课时作业(43) 事件的独立性（Word练习）-【金榜题名】2026-2027学年高一数学必修第一册高中同步学案（北师大版）

课时作业(四十三)　事件的独立性 [基础达标练] 1．(多选)若P(AB)＝，P()＝，P(B)＝，则事件A与B的关系说法不正确的是(　　) A．事件A与B互斥 B．事件A与B对立 C．事件A与B相互独立 D．事件A与B既互斥又相互独立 答案：ABD 2．种植两株不同的花卉，若它们的成活率分别为p和q，则恰有一株成活的概率为(　　) A．pq　　　　　　　　B．p＋q C．p＋q－pq D．p＋q－2pq 解析：选D　恰有一株成活的概率为p(1－q)＋(1－p)q＝p＋q－2pq. 3．从甲袋中摸出一个红球的概率是，从乙袋中摸出一个红球的概率是，从两袋中各摸出一个球，则等于(　　) A．2个球不都是红球的概率 B．2个球都是红球的概率 C．至少有1个红球的概率 D．2个球中恰有1个红球的概率 解析：选C　分别记“从甲、乙袋中摸出一个红球”为事件A，B，则P(A)＝，P(B)＝.由于A，B相互独立，所以1－P()P()＝1－×＝.根据互斥事件可知C正确． 4．一个电路如图所示，A，B，C，D，E，F为6个开关，其闭合的概率都是，且是相互独立的，则灯亮的概率是(　　) A． B． C． D． 解析：选B　设“A与B中至少有一个不闭合”的事件为T，“E与F中至少有一个不闭合”的事件为R，则P(T)＝P(R)＝1－×＝， 设“C不闭合”的事件为C，“D不闭合”的事件为D， 所以灯亮的概率为P＝1－P(T)P(R)P(C)P(D)＝. 5．某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同，且在两次罚球中至多命中一次的概率为，则该队员每次罚球的命中率为________． 答案： 6．已知A，B是相互独立事件，且P(A)＝，P(B)＝，则P(A)＝________；P()＝________． 答案：　 7．在同一时间内，甲、乙两个气象台独立预报天气准确的概率分别为和.求： (1)甲、乙两个气象台同时预报天气准确的概率； (2)至少有一个气象台预报准确的概率． 解：记“甲气象台预报天气准确”为事件A，“乙气象台预报天气准确”为事件B. 显然事件A，B相互独立，且P(A)＝，P(B)＝. (1)甲、乙两个气象台同时预报天气准确的概率为P(AB)＝P(A)P(B)＝×＝. (2)至少有一个气象台预报准确的概率为 P＝1－P()＝1－P()P()＝1－×＝. 8．计算机考试分理论考试与实际操作两部分进行，每部分考试成绩只记“合格”与“不合格”，两部分考试都“合格”者，则计算机考试“合格”，并颁发合格证书．甲、乙、丙三人在理论考试中“合格”的概率依次为，，，在实际操作考试中“合格”的概率依次为，，，所有考试是否合格相互之间没有影响． (1)假设甲、乙、丙三人同时进行理论与实际操作两项考试，谁获得合格证书的可能性最大？ (2)这三人进行理论与实际操作两项考试后，求恰有两人获得合格证书的概率． 解：(1)记“甲获得合格证书”为事件A，“乙获得合格证书”为事件B，“丙获得合格证书”为事件C，则 P(A)＝×＝， P(B)＝×＝， P(C)＝×＝. 因为P(C)>P(B)>P(A)，所以丙获得合格证书的可能性最大． (2)设“三人考试后恰有两人获得合格证书”为事件D， 由题意知三人是否获得合格证书相互独立，则 P(D)＝P(AB)＋P(AC)＋P(BC)＝××＋××＋××＝. [能力提升练] 9．在下图所示的电路图中，开关a，b，c闭合与断开的概率都是，且是相互独立的，则灯亮的概率是(　　) A． B． C． D． 解析：选B　设开关a，b，c闭合的事件分别为A，B，C，则灯亮这一事件E＝ABC∪AB∪AC，且A，B，C相互独立，ABC，AB，AC互斥， 所以P(E) ＝P(ABC∪AB∪AC) ＝P(ABC) ＋P(AB) ＋P(AC) ＝P(A)P(B)P(C)＋P(A)P(B)P()＋P(A)P()P(C) ＝××＋××＋××＝. 10．(多选)甲、乙两人练习射击，命中目标的概率分别为和，甲、乙两人各射击一次，有下列说法正确的是(　　) A．目标恰好被命中一次的概率为＋ B．目标恰好被命中两次的概率为× C.目标被命中的概率为×＋× D．目标被命中的概率为1－× 解析：选BD　A错误，目标恰好被命中一次的概率为×＋×；B正确，目标恰好被命中两次的概率为×；目标被命中的概率为1－×，所以C错误，D正确． 11．加工某一零件需经过三道工序，设第一、二、三道工序的次品率分别为，，且各道工序互不影响，则加工出来的零件的次品率为________． 解析：依题意得，加工出来的零件的正品率是××＝，因此加工出来的零件的次品率是1－＝. 答案： 12．台风在危害人类的同时，也在保护人类．台风给人类送来了淡水资源，大大缓解了全球水荒，另外还使世界各地冷热保持相对均衡．甲、乙、丙三颗卫星同时监测台风，在同一时刻，甲、乙、丙三颗卫星准确预报台风的概率分别为0.8，0.7，0.9，各卫星间相互独立，则在同一时刻至少有两颗预报准确的概率是________． 解析： 设甲、乙、丙预报准确依次记为事件A，B，C， 则P(A)＝0.8，P(B)＝0.7，P(C)＝0.9，P() ＝0.2，P()＝0.3，P()＝0.1，至少两颗预报准确的事件有AB，AC，BC，ABC，这四个事件两两互斥且独立． 所以至少两颗预报准确的概率为 P＝P(AB)＋P(AC)＋P(BC)＋P(ABC) ＝0.8×0.7×0.1＋0.8×0.3×0.9＋0.2×0.7×0.9＋0.8×0.7×0.9＝0.056＋0.216＋0.126＋0.504＝0.902. 答案：0.902 13．甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束．经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空．设每场比赛双方获胜的概率都为. (1)求甲连胜四场的概率； (2)求需要进行第五场比赛的概率； (3)求丙最终获胜的概率． 解：(1)记事件M：甲连胜四场， 则P(M)＝＝. (2)记事件A为甲输，事件B为乙输，事件C为丙输， 则四局内结束比赛的概率为 P′＝ P(ABAB) ＋P(ACAC) ＋P(BCBC)＋P(BABA)＝4×＝， 所以需要进行第五场比赛的概率为 P＝1－P′＝. (3)记事件A为甲输，事件B为乙输，事件C为丙输， 记事件M：甲赢，记事件N：丙赢， 则甲赢的基本事件包括：BCBC、ABCBC、ACBCB、BABCC、BACBC、BCACB、BCABC、BCBAC. 所以甲赢的概率为 P(M)＝＋7×＝. 由对称性可知，乙赢的概率与甲赢的概率相等，所以丙赢的概率为P(N)＝1－2×＝. [素养拓展练] 14．已知某种高炮在它控制的区域内击中敌机的概率为0.2. (1)假定有5门这种高炮控制某个区域，求敌机进入这个区域后未被击中的概率； (2)要使敌机一旦进入这个区域后有0.9以上的概率被击中，需至少布置几门高炮？ 解：(1)设“敌机被第k门高炮击中”的事件为Ak(k＝1，2，3，4，5)，那么“5门高炮都未击中敌机”的事件为1 2 3 4 5. ∵事件A1，A2，A3，A4，A5相互独立， ∴敌机未被击中的概率为P(1 2 3 4 5) ＝P(1)P(2)P(3)P(4)P(5) ＝(1－0.2)5＝. ∴敌机未被击中的概率为. (2)设至少需要布置n门高炮才能有0.9以上的概率被击中，仿(1)可得，敌机被击中的概率为1－， ∴令1－≥0.9， ∴≤ 两边取常用对数，得n≥≈10.3. ∵n∈N＋，∴n＝11. ∴至少需要布置11门高炮才能有0.9以上的概率击中敌机． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$