3.1.2 椭圆的简单几何性质（知识清单，知识点+六大易错点+十二大题型）高二数学人教A版选择性必修第一册

第三章 圆锥曲线 3.1.2 椭圆的简单几何性质 内容概览 2 🔷知识点一　椭圆的范围 2 🔷知识点二　椭圆的对称性 2 🔷知识点三　椭圆的顶点与基本量 2 🔷知识点四　椭圆的离心率 3 🔷知识点五　核心参数关系（）与椭圆性质总结 3 🔷知识点六　拓展：椭圆的第二定义、准线、焦半径 4 5 易错点1：焦点在y轴时，混淆顶点坐标与轴的名称 5 易错点2：离心率公式和范围混淆 6 易错点3：求最值时忽略椭圆上点的坐标范围 6 易错点4：利用对称性解题，遗漏对称情况 8 易错点5：离心率与扁平程度的对应关系搞反 8 易错点6：混淆"半轴长"与"轴长"，漏乘系数2 9 9 题型1：求椭圆的焦点、焦距 9 题型2：椭圆中x、y的取值范围 11 题型3：根据椭圆的有界性求范围或最值 13 题型4：椭圆的对称性 16 题型5：求椭圆的顶点坐标 18 题型6：求椭圆的长轴、短轴 20 题型7：求椭圆的离心率或离心率的取值范围 23 题型8：椭圆离心率大小与椭圆圆扁的关系 25 题型9：由椭圆的离心率求参数或参数的取值范围 28 题型10：根据几何性质求椭圆标准方程 30 题型11：椭圆的应用 34 题型12：椭圆第二定义、准线、焦半径的应用（拓展） 37 🔷知识点一　椭圆的范围 1. 焦点在轴（）：，。 2. 焦点在轴（）：，。 3. 几何意义：椭圆完全落在直线、围成的矩形内部。 ⚠️特别提醒 · 焦点在y轴时，x、y的范围对应互换，长轴在哪条轴，哪条轴的坐标范围就更大。 · 椭圆上点的坐标范围是闭区间，是求最值、取值范围问题的天然定义域，超出范围的解必须舍去。 · 椭圆与边界矩形有且仅有四个切点，即椭圆的四个顶点。 🔷知识点二　椭圆的对称性 1. 对称轴：轴、轴均为椭圆的对称轴。 2. 对称中心：原点是椭圆的对称中心，简称椭圆的中心。 3. 性质：椭圆上任意一点关于轴、轴、原点的对称点，仍在椭圆上。 ⚠ 特别提醒 · 椭圆同时具备这三种对称性，题目出现"对称"时，要考虑全三种情况，避免漏解； · 标准椭圆的对称中心为原点、对称轴为坐标轴；若椭圆平移，对称中心和对称轴同步平移； · 利用对称性可简化计算：比如弦关于坐标轴对称时，只需计算一半再翻倍。 🔷知识点三　椭圆的顶点与基本量 1. 顶点：椭圆与对称轴的交点 (1) 焦点在轴：长轴顶点，短轴顶点。 (2) 焦点在轴：长轴顶点，短轴顶点。 2. 长轴：连接两个长轴顶点的线段，长为，为长半轴长。 3. 短轴：连接两个短轴顶点的线段，长为，为短半轴长。 4. 长轴顶点是椭圆上到中心距离最远的点，短轴顶点是最近的点。 ⚠ 特别提醒 · 长轴跟着焦点走：焦点在哪条坐标轴，长轴就在哪条轴，长轴顶点坐标含； · 审题时明确关键词：区分"长半轴长"和"长轴长"，"半焦距"和"焦距"，切勿漏乘2； · 顶点是距离最值、角度最值的临界位置，很多最值问题都在顶点处取等号。 🔷知识点四　椭圆的离心率 1. 定义：椭圆的焦距与长轴长的比值，记作。 2. 核心公式： 3. 取值范围： 4. 几何意义：刻画椭圆的扁平程度： (1) 越接近1，越小，椭圆越扁。 (2) 越接近0，越接近，椭圆越接近圆。 (3) 时，，图形退化为圆，已经不是椭圆，属于极限退化情形。 ⚠ 特别提醒 · 离心率公式切勿记反，椭圆中恒成立，故离心率一定小于1。 · 椭圆的扁平程度只与离心率有关，与椭圆的整体大小无关。 · 离心率是比值，求离心率本质是求的比例关系。 🔷知识点五　核心参数关系（）与椭圆性质总结 1. 恒等式： 2. 离心率变形： 3. 四个参数中，给出两个独立条件，可求出其余两个。 4. 椭圆性质总结 标准方程 图像       性质 对称性 对称轴：坐标轴对称中心：原点 顶点 ，，， ，，， 轴 长轴的长为2a，短轴的长为2b 范围 ， ， a、b、c的关系 离心率 5. 椭圆的其他相关性质： ①椭圆上到中心距离最大的点是长轴的两个端点，到中心距离最小的点是短轴的两个端点。 ②椭圆上到焦点距离最大和最小的点是长轴的两个端点，最大、最小距离分别是、。 ③P是椭圆上的点，当P点在短轴端点时，最大。 ⚠ 特别提醒 · 长轴长是2a，短轴长是2b，长半轴长是a，短半轴长是b。 · 椭圆中始终是最大量，、恒成立。 · 注意与双曲线区分：双曲线中是最大量，关系式为，二者极易混淆，可通过"谁最大，谁在等式另一边"记忆。 · 求离心率优先用齐次法：将条件转化为关于的n次齐次方程，两边同除以直接得到关于的方程。 🔷知识点六　拓展：椭圆的第二定义、准线、焦半径 1. 第二定义：平面内到定点（焦点）的距离与到定直线（准线）的距离之比为常数（）的点的轨迹是椭圆。 2. 准线方程： (1) 焦点在轴：准线为 (2) 焦点在轴：准线为 3. 对应规则：焦点与准线同侧对应，左焦点对应左准线，右焦点对应右准线。 4. 焦半径公式 设椭圆上任意一点为： （1）焦点在轴时：左焦半径，右焦半径，记忆口诀：左加右减。 （2）焦点在轴时：下焦半径，上焦半径，记忆口诀：下加上减。 ⚠ 特别提醒 · 焦点与准线遵循同侧对应原则，不可交叉对应。 · 椭圆上点到焦点的距离的最大值为，最小值为，在长轴顶点处取得。 易错点1：焦点在y轴时，混淆顶点坐标与轴的名称 【易错点】 焦点在轴时，误将当作长轴顶点，或认为长轴沿轴，搞反长、短轴的位置。 【易错消除】 牢记长轴跟着焦点走：焦点在哪条轴，长轴就在哪条轴，长轴顶点坐标含，短轴顶点坐标含。 (1) 焦点在轴→长轴在轴→轴顶点 (2) 焦点在轴→长轴在轴→轴顶点 【易错例题】（25-26高二上·陕西榆林·阶段检测）中心在原点，焦点在坐标轴上，且过两点，的椭圆的标准方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据椭圆的性质计算即可. 【详解】由题意可知分别为该椭圆的右顶点和上顶点，，则其焦点在纵轴上， 不妨设该椭圆方程为，即，所以该椭圆方程为. 故选：C 易错点2：离心率公式和范围混淆 【易错点】 记错离心率定义，写反离心率的公式；或混淆离心率的取值范围。 【易错消除】 椭圆离心率，范围。 椭圆中恒成立，故离心率一定小于1；遇到离心率数值先判断范围，可快速排除错误选项。 【易错例题】（2026·广东深圳·模拟预测）椭圆的离心率为______． 【答案】 【详解】椭圆方程化为标准形式为. ∴ 椭圆焦点在轴上，且，. ∴ ，即. ∴ 离心率. 易错点3：求最值时忽略椭圆上点的坐标范围 【易错点】 求椭圆上点的横、纵坐标相关最值时，忽略x,y的取值范围，直接按二次函数顶点得出错误结果。 【易错消除】 1. 涉及椭圆上点的坐标运算，先标注定义域： (1) 焦点在轴： (2) 焦点在轴： 2. 二次函数对称轴不在定义域内时，最值在区间端点处取得。 【易错例题】（25-26高二上·浙江温州·期中）已知点在椭圆上运动，圆的圆心为椭圆的右焦点，半径，点在圆上，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，则，利用椭圆的焦半径公式求出的取值范围，再结合圆的几何性质可求得的取值范围. 【详解】在椭圆中，，，则，即， 设点，则，且，可得， 所以， 所以， 当且仅当为椭圆的左端点，且为射线与圆的交点时，上述不等式中的两个等号同时成立， ， 当且仅当为椭圆的右端点，且为线段与圆的交点时，上述不等式中的两个等号同时成立， 综上所述，的取值范围是. 故选：A. 易错点4：利用对称性解题，遗漏对称情况 【易错点】 已知椭圆上一点的对称点相关问题时，只考虑关于x轴对称的情况，漏掉关于y轴对称、关于原点中心对称的情况，造成漏解。 【易错消除】 1. 椭圆有三类对称方式：关于轴对称、关于轴对称、关于原点中心对称； 2. 涉及"对称点仍在椭圆上"的问题，可利用、、、均满足椭圆方程验证。 【易错例题】（2025·河南·模拟预测）若椭圆与圆恰有2个公共点，则__________. 【答案】1 【分析】根据椭圆与圆的交点个数及其方程，讨论、来确定参数值. 【详解】由椭圆与圆恰有2个交点，结合对称性，易知交点一定是椭圆短轴上的两个顶点， 若时，显然椭圆与圆无交点，不符； 若时，椭圆与圆恰好有两个交点，则. 综上，. 故答案为：1 易错点5：离心率与扁平程度的对应关系搞反 【易错点】 搞反离心率与扁平程度二者的对应关系。 【易错消除】 1. 记忆技巧：离心率越大，越大，越小，椭圆越"扁"；越小越接近圆。 2. 极端值辅助记忆：是圆（最圆），趋近1是极扁的椭圆。 【易错例题】（25-26高二下·重庆·阶段检测）下列方程表示的椭圆中，形状最接近于圆的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】对A，其离心率为， 对B，其离心率为， 对C，其离心率为， 对D，其离心率为， 根据离心率越小，其越接近于圆，则最小，其形状最接近于圆，则A选项符合题意. 易错点6：混淆"半轴长"与"轴长"，漏乘系数2 【易错点】 已知长半轴，误将长轴长写为；已知半焦距，误将焦距写为。 【易错消除】 1. 明确概念： (1) 长半轴长，长轴长；短半轴长，短轴长 (2) 半焦距，焦距 2. 审题时圈出关键词："长半轴"还是"长轴"，"半焦距"还是"焦距"。 【易错例题】（26-27高二上·山东青岛·阶段检测）焦点在轴上，中心在原点，长轴长为10，短轴长为8的椭圆方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先确定椭圆标准方程的形式，再计算参数的值，代入即可得到椭圆方程. 【详解】因焦点在轴上，则椭圆方程为， 由条件得：，，则椭圆方程为. 题型1：求椭圆的焦点、焦距 方法技巧 1. 先将椭圆方程化为标准形式，分母较大的一项对应，以此判断焦点在轴还是轴。 2. 利用关系式求出，焦距为。 3. 根据焦点所在坐标轴，写出焦点坐标：焦点在轴时为；焦点在轴时为。 4. 注意区分，焦点坐标由长轴所在坐标轴决定。 【例题1.1】（26-27高二上·江苏南通·阶段检测）椭圆的一个焦点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据椭圆标准方程的性质即可求解. 【详解】把椭圆方程化为标准方程可得 ， 所以椭圆焦点在轴，，坐标为. 【例题1.2】（26-27高二上·北京西城·阶段检测）与椭圆有公共焦点的椭圆是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】椭圆，，，，，焦点在y轴上. 选项A、B和D的焦点在x轴上，不符合题意，排除. 选项C：椭圆，，，，，焦点在y轴上，符合题意，所以选C. 【变式1.1】（26-27高二上·河南南阳·开学考试）若椭圆的焦距是2，则实数的值为（  ） A． B．5 C．3 D．3或5 【答案】D 【详解】已知椭圆的焦距是2，因为 当焦点在轴上，，，所以，， 当焦点在轴上，，所以，， 综上或. 【变式1.2】（26-27高二上·湖南长沙·阶段检测）已知椭圆：，其左右焦点分别为，．点是椭圆上任意一点，则的周长为__________． 【答案】6 【详解】由题意，根据椭圆的定义可知，. 所以的周长为. 因为椭圆方程为，所以. 所以的周长为. 题型2：椭圆中x、y的取值范围 方法技巧 1. 焦点在轴： 、，的范围由长半轴决定，的范围由短半轴决定。 2. 焦点在轴：、，的范围由长半轴决定，的范围由短半轴决定。 【例题2.1】（25-26高二上·陕西西安·期中）已知为椭圆上任意一点，则的最小值为_____，的取值范围是_____. 【答案】 【分析】由椭圆方程求出的范围，的范围，即可得解. 【详解】由，可得，. 所以的最小值为，的取值范围是. 故答案为：；. 【例题2.2】（24-25高二上·江苏南京·阶段检测）已知为椭圆上的点，，则线段长度的最小值为__________. 【答案】/ 【分析】记线段的长度为，表达的函数，利用，，结合二次函数的性质即可求的最小值． 【详解】记线段的长度为，是椭圆上任意一点，， 设，, 所以：． 由于，故当时，有最小值，且的最小值为， 故答案为： 【变式2.1】（25-26高二上·河北保定·期中）已知为椭圆上任意一点，，则的最小值为__________. 【答案】 【分析】设，根据两点间的距离公式列出，再由点为椭圆上的点进行求解即可. 【详解】设，所以， 又因为为椭圆上任意一点， 所以， 因为，当时，取得最小值， 所以的最小值为. 故答案为：. 【变式2.2】（2026·甘肃兰州·一模）已知曲线，则曲线上的点到直线的距离的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据椭圆的方程，设点为曲线的任意一点，且，进而根据点到直线的距离，结合三角恒等变换求解即可. 【详解】曲线变形得，表示轴右侧的部分椭圆， 所以，， 设点为曲线的任意一点，且， 点到直线的距离为： 因为，， 所以， 所以， 所以曲线上的点到直线的距离的取值范围是. 题型3：根据椭圆的有界性求范围或最值 方法技巧 1. 表达式为单变量时，直接利用求最值。 2. 含有两个变量，可用三角换元： (1) 焦点在轴时，设，转化为三角函数求值域。 (2) 焦点在轴时，，转化为三角函数求值域。 3. 几何类最值，可借助椭圆顶点、焦点的几何意义分析。 【例题3.1】（24-25高二上·湖南·阶段检测）已知椭圆，则该椭圆上的点到焦点距离的最小值为（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】由方程可得，根据椭圆的性质即可得结果. 【详解】由题意知，则， 所以椭圆上的点到焦点距离的最小值为． 故选：A． 【例题3.2】（25-26高二上·上海·阶段检测）点在曲线上运动，则的最大值为______ 【答案】/ 【分析】结合已知消元得，再由得，最后利用二次函数性质求解最值. 【详解】因为，所以，所以， 又，所以，所以， 所以当时，最大值为. 故答案为： 【变式3.1】（25-26高二上·四川宜宾·期末）（多选）设椭圆的左、右焦点分别为，，过点的直线交椭圆于A，B两点，则（    ） A．椭圆的短轴长为 B．的周长为12 C．的最小值为 D．椭圆上不存在点P，使得 【答案】BCD 【分析】由椭圆方程可得，根据椭圆性质判断ABC；对于D：可知当点P为短轴顶点时，取到最大值，结合余弦定理分析判断. 【详解】由椭圆方程可知：，，， 对于选项A：椭圆的短轴长为，故A错误； 对于选项B：的周长为，故B正确； 对于选项C：的最小值为，故C正确； 对于选项D：当点P为短轴顶点时，取到最大值， 此时，，可得， 则为锐角，所以椭圆上不存在点P，使得，故D正确. 