精品解析：四川省南部中学2026-2027学年 九年级上学期数学第一次学情自测试卷

初2024级数学试题 一、选择题（共10小题，满分40分，每小题4分） 1. 若关于x的一元二次方程的两个根为，，则这个方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，根与系数的关系，解答的关键是熟知一元二次方程根与系数的关系：设一元二次方程的两个根为、，则，．根据题意两根之和为，两根之积为，利用根与系数的关系写出方程即可作答． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程的两个根为，， ∴两根之和为，两根之积为， ∴这个方程是； 故选：B． 2. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，根据，顶点坐标是可得答案． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是， 故选：B． 3. 若函数的图像与轴有两个交点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知函数y＝x2−2x＋b的图象与x轴有两个交点得出△＞0，求出不等式的解集即可． 【详解】解：∵函数y＝x2−2x＋b的图象与x轴有两个交点， ∴方程x2−2x＋b＝0有两个不相等的实数根， 即△＝（−2）2−4×1×b＝4−4b＞0， 解得：b＜1， 故选：D． 【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点问题和解一元一次不等式，能根据题意得出不等式是解此题的关键． 4. 我国古代著作《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有户不知高、广，竿不知长短．横之不出四尺，从之不出二尺，邪之适出．问户高、广、邪各几何？”其大意是：“今有门，不知其高、宽，有竿，不知其长短．横放，竿比门宽长出尺；竖放，竿比门高长出尺；斜放，竿与门对角线恰好相等．问门高、宽和对角线的长各是多少？”设竿长为尺，可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先由竿长与门宽、门高的大小关系表示出门宽与门高，再结合勾股定理列方程． 【详解】解：设竿长为尺，则门宽为尺，门高为尺. ∵ 斜放竿与门对角线恰好相等， ∴ 门对角线长为尺， 由勾股定理得． 5. 若函数是关于的二次函数，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数的定义求解，二次函数要求的最高次数为，且二次项系数不为，据此列出关系式即可求出的值． 【详解】解：函数是关于的二次函数， ，且， 解方程，即， 解得或， 又∵， ， ． 6. 某超市一月份的营业额为200万元，三月份的营业额为288万元，如果每月比上月增长的百分数相同，则平均每月的增长率为（ ） A. 10% B. 15% C. 20% D. 25% 【答案】C 【解析】 【分析】设平均每月的增长率为x，原数为200万元，后来数为288万元，增长了两个月，根据公式“原数×（1+增长百分率）2=后来数”得出方程，解出即可． 【详解】解：设平均每月的增长率为x， 根据题意得：200（1+x）2=288， （1+x）2=1.44， x1=0.2=20%，x2=-2.2（舍去）， 所以，平均每月的增长率为20%． 故选：C． 【点睛】本题是一元二次方程的应用，属于增长率问题；解题的关键是根据题意，找出等量关系. 7. 函数与在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与一次函数的图象问题，根据二次函数的图象与一次函数的图象特点逐一排除即可，掌握二次函数的图象与一次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：、此选项由函数图象可得，，由图象可得，，符合题意； 、此选项由函数图象可得，，由图象可得，，不符合题意； 、此选项由函数图象可得，，由图象可得，，不符合题意； 、此选项由函数图象可得，，由图象可得，，不符合题意； 故选：． 8. 如图，菱形的顶点在抛物线上，其中点为坐标原点，对角线在轴上，且．则菱形的面积是（ ） A. 18 B. C. 9 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据菱形的性质求得点A的横坐标是解题的关键．连接交于点D，则由菱形性质知，从而得；由知，点纵坐标为3，由此可求得A点横坐标，即得，从而可得，由菱形面积公式即可求得其面积． 【详解】解：如图，连接交于点D； ∵四边形是菱形， ∴，， ∴； ∵， ∴点纵坐标为3； ∵点A在抛物线上， ∴， 解得：， 即A点横坐标为3， 即， ∴， ∴菱形面积为． 9. 已知二次函数及直线，将二次函数在轴上方的图象沿轴翻折到轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新图象（如图所示），当直线与这个新图象有四个交点时，的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求翻折后图象的解析式及顶点坐标，结合图象确定直线的位置． 【详解】解：令，则，解得， ∴原抛物线与轴交点坐标为， ∵将轴上方的图象沿轴翻折， ∴翻折部分的函数解析式为，且 ∴翻折后抛物线的顶点坐标为 ∵直线与新图象有四个交点， ∴的取值范围是． 10. 已知抛物线与直线有唯一的交点，则的取值范围是（ ）． A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】联立抛物线与直线解析式，整理得到一元二次方程；分两种情况讨论：方程在区间内有两个相等实数根（判别式），此时抛物线与直线相切，仅有一个交点；方程在区间内有两个不相等实数根，但只有一根落在区间内，利用函数端点值符号判断临界范围． 【详解】解：①当抛物线与直线有唯一交点时，方程有且只有一个实数根． 可转化为，当时，， 如图所示． ②方程可转化为． 由题意，可知在的取值范围内，抛物线与直线有唯一的交点． 当直线过点时，；当直线过点时，， 如图所示． 由图象，可知符合条件的的取值范围为． 综上所述，的取值范围为或． 二、填空题（共8小题，满分32分，每小题4分） 11. 已知关于的方程有一个根为，则的值为___________． 【答案】3 【解析】 【分析】方程的根满足原方程的等式关系，将已知根代入原方程即可计算出的值. 【详解】解：∵是方程的根， ∴将代入原方程得， 整理得，即， 解得. 12. 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是___________． 【答案】且 【解析】 【分析】原方程为一元二次方程，因此二次项系数不为；方程有两个不相等的实数根，因此根的判别式大于，联立两个条件求解即可． 【详解】解：∵原方程是关于的一元二次方程，且有两个不相等的实数根， ∴二次项系数不为，即， ，即，解得， 综上，的取值范围是且． 13. 将抛物线向右平移2个单位后，再向下平移5个单位，所得抛物线的解析式为__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用二次函数图像平移的“左加右减，上加下减”规律，逐步计算即可得到平移后的解析式． 【详解】解：原抛物线解析式为， 将抛物线向右平移2个单位，得， 再将所得抛物线向下平移5个单位，得； 若化为一般式可得． 14. 抛物线的顶点坐标为，且与x轴交于两点，已知两点相距4个单位，该抛物线的表达式为________． 【答案】 【解析】 【分析】先设抛物线的顶点式，再求出交点坐标，代入顶点式求出二次项系数，即可得到抛物线表达式． 【详解】解：抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的表达式为， 抛物线的对称轴为直线， 抛物线与轴的两个交点相距个单位，且两点关于对称轴对称， 两个交点的横坐标为，，即交点为和， 将代入，可得，解得， 抛物线的表达式为． 15. 若α、β是方程的两个实数根，则_____． 【答案】4 【解析】 【分析】先根据一元二次方程根的定义得到，则，进而得出，然后根据一元二次方程根与系数的关系得，再利用整体代入的方法计算即可． 【详解】解：∵α方程的实数根， ∴， ∴， ∴， ∵α、β是方程的两个实数根， ∴， ∴． 故答案为：4． 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的根的定义，得出是解题的关键． 16. 若，，为二次函数的图象上的三点，则，，的大小关系是______． 【答案】## 【解析】 【详解】解：∵二次函数的解析式为， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴开口向上的抛物线上，点离对称轴越远，对应的函数值越大， 分别计算三点到对称轴的距离： 点到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为， ∵， ∴． 17. 当时，二次函数的最大值为8，则a=_______． 【答案】或 【解析】 【分析】先计算二次函数的对称轴为直线，然后分，两种情况进行分类讨论求解即可． 【详解】解：的对称轴为直线， 当时，在内， 当时，y取最大值8，代入解析式得：， 解得； 当时，在内， 当时，y取最大值8，代入解析式得：， 解得． 综上，为或． 18. 已知二次函数的图象如图所示，则以下结论：①，②，③，④．其中正确的__________． 【答案】 ②③④ 【解析】 【分析】根据抛物线的开口方向判断的符号，由对称轴的位置判断的符号及与的数量关系，由抛物线与轴的交点判断的符号，结合时的函数值及的关系式进行推导判断．  【详解】解：由图象可知，抛物线开口向下， ， 抛物线与轴交于正半轴， ， 对称轴为直线，且， ， ，故①错误； ， ，即，故②正确； 观察图象可知，当时，图象在轴下方， ，故③正确； 由②可知， 将其代入 中， 得，整理得 ， ，故④正确； 综上所述，正确的结论有②③④． 三、解答题（共6小题，满分78分） 19. 用适当的方法解下列一元二次方程． （1） （2） （3） （4） 【答案】（1） ， （2） ， （3） ， （4） ， 【解析】 【分析】（1）用公式法解一元二次方程； （2）用因式分解法解一元二次方程； （3）用配方法解一元二次方程； （4）用因式分解法解一元二次方程． 【小问1详解】 解：   ，，      ∴ ，； 【小问2详解】 解：     ，   ∴ 或   ∴，； 【小问3详解】 解：     ，      ∴，； 【小问4详解】 解：        ∴或  ∴，． 20. 在二次函数中，函数与自变量的部分对应值如下表： x … 0 1 2 3 4 … y … 3 0 -1 0 3 … （1）求这个二次函数的解析式； （2）画出函数图象，结合图象直接写出当时，的取值范围． 【答案】（1） （2） 利用描点法画出函数图象如下，即为所求， 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握待定系数法是解题关键． （1）根据表格中的数据利用待定系数法即可求得这个二次函数的解析式； （2）根据表格中的数据，利用描点法即可画出函数图象；观察图象，当时，函数的最大值为3，最小值为，即可得到的取值范围． 【小问1详解】 解：根据题意将，，代入二次函数中，得 解得： 所以这个二次函数的解析式为：． 【小问2详解】 解：观察图像可知，当时，函数的最大值为3，最小值为， 所以当时，的取值范围为． 21. 如图，已知二次函数经过点和点， （1）求的值和点的坐标； （2）若一次函数经过、两点，直接写出不等式的解集． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求解析式，二次函数与不等式，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）先把点和的坐标分别代入中得到方程组，解之即可得到、的值，从而得到抛物线解析式，然后解方程可得B点坐标； （2）结合函数图象，写出直线在抛物线上方所对应的自变量的取值范围即可． 【小问1详解】 解：二次函数经过点和点 解得： 二次函数解析式为 当时， 解得：， 的值为；点的坐标为． 【小问2详解】 解：观察图象可知，当时， 不等式的解集为． 22. 为庆祝长征胜利90周年，文旅公司推出多款长征主题的文创产品．已知某款文创产品的成本价是每件20元，日销售量（件）与每件售价（元）的函数关系如图所示． （1）求与的函数表达式； （2）文旅公司在销售这款文创产品时，若每天盈利525元，且尽可能的让利于顾客，求该款文创产品每件的售价为多少元？ 【答案】（1） （2）该款文创产品每件的售价为35元． 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）根据题意列一元二次方程，取较小解即可． 【小问1详解】 解：设与的函数表达式为， 将点和点的代入得：， 解得：， 与的函数表达式为； 【小问2详解】 解：根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 尽可能的让利于顾客， ， 即该款文创产品每件的售价为35元． 23. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论取何值，方程都有两个不相等的实数根； （2）如果方程的两个实数根为，，且，求的值． 【答案】（1） 证明：， ∵无论取何值，，恒成立， ∴无论取何值，方程都有两个不相等的实数根． （2）或． 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，解一元二次方程，掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． （1）根据根的判别式证明恒成立即可； （2）由题意可得，，，进行变形后代入即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵是方程的两个实数根， ∴，， ∴， 解得：或． 24. 如图，抛物线交轴于点和点，交轴于点． （1）求抛物线的解析式； （2）若点为该抛物线对称轴上的一点，当最小时，求点的坐标． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的综合应用，待定系数法求二次函数解析式，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． （1）利用待定系数法解答即可； （2）由抛物线解析式可得抛物线对称轴为直线，连接交对称轴于点，由点、关于对称轴对称可得，即得，由两点之间线段最短，可知此时的值最小，利用待定系数法求出直线的解析式，进而即可求解； 【小问1详解】 解：把代入抛物线得，， 解得， ∴抛物线的函数表达式为； 【小问2详解】 解：∵抛物线， ∴抛物线对称轴为直线， 连接交对称轴于点， ∵点、关于对称轴对称， ， ， 由两点之间线段最短，可知此时的值最小，最小值即为线段的长， 设直线的解析式为， 把代入得，， 解得， ∴直线的解析式为， 当时，， ． 25. 二次函数的图象与x轴交于点，且． （1）当，且时， ①求b，c的值； ②当时，二次函数的最大值与最小值的差为10，求t的值； （2）若，求的最小值． 【答案】（1）①；② （2） 【解析】 【分析】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的最值． （1）①将，代入，求出b，c的值即可； ②由①得，二次函数为，可知二次函数图象的顶点坐标为，当时，，进而可得当时，，即，求出t的值即可． （2）若，则二次函数解析式为，可得，，则，根据二次函数的性质可得答案． 【小问1详解】 解：①当，时，，， 将，代入， 得， 解得， ②由①得，二次函数解析式为， ∴二次函数图象的顶点坐标为， 当时，， ∵当时，二次函数的最大值与最小值的差为10， ∴当时，， 即， 解得，（舍去）， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴二次函数解析式为， ∴，， ∴， ∴当时，取得最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初2024级数学试题 一、选择题（共10小题，满分40分，每小题4分） 1. 若关于x的一元二次方程的两个根为，，则这个方程是（ ） A. B. C. D. 2. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 3. 若函数的图像与轴有两个交点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 我国古代著作《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有户不知高、广，竿不知长短．横之不出四尺，从之不出二尺，邪之适出．问户高、广、邪各几何？”其大意是：“今有门，不知其高、宽，有竿，不知其长短．横放，竿比门宽长出尺；竖放，竿比门高长出尺；斜放，竿与门对角线恰好相等．问门高、宽和对角线的长各是多少？”设竿长为尺，可列方程为（ ） A. B. C. D. 5. 若函数是关于的二次函数，则为（ ） A. B. C. D. 6. 某超市一月份的营业额为200万元，三月份的营业额为288万元，如果每月比上月增长的百分数相同，则平均每月的增长率为（ ） A. 10% B. 15% C. 20% D. 25% 7. 函数与在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，菱形的顶点在抛物线上，其中点为坐标原点，对角线在轴上，且．则菱形的面积是（ ） A. 18 B. C. 9 D. 9. 已知二次函数及直线，将二次函数在轴上方的图象沿轴翻折到轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新图象（如图所示），当直线与这个新图象有四个交点时，的取值范围是（ ） A. B. C. D. 10. 已知抛物线与直线有唯一的交点，则的取值范围是（ ）． A. B. C. 或 D. 或 二、填空题（共8小题，满分32分，每小题4分） 11. 已知关于的方程有一个根为，则的值为___________． 12. 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是___________． 13. 将抛物线向右平移2个单位后，再向下平移5个单位，所得抛物线的解析式为__________． 14. 抛物线的顶点坐标为，且与x轴交于两点，已知两点相距4个单位，该抛物线的表达式为________． 15. 若α、β是方程的两个实数根，则_____． 16. 若，，为二次函数的图象上的三点，则，，的大小关系是______． 17. 当时，二次函数的最大值为8，则a=_______． 18. 已知二次函数的图象如图所示，则以下结论：①，②，③，④．其中正确的__________． 三、解答题（共6小题，满分78分） 19. 用适当的方法解下列一元二次方程． （1） （2） （3） （4） 20. 在二次函数中，函数与自变量的部分对应值如下表： x … 0 1 2 3 4 … y … 3 0 -1 0 3 … （1）求这个二次函数的解析式； （2）画出函数图象，结合图象直接写出当时，的取值范围． 21. 如图，已知二次函数经过点和点， （1）求的值和点的坐标； （2）若一次函数经过、两点，直接写出不等式的解集． 22. 为庆祝长征胜利90周年，文旅公司推出多款长征主题的文创产品．已知某款文创产品的成本价是每件20元，日销售量（件）与每件售价（元）的函数关系如图所示． （1）求与的函数表达式； （2）文旅公司在销售这款文创产品时，若每天盈利525元，且尽可能的让利于顾客，求该款文创产品每件的售价为多少元？ 23. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论取何值，方程都有两个不相等的实数根； （2）如果方程的两个实数根为，，且，求的值． 24. 如图，抛物线交轴于点和点，交轴于点． （1）求抛物线的解析式； （2）若点为该抛物线对称轴上的一点，当最小时，求点的坐标． 25. 二次函数的图象与x轴交于点，且． （1）当，且时， ①求b，c的值； ②当时，二次函数的最大值与最小值的差为10，求t的值； （2）若，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $