清楚 建模过程 30 解析式正确、待定系数法步骤完整 最值解释 20 最值实际意义说明清楚、检验合理 表达交流 20 图表规范、讲解有条理 合作反思 10 协作良好、有反思改进 延伸思考：本章用“配方”求最值的方法，与第一课时“一元二次方程”的配方一脉相承；抛物线模型还将在物理的抛体运动中继续使用。 五、月考加油站 · 仿真小测（限时15分钟，满分80分，每题10分） M1（选择·★）抛物线y=-(x-2)²+1的顶点坐标是（　） A．(2,1)　B．(-2,1)　C．(2,-1)　D．(-2,-1) M2（选择·★）下列函数中，y随x的增大而增大的是（　） A．y=x²（x>0）　B．y=x²（x<0）　C．y=-x²（x>0）　D．y=-x（x>0） M3（填空·★）抛物线y=x²-2x-3的对称轴是直线（　）。 M4（填空·★）将抛物线y=x²+1先向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线的解析式是（　）。 M5（填空·★）若抛物线y=x²+2x+m与x轴只有一个交点，则m＝（　）。 M6（填空·★★）二次函数y=x²-4x+3的最小值是（　）。 M7（解答·★★）已知抛物线y=x²+bx+c经过点(0,-3)和(1,0)，求b、c及抛物线的顶点坐标。 M8（解答·★★★）某果园有100棵果树，平均每棵结600个果实。市场调查：多种1棵果树，平均每棵少结5个果实。问多种多少棵时，总产量最大？最大产量是多少？ 六、上好复习课 · 方法指引 【复习方法】 1．主线先行：概念→图象性质→方程联系→应用最值，先默写主线再动笔。 2．图形辅助：每题先画草图（开口、对称轴、顶点、与坐标轴交点），再算再答。 3．对比记忆：三种解析式的图象性质列表对比；平移规律“左加右减、上加下减”反复口述。 4．一题多解：求顶点用配方法与公式法各算一遍互验；最值问题先找对称轴再看自变量的取值范围。 5．限时自评：基础＋提升部分建议40分钟内完成，对照答案解析自评，记录丢分类型。 衔接展望（教师参考）：二次函数是初中函数体系的集大成者，其图象与性质、最值模型将在第二十七章反比例函数的学习中作对比参照；学生题目中不涉及反比例函数内容。 七、AI辅助学习 · 错题门诊 用AI工具辅助复习时，建议按“三步门诊法”操作，把AI当作“学习助手”而不是“答案机器”： 步骤 操作 注意 1 诊断 把错题发给AI工具（如豆包），请它分析考查的知识点 不发送真实姓名、学校、家庭住址等隐私信息 2 变式 请AI出2道同类变式题（难度递进），独立完成后核对 先自己思考，再对照答案 3 核查 用图象与公式逐条检验AI解析（重点核查顶点坐标、平移方向、最值位置） AI答案仅供参考，以课本和老师讲解为准 八、参考答案与解析 先独立完成全部题目，再对照本部分核验；解析中给出关键步骤、评分要点与错误原因，帮助自评自纠。 （一）基础巩固（每题5分，共50分） A1　B。解析：A是一次函数；C含不是整式；D未说明a≠0。y=x²+1是二次函数。 A2　B。解析：顶点式y=a(x-h)²+k的顶点为(h,k)，y=3(x+2)²-1顶点为(-2,-1)。 A3　A。解析：y=-(x-2)²+1，对称轴x=2（配方：y=-(x²-4x)-3=-(x-2)²+1）。 A4　A。解析：上加下减，y=2x²+3。 A5　(3,-1)。解析：y=(x-3)²-1。 A6　1；大；1。解析：y=-(x-1)²+1，开口向下，x=1时取最大值1。 A7　1和2。解析：x²-3x+2=0，(x-1)(x-2)=0。 A8　1。解析：顶点在x轴上⇔Δ=(-2)²-4m=0，m=1。 A9　直线x=0（y轴）；减小。解析：a=-2<0，对称轴x=0，对称轴右侧y随x增大而减小。 A10　(0,3)。解析：令x=0，y=3。 （二）能力提升（每题5分，共30分） B1　A。解析：开口向下→a<0；对称轴且a<0→b>0；过(0,-1)→c<0。 B2　A。解析：两个交点⇔Δ=(-2)²-4c>0，c<1。 B3　y=(x-1)²+2；(1,2)。解析：配方x²-2x+3=(x-1)²+2。 B4　4。解析：令y=0：-x²+2x+3=0，x²-2x-3=0，(x-3)(x+1)=0，交点(-1,0)、(3,0)，AB=4。 B5　y=2x²-3x+1。解析：设y=ax²+bx+c，由(0,1)得c=1；a+b+1=0，a-b+1=6，解得a=2，b=-3。评分要点：设式1分、列方程3分、求解2分。 B6　(1) 由(1,0)、(-3,0)得1+b+c=0，9-3b+c=0，解得b=2，c=-3（也可用x₁+x₂=-b，x₁x₂=c：1+(-3)=-2=-b→b=2；1×(-3)=-3=c）。(2) y=(x+1)²-4，顶点(-1,-4)；开口向上，对称轴x=-1，当x<-1时y随x增大而减小。 （三）综合应用（共20分） C1　(1) y=(60+x-40)(80-2x)=(20+x)(80-2x)=-2x²+40x+1600，由80-2x≥0得0≤x≤40。(2) y=-2(x-10)²+1800，当x=10时y最大=1800（元）。答：每件上涨10元，最大利润1800元。评分要点：关系式3分（含范围），最值3分。 C2　(1) 水面在y=-5处，水面宽10米，则A、B坐标为(-5,-5)、(5,-5)，代入y=ax²得-5=a·25，a=-，故y=-。(2) 货船宽6米，船身两侧距对称轴3米；当x=3时y=-=-1.8，该处拱到水面的高度为(-1.8)-(-5)=3.2米>3米（船高），所以能安全通过。评分要点：解析式3分，判断3分。 C3　(1) y=-0.05x²+0.8x=-0.05(x-8)²+3.2，最高点离喷口8米、最大高度3.2米。(2) 令y=0：-0.05x²+0.8x=0，x(-0.05x+0.8)=0，x=0或x=16，射程16米，警戒线至少离喷口16米。评分要点：第(1)问4分、第(2)问4分。 （四）月考仿真小测（每题10分，共80分） M1　A。解析：顶点(2,1)。 M2　A。解析：y=x²开口向上，对称轴x=0，x>0时y随x增大而增大。 M3　x=1。解析：y=(x-1)²-4。 M4　y=(x+1)²-1。解析：左移1单位（x+1）、下移2单位（-2）：y=(x+1)²+1-2=(x+1)²-1。 M5　1。解析：只有一个交点⇔Δ=4-4m=0，m=1。 M6　-1。解析：y=(x-2)²-1，最小值-1。 M7　由(0,-3)得c=-3；由(1,0)得1+b-3=0，b=2；y=x²+2x-3=(x+1)²-4，顶点(-1,-4)。 M8　多种10棵时总产量最大，最大产量60500个。解析：设多种x棵，总产量y=(100+x)(600-5x)=-5x²+100x+60000=-5(x-10)²+60500，当x=10时y最大=60500。检验：(100+10)×(600-5×10)=110×550=60500（个）。 说明：本卷题目为原创命制；情境数据（利润、桥宽、喷泉、果园产量等）为示例或公共常识性约值，教师可替换为当地真实数据；对标《义务教育数学课程标准（2022年版）》编写，可在教学与组卷中合理使用。 1 学科网（北京）股份有限公司 $