故选：BCD. 【变式3.2】（25-26高二上·上海·期中）已知，，点为椭圆：上的动点，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】根据椭圆方程分析可知，，代入结合二次函数求最值即可. 【详解】由椭圆：可知，，， 即，为椭圆的左，右焦点， 则，即， 且，即， 则， 可知当时，取到最大值4； 当或时，取到最小值3； 所以的取值范围是. 故答案为：. 题型4：椭圆的对称性 方法技巧 1. 椭圆关于轴对称：点在椭圆上，则也在椭圆上。 2. 椭圆关于轴对称：点在椭圆上，则也在椭圆上。 3. 椭圆关于原点中心对称：点在椭圆上，则也在椭圆上。 4. 解题可利用对称性减少计算量，由已知点直接写出对称点。 【例题4.1】（25-26高二上·山东青岛·阶段检测）（多选）已知两椭圆和，则（    ） A．两椭圆有相同的焦点 B．两椭圆的离心率相等 C．两椭圆有完全相同的顶点 D．两椭圆有相同的对称轴和对称中心 【答案】BD 【分析】写出椭圆的标准形式，逐项分析即得. 【详解】设椭圆，，，则； 设椭圆，，，则. A（×）椭圆的焦点分别在轴上. B（√）的离心率，的离心率. C（×）椭圆的顶点为，，椭圆的顶点为，. D（√）两椭圆都关于轴对称，关于原点中心对称，即它们有相同的对称轴和对称中心. 故选：BD 【例题4.2】（2026·山东聊城·二模）已知椭圆的左､右焦点分别为，上､下顶点分别为，且，直线与椭圆交于两点，则四边形的周长为（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】D 【详解】设椭圆半焦距为，则，即，， 连接，由关于原点对称，关于原点对称，    得四边形为平行四边形，， 则，而点与点关于直线对称， 因此，， 所以四边形的周长为. 【变式4.1】（25-26高二上·山东日照·期末）如图，把椭圆的长轴分成8等份，过每个分点作轴的垂线交椭圆的上半部分于七个点，是椭圆的一个焦点，则（    ）    A．40 B．28 C．35 D．30 【答案】C 【分析】由椭圆的对称性结合椭圆定义即可分析求解. 【详解】    由题可得，为椭圆上顶点， 则根据椭圆的对称性知，，，， ∴. 故选：C 【变式4.2】（25-26高二上·天津·期中）过椭圆：的中心作直线l交椭圆于M，T两点，是椭圆的左焦点，则周长的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据椭圆的几何性质可得，进而将三角形的周长转化为，再由椭圆的定义及椭圆的上点的范围可得最小值. 【详解】由椭圆：，得，即，. 如图，作出符合题意的图形， 因为椭圆和直线l都是中心对称图形，所以，. 所以的周长为. 设，则，， 又因为，所以，当且仅当时等号成立. 所以，当且仅当时等号成立. 故选：B. 题型5：求椭圆的顶点坐标 方法技巧 1. 焦点在轴：长轴顶点，短轴顶点。 2. 焦点在轴：长轴顶点，短轴顶点。 3. 令求，令求得到顶点。 4. 长轴顶点对应的分母一定是。 【例题5.1】（25-26高二上·山东青岛·期中）椭圆的左顶点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据椭圆标准方程有，即可得左顶点坐标. 【详解】由椭圆标准方程为，则，故左顶点的坐标为. 故选：B 【例题5.2】（26-27高三上·湖南·开学考试）已知椭圆的焦点是椭圆的顶点，点到焦点的距离为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】令，根据题意可得出，利用平面内两点间的距离结合已知条件可求出的值. 【详解】令，则椭圆的焦点坐标为， 而椭圆在轴上的顶点坐标为，由题意可知，故， 易知椭圆的焦点坐标为，即， 因为点到焦点的距离为，即，解得. 【变式5.1】（2026·新疆乌鲁木齐·二模）已知中心在原点，对称轴在坐标轴上的椭圆，其一个顶点是，一个焦点是，以下为椭圆顶点的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】依题意求出椭圆所有顶点坐标判断选项即可. 【详解】椭圆的一个顶点是，一个焦点是，椭圆的焦点在轴上， 设椭圆方程为，则有，得， 所以椭圆左顶点为，右顶点为，下顶点为，上顶点为， 只有A选项符合. 【变式5.2】（2026·新疆乌鲁木齐·三模）直线经过椭圆的两个顶点，若椭圆中心到直线的距离为其长轴长的，则该椭圆的离心率为__________. 【答案】 【分析】设直线经过点，得到直线的，结合题意，利用点到直线的距离公式，列出方程，求得，进而求得椭圆的离心率. 【详解】设椭圆的方程为，可得椭圆的四个顶点坐标为， 根据题意，直线必过椭圆长轴的一个顶点和短轴的一个顶点， 不妨设直线经过点，此时直线的， 因为椭圆中心到直线的距离为其长轴长的，可得， 整理得，可得，即， 所以椭圆的离心率为. 题型6：求椭圆的长轴、短轴 方法技巧 1. 长轴长为，短轴长为，是半轴长。 2. 先把方程化为标准式，找到，算出。 3. 看清题干问法，求长轴长结果要写，不要只写。 【例题6.1】（25-26高二上·湖南邵阳·期末）（多选）关于椭圆，下列结论正确的有（   ） A．长轴长为4 B．短轴长为4 C．焦距为4 D．离心率为 【答案】BCD 【分析】根据椭圆方程判断其焦点位置，求出的值，即可逐一判断. 【详解】由可知椭圆的焦点在轴上，且长半轴长为，短半轴长为， 则半焦距为，离心率为. 故A错误，B，C，D均正确. 故选：BCD. 【例题6.2】（25-26高二上·宁夏·期末）已知椭圆的两个焦点分别为，上顶点为，且，则此椭圆长轴长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据焦点坐标得到，再由得到，的关系求解. 【详解】因为椭圆的两个焦点分别为， 则，又上顶点为P，且，，， 则解得，所以. 故选：D. 【变式6.1】（26-27高二上·山东青岛·阶段检测）（多选）椭圆的左､右焦点分别为，上顶点为，直线与的另一个交点为，若，则（    ） A．的焦距为2 B．的短轴长为1 C．的离心率为 D．的周长为 【答案】AC 【分析】根据题设椭圆方程及的关系先求出，再结合条件求出，即得，，再由椭圆的定义求出的周长即可. 【详解】如图，由可得椭圆的半焦距，则焦距为，故A正确； 由椭圆的对称性，知，又，则得， 则的短半轴长，则短轴长为2，故B错误； 则椭圆的离心率为，故C正确； 的周长为，故D错误. 【变式6.2】（2026·内蒙古呼和浩特·模拟预测）、为椭圆（，）的4个顶点、两个焦点中的两点，，椭圆的离心率为______． 【答案】 【分析】根据椭圆，，可得，根据以及结合可确定，再求离心率. 【详解】因为，所以， 所以椭圆顶点：，；焦点：， 所以，， 当、为短轴顶点时，，不合题意， 当、为焦点和左右顶点中的两点时，两点间距离可能为，若其中任意一个为，解得均不是整数，不合题意， 当、一个为焦点一个为短轴顶点时，，是整数，所以，不合题意， 当、一个为长轴顶点一个为短轴顶点时，，解得，满足题意， 所以， 所以. 题型7：求椭圆的离心率或离心率的取值范围 方法技巧 1. 离心率定义，椭圆满足，满足。 2. 求具体离心率，构造的等量关系，消去求解。 3. 求离心率范围，建立的不等式，转化为关于的不等式。 4. 优先构造齐次二次式，两边同除以，转化为的方程。 【例题7.1】（25-26高二下·陕西汉中·期中）（多选）已知椭圆E：的上顶点为M，左、右焦点分别为，，则（   ） A．长轴长为4 B． C．离心率为 D．的周长为6 【答案】ABD 【详解】椭圆中，，， 则，焦点，，上顶点， 选项A：长轴长，故A正确； 选项B：，故B正确； 选项C：离心率，故C错误； 选项D：的周长为，故D正确． 【例题7.2】（2026高三·全国·专题练习）设，分别是椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，若到两焦点的距离之比为，则离心率范围为________． 【答案】 【详解】设到两个焦点的距离分别为，，根据椭圆定义可知：， 又结合椭圆的性质可知．根据三角形三边关系有，即，，即．又因为， 所以． 【变式7.1】（26-27高二上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）设椭圆：的左，右焦点分别为，，为坐标原点，过的直线与交于，两点，且，，则的离心率为（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，利用椭圆的定义表示出、，结合的直角条件，通过勾股定理求出与的关系；再在中用勾股定理建立与的等式，进而推导离心率. 【详解】设，由得，因此. 根据椭圆的定义，， ， 由，可知为直角三角形（直角在），由勾股定理， 得，展开并化简： 因，两边除以得， 由此可得，， 又因为共线，且，所以，即为直角三角形， 由勾股定理，得， 得，所以，因此离心率. 【变式7.2】（25-26高三上·山西临汾·期末）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，过的直线与交于，两点，若，则椭圆离心率的范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意可得，结合已知可得，进而得，解不等式可得-离心率的范围. 【详解】由过的直线与交于，两点，得， 所以，即， 又，所以， 又，所以，所以， 所以，所以， 由，得，所以， 所以，即，所以或； 由，得，即，所以， 所以-离心率的范围为. 题型8：椭圆离心率大小与椭圆圆扁的关系 方法技巧 1. 越接近，越小，椭圆越扁。 2. 越接近，越接近，椭圆越接近圆形。 【例题8.1】（25-26高二下·浙江杭州·期中）下列椭圆中，形状最接近于圆的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用椭圆离心率公式逐项求解，然后利用离心率的性质分析即可. 【详解】对于A，， 所以椭圆离心率为， 对于B，， 所以椭圆离心率为， 对于C，， 所以椭圆离心率为， 对于D，， 所以椭圆离心率为， 因为，所以D选项中椭圆离心率最小， 由椭圆性质知，离心率越小，越接近于圆，故D正确. 【例题8.2】（24-25高二下·上海宝山·阶段检测）椭圆，椭圆的离心率为，则与更扁平的是_____．（填or） 【答案】 【分析】计算出椭圆得离心率，然后与的离心率进行比较，谁的离心率越大且越接近于1，谁越扁. 【详解】在椭圆中，，所以，所以， 因为椭圆的离心率为，且，所以椭圆的图形更为扁平一些. 故答案为：. 【变式8.1】（25-26高二上·山东潍坊·期末）如图，直角坐标系中有3条圆锥曲线，其离心率分别为，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据椭圆的离心率与图形的关系即可判断. 【详解】设三条曲线的方程为 （），其中 相同,离心率 由图可知，短半轴 ，因此 ， 即 . 两边同除以 ，得 ，即 . 故选：B 【变式8.2】（2026高二·全国·专题练习）（1）过椭圆的左焦点作x轴的垂线交椭圆于点P，为右焦点，若，求该椭圆的离心率； （2）下列各组椭圆中，哪一个更接近于圆？ ①与； ②与． 【答案】（1） ；（2） ①椭圆更接近圆；②椭圆更接近圆. 【详解】（1）如图，作出图象，    设，由题设条件，可知，则， 又椭圆的离心率， 即该椭圆的离心率为. （2）①椭圆变形可得，离心率， 椭圆，离心率， ，所以椭圆更接近圆 ②椭圆变形为，离心率， 椭圆，离心率， ，所以椭圆更接近圆. 题型9：由椭圆的离心率求参数或参数的取值范围 方法技巧 1. 由得到关系，结合得到关系式。 2. 将用题目参数代换，解方程或不等式。 3. 分类讨论焦点位置。 4. 不能忽略隐含条件。 【例题8.1】（2026·河北沧州·一模）已知椭圆的离心率为，则椭圆的一个焦点的坐标可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为椭圆离心率范围为，可得，即， 当，椭圆焦点在轴上时， 由可得，则， 所以离心率，解得， 此时，所以椭圆两个焦点为. 【例题8.2】（2026高三·全国·专题练习）椭圆的右焦点为F，其右准线与x轴的交点为A，在椭圆上存在点P满足线段AP的垂直平分线过点F，则椭圆离心率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设椭圆的左顶点为,根据右焦点F在AP的垂直平分线上，知，得到，列出关于的不等式，求解即得的取值范围. 【详解】设椭圆的左顶点为. 由题意，即以F为圆心，为半径画圆与椭圆有交点P，如图．只需 即即 两边除以得即 得，又， ． 【变式8.1】（26-27高三上·广西南宁·开学考试）设椭圆与的离心率相等，则______． 【答案】3 【详解】由题可知，椭圆的离心率为， 当即时，椭圆的离心率， 当时，，则椭圆的离心率无解. 综上，. 【变式8.2】（26-27高三·全国·一轮复习）已知，，以为焦点的椭圆经过点，且该椭圆的离心率大于，则的取值范围是______. 【答案】 【详解】不妨设，， 该椭圆的离心率为，解得或， 因为，所以，所以. 所以的取值范围为. 题型10：根据几何性质求椭圆标准方程 方法技巧 1. 先判断焦点位置，无法确定焦点时分类讨论。 2. 根据条件列出方程组，联立。 3. 解方程组求出。 4. 代入写出椭圆标准方程。 【例题10.1】（26-27高三·全国·一轮复习）已知椭圆的对称轴是坐标轴，离心率为，长轴长为，则椭圆方程为（    ） A．或 B． C．或 D．或 【答案】C 【详解】由条件知，所以，，则， 当椭圆的焦点在轴上时，椭圆的标准方程为； 当椭圆的焦点在轴上时，椭圆的标准方程为. 综上所述，椭圆的标准方程为或. 【例题10.2】（25-26高二上·山西吕梁·阶段检测）求满足下列条件的椭圆的标准方程： (1)经过点，且离心率： (2)经过点，且与椭圆有相同的焦点. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）根据题意，分类讨论椭圆的焦点位置，结合椭圆的离心率公式求得，从而得解； （2）利用共焦点的性质得到，再利用点在椭圆上得到关于的方程组，解之即可得解. 【详解】（1）因为椭圆经过点， 若椭圆焦点在轴上，则， 由，得，所以， 此时椭圆的标准方程为； 若椭圆焦点在轴上，则， 由，得， 此时椭圆的标准方程为； 综上，椭圆的标准方程为或. （2）因为所求椭圆与椭圆有相同的焦点，可得， 因为焦点在轴上，可设它的标准方程为且， 因为椭圆过点，所以有①， 又因为②， 由①②解得：， 所以所求椭圆的标准方程为. 【变式10.1】（2026·山西吕梁·二模）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，过点的直线交C于A，B两点，若，，则椭圆C的方程为_______. 【答案】 【分析】先利用椭圆的定义设出线段长度，结合已知条件求出各边长度，再用余弦定理建立关于的方程，进而求出，得到椭圆方程. 【详解】设，则，。 因为，所以。 根据椭圆的定义可得，得​， 因此，。 在中，； 在​中，​，​，， 由，得， 对​用余弦定理： ， 对​用余弦定理：， 所以化简得：， 又椭圆中， 所以，即。 因此椭圆的方程为 【变式10.2】（25-26高二上·江苏淮安·阶段检测）已知椭圆的两个焦点分别为，且与椭圆有共同的离心率. (1)求椭圆的离心率及标准方程； (2)设点在椭圆上，且，求的面积. 【答案】(1)离心率为，椭圆方程为； (2). 【分析】（1）由题意计算出椭圆的，即得离心率； （2）利用椭圆的定义以及条件，列方程，可解出的值，即得面积. 【详解】（1）椭圆 的离心率 ， 对于椭圆 ，焦点为 和 ，焦距，所以. 又椭圆的离心率 ，得， 再由，得， 所以椭圆 的标准方程为 . （2）椭圆 的半长轴 ， 由椭圆的定义知，任意点 在椭圆上，有， 联立得，解方程得， 由得：，故， 故的面积. 题型11：椭圆的应用 方法技巧 1. 建立平面直角坐标系，将实际问题转化为椭圆模型。 2. 提取长轴、短轴、焦点等几何量，求解椭圆方程。 3. 利用椭圆性质求解问题。 4. 分清实际长度对应。 【例题11.1】（25-26高二上·江苏苏州·期中）已知某太阳系行星运行的轨道是长轴长为，离心率为的椭圆，且太阳在这个椭圆的一个焦点上，则该行星到太阳的最大距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先由椭圆的定义得到，再由椭圆的性质得到最大距离即可. 【详解】由椭圆的定义可知， 离心率， 因为太阳在这个椭圆的一个焦点上， 则该行星到太阳的最大距离是. 故选：B. 【例题11.2】（25-26高二上·江西南昌·阶段检测）2024年10月22日，我国在太原卫星发射中心使用长征六号运载火箭，成功将天平三号、、卫星发射升空，卫星顺利进入预定轨道，发射任务获得圆满成功．如图，假设天平三号卫星运动的轨道是以地球的球心为一个焦点的椭圆，已知地球的直径约为1.3万千米，卫星运动至近地点距离地球表面高度约1.35万千米，运动至远地点距离地球表面高度约3.35万千米，则天平三号卫星运行的轨迹方程可以为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意可得，，进而可求，即可得椭圆方程. 【详解】由题意知，卫星的运动轨迹为椭圆，地球的球心为该椭圆的一个焦点. 设椭圆的长轴长为2a，短轴长为2b，焦距为2c， 由题可知，，即． 因为天平三号卫星运动至近地点距离地球表面高度约1.35万千米，地球半径约为0.65万千米， 所以，可得， 因此，结合选项可知A满足． 故选：A. 【变式11.1】（2026·湖北武汉·模拟预测）“不以规矩，不能成方圆”出自《孟子·离娄章句上》，“规”指圆规，“矩”是指相互垂直的长短两条直尺构成的方尺，是古人用来测量、画图的工具．如图，现有一椭圆经某同学以“矩”量之得，，其中为椭圆的左焦点，PQ经过坐标原点O，则该椭圆的短轴长为（   ） A．2cm B．4cm C． D． 【答案】D 【详解】根据椭圆的对称性可知，故，得， 又，所以，得， 由得，即，所以椭圆的短轴长为． 【变式11.2】（26-27高二上·湖南长沙·阶段检测）（多选）在阳光的照射下，篮球在地面留下的影子如图所示，设过篮球的中心且与太阳平行光线垂直的平面为，地面所在平面为，篮球与地面的切点为，球心为，球心在地面的影子为点．已知太阳光线与地面的夹角为，如图，球的一条直径，、为、在地面的影子，点在线段上，当时，篮球的影子为一椭圆，线段为椭圆的长轴，则下列说法正确的是（     ） A．椭圆的长轴长为 B．该椭圆的离心率为 C．恰好为椭圆的一个焦点 D．设、为椭圆的两个焦点，为椭圆上任意一点，则内切圆半径的最大值为 【答案】BCD 【分析】先根据太阳光平行投影的几何关系，求出影子椭圆的长半轴、短半轴；再利用椭圆的关系式计算半焦距；依次检验 A、B、C：判断长轴长度、计算离心率、验证H到椭圆中心距离等于半焦距，判断焦点位置。最后利用椭圆上点纵坐标的最大值，结合三角形面积与内切圆半径公式，推导内切圆半径最大值，完成 D 选项判断，选出全部正确选项即可. 【详解】由已知得：球直径，太阳光线与地面夹角为，影子为椭圆， 为椭圆长轴，球心到地面距离， 由平行投影得：椭圆长半轴 ，短半轴 ， 则焦半距：， 选项A：椭圆长轴长 ，A错误； 选项B：离心率，B正确； 选项C：为椭圆中心，，，， 则，所以， 点在长轴上，到椭圆中心距离等于半焦距，故是椭圆一个焦点，C正确； 选项D：设的内切圆半径为， 所以，化简：， 所以椭圆上点纵坐标最大值 ， 代入得：，D正确. 题型12：椭圆第二定义、准线、焦半径的应用（拓展） 方法技巧 1. 椭圆第二定义：椭圆上一点到焦点距离与到对应准线距离之比等于离心率。 2. 焦点在轴，准线，焦半径。 3. 焦点在轴，准线，焦半径。 4. 涉及焦点距离、点到准线距离，优先使用第二定义、焦半径简化计算。 【例题12.1】（专题9圆锥曲线第二定义的应用微点1圆锥曲线第二定义的应用（一））已知椭圆上一点P到椭圆一个焦点的距离为3，则P到另一焦点对应的准线的距离为（    ） A． B．5 C． D． 【答案】D 【分析】根据给定方程，求出椭圆的离心率，再利用椭圆的第一、第二定义计算作答. 【详解】令椭圆二焦点分别为，显然椭圆长半轴长，短半轴长，半焦距，离心率， 由对称性不妨令，则由椭圆第一定义知， 由椭圆第二定义得点P到焦点对应准线的距离. 故选：D 【例题12.2】（第37讲 活用圆锥曲线的定义）点与定点的距离和它到定直线的距离之比是常数，则的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用动点到定点的距离与到定直线的距离的比判定轨迹是椭圆，再求其标准方程. 【详解】因为点与定点的距离和它到定直线的距离之比是常数， 所以由椭圆的第二定义得的轨迹是焦点在轴上的椭圆， 设方程为， 则，解得，， 则， 所以的轨迹方程为． 故选：C． 【变式12.1】（2026高三·全国·专题练习）椭圆上的点到左准线的距离是2.5，则到左焦点的距离为______，到右焦点的距离为______. 【答案】 1.5 8.5 【分析】方法一：利用椭圆的第二定义得即可求解，根据椭圆的第一定义即可求； 方法二：求点到右准线的距离，根据椭圆的第二定义即可求解. 【详解】方法一： 记椭圆的左右焦点分别为，到左右准线的距离分别为.由椭圆的第二定义可知：，则， . 又由椭圆的第一定义可知：， . 方法二： 点到左准线的距离是2.5，所以点到右准线的距离为. . 故答案为：1.5；8.5. 【变式12.2】（2025高二上·全国·专题练习）已知椭圆的焦点为，，若点在椭圆上，且满足（其中为坐标原点）的的个数（   ） A．0 B．2 C．4 D．8 【答案】C 【分析】由焦半径公式结合列出等式求解即可. 【详解】椭圆的左准线方程为，设，为左焦点，为右焦点， 由椭圆的第二定义可知，得， 再由，得， 所以， 又而，所以， 结合，可得：， 又，代入上式解得：， 由椭圆的对称性可知满足条件的点有4个， 故选：C． 试卷第2页，共3页 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章 圆锥曲线 3.1.2 椭圆的简单几何性质 内容概览 2 🔷知识点一　椭圆的范围 2 🔷知识点二　椭圆的对称性 2 🔷知识点三　椭圆的顶点与基本量 2 🔷知识点四　椭圆的离心率 3 🔷知识点五　核心参数关系（）与椭圆性质总结 3 🔷知识点六　拓展：椭圆的第二定义、准线、焦半径 4 5 易错点1：焦点在y轴时，混淆顶点坐标与轴的名称 5 易错点2：离心率公式和范围混淆 5 易错点3：求最值时忽略椭圆上点的坐标范围 6 易错点4：利用对称性解题，遗漏对称情况 6 易错点5：离心率与扁平程度的对应关系搞反 7 易错点6：混淆"半轴长"与"轴长"，漏乘系数2 7 7 题型1：求椭圆的焦点、焦距 7 题型2：椭圆中x、y的取值范围 8 题型3：根据椭圆的有界性求范围或最值 9 题型4：椭圆的对称性 9 题型5：求椭圆的顶点坐标 10 题型6：求椭圆的长轴、短轴 11 题型7：求椭圆的离心率或离心率的取值范围 12 题型8：椭圆离心率大小与椭圆圆扁的关系 13 题型9：由椭圆的离心率求参数或参数的取值范围 14 题型10：根据几何性质求椭圆标准方程 14 题型11：椭圆的应用 15 题型12：椭圆第二定义、准线、焦半径的应用（拓展） 17 🔷知识点一　椭圆的范围 1. 焦点在轴（）：，。 2. 焦点在轴（）：，。 3. 几何意义：椭圆完全落在直线、围成的矩形内部。 ⚠️特别提醒 · 焦点在y轴时，x、y的范围对应互换，长轴在哪条轴，哪条轴的坐标范围就更大。 · 椭圆上点的坐标范围是闭区间，是求最值、取值范围问题的天然定义域，超出范围的解必须舍去。 · 椭圆与边界矩形有且仅有四个切点，即椭圆的四个顶点。 🔷知识点二　椭圆的对称性 1. 对称轴：轴、轴均为椭圆的对称轴。 2. 对称中心：原点是椭圆的对称中心，简称椭圆的中心。 3. 性质：椭圆上任意一点关于轴、轴、原点的对称点，仍在椭圆上。 ⚠ 特别提醒 · 椭圆同时具备这三种对称性，题目出现"对称"时，要考虑全三种情况，避免漏解； · 标准椭圆的对称中心为原点、对称轴为坐标轴；若椭圆平移，对称中心和对称轴同步平移； · 利用对称性可简化计算：比如弦关于坐标轴对称时，只需计算一半再翻倍。 🔷知识点三　椭圆的顶点与基本量 1. 顶点：椭圆与对称轴的交点 (1) 焦点在轴：长轴顶点，短轴顶点。 (2) 焦点在轴：长轴顶点，短轴顶点。 2. 长轴：连接两个长轴顶点的线段，长为，为长半轴长。 3. 短轴：连接两个短轴顶点的线段，长为，为短半轴长。 4. 长轴顶点是椭圆上到中心距离最远的点，短轴顶点是最近的点。 ⚠ 特别提醒 · 长轴跟着焦点走：焦点在哪条坐标轴，长轴就在哪条轴，长轴顶点坐标含； · 审题时明确关键词：区分"长半轴长"和"长轴长"，"半焦距"和"焦距"，切勿漏乘2； · 顶点是距离最值、角度最值的临界位置，很多最值问题都在顶点处取等号。 🔷知识点四　椭圆的离心率 1. 定义：椭圆的焦距与长轴长的比值，记作。 2. 核心公式： 3. 取值范围： 4. 几何意义：刻画椭圆的扁平程度： (1) 越接近1，越小，椭圆越扁。 (2) 越接近0，越接近，椭圆越接近圆。 (3) 时，，图形退化为圆，已经不是椭圆，属于极限退化情形。 ⚠ 特别提醒 · 离心率公式切勿记反，椭圆中恒成立，故离心率一定小于1。 · 椭圆的扁平程度只与离心率有关，与椭圆的整体大小无关。 · 离心率是比值，求离心率本质是求的比例关系。 🔷知识点五　核心参数关系（）与椭圆性质总结 1. 恒等式： 2. 离心率变形： 3. 四个参数中，给出两个独立条件，可求出其余两个。 4. 椭圆性质总结 标准方程 图像       性质 对称性 对称轴：坐标轴对称中心：原点 顶点 ，，， ，，， 轴 长轴的长为2a，短轴的长为2b 范围 ， ， a、b、c的关系 离心率 5. 椭圆的其他相关性质： ①椭圆上到中心距离最大的点是长轴的两个端点，到中心距离最小的点是短轴的两个端点。 ②椭圆上到焦点距离最大和最小的点是长轴的两个端点，最大、最小距离分别是、。 ③P是椭圆上的点，当P点在短轴端点时，最大。 ⚠ 特别提醒 · 长轴长是2a，短轴长是2b，长半轴长是a，短半轴长是b。 · 椭圆中始终是最大量，、恒成立。 · 注意与双曲线区分：双曲线中是最大量，关系式为，二者极易混淆，可通过"谁最大，谁在等式另一边"记忆。 · 求离心率优先用齐次法：将条件转化为关于的n次齐次方程，两边同除以直接得到关于的方程。 🔷知识点六　拓展：椭圆的第二定义、准线、焦半径 1. 第二定义：平面内到定点（焦点）的距离与到定直线（准线）的距离之比为常数（）的点的轨迹是椭圆。 2. 准线方程： (1) 焦点在轴：准线为 (2) 焦点在轴：准线为 3. 对应规则：焦点与准线同侧对应，左焦点对应左准线，右焦点对应右准线。 4. 焦半径公式 设椭圆上任意一点为： （1）焦点在轴时：左焦半径，右焦半径，记忆口诀：左加右减。 （2）焦点在轴时：下焦半径，上焦半径，记忆口诀：下加上减。 ⚠ 特别提醒 · 焦点与准线遵循同侧对应原则，不可交叉对应。 · 椭圆上点到焦点的距离的最大值为，最小值为，在长轴顶点处取得。 易错点1：焦点在y轴时，混淆顶点坐标与轴的名称 【易错点】 焦点在轴时，误将当作长轴顶点，或认为长轴沿轴，搞反长、短轴的位置。 【易错消除】 牢记长轴跟着焦点走：焦点在哪条轴，长轴就在哪条轴，长轴顶点坐标含，短轴顶点坐标含。 (1) 焦点在轴→长轴在轴→轴顶点 (2) 焦点在轴→长轴在轴→轴顶点 【易错例题】（25-26高二上·陕西榆林·阶段检测）中心在原点，焦点在坐标轴上，且过两点，的椭圆的标准方程是（   ） A． B． C． D． 易错点2：离心率公式和范围混淆 【易错点】 记错离心率定义，写反离心率的公式；或混淆离心率的取值范围。 【易错消除】 椭圆离心率，范围。 椭圆中恒成立，故离心率一定小于1；遇到离心率数值先判断范围，可快速排除错误选项。 【易错例题】（2026·广东深圳·模拟预测）椭圆的离心率为______． 易错点3：求最值时忽略椭圆上点的坐标范围 【易错点】 求椭圆上点的横、纵坐标相关最值时，忽略x,y的取值范围，直接按二次函数顶点得出错误结果。 【易错消除】 1. 涉及椭圆上点的坐标运算，先标注定义域： (1) 焦点在轴： (2) 焦点在轴： 2. 二次函数对称轴不在定义域内时，最值在区间端点处取得。 【易错例题】（25-26高二上·浙江温州·期中）已知点在椭圆上运动，圆的圆心为椭圆的右焦点，半径，点在圆上，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 易错点4：利用对称性解题，遗漏对称情况 【易错点】 已知椭圆上一点的对称点相关问题时，只考虑关于x轴对称的情况，漏掉关于y轴对称、关于原点中心对称的情况，造成漏解。 【易错消除】 1. 椭圆有三类对称方式：关于轴对称、关于轴对称、关于原点中心对称； 2. 涉及"对称点仍在椭圆上"的问题，可利用、、、均满足椭圆方程验证。 【易错例题】（2025·河南·模拟预测）若椭圆与圆恰有2个公共点，则__________. 易错点5：离心率与扁平程度的对应关系搞反 【易错点】 搞反离心率与扁平程度二者的对应关系。 【易错消除】 1. 记忆技巧：离心率越大，越大，越小，椭圆越"扁"；越小越接近圆。 2. 极端值辅助记忆：是圆（最圆），趋近1是极扁的椭圆。 【易错例题】（25-26高二下·重庆·阶段检测）下列方程表示的椭圆中，形状最接近于圆的是（   ） A． B． C． D． 易错点6：混淆"半轴长"与"轴长"，漏乘系数2 【易错点】 已知长半轴，误将长轴长写为；已知半焦距，误将焦距写为。 【易错消除】 1. 明确概念： (1) 长半轴长，长轴长；短半轴长，短轴长 (2) 半焦距，焦距 2. 审题时圈出关键词："长半轴"还是"长轴"，"半焦距"还是"焦距"。 【易错例题】（26-27高二上·山东青岛·阶段检测）焦点在轴上，中心在原点，长轴长为10，短轴长为8的椭圆方程为（    ） A． B． C． D． 题型1：求椭圆的焦点、焦距 方法技巧 1. 先将椭圆方程化为标准形式，分母较大的一项对应，以此判断焦点在轴还是轴。 2. 利用关系式求出，焦距为。 3. 根据焦点所在坐标轴，写出焦点坐标：焦点在轴时为；焦点在轴时为。 4. 注意区分，焦点坐标由长轴所在坐标轴决定。 【例题1.1】（26-27高二上·江苏南通·阶段检测）椭圆的一个焦点坐标为（    ） A． B． C． D． 【例题1.2】（26-27高二上·北京西城·阶段检测）与椭圆有公共焦点的椭圆是（     ） A． B． C． D． 【变式1.1】（26-27高二上·河南南阳·开学考试）若椭圆的焦距是2，则实数的值为（  ） A． B．5 C．3 D．3或5 【变式1.2】（26-27高二上·湖南长沙·阶段检测）已知椭圆：，其左右焦点分别为，．点是椭圆上任意一点，则的周长为__________． 题型2：椭圆中x、y的取值范围 方法技巧 1. 焦点在轴： 、，的范围由长半轴决定，的范围由短半轴决定。 2. 焦点在轴：、，的范围由长半轴决定，的范围由短半轴决定。 【例题2.1】（25-26高二上·陕西西安·期中）已知为椭圆上任意一点，则的最小值为_____，的取值范围是_____. 【例题2.2】（24-25高二上·江苏南京·阶段检测）已知为椭圆上的点，，则线段长度的最小值为__________. 【变式2.1】（25-26高二上·河北保定·期中）已知为椭圆上任意一点，，则的最小值为__________. 【变式2.2】（2026·甘肃兰州·一模）已知曲线，则曲线上的点到直线的距离的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型3：根据椭圆的有界性求范围或最值 方法技巧 1. 表达式为单变量时，直接利用求最值。 2. 含有两个变量，可用三角换元： (1) 焦点在轴时，设，转化为三角函数求值域。 (2) 焦点在轴时，，转化为三角函数求值域。 3. 几何类最值，可借助椭圆顶点、焦点的几何意义分析。 【例题3.1】（24-25高二上·湖南·阶段检测）已知椭圆，则该椭圆上的点到焦点距离的最小值为（   ） A．1 B．2 C． D． 【例题3.2】（25-26高二上·上海·阶段检测）点在曲线上运动，则的最大值为______ 【变式3.1】（25-26高二上·四川宜宾·期末）（多选）设椭圆的左、右焦点分别为，，过点的直线交椭圆于A，B两点，则（    ） A．椭圆的短轴长为 B．的周长为12 C．的最小值为 D．椭圆上不存在点P，使得 【变式3.2】（25-26高二上·上海·期中）已知，，点为椭圆：上的动点，则的取值范围是________． 题型4：椭圆的对称性 方法技巧 1. 椭圆关于轴对称：点在椭圆上，则也在椭圆上。 2. 椭圆关于轴对称：点在椭圆上，则也在椭圆上。 3. 椭圆关于原点中心对称：点在椭圆上，则也在椭圆上。 4. 解题可利用对称性减少计算量，由已知点直接写出对称点。 【例题4.1】（25-26高二上·山东青岛·阶段检测）（多选）已知两椭圆和，则（    ） A．两椭圆有相同的焦点 B．两椭圆的离心率相等 C．两椭圆有完全相同的顶点 D．两椭圆有相同的对称轴和对称中心 【例题4.2】（2026·山东聊城·二模）已知椭圆的左､右焦点分别为，上､下顶点分别为，且，直线与椭圆交于两点，则四边形的周长为（    ） A．2 B． C．4 D． 【变式4.1】（25-26高二上·山东日照·期末）如图，把椭圆的长轴分成8等份，过每个分点作轴的垂线交椭圆的上半部分于七个点，是椭圆的一个焦点，则（    ）    A．40 B．28 C．35 D．30 【变式4.2】（25-26高二上·天津·期中）过椭圆：的中心作直线l交椭圆于M，T两点，是椭圆的左焦点，则周长的最小值是（   ） A． B． C． D． 题型5：求椭圆的顶点坐标 方法技巧 1. 焦点在轴：长轴顶点，短轴顶点。 2. 焦点在轴：长轴顶点，短轴顶点。 3. 令求，令求得到顶点。 4. 长轴顶点对应的分母一定是。 【例题5.1】（25-26高二上·山东青岛·期中）椭圆的左顶点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【例题5.2】（26-27高三上·湖南·开学考试）已知椭圆的焦点是椭圆的顶点，点到焦点的距离为，则（    ） A． B． C． D． 【变式5.1】（2026·新疆乌鲁木齐·二模）已知中心在原点，对称轴在坐标轴上的椭圆，其一个顶点是，一个焦点是，以下为椭圆顶点的是（   ） A． B． C． D． 【变式5.2】（2026·新疆乌鲁木齐·三模）直线经过椭圆的两个顶点，若椭圆中心到直线的距离为其长轴长的，则该椭圆的离心率为__________. 题型6：求椭圆的长轴、短轴 方法技巧 1. 长轴长为，短轴长为，是半轴长。 2. 先把方程化为标准式，找到，算出。 3. 看清题干问法，求长轴长结果要写，不要只写。 【例题6.1】（25-26高二上·湖南邵阳·期末）（多选）关于椭圆，下列结论正确的有（   ） A．长轴长为4 B．短轴长为4 C．焦距为4 D．离心率为 【例题6.2】（25-26高二上·宁夏·期末）已知椭圆的两个焦点分别为，上顶点为，且，则此椭圆长轴长为（    ） A． B． C． D． 【变式6.1】（26-27高二上·山东青岛·阶段检测）（多选）椭圆的左､右焦点分别为，上顶点为，直线与的另一个交点为，若，则（    ） A．的焦距为2 B．的短轴长为1 C．的离心率为 D．的周长为 【变式6.2】（2026·内蒙古呼和浩特·模拟预测）、为椭圆（，）的4个顶点、两个焦点中的两点，，椭圆的离心率为______． 题型7：求椭圆的离心率或离心率的取值范围 方法技巧 1. 离心率定义，椭圆满足，满足。 2. 求具体离心率，构造的等量关系，消去求解。 3. 求离心率范围，建立的不等式，转化为关于的不等式。 4. 优先构造齐次二次式，两边同除以，转化为的方程。 【例题7.1】（25-26高二下·陕西汉中·期中）（多选）已知椭圆E：的上顶点为M，左、右焦点分别为，，则（   ） A．长轴长为4 B． C．离心率为 D．的周长为6 【例题7.2】（2026高三·全国·专题练习）设，分别是椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，若到两焦点的距离之比为，则离心率范围为________． 【变式7.1】（26-27高二上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）设椭圆：的左，右焦点分别为，，为坐标原点，过的直线与交于，两点，且，，则的离心率为（） A． B． C． D． 【变式7.2】（25-26高三上·山西临汾·期末）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，过的直线与交于，两点，若，则椭圆离心率的范围为（   ） A． B． C． D． 题型8：椭圆离心率大小与椭圆圆扁的关系 方法技巧 1. 越接近，越小，椭圆越扁。 2. 越接近，越接近，椭圆越接近圆形。 【例题8.1】（25-26高二下·浙江杭州·期中）下列椭圆中，形状最接近于圆的是（    ） A． B． C． D． 【例题8.2】（24-25高二下·上海宝山·阶段检测）椭圆，椭圆的离心率为，则与更扁平的是_____．（填or） 【变式8.1】（25-26高二上·山东潍坊·期末）如图，直角坐标系中有3条圆锥曲线，其离心率分别为，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【变式8.2】（2026高二·全国·专题练习）（1）过椭圆的左焦点作x轴的垂线交椭圆于点P，为右焦点，若，求该椭圆的离心率； （2）下列各组椭圆中，哪一个更接近于圆？ ①与； ②与． 题型9：由椭圆的离心率求参数或参数的取值范围 方法技巧 1. 由得到关系，结合得到关系式。 2. 将用题目参数代换，解方程或不等式。 3. 分类讨论焦点位置。 4. 不能忽略隐含条件。 【例题8.1】（2026·河北沧州·一模）已知椭圆的离心率为，则椭圆的一个焦点的坐标可以为（    ） A． B． C． D． 【例题8.2】（2026高三·全国·专题练习）椭圆的右焦点为F，其右准线与x轴的交点为A，在椭圆上存在点P满足线段AP的垂直平分线过点F，则椭圆离心率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式8.1】（26-27高三上·广西南宁·开学考试）设椭圆与的离心率相等，则______． 【变式8.2】（26-27高三·全国·一轮复习）已知，，以为焦点的椭圆经过点，且该椭圆的离心率大于，则的取值范围是______. 题型10：根据几何性质求椭圆标准方程 方法技巧 1. 先判断焦点位置，无法确定焦点时分类讨论。 2. 根据条件列出方程组，联立。 3. 解方程组求出。 4. 代入写出椭圆标准方程。 【例题10.1】（26-27高三·全国·一轮复习）已知椭圆的对称轴是坐标轴，离心率为，长轴长为，则椭圆方程为（    ） A．或 B． C．或 D．或 【例题10.2】（25-26高二上·山西吕梁·阶段检测）求满足下列条件的椭圆的标准方程： (1)经过点，且离心率： (2)经过点，且与椭圆有相同的焦点. 【变式10.1】（2026·山西吕梁·二模）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，过点的直线交C于A，B两点，若，，则椭圆C的方程为_______. 【变式10.2】（25-26高二上·江苏淮安·阶段检测）已知椭圆的两个焦点分别为，且与椭圆有共同的离心率. (1)求椭圆的离心率及标准方程； (2)设点在椭圆上，且，求的面积. 题型11：椭圆的应用 方法技巧 1. 建立平面直角坐标系，将实际问题转化为椭圆模型。 2. 提取长轴、短轴、焦点等几何量，求解椭圆方程。 3. 利用椭圆性质求解问题。 4. 分清实际长度对应。 【例题11.1】（25-26高二上·江苏苏州·期中）已知某太阳系行星运行的轨道是长轴长为，离心率为的椭圆，且太阳在这个椭圆的一个焦点上，则该行星到太阳的最大距离是（    ） A． B． C． D． 【例题11.2】（25-26高二上·江西南昌·阶段检测）2024年10月22日，我国在太原卫星发射中心使用长征六号运载火箭，成功将天平三号、、卫星发射升空，卫星顺利进入预定轨道，发射任务获得圆满成功．如图，假设天平三号卫星运动的轨道是以地球的球心为一个焦点的椭圆，已知地球的直径约为1.3万千米，卫星运动至近地点距离地球表面高度约1.35万千米，运动至远地点距离地球表面高度约3.35万千米，则天平三号卫星运行的轨迹方程可以为（    ）    A． B． C． D． 【变式11.1】（2026·湖北武汉·模拟预测）“不以规矩，不能成方圆”出自《孟子·离娄章句上》，“规”指圆规，“矩”是指相互垂直的长短两条直尺构成的方尺，是古人用来测量、画图的工具．如图，现有一椭圆经某同学以“矩”量之得，，其中为椭圆的左焦点，PQ经过坐标原点O，则该椭圆的短轴长为（   ） A．2cm B．4cm C． D． 【变式11.2】（26-27高二上·湖南长沙·阶段检测）（多选）在阳光的照射下，篮球在地面留下的影子如图所示，设过篮球的中心且与太阳平行光线垂直的平面为，地面所在平面为，篮球与地面的切点为，球心为，球心在地面的影子为点．已知太阳光线与地面的夹角为，如图，球的一条直径，、为、在地面的影子，点在线段上，当时，篮球的影子为一椭圆，线段为椭圆的长轴，则下列说法正确的是（     ） A．椭圆的长轴长为 B．该椭圆的离心率为 C．恰好为椭圆的一个焦点 D．设、为椭圆的两个焦点，为椭圆上任意一点，则内切圆半径的最大值为 题型12：椭圆第二定义、准线、焦半径的应用（拓展） 方法技巧 1. 椭圆第二定义：椭圆上一点到焦点距离与到对应准线距离之比等于离心率。 2. 焦点在轴，准线，焦半径。 3. 焦点在轴，准线，焦半径。 4. 涉及焦点距离、点到准线距离，优先使用第二定义、焦半径简化计算。 【例题12.1】（专题9圆锥曲线第二定义的应用微点1圆锥曲线第二定义的应用（一））已知椭圆上一点P到椭圆一个焦点的距离为3，则P到另一焦点对应的准线的距离为（    ） A． B．5 C． D． 【例题12.2】（第37讲 活用圆锥曲线的定义）点与定点的距离和它到定直线的距离之比是常数，则的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【变式12.1】（2026高三·全国·专题练习）椭圆上的点到左准线的距离是2.5，则到左焦点的距离为______，到右焦点的距离为______. 【变式12.2】（2025高二上·全国·专题练习）已知椭圆的焦点为，，若点在椭圆上，且满足（其中为坐标原点）的的个数（   ） A．0 B．2 C．4 D．8 试卷第2页，共3页 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $