7.4 事件的独立性 拔高练习-2026-2027学年高一上学期数学北师大版必修第一册

7.4 事件的独立性 1.一个电路如图所示，A，B，C，D，E，F为6个开关，其闭合的概率均为，且是相互独立的，则灯亮的概率是( ) A. B. C. D. 2.某科研小组共60名成员，他们需要完成甲、乙、丙、丁四个科研项目，科研成员随机参与，且每个人可以参与一个或多个项目.若参与甲项目的有30人，参与乙项目的有10人，参与丙项目的有20人，参与丁项目的有30人，参与了甲项目或乙项目的共有40人，同时参与了甲项目和丙项目的有10人，参与了甲项目或丁项目的共有60人，则下列说法正确的是( ) A.参与甲项目与参与乙项目不互斥 B.参与甲项目与参与丁项目互斥但不对立 C.参与丙项目与参与丁项目不相互独立 D.参与甲项目与参与丙项目相互独立 3.设事件，事件，已知事件A与事件B相互独立，则样本空间可能是( ) A. B. C. D. 4.某产品需要通过两类质量检验才能出货.已知该产品第一类检验单独通过率为，第二类检验单独通过率为，规定：第一类检验不通过，则不能进入第二类检验，每类检验未通过可修复后再检验一次，修复后不用从头检验，通过率不变且每类检验最多两次，且各类检验间相互独立.若该产品能出货的概率为，则( ) A. B. C. D. 5.某次战役中，狙击手A受命射击敌机，若要击落敌机，需命中机首2次或命中机中3次或命中机尾1次.已知A每次射击，命中机首、机中、机尾的概率分别为0.2，0.4，0.1，未命中敌机的概率为0.3，且各次射击互相独立，若A至多射击两次，则他能击落敌机的概率为( ) A.0.23 B.0.24 C.0.25 D.0.26 6.某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛结果相互独立.已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为，，，且.记该棋手连胜两盘的概率为p，则( ) A. p与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序无关 B.该棋手在第二盘与甲比赛，p最大 C.该棋手在第二盘与乙比赛，p最大 D.该棋手在第二盘与丙比赛，p最大 7.（多选）以下叙述不正确的是( ) A.若事件A，B，C两两独立，则 B.若，则事件A，B，C两两独立 C.若，则事件A，B，C两两互斥 D.若事件A，B，C两两互斥，则 8.（多选）在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立.发送0时，收到1的概率为，收到0的概率为；发送1时，收到0的概率为，收到1的概率为.考虑两种传输方案：单次传输和三次传输.单次传输是指每个信号只发送1次；三次传输是指每个信号重复发送3次.收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码（例如，若依次收到1，0，1，则译码为1）.( ) A.采用单次传输方案，若依次发送1，0，1，则依次收到1，0，1的概率为 B.采用三次传输方案，若发送1，则依次收到1，0，1的概率为 C.采用三次传输方案，若发送1，则译码为1的概率为 D.当时，若发送0，则采用三次传输方案译码为0的概率大于采用单次传输方案译码为0的概率 9.已知甲、乙两人每次射击命中目标的概率分别为和，甲和乙是否命中目标互不影响，且各次射击是否命中目标也互不影响.若按甲、乙、甲、乙……的次序轮流射击，直到有一人击中目标就停止射击，则停止射击时，甲射击了两次的概率是__________. 10.三个元件a，b，c独立正常工作的概率分别是，，，把它们随意接入如图所示电路的三个接线盒，，中（一盒接一个元件），各种连接方法中，此电路正常工作的最大概率是__________. 11.甲、乙两名同学参加一项射击比赛游戏，每射击一次，命中目标得2分，未命中目标得0分.若甲、乙两人射击的命中率分别为和p，且甲、乙两人各射击一次得分之和为2分的概率为.假设甲、乙两人射击互不影响，则两人各射击一次得分之和不少于2分的概率为___________. 12.投壶，源于射礼，是中国古代宴饮时的一种投掷游戏及礼仪，参与者需在一定距离外将箭投入壶中计算得分，每场投中情况分“有初”“贯耳”“散射”“双耳”“倚杆”五种，其中“有初”算“两筹”，“贯耳”算“四筹”，“散射”算“五筹”，“双耳”算“六筹”，“倚杆”算“十筹”，投不中算“零筹”.现有比赛分两轮，第一轮是每人单独进行两场，只要获得筹数之和不为零就可以进入第二轮；第二轮为淘汰赛，两人比赛三场，以获得的总筹数多者为胜.假设每场比赛中甲投中“有初”的概率为，投中“贯耳”的概率为，投中“散射”的概率为，投中“双耳”的概率为，投中“倚杆”的概率为，乙的投掷水平与甲相同.假设甲、乙每人每次投掷结果均相互独立. （1）求乙每场比赛获得的筹数不超过“两筹”的概率； （2）求甲能进入第二轮的概率； （3）现甲、乙两人均进入第二轮，且第二轮比赛中第一场两人平局，第二场甲投中“贯耳”，乙投中“双耳”，求三场比赛结束时，甲获胜的概率. 答案以及解析 1.答案：B 解析：设A与B中至少有一个不闭合为事件T，E与F中至少有一个不闭合为事件R，C，D闭合的事件分别为G，H，则，所以灯亮的概率，故选B. 2.答案：D 解析：设总人数为m，记参与甲、乙、丙、丁项目分别为事件A，B，C，D，由题意可得，，，故，故参与甲项目与参与乙项目互斥，故A错误； 由题意可得，，，故，故参与甲项目与参与丁项目互斥且对立，故B错误； 由题意得，，， 故，，， 故，故参与丙项目与参与丁项目相互独立，故C错误； ，，， 故参与甲项目与参与丙项目相互独立，故D正确.故选D. 3.答案：B 解析：设样本空间中含有n个样本点，由已知可得，，所以，.因为事件A与事件B相互独立，所以，即，解得，又中样本点一定有1，2，3，故结合选项知B正确. 4.答案：C 解析：设表示第i次通过第一类检验，表示第i次通过第二类检验，由题意，得，即，解得或（舍去）.故选C. 5.答案：A 解析：狙击手A每次射击，命中机首、机中、机尾的概率分别为0.2，0.4，0.1，未命中敌机的概率为0.3，且各次射击相互独立，若狙击手A射击一次就击落敌机，则他击中了敌机的机尾，故概率为0.1；若狙击手A射击2次就击落敌机，则他2次都击中了敌机的机首，概率为，或者狙击手A第一次没有击中机尾且第二次击中了机尾，概率为，所以狙击手A至多射击两次，则他能击落敌机的概率为，故选A. 6.答案：D 解析：该棋手连胜两盘，则第二盘为必胜盘，记该棋手在第二盘与甲比赛，比赛顺序为乙、甲、丙及丙、甲、乙的概率均为，则此时连胜两盘的概率为，则.记该棋手在第二盘与乙比赛，且连胜两盘的概率为，则，记该棋手在第二盘与丙比赛，且连胜两盘的概率为，则，则，，即，即，，则该棋手在第二盘与丙比赛，连胜两盘的概率p最大，选项D判断正确，选项BC判断错误；p与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序有关，选项A判断错误.故选D. 7.答案：AB 解析：对于A，若事件A，B，C两两独立，则，，，抛两次硬币，记事件A：第一次正面向上，事件B：第二次正面向上，事件C：两次结果相同，则，，显然满足前提，但，此时，不满足，故A错误； 对于B，对于样本空间，若，，，则，所以，且，此时满足，但，即，显然，即A，C不相互独立，故B错误； 对于C，若，而，所以，必有，即事件A，B，C两两互斥时成立，故C正确； 对于D，若事件A，B，C两两互斥，必有，故D正确. 故选AB. 8.答案：ABD 解析：对于A，发1收1的概率为，发0收0的概率为，发1收1的概率为，所以所求概率为，故A正确.对于B，相当于发了1，1，1，收到1，0，1，则概率为，故B正确.对于C，相当于发了1，1，1，收到1，1，0或1，0，1或0，1，1或1，1，1，则概率为，故C不正确.对于D，发送0，采用三次传输方案译码为0，相当于发0，0，0，收到0，0，1或0，1，0或1，0，0或0，0，0，则此方案的概率；发送0，采用单次传输方案译码为0的概率，当时，，故D正确. 9.答案： 解析：设事件A表示“甲射击一次，命中目标”，事件B表示“乙射击一次，命中目标”，则A，B相互独立，停止射击时甲射击了两次包括两种情况：①甲、乙第一次射击都未命中，甲第二次射击命中，此时的概率为；②甲、乙第一次射击都未命中，甲第二次射击未命中，乙第二次射击命中，此时的概率为.故停止射击时，甲射击了两次的概率是. 10.答案： 解析：若接入a，，分别接入b，c，则该电路正常工作的概率为； 若接入b，，分别接入a，c，则该电路正常工作的概率为； 若接入c，，分别接入a，b，则该电路正常工作的概率为； ，此电路正常工作的最大概率为.故答案为. 11.答案： 解析：设“甲射击一次，命中目标”为事件A，“乙射击一次，命中目标”为事件B，则“甲射击一次，未命中目标”为事件，“乙射击一次，未命中目标”为事件， 那么由已知条件可知，，，. 甲、乙两人各射击一次得分之和为2分有两种情形：甲命中，乙未命中；乙命中，甲未命中，即得分之和为2分的概率为， 依题意，得，解得. 两人各射击一次得分之和不少于2分的对立事件是两人各射击一次得分之和为0分， 则两人各射击一次得分之和为0分的概率为， 故两人各射击一次得分之和不少于2分的概率为. 12.答案：（1） （2） （3） 解析：（1）每场比赛获得的筹数与概率列表如下： 筹数 二 四 五 六 十 零 P 设“乙每场比赛获得的筹数不超过‘两筹’”为事件A， 则. （2）设“甲能进入第二轮”为事件B，则. （3）若甲获胜，则在第三场比赛中，甲比乙至少多得“三筹”.分以下四种情况： ①甲得“四筹”，乙得“零筹”，此种情况发生的概率； ②甲得“五筹”，乙得“零筹”或“两筹”，此种情况发生的概率； ③甲得“六筹”，乙得“零筹”或“两筹”，此种情况发生的概率 ④甲得“十筹”，乙得“零筹”或“两筹”或“四筹”或“五筹”或“六筹”， 此种情况发生的概率， 故甲获胜的概率. 学科网（北京）股份有限公司 $