第二十六章二次函数——二次函数y=a(x-h)2的性质 同步练习 2026-2027学年人教版数学九年级上册

二次函数y=a(x-h)2的性质作业 一．选择题（共6小题） 1．二次函数y＝（x﹣3）2+2的最小值是（　　） A．﹣3 B．﹣2 C．2 D．3 2．已知抛物线y＝（x﹣h）2，其中h＞0，该抛物线示意图是（　　） A． B． C． D． 3．有下列二次函数： ①y＝﹣x2+2；②y＝2x2﹣4x+2；③y＝x2；④y＝﹣x2+2x+3；⑤；⑥． 其图象的顶点在y轴上的个数为（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 4．将抛物线y向左平移2个单位后，得到的新抛物线的解析式是（　　） A． B．y C．y D．y 5．在同一直角坐标系中，一次函数y＝ax+c和二次函数y＝a（x+c）2的图象大致为（　　） A． B． C． D． 6．已知二次函数y＝x2+bx+c过点（0，﹣3）和（﹣1，2m﹣2）对于该二次函数有如下说法： ①它的图象与x轴有两个公共点； ②若存在一个正数x0，使得当x＜x0时，函数值y随x的增大而减小，则m＞0；若存在一个负数x0，使得当x＞x0时，函数值y随x的增大而增大，则m＜0； ③若将它的图象向左平移3个单位后过原点，则m＝﹣1； ④若当x＝2时的函数值与x＝2012时的函数值相等，则当x＝20时的函数值为﹣3． 其中正确的说法的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 二．填空题（共3小题） 7．抛物线y＝4（x﹣3）2+2的顶点坐标是 __________ ． 8．二次函数y＝3（x﹣5）2的图象上有两点P（2，y1），Q（6，y2），则y1和y2的大小关系是__________ ． 9．把抛物线yx2向左平移3个单位，就得到抛物线____________________ ，抛物线y（x﹣3）2是由抛物线yx2向_____ 平移_____ 个单位得到的，抛物线y（x﹣1）2可以由y（x﹣4）2的图象向_____ 平移_____ 个单位得到． 三．解答题（共5小题） 10．用配方法把下列函数化成y＝a（x﹣h）2的形式，并指出开口方向，顶点坐标和对称轴． （1）y＝x2+4x+4； （2）yx2+3x． 11． 求形状与y＝﹣2（x+3）2的图象形状相同，但开口方向不同，顶点坐标是（1，0）的抛物线解析式． 12． 已知抛物线y＝a（x﹣h）2的对称轴为直线x＝﹣1，且过点（1，﹣4），求抛物线的解析式． 13．抛物线y＝a（x﹣h）2的对称轴是直线x＝﹣2，且过点（1，﹣3）． （1）求抛物线的解析式； （2）求抛物线的顶点坐标； （3）当x为何值时，y随x的增大而增大？ 14．如图，将抛物线y＝x2向右平移a个单位长度，顶点为A，与y轴交于点B，且△AOB为等腰直角三角形． （1）求a的值； （2）在图中的抛物线上是否存在点C，使△ABC为等腰直角三角形？若存在，直接写出点C的坐标，并求S△ABC；若不存在，请说明理由． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 二次函数y=a(x-h)2的性质作业答案与试题解析 一．选择题（共6小题） 1．【分析】根据二次函数的顶点式特征，当开口向上时，函数在顶点处取得最小值． 【解答】解：∵抛物线y＝（x﹣3）2+2的二次项系数a＝1＞0，顶点坐标为（3，2）， ∴函数有最小值，最小值为2． 故选：C． 2．【分析】根据二次函数顶点式的图象特征求解． 【解答】解：已知抛物线y＝（x﹣h）2，其中h＞0， 所以对称轴为直线x＝h，并且顶点坐标为（h，0）在x轴的正半轴， 故B、C、D错误，不符合题意， 故选：A． 3．【分析】根据图象的顶点在y轴上，可得出b＝0，再进行选择即可． 【解答】解：∵图象的顶点在y轴上， ∴b＝0， ∴①y＝﹣x2+2；③y＝x2；⑤； 故选：B． 4．【分析】按照“左加右减，上加下减”的规律，进而得出平移后抛物线的解析式即可． 【解答】解：将抛物线y向左平移2个单位后，得到的新抛物线的解析式是：y（x+2）2． 故选：A． 5．【分析】根据函数图象分别确定系数的正负，同一字母在同一图象中取值不能相异，据此判定即可． 【解答】解：A、函数y＝ax+c中，a＞0，c＞0，y＝a（x+c）2中，a＜0，c＜0，故A错误； B、函数y＝ax+c中，a＜0，c＞0，y＝a（x+c）2中，a＜0，c＞0，故B正确； C、函数y＝ax+c中，a＞0，c＜0，y＝a（x+c）2中，a＞0，c＞0，故C错误； D、函数y＝ax+c中，a＜0，c＞0，y＝a（x+c）2中，a＞0，c＜0，故D错误． 故选：B． 6．【分析】把已知点的坐标代入可得y＝x2﹣2mx﹣3，可利用方程x2﹣2mx﹣3＝0的判别式判断①；可求得其对称轴为x＝m，结合二次函数的增减性可判断②；根据左加右减的原则，可求得平移后的解析式，可判断③；根据二次函数的对称性，可求得对称轴，可求得m的值，再把x＝20代入，可求得对应函数值，可判断④；可得出答案． 【解答】解： ∵二次函数y＝x2+bx+c过点（0，﹣3）和（﹣1，2m﹣2） ∴代入可求得c＝﹣3，b＝﹣2m， ∴二次函数解析式为y＝x2﹣2mx﹣3， 令y＝0可得x2﹣2mx﹣3＝0，则其判别式Δ＝4m2+12＞0，故二次函数图象与x轴有两个公共点， ∴①正确； ∴二次函数的对称轴为x＝m，且二次函数图象开口向上， ∴若存在一个正数x0，使得当x＜x0时，函数值y随x的增大而减小，则m＞0；若存在一个负数x0，使得当x＞x0时，函数值y随x的增大而增大，则m＜0， ∴②正确； 由平移可得向左平移3个单位后其函数解析式为y＝（x+3）2﹣2m（x+3）﹣3，把点（0，0）代入可得m＝1， ∴③不正确； 由当x＝2时的函数值与x＝2012时的函数值相等，代入可求得m＝1007， ∴函数解析式为y＝x2﹣2014x﹣3， 当x＝20时，代入可得y＝400﹣4028﹣3≠﹣3， ∴④不正确； 综上可知正确的有两个， 故选：B． 二．填空题（共3小题） 7．【分析】已知抛物线解析式为顶点式，可直接写出顶点坐标． 【解答】解：∵y＝4（x﹣3）2+2为抛物线的顶点式， ∴抛物线的顶点坐标为（3，2）． 故答案为：（3，2）． 8．【分析】直接把P点和Q点的坐标代入解析式分别计算出y1与y2，然后比较大小． 【解答】解：把P（2，y1），Q（6，y2）分别代入y＝3（x﹣5）2得 y1＝3×（2﹣5）2＝27，y2＝3×（6﹣5）2＝3， 所以y1＞y2． 故答案为y1＞y2． 9．【分析】直接由“左加右减，上加下减”的规律进行解题即可． 【解答】解：由平移规律“左加右减”得到： 把抛物线yx2向左平移3个单位，就得到抛物线 y（x+3）2，抛物线y（x﹣3）2是由抛物线yx2向 右平移 3个单位得到的，抛物线y（x﹣1）2可以由y（x﹣4）2的图象向左平移3个单位得到． 故答案为：y（x+3）2；右；3；左；3． 三．解答题（共5小题） 10．【分析】根据配方法把一般式化为顶点式，根据二次函数的性质确定开口方向，顶点坐标和对称轴． 【解答】解：（1）y＝x2+4x+4＝（x+2）2， 则抛物线开口向上，顶点坐标为（﹣2，0），对称轴为x＝﹣2； （2）yx2+3x（x﹣3）2， 则抛物线开口向下，顶点坐标为（3，0），对称轴为x＝3． 11．【分析】根据题意确定出a的值，再由顶点坐标求出解析式即可 【解答】解：形状与y＝﹣2（x+3）2的图象形状相同，但开口方向不同，顶点坐标是（1，0）， 此抛物线解析式为y＝2（x﹣1）2+0＝2x2﹣4x+2． 12．【分析】根据抛物线y＝a（x﹣h）2的对称轴为直线x＝﹣1，得h＝﹣1，再把（1，﹣4）代入进行计算，即可作答． 【解答】解：由条件可知抛物线的对称轴是直线x＝﹣1， ∴h＝﹣1， ∴抛物线解析式为y＝a（x+1）2， ∴﹣4＝4a， 解得a＝﹣1， ∴抛物线解析式为y＝﹣（x+1）2． 13．【分析】（1）根据待定系数法确定函数关系式即可得到答案； （2）根据（1）中抛物线顶点式的性质即可得到顶点坐标； （3）根据二次函数图象与性质即可得到答案． 【解答】解：（1）∵抛物线y＝a（x﹣h）2的对称轴是直线x＝﹣2， ∴h＝﹣2， ∵抛物线y＝a（x+2）2过点（1，﹣3）， ∴﹣3＝a×（1+2）2，解得， ∴抛物线的解析式为； （2）由（1）知，抛物线的解析式为， ∴抛物线的顶点坐标为（﹣2，0）； （3）解：由（1）知，抛物线的解析式为， ∵， ∴抛物线开口向下， ∴当x≤﹣2时，y随x的增大而增大． 14．【分析】（1）根据平移的性质找出平移后的抛物线的解析式y＝x2﹣2ax+a2，令其x＝0找出点B的坐标，根据△AOB为等腰直角三角形即可得出关于a的一元二次方程，解方程即可求出a值； （2）作点B关于抛物线对称轴对称的点C，连接BC，交抛物线的对称轴于点D，根据等腰直角三角形的判定定理找出△ABC为等腰直角三角形，由抛物线的对称性结合点B的坐标即可得出点C的坐标，再利用三角形的面积公式即可求出S△ABC的值． 【解答】解：（1）平移后的抛物线的解析式为y＝（x﹣a）2＝x2﹣2ax+a2， 令y＝x2﹣2ax+a2中x＝0，则y＝a2， ∴B（0，a2）． ∵△AOB为等腰直角三角形， ∴a＝a2，解得：a＝1或a＝0（舍去）． 故a的值为1． （2）作点B关于抛物线对称轴对称的点C，连接BC，交抛物线的对称轴于点D，如图所示． ∵△AOB为等腰直角三角形， ∴△ABD为等腰直角三角形， ∴∠BAD＝45°． ∵AD为抛物线的对称轴， ∴AB＝AC，∠CAD＝∠BAD＝45°， ∴△ABC为等腰直角三角形． ∵点B（0，1），抛物线对称轴为x＝1， ∴点C的坐标为（2，1）． S△ABCAB•AC1． 故在图中的抛物线上存在点C，使△ABC为等腰直角三角形，点C的坐标为（2，1）且S△ABC＝1． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/9/23 10:58:53；用户：姚红淼；邮箱：13360151528；学号：28124974 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $