精品解析：四川省内江市第一中学2026-2027学年九年级上学期第一次学情自测数学试卷

四川省内江市第一中学2026-2027学年九年级上学期第一次月考数学试卷 A（共100分） 一、单选题（共12题，共36分） 1. 下列方程属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义即可求解． 【详解】A.属于二元二次方程，故错误； B.属于二元一次方程，故错误； C.属于一元二次方程，正确； D.属于分式方程，故错误； 故选C． 【点睛】此题主要考查一元二次方程的判断，解题的关键是熟知一元二次方程的定义． 2. 下列运算正确的是（　　） A. += B. =2 C. •= D. ÷=2 【答案】D 【解析】 【分析】利用二次根式的加减法对A进行判断；根据二次根式的性质对B进行判断；根据二次根式的乘法法则对C进行判断；根据二次根式的除法法则对D进行判断． 【详解】解：A.与不能合并，所以A选项错误，不符合题意； B.原式=3，所以B选项错误，不符合题意； C.原式==，所以C选项错误，不符合题意； D.原式==2，所以D选项正确，符合题意． 故选D． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍． 3. 下列各二次根式中，可以与合并的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】化成最简二次根式后，如果被开方式相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式． 【详解】A. ∵=2，∴与不能合并； B. ∵=，∴与能合并； C. ∵=，∴与不能合并； D. ∵=，∴与不能合并； 故选B． 【点睛】本题考查了同类二次根式的定义，熟练掌握同类二次根式的定义是解答本题的关键． 4. 用配方法解方程，配方后所得的方程是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】方程移项后，利用完全平方公式配方得到结果，即可作出判断． 【详解】方程移项得：， 配方得：，即． 故选：D． 【点睛】此题考查了解一元二次方程配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 5. 如图，矩形内有两个相邻的白色正方形，其面积分别为32和2，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. 6 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】根据图形可以求得图中阴影部分的面积=大长方形面积两个正方形面积，本题得以解决．本题考查二次根式混合运算的实际应用，解答本题的关键是明确题意，求出大小正方形的边长，利用数形结合的思想解答． 【详解】解：由题意可得，大正方形的边长为，小正方形的边长为， ∴题图中阴影部分的面积为． 故选：C． 6. 实数、在轴上的位置如图所示，且，则化简的结果为( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用数轴得出的符号，进而利用绝对值和二次根式的性质得出即可． 【详解】∵由数轴可知，，且， ∴， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查了二次根式的化简和性质、实数与数轴，解题的关键是注意开方结果是非负数、以及绝对值结果的非负性． 7. 如图，在一块长为22米，宽为17米的矩形地面上，要修建同样宽的两条互相垂直的道路（两条道路各与矩形的一条边平行），剩余部分种上草坪，使草坪面积为300平方米．若设道路宽为米，则根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，把所修的两条道路分别平移到矩形的最上边和最左边，则剩下的草坪是一个长方形，根据长方形的面积公式列方程，把中间修建的两条道路分别平移到矩形地面的最上边和最左边是解题的关键． 【详解】解：设道路的宽应为米，由题意得， ， 故选：C． 8. 对于实数、，定义运算“☆”如下：，例如：，则方程的解为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用新定义可得，进一步利用因式分解的方法解方程即可. 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴或， ∴． 9. 若关于x的方程有实数根，则m的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 【答案】A 【解析】 【分析】由方程有实数根，得到判别式，即可求解． 【详解】解：①当时，方程为，是一元一次方程， 解得，符合题意； ②当时，方程是一元二次方程， ∵于x的方程有实数根， ∴， ∴， 即， ∴， ∴方程为一元二次方程时，m的取值范围是且， 综上所述：m的取值范围是． 故选：A． 【点睛】本题考查根的判别式及一元二次方程的定义，根据方程有实数根进行分类讨论是解题的关键． 10. 一次会议上，每两个参加会议的人都互相握了一次手，有人统计一共握了次手．若设这次会议到会的人数为x人，依题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．根据题意正确的列方程是解题的关键． 设这次会议到会的人数为x人，则一人握次，根据每两个参加会议的人都互相握了一次手，一共握了次，可列方程，然后作答即可． 【详解】解：设这次会议到会的人数为x人， 依题意得，， 故选：A． 11. 若，是方程的两个实数根，则的值是（ ） A. 2021 B. 2022 C. 2023 D. 2024 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的解的定义和根与系数的关系，将所求表达式变形后代入求值即可． 【详解】∵ 是方程 的根， ∴ ，即 ． ∵ ， 是方程的两个实数根， ∴ ． ∴ ． 故选 ：C 12. “分母有理化”是我们常用的一种化简的方法，如：，除此之外，我们也可以用平方之后再开方的方式来化简一些有特点的无理数，如：对于，设，易知，故，由，解得，即．根据以上方法，化简后的结果为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题中给的方法分别对和进行化简，然后再进行合并即可. 【详解】设，且， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴原式， 故选D． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，涉及了分母有理化等方法，弄清题意，理解和掌握题中介绍的方法是解题的关键. 二、填空题（共4题，共16分） 13. 函数中自变量的取值范围是______． 【答案】x≥2且x≠3 【解析】 【分析】根据分母不能为0，根式中式子需要大于0，即可求解． 【详解】解：由题意得：， 解得：x≥2且x≠3． 故答案为：x≥2且x≠3． 【点睛】本题考查了函数自变量的范围，解题的关键是一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负． 14. 若，则________． 【答案】25 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件，先求出x的值，再求出y的值，最后代入计算即可． 【详解】解：∵式子有意义， ∴， 解得， ∴， ∴． 15. 设、是一元二次方程的两实数根，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据根与系数的关系得出，，再将所求式子因式分解，代入计算即可求出答案． 【详解】解：∵、是一元二次方程的两实数根， ∴，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查根与系数的关系，解题的关键是熟练运用根与系数的关系，本题属于基础题型． 16. 观察式子：，， ，…，由此得到的规律，请你用含n（n是大于等于1的正整数）的式子表示出来_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据前几个等式的变化规律可得结论． 【详解】解：第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， …， 以此类推，第n个等式：． 三、解答题（共5题，共48分，解答应写出必要的文字说明或推演步骤.） 17. 计算： （1）； （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 解方程： （1）（配方法）； （2）（因式分解法）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【小问1详解】 解： 解得：， 【小问2详解】 解： 或 解得：， 19. 如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园ABCD（围墙MN最长可利用25m），现在已备足可以砌50m长的墙的材料： （1）如何设计，可使矩形花园的面积为300； （2）矩形花园的面积可以为315吗？若能，如何设计；若不能，请说明理由. 【答案】 解：（1）设AB=x米，则BC=（50-2x）米 , 根据题意可得，x（50-2x）=300, 解得：x1=10，x2=15 当x=10，BC=50-2×10=30＞25，故x1=10不合题意舍去， 所以只取x=15 答：可以围成AB的长为15米，BC长为20米，可使矩形花园的面积为300． （2）假设能围成矩形花园的面积为315，根据题意得 x（50-2x）=315 -2x2+50x-315=0 因为△=b2-4ac=502-4×(-2)×(-315)=-20＜0. 所以不能围成315㎡的矩形花园. 【解析】 【分析】（1）根据可以砌50m长的墙的材料，即总长度是50米，AB=x米，则BC=（50-2x）米，再根据矩形的面积公式列方程，解一元二次方程即可； （2）设边AB的长是x米，利用矩形的面积公式列出函数关系是即可. 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】本题考查的知识点是一元一次方程的应用及二次函数的应用，解题的关键是熟练的掌握一元一次方程的应用及二次函数的应用. 20. 已知关于x的一元二次方程． （1）若该方程有两个实数根，求m的取值范围； （2）若该方程的两个实数根为x1，x2，且，求m的值． 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【分析】（1）根据判别式即可求出的取值范围； （2）根据根与系数的关系即可求出答案． 【详解】解：（1）由题意可知：△， ， ∴； （2）由题意可知：，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ 解得：，或； ∵， ∴不符合题意，舍去， ∴， 【点睛】本题考查根与系数，熟悉相关性质是解题的关键． 21. “我运动，我健康，我快乐！”随在人们对身心健康的关注度越来越高．某市参加健身运动的人数逐年增多，从年的万人增加到年的万人． （1）求该市2023，2024这两年参加健身运动人数的年均增长率． （2）其网店以每组30元的进价购进一批哑铃组．当每组售价为元时，月份售出了组，随着市民健身热情的增加，该网店的哑铃组十分畅销．为了回馈顾客，该网店决定从1月份起采用降价促销的方式．经调查发现，该哑铃组每组每降价1元，销售量就增加组，该网店计划1月份售卖哑铃组获利元，为了尽可能多的让利于顾客，该哑铃组每组应降价多少元？ 【答案】（1）； （2）降价元 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设该市参加健身运动人数的年均增长率为，根据从年的万人增加到年的万人，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； （2）设设该哑铃组每组应降价m元，由该哑铃组每组每降价1元，销售量就增加组，确定销售量与价格之间关系，再根据利润单件利润销售量，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【小问1详解】 解：设该市，这两年参加健身运动人数的年均增长率， 由题意得：， 解得：（不符合题意，舍去）， 答：该市2023，2024这两年参加健身运动人数的年均增长率为； 【小问2详解】 解：设该哑铃组每组应降价m元， 由题意得：， 整理得：， 解得：， 答：为了尽可能多的让利于顾客，该哑铃组每组应降价元， B（共60分） 一、填空题（共4题，共24分） 22. 已知，则代数式的值为_______． 【答案】1 【解析】 【分析】将所求代数式利用完全平方公式变形，先求出和的值，再整体代入计算． 【详解】解：∵ ，， ∴ ， ∴ ， 对所求代数式变形得， ， 将，代入得， 原式． 23. 已知，则的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】先根据二次根式有意义的条件得到的取值范围，化简绝对值，再利用非负数的性质求出和的值，最后计算． 【详解】解：∵二次根式有意义 ∴，即 ∴， ∵ ∴ ∴ ∵，，两个非负数的和为 ∴， ∴， ∴． 24. 已知为等腰三角形，一边长为3，它的另两条边的长度分别是方程的两个根，那么m的值是__________． 【答案】3或4 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数关系和三角形三边关系的应用，根据根与系数的关系，方程两根之和为4，两根之积为．分两种情况讨论：当3为底边时，两腰相等且为方程根，求；当3为腰时，另一腰为3，底边为方程另一根，求．并验证三角形三边存在条件． 【详解】解：设方程的两个根为和，则，． 由于是等腰三角形且一边长为3， ①若3为底边，则两腰和相等，即，此时，三边分别为2、2、3，满足三角形三边关系（两短边之和大于第三边）． ②若3为腰，则另一腰也为3，底边为方程的另一根，设，则，此时，三边分别为3、3、1，满足三角形三边关系． 故的值为3或4， 故答案为：3或4． 25. 已知，是关于的一元二次方程的两个实数根，且，则的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】利用根的判别式与根与系数的关系求解即可. 【详解】解：，是关于的一元二次方程的两根， 方程的根的判别式， 即 ， 解得 ， 由根与系数的关系可得： ，， ∵， 代入得： 移项，系数化为1得：， 综上：． 二、解答题（共3题，共36分） 26. 阅读材料：像；；…两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如与，与，与等都是互为有理化因式．在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．例如：． 小明利用上述材料内容解决了问题：已知，求的值． ∴，∴，∴即， ∴，∴， 请你利用上述内容，解答下列问题： （1）与____互为有理化因式，将分母有理化得_______； （2）根据上面的规律，计算下列式子的值： ． （3），求的值． 【答案】（1）； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据有理化因式的定义写出式子，并计算，看看是否符合条件；将分母有理化，分子分母同乘，化简即可； （2）先将每个分式进行分母有理化，发现分母都为，分子可相加减，计算后得，再与相乘，用平方差公式计算即可； （3）将进行分母有理化得出，再根据需要找到，，，便于进行降次计算，代入目标多项式化简计算即可． 【小问1详解】 解：∵，不含根号， ∴与互为有理化因式， 将分母有理化得； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解：将进行分母有理化得， ， ∴， 两边平方得， ， ， ， 则， ， ∴ ． 27. 如图，在矩形中，，，动点，分别从点，同时出发，点以的速度向点移动，点以的速度向点移动，当点到达点时点随之停止运动，设运动时间为秒． （1）________；________，（用含的代数式表示）； （2）为多少时，四边形的面积为： （3）为多少时，点和点的距离为． 【答案】（1）， （2） （3）当为或时，点和点的距离为． 【解析】 【分析】（1）当运动时间为时，根据点，的运动方向及运动速度，即可用含的代数式表示出各线段的长度； （2）利用梯形的面积计算公式，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出的值； （3）过点作于点，则，利用勾股定理，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出结论． 【小问1详解】 解：当运动时间为时，，， ∴，． 故答案为：，． 【小问2详解】 依题意得：， 整理得：， 解得：． 答：当为时，四边形的面积为． 【小问3详解】 过点作于点，则，如图所示． 依题意得：， 即， 解得，． 答：当为或时，点和点的距离为． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用、一元一次方程的应用、列代数式以及勾股定理，解题的关键是：（）根据各线段之间的关系，用含的代数式表示出各线段的长度；（）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（）找准等量关系，正确列出一元二次方程． 28. 阅读材料： 材料1．若一元二次方程的两根为、，则，． 材料2．已知实数m、n满足、，且，求+ 的值． 解：由题知m、n是方程的两个不相等的实数根， 根据材料1得，． ∴． 根据上述材料解决下面问题： （1）一元二次方程的两根为、，则　　，　　． （2）已知实数m、n满足、，且，求的值． （3）已知实数p、q满足、，且，求的值 【答案】（1）， （2） （3）43 【解析】 【分析】（1）由根与系数的关系得出，； （2）由实数、满足、，且知、是一元二次方程的两个相等的实数根，据此得，，再代入计算即可； （3）由实数、满足、，且，即可得出、是方程的两个不相等的实数根，根据根与系数的关系即可得出、，利用配方法可将代数式变形为，再代入、即可求出结论． 【小问1详解】 解：的两根为、， ，， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：实数、满足、，且， 、是一元二次方程的两个相等的实数根， ，， 则原式 ； 【小问3详解】 解：， ，即． 又，即， 、是方程的两个不相等的实数根， ，， ． 【点睛】本题考查了分式的混合运算和求值及根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根与系数的关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 四川省内江市第一中学2026-2027学年九年级上学期第一次月考数学试卷 A（共100分） 一、单选题（共12题，共36分） 1. 下列方程属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列运算正确的是（　　） A. += B. =2 C. •= D. ÷=2 3. 下列各二次根式中，可以与合并的是（ ） A. B. C. D. 4. 用配方法解方程，配方后所得的方程是（　　） A. B. C. D. 5. 如图，矩形内有两个相邻的白色正方形，其面积分别为32和2，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. 6 D. 8 6. 实数、在轴上的位置如图所示，且，则化简的结果为( ) A. B. C. D. 7. 如图，在一块长为22米，宽为17米的矩形地面上，要修建同样宽的两条互相垂直的道路（两条道路各与矩形的一条边平行），剩余部分种上草坪，使草坪面积为300平方米．若设道路宽为米，则根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 8. 对于实数、，定义运算“☆”如下：，例如：，则方程的解为（ ） A. B. C. D. 9. 若关于x的方程有实数根，则m的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 10. 一次会议上，每两个参加会议的人都互相握了一次手，有人统计一共握了次手．若设这次会议到会的人数为x人，依题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 11. 若，是方程的两个实数根，则的值是（ ） A. 2021 B. 2022 C. 2023 D. 2024 12. “分母有理化”是我们常用的一种化简的方法，如：，除此之外，我们也可以用平方之后再开方的方式来化简一些有特点的无理数，如：对于，设，易知，故，由，解得，即．根据以上方法，化简后的结果为（　　） A. B. C. D. 二、填空题（共4题，共16分） 13. 函数中自变量的取值范围是______． 14. 若，则________． 15. 设、是一元二次方程的两实数根，则的值为______． 16. 观察式子：，， ，…，由此得到的规律，请你用含n（n是大于等于1的正整数）的式子表示出来_____． 三、解答题（共5题，共48分，解答应写出必要的文字说明或推演步骤.） 17. 计算： （1）； （2） 18. 解方程： （1）（配方法）； （2）（因式分解法）． 19. 如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园ABCD（围墙MN最长可利用25m），现在已备足可以砌50m长的墙的材料： （1）如何设计，可使矩形花园的面积为300； （2）矩形花园的面积可以为315吗？若能，如何设计；若不能，请说明理由. 20. 已知关于x的一元二次方程． （1）若该方程有两个实数根，求m的取值范围； （2）若该方程的两个实数根为x1，x2，且，求m的值． 21. “我运动，我健康，我快乐！”随在人们对身心健康的关注度越来越高．某市参加健身运动的人数逐年增多，从年的万人增加到年的万人． （1）求该市2023，2024这两年参加健身运动人数的年均增长率． （2）其网店以每组30元的进价购进一批哑铃组．当每组售价为元时，月份售出了组，随着市民健身热情的增加，该网店的哑铃组十分畅销．为了回馈顾客，该网店决定从1月份起采用降价促销的方式．经调查发现，该哑铃组每组每降价1元，销售量就增加组，该网店计划1月份售卖哑铃组获利元，为了尽可能多的让利于顾客，该哑铃组每组应降价多少元？ B（共60分） 一、填空题（共4题，共24分） 22. 已知，则代数式的值为_______． 23. 已知，则的值为_______． 24. 已知为等腰三角形，一边长为3，它的另两条边的长度分别是方程的两个根，那么m的值是__________． 25. 已知，是关于的一元二次方程的两个实数根，且，则的取值范围是_______． 二、解答题（共3题，共36分） 26. 阅读材料：像；；…两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如与，与，与等都是互为有理化因式．在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．例如：． 小明利用上述材料内容解决了问题：已知，求的值． ∴，∴，∴即， ∴，∴， 请你利用上述内容，解答下列问题： （1）与____互为有理化因式，将分母有理化得_______； （2）根据上面的规律，计算下列式子的值： ． （3），求的值． 27. 如图，在矩形中，，，动点，分别从点，同时出发，点以的速度向点移动，点以的速度向点移动，当点到达点时点随之停止运动，设运动时间为秒． （1）________；________，（用含的代数式表示）； （2）为多少时，四边形的面积为： （3）为多少时，点和点的距离为． 28. 阅读材料： 材料1．若一元二次方程的两根为、，则，． 材料2．已知实数m、n满足、，且，求+ 的值． 解：由题知m、n是方程的两个不相等的实数根， 根据材料1得，． ∴． 根据上述材料解决下面问题： （1）一元二次方程的两根为、，则　　，　　． （2）已知实数m、n满足、，且，求的值． （3）已知实数p、q满足、，且，求的值 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $