2.5.1 直线与圆的位置关系（知识清单，知识点+五大易错点+十四大题型）高二数学人教A版选择性必修第一册

第二章 直线和圆的方程 2.5.1直线与圆的位置关系 内容概览 2 🔷知识点一　直线与圆的位置关系 2 🔷知识点二　圆的切线方程 2 🔷知识点三　圆的切线长和切点弦 3 🔷知识点四　圆的弦长与弦心距 4 🔷知识点五　与圆相关的最值问题 5 5 易错点1：判断位置关系时，忽略使用前提 5 易错点2：求切线方程时，忽略斜率不存在的情况 6 易错点3：求切线长时，忽略切线长公式的适用前提 6 易错点4：求弦长时，忽略垂径定理得到的是半弦长 6 易错点5：含参数的直线与圆问题，忽略参数对位置关系的影响 7 7 题型1：判断直线与圆的位置关系 7 题型2：由直线与圆的位置关系求参数 8 题型3：过圆上一点的圆的切线方程 8 题型4：过圆外一点的圆的切线方程 9 题型5：圆的切线长问题 10 题型6：已知切线求参数 10 题型7：切点弦及其方程 11 题型8：圆的弦长与中点弦 12 题型9：已知圆的弦长求方程或参数 12 题型10：直线与半圆的相交问题 13 题型11：由圆上的点到直线的距离求参数 14 题型12：直线与圆有关的面积问题 15 题型13：直线与圆有关的最值问题 16 题型14：直线与圆的实际应用 17 🔷知识点一　直线与圆的位置关系 设圆C:，直线l:，圆心C到直线l的距离为，联立，消去x(或y)得到关于y(或x)的一元二次方程，判别式为. 位置关系 相交 相切 相离 图示 公共点个数 2个 1个 0个 方程组解的情况 2个 仅有一组解 无解 几何法 代数法 ⚠️特别提醒 · 利用方程组解的情况判断直线与圆的位置关系时，不必求出方程组的实数解，只需将直线方程代入圆的方程，消去一个未知数,得到关于x(或y)的一元二次方程，由与0的大小关系判断方程组解的个数，进一步判断直线与圆的位置关系。 · 判断直线与圆的位置关系时常用几何法，而判断直线与其他二次曲线的位置关系时常用代数法. 🔷知识点二　圆的切线方程 1. 圆的切线方程的一般求法和切线条数 (1) 代数法：设出切线方程，利用切线与圆仅有一个公共点，将直线与圆的方程联立，消去y（或x）得到关于x（或y）的一元二次方程，由Δ= 0解出参数，从而求出切线方程. (2) 几何法：利用圆的几何特征求解：圆心到切线的距离等于半径；圆心与切点的连线和切线互相垂直. (3) 切线条数：若点在圆外，则过该点可以作圆的两条切线；若点在圆上，则过该点只能作圆的一条切线，且该点就是切点；若点在圆内，则过该点不能作出圆的切线. 2. 求过圆C上一点P的切线方程 若P与圆心连线的斜率存在且不为0，记为k，则切线斜率为，再利用点斜式写出切线方程； 若斜率为0（连线水平），则切线斜率不存在，切线方程为； 若斜率不存在（连线竖直），则切线斜率为 0，切线方程为. 常见结论如下： （1）圆，在圆上点处的切线方程： （2）圆，在圆上点处的切线方程： （3）圆，在圆上点处的切线方程： ⚠ 特别提醒 · 上述三个切线结论，前提是在圆上，如果点在圆外，这个式子表示切点弦所在直线方程，不是切线方程. 3. 求过圆外一点的切线方程（共两条切线） 设是圆外一点，求过点的圆的切线方程. (1) 设切点法 设切点是，解方程组： 解方程组得到切点坐标，代入点斜式，即可写出切线方程. (2) 设斜率法 设切线斜率为k，由点斜式写出切线方程：，整理为，利用圆心到切线的距离等于半径列方程，解出k. ⚠ 特别提醒 · 设斜率k的方法，默认斜率存在；解方程若只求出一个k，说明还有一条斜率不存在的切线，要单独检验补上. 🔷知识点三　圆的切线长和切点弦 1. 圆的切线长问题 过圆外一点P可作圆的两条切线，点P与切点之间的线段长度，叫作切线长. 几何原理：切线垂直于过切点的半径，由勾股定理计算切线长. 圆 C:，为圆外一点，则切线长公式为 ⚠ 特别提醒 · 使用前提：点P在圆外，保证根号内表达式>0 2. 圆的切点弦问题 (1) 定义：从圆外一点引圆的两条切线 PA, PB（A, B 为切点），连接两个切点得到的线段AB，称为切点弦；直线AB叫作切点弦所在直线. (2) 求切点弦所在直线方程的方法 1　 先求切线方程法（基础理解用，计算量大） 先求两条切线方程，分别和圆方程联立，解出切点A, B坐标，再用两点式写出直线AB的方程. 2　 两圆相减法（考试优先推荐） 以PC为直径作圆，圆方程：，再将该圆的方程与圆 C 的方程相减，所得直线方程就是切点弦AB的方程. (3) 快速结论：切点弦AB的直线方程：. ⚠ 特别提醒 · 若P点在圆上：该快速结论方程是过点P的切线方程 · 若P点在圆外：该快速结论方程是切点弦AB的直线方程 · 同一个代数式，点的位置决定方程含义，这是解析几何高频坑 🔷知识点四　圆的弦长与弦心距 直线与圆相交时的弦长求法： 几何法 利用圆的半径r、圆心到直线的距离d、弦长三者关系：求解 弦长公式为： 代数法 若直线与圆的交点坐标容易求解，求出两个交点后，直接用两点间的距离公式计算弦长 弦长 公式法 设直线与圆交于，将直线方程代入圆的方程，消元得到关于x(或y)的一元二次方程，结合根与系数的关系，得到弦长公式： ⚠ 特别提醒 · 直线斜率不存在（竖直直线）时，直接用弦长． · 直线斜率为 0（水平直线）时，直接用弦长 · 由垂径定理勾股式算出的是半弦长，不要误当成完整弦长． · 以为直径端点的圆的方程：． 🔷知识点五　与圆相关的最值问题 1. 转化为求斜率最值：形如形式的最值,可转化为动直线斜率的最值. 2. 转化为求截距最值：形如形式的最值,可转化为动直线截距的最值. 3. 转化为求两点间距离最值：形如形式的最值,可转化为动点到定点距离的平方的最值. 4. 求圆O上一点到P的最大、最小距离： (1) 若P在圆外：. (2) 若P在圆内：. (3) 若P在圆上：. 5. 圆心到直线的距离d，圆的半径为r，求圆上的点到直线的最大、最小距离： (1) 直线和圆相离：圆上点到直线的最大距离为 d+r，最小距离为d−r． (2) 直线与圆相交或相切：圆上点到直线的最大距离为 d+r，最小距离为0． ⚠特别提醒 · 斜率型：注意定点不能取(x,y)． · 对于转化截距，要留意(b=0)的特殊情形． 易错点1：判断位置关系时，忽略使用前提 【易错点】 用几何法判断时，容易忽略圆心到直线的距离公式中直线需为一般式； 用代数法时，容易忽略联立后二次项系数是否为零. 【易错消除】 几何法：先化直线为一般式，求圆心到直线的距离 d，与半径 r 比较：. 代数法：联立后消元，用判别式Δ判断，注意二次项系数为0时单独讨论. 【易错例题】（25-26高二上·广东湛江·期末）直线：与圆C：的位置关系是（   ） A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定 易错点2：求切线方程时，忽略斜率不存在的情况 【易错点】 求过定点的圆的切线方程时，容易只设斜率存在的情况，漏掉斜率不存在的竖直线. 【易错消除】 先判断定点与圆的位置关系：点在圆上，切线只有一条；点在圆外，切线有两条。 设切线方程时，先讨论斜率不存在的情况，再设斜率存在求解. 【易错例题】（25-26高二下·全国·期中）设直线过点，且与圆相切，则直线的方程为（    ） A． B．或 C． D．或 易错点3：求切线长时，忽略切线长公式的适用前提 【易错点】 使用切线长公式时，容易忽略点必须在圆外这一前提. 【易错消除】 过圆外一点 P作圆的切线，，其中 C 为圆心，r 为半径。使用前先确认点在圆外. 【易错例题】（25-26高二上·河南洛阳·期末）过直线上的动点向圆引切线，切点为，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 易错点4：求弦长时，忽略垂径定理得到的是半弦长 【易错点】 使用垂径定理求弦长时，容易忽略勾股定理算出的直角边是半弦长，直接当作弦长作答. 【易错消除】 垂径定理中，圆心到弦的距离 d、半径 r、半弦长构成直角三角形，满足。弦长为半弦长的两倍，即弦长 . 【易错例题】（25-26高二下·甘肃兰州·期中）若直线x＋y＝0交圆C：于A，B两点，则|AB|＝（    ） A． B． C． D．2 易错点5：含参数的直线与圆问题，忽略参数对位置关系的影响 【易错点】 含参数的直线与圆问题中，容易忽略参数取值对直线斜率、位置关系以及交点个数的影响. 【易错消除】 先讨论直线斜率是否存在，再根据位置关系列方程或不等式，最后分类汇总参数范围. 【易错例题】（25-26高二上·山东聊城·期末）已知圆经过点与点，且圆心在直线上. (1)求圆的方程； (2)若圆上恰有三个点到直线的距离为1，求直线的方程. 题型1：判断直线与圆的位置关系 方法技巧 1. 几何法：先化直线为一般式，求圆心到直线的距离 d，与半径 r 比较：. 2. 代数法：联立后消元，用判别式Δ判断：Δ<0相离；Δ=0相切；Δ>0相交，注意二次项系数为0时单独讨论. 3. 优先使用几何法，计算量更小，更直观. 【例题1.1】（26-27高三·全国·一轮复习）直线与圆的位置关系是 （   ） A．相交 B．相切 C．相离 D．都有可能 【例题1.2】（25-26高二上·安徽六安·期末）已知，直线，则直线与的位置关系（   ） A．相交 B．相切 C．相离 D．无法判断 【变式1.1】（25-26高二上·广东佛山·阶段检测）已知圆，直线，则直线l与圆C的位置关系是（   ） A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定 【变式1.2】（25-26高一下·上海青浦·期末）已知是圆内异于圆心的一点，则直线与圆C的位置关系是（   ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定 题型2：由直线与圆的位置关系求参数 方法技巧 根据位置关系建立关于参数的不等式或方程: 1. 相切：d=r 或 Δ=0. 2. 相交：d<r 或 Δ>0. 3. 相离：d>r 或 Δ<0. 4. 解出参数后，务必验证是否满足直线与圆方程本身的限制条件. 【例题2.1】（26-27高三上·四川·阶段检测）已知直线：，圆：，则“”是“直线与圆相切”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【例题2.2】（25-26高二下·广东揭阳·期末）（多选）已知圆：，直线：.若圆与直线有公共点，则的值可能为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2.1】（山东德州市宁津县第一中学2026届高三下学期模拟演练数学试题）若直线与圆心为的圆相离，则该圆的半径的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2.2】（25-26高二下·甘肃定西·期末）已知直线与圆：相交，则实数的取值范围为_________． 题型3：过圆上一点的圆的切线方程 方法技巧 利用“切线垂直于过切点的半径”这一性质： 1. 若 P与圆心连线的斜率存在且不为0，记为k，则切线斜率为，再利用点斜式写出切线方程； 若斜率为0（连线水平），则切线斜率不存在，切线方程为； 若斜率不存在（连线竖直），则切线斜率为 0，切线方程为. 2. 也可直接套用公式：圆，在圆上点处的切线方程：注意：此公式只适用于切点在圆上. 【例题3.1】（26-27高三·全国·一轮复习）过圆上的点的切线方程为______. 【例题3.2】（2026高三·全国·专题练习）圆在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【变式3.1】（25-26高二下·海南省直辖县级单位·开学考试）过圆上一点的切线方程是（    ） A． B． C． D． 【变式3.2】（25-26高二上·新疆乌鲁木齐·期末）圆O是以直线恒过的定点为圆心，半径为3的圆. (1)求经过点的圆的弦的中点P的轨迹方程； (2)求经过点的圆的切线方程. 题型4：过圆外一点的圆的切线方程 方法技巧 设切线方程，利用圆心到切线的距离等于半径求解： 1. 设切线方程为 ，注意先讨论斜率不存在的情况（即是否为切线）. 2. 利用 d=r建立关于 k的方程，解出 k. 3. 也可以联立直线与圆方程，令判别式Δ=0求k，但一般d=r计算更简便. 4. 过圆外一点通常有两条切线，注意不要漏解. 【例题4.1】（2026·广东佛山·模拟预测）（多选）过点作圆：的切线，则的方程为（   ） A． B． C． D． 【例题4.2】（26-27高二上·全国·课堂例题）求过原点且与圆相切的直线的方程； 【变式4.1】（2026高三·全国·专题练习）已知圆．若圆的切线在轴和轴上截距相等，求切线的方程． 【变式4.2】（25-26高二下·上海·期中）已知圆与直线相切于点，圆心在轴上. (1)求圆的标准方程； (2)过点作圆的切线，求切线的方程； 题型5：圆的切线长问题 方法技巧 利用勾股定理。切线长，其中 d 为圆心到圆外点的距离： 1. 先求圆心到圆外点的距离 d，再代入公式. 2. 若涉及多个点，可结合对称性简化计算. 3. 注意：公式只适用于点在圆外；点在圆上时切线长 = 0；点在圆内不存在切线. 【例题5.1】（2026·福建泉州·模拟预测）已知圆，过点作圆的切线，则切线长为______． 【例题5.2】（26-27高三·全国·一轮复习）由直线上的一点向圆引切线，则切线长的最小值为（   ） A．1 B． C． D．3 【变式5.1】，过点作圆M的切线，其中一个切点为A，则的值为_____________． 【变式5.2】（26-27高二上·全国·课后作业）已知点在圆上，点，，则点到直线的距离的最大值为__________；当最小时，的长度为__________． 题型6：已知切线求参数 方法技巧 根据切线条件（圆心到直线距离等于半径）建立方程： 1. 注意分类讨论斜率是否存在. 2. 若已知切点，可直接利用切线垂直于半径的性质. 3. 解出参数后，验证是否满足直线与圆相切的条件. 【例题6.1】（25-26高二上·重庆·期中）直线与圆相切，则实数m等于（   ） A． B． C． D．1 【例题6.2】（25-26高二上·浙江·期中）若直线与圆相切于点，则的值为（    ） A．-4 B．-2 C．2 D．4 【变式6.1】（25-26高二上·陕西渭南·期末）圆关于直线对称的圆与直线相切，则实数的取值可以是___________．（写出一个即可） 【变式6.2】（25-26高二上·天津·期中）已知圆的圆心在直线上，且与直线及都相切，则圆的方程为（   ） A． B． C． D． 题型7：切点弦及其方程 方法技巧 从圆外一点引圆的两条切线 PA, PB（A, B 为切点），则直线AB，称为切点弦： 1. 切点弦方程可直接套用公式：对圆，切点弦方程为. 2. 也可通过求两切点坐标，再用两点式求直线方程. 3. 该公式仅当点P在圆外时，得到切点弦；若P在圆上，此式是过P的切线方程；若P在圆内，方程表示极线，不是切点弦. 【例题7.1】（2026·福建漳州·三模）过作圆的两条切线，设切点分别为，则直线的方程为___________． 【例题7.2】（2026高三·全国·专题练习）已知点在直线上运动，过点作圆的切线，切点为，直线过定点______． 【变式7.1】（25-26高二上·广西北海·阶段检测）过点作圆的两条切线，切点分别为，则直线的方程为______． 【变式7.2】（25-26高二上·浙江舟山·阶段检测）过圆外一点作圆的切线，切点分别为、，则_________． 题型8：圆的弦长与中点弦 方法技巧 1. 弦长公式：，其中 d为圆心到直线的距离. 2. 中点弦：利用“圆心O与弦中点P的连线垂直于弦AB”这一性质. 3. 求弦长优先用几何法（），比代数法（韦达定理）更简便. 4. 中点弦问题常结合斜率关系（）求解，该斜率关系式仅在两条直线斜率都存在时成立；若有一条直线垂直x轴（斜率不存在），不能使用. 【例题8.1】（26-27高三上·天津红桥·开学考试）直线：截圆：的弦长为__________． 【例题8.2】（25-26高二下·四川泸州·期末）（多选）已知直线，圆，则（   ） A．过定点 B．与圆C总有两个不同的公共点 C．存在实数，使圆关于对称 D．被圆C截得弦长的最小值为 【变式8.1】（26-27高三上·福建莆田·开学考试）直线被圆所截得的弦长为_____． 【变式8.2】（25-26高二上·上海虹口·期中）已知圆：，直线：，设直线与圆相交于，两点 (1)若直线恒过定点，求出点坐标； (2)求弦中点的轨迹方程； (3)相交弦长度的最小值及相应的的值． 题型9：已知圆的弦长求方程或参数 方法技巧 利用弦长公式建立方程： 1. 先求圆心到直线的距离 d，再代入弦长公式. 2. 注意弦长公式中 d是圆心到直线的距离，不是圆心到弦端点的距离. 3. 解出参数后，验证是否满足直线与圆相交的条件. 【例题9.1】（2026·湖南永州·一模）直线（）与圆相交所得的弦长为，则（ ） A．1 B． C．2 D．3 【例题9.2】（25-26高二下·广西河池·期末）（多选）下列选项正确的是（    ） A．直线（）恒过定点 B．直线的倾斜角为 C．圆上有且仅有2个点到直线的距离都等于 D．圆被直线截得的弦长为2，则或 【变式9.1】（26-27高三上·河北雄安·开学考试）已知直线：，圆：，若圆被直线分成的两段圆弧弧长之比为3:1，则______. 【变式9.2】（2026·天津河西·三模）若圆M：（）被直线所截得的弦长为6，过点作圆M的切线，其中一个切点为A，则的值为_____________． 题型10：直线与半圆的相交问题 方法技巧 将半圆视为圆的一部分，结合图形分析： 1. 先确定半圆的方程和范围. 2. 画出图形，利用数形结合判断直线与半圆的交点个数. 3. 注意边界情况：直线与半圆相切、过端点等. 【例题10.1】（25-26高二上·上海虹口·期中）直线与有两个不同的交点，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【例题10.2】（25-26高二上·云南·阶段检测）已知直线与曲线有1个公共点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式10.1】（24-25高二上·海南·阶段检测）曲线 与直线有公共点，则k的取值范围是__________. 【变式10.2】（25-26高二上·安徽蚌埠·阶段检测）（多选）以下四个命题表述正确的是（    ） A．直线恒过定点 B．过两点的直线方程为 C．已知直线过点且在轴上截距相等，则直线的方程为 D．若曲线与有两个交点，则实数的取值范围是 题型11：由圆上的点到直线的距离求参数 方法技巧 将问题转化为圆心到直线的距离d与半径的关系r： 1. 直线和圆相离：圆上点到直线的最大距离为 d+r，最小距离为d−r． 2. 若直线与圆相交或相切，圆上点到直线的最大距离为 d+r，最小距离为0． 3. 若已知距离范围，可建立关于参数的不等式． 4. 注意距离的非负性． 【例题11.1】（25-26高二下·甘肃定西·期末）（多选）已知圆，直线l经过点P，且圆C上恰好有3个点到直线l的距离为1，则点P的坐标可能为（    ） A． B． C． D． 【例题11.2】（25-26高二上·云南红河·期中）若圆上有且仅有2个点到直线的距离为，则r的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式11.1】（2026·广东广州·模拟预测）已知圆上的点到直线的距离为，则点个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式11.2】（25-26高二下·贵州毕节·期中）已知直线（），圆． (1)当时，判断直线与圆的位置关系，若直线与圆相交，求出弦长；若直线与圆相离，求圆上的点到直线距离的最值； (2)圆上恰有两个点到直线的距离为，求b的取值范围． 题型12：直线与圆有关的面积问题 方法技巧 利用弦长、圆心到直线的距离等求面积： 1. 常见图形：由弦、半径、圆心到直线的垂线构成的直角三角形. 2. 面积公式：. 3. 若涉及扇形面积，需先求圆心角. 【例题12.1】（2025·云南·模拟预测）已知直线与圆交于，两点，为圆心，若的面积等于8，则（   ） A． B． C． D． 【例题12.2】（25-26高二下·浙江杭州·期中）直线与圆相交于两点，当面积最大时，的值为（    ） A．2 B． C． D．4 【变式12.1】（25-26高二上·山西太原·期中）（多选）数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念、公式符号、推理论证和思维方法等之中，揭示了数学知识的规律性，是一种科学的真实美．平面直角坐标系中，曲线就是一条形状优美的曲线，对于此曲线，下列结论正确的是（   ） A．曲线所围成图形的周长是 B．曲线所围成图形的面积是 C．曲线上任意两点间距离的最大值为 D．直线与曲线一定有两个交点 【变式12.2】（25-26高二上·河南商丘·阶段检测）在平面直角坐标系中，正方形的对角线所在直线的方程为，且正方形的外接圆的方程为． (1)求正方形的面积； (2)求顶点A的坐标． 题型13：直线与圆有关的最值问题 方法技巧 利用圆心、定点间距离以及半径等几何量求最值： 1. 转化为求斜率最值：形如形式的最值,可转化为动直线斜率的最值. 2. 转化为求截距最值：形如形式的最值,可转化为动直线截距的最值. 3. 转化为求两点间距离最值：形如形式的最值,可转化为动点到定点距离的平方的最值. 4. 求圆O上一点到P的最大、最小距离： (1) 若P在圆外：. (2) 若P在圆内：. (3) 若P在圆上：. 5. 圆心到直线的距离d，圆的半径为r，求圆上的点到直线的最大、最小距离： (1) 直线和圆相离：圆上点到直线的最大距离为 d+r，最小距离为d−r． (2) 直线与圆相交或相切：圆上点到直线的最大距离为 d+r，最小距离为0． 【例题13.1】（24-25高二下·广西贵港·阶段检测）如果实数、满足，那么的最大值是（   ） A． B． C． D． 【例题13.2】（25-26高二上·湖北襄阳·期中）若满足，则的最小值为 （    ） A． B． C． D． 【变式13.1】（2026·河南濮阳·二模）圆上的点到直线距离的最大值是（   ） A．7 B．5 C．3 D．2 【变式13.2】（期末复习讲义）已知实数满足方程.求： (1)的最大值和最小值； (2)的最大值和最小值； (3)的最大值和最小值． 题型14：直线与圆的实际应用 方法技巧 将实际问题抽象为直线与圆的数学模型： 1. 建立适当的坐标系，将实际问题中的条件转化为直线与圆的方程. 2. 利用直线与圆的位置关系解决实际问题（如是否相交、相切等）. 3. 注意实际问题的取值范围和单位. 【例题14.1】（2026·湖南长沙·一模）一个小岛的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛中心为圆心，半径为25 nmile的圆形区域内.现有一艘货船在小岛中心的正东方向40 nmile处，沿北偏西60°的方向直线航行，则该货船在暗礁区内航行的路程为（   ） A．0 nmile B．15 nmile C．30 nmile D．40 nmile 【例题14.2】（24-25高二上·四川眉山·期中）如图，已知一艘停在海面上的海监船上配有雷达，其监测范围是半径为的圆形区域，一艘轮船从位于海监船正东的处出发，径直驶向位于海监船正北的处岛屿，速度为．这艘轮船能被海监船监测到的时长为（    ） A．1小时 B．0.75小时 C．0.5小时 D．0.25小时 【变式14.1】（25-26高二上·广西百色·期末）如图，这是某圆弧形山体隧道的示意图，其中底面的长为16米，最大高度的长为4米，以C为坐标原点，所在的直线为x轴建立平面直角坐标系. (1)求该圆弧所在圆的方程. (2)若某种汽车的宽约为2.5米，高约为1.5米，车辆行驶时两车的间距要求不小于0.5米以保证安全，同时车顶不能与隧道有剐蹭，则该隧道最多可以并排通过多少辆该种汽车？（将汽车看作长方体） 参考数据： 【变式14.2】（25-26高二上·江苏扬州·期中）在人工智能实验室中，一个追踪机器人从点出发，发现一个目标机器人在点处正欲逃跑.追踪机器人最大速度是目标机器人最大速度的2倍.假设两个机器人均按直线方向以最大速度移动.    (1)若追踪机器人在点处成功拦截目标机器人，求点的轨迹方程； (2)问：无论目标机器人沿何方向逃跑，追踪机器人是否总能在安全区（的区域）内成功拦截?并说明理由. 试卷第2页，共3页 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 直线和圆的方程 2.5.1直线与圆的位置关系 内容概览 2 🔷知识点一　直线与圆的位置关系 2 🔷知识点二　圆的切线方程 2 🔷知识点三　圆的切线长和切点弦 3 🔷知识点四　圆的弦长与弦心距 4 🔷知识点五　与圆相关的最值问题 5 5 易错点1：判断位置关系时，忽略使用前提 5 易错点2：求切线方程时，忽略斜率不存在的情况 6 易错点3：求切线长时，忽略切线长公式的适用前提 6 易错点4：求弦长时，忽略垂径定理得到的是半弦长 7 易错点5：含参数的直线与圆问题，忽略参数对位置关系的影响 8 9 题型1：判断直线与圆的位置关系 9 题型2：由直线与圆的位置关系求参数 11 题型3：过圆上一点的圆的切线方程 13 题型4：过圆外一点的圆的切线方程 15 题型5：圆的切线长问题 17 题型6：已知切线求参数 19 题型7：切点弦及其方程 21 题型8：圆的弦长与中点弦 24 题型9：已知圆的弦长求方程或参数 26 题型10：直线与半圆的相交问题 30 题型11：由圆上的点到直线的距离求参数 33 题型12：直线与圆有关的面积问题 36 题型13：直线与圆有关的最值问题 40 题型14：直线与圆的实际应用 43 🔷知识点一　直线与圆的位置关系 设圆C:，直线l:，圆心C到直线l的距离为，联立，消去x(或y)得到关于y(或x)的一元二次方程，判别式为. 位置关系 相交 相切 相离 图示 公共点个数 2个 1个 0个 方程组解的情况 2个 仅有一组解 无解 几何法 代数法 ⚠️特别提醒 · 利用方程组解的情况判断直线与圆的位置关系时，不必求出方程组的实数解，只需将直线方程代入圆的方程，消去一个未知数,得到关于x(或y)的一元二次方程，由与0的大小关系判断方程组解的个数，进一步判断直线与圆的位置关系。 · 判断直线与圆的位置关系时常用几何法，而判断直线与其他二次曲线的位置关系时常用代数法. 🔷知识点二　圆的切线方程 1. 圆的切线方程的一般求法和切线条数 (1) 代数法：设出切线方程，利用切线与圆仅有一个公共点，将直线与圆的方程联立，消去y（或x）得到关于x（或y）的一元二次方程，由Δ= 0解出参数，从而求出切线方程. (2) 几何法：利用圆的几何特征求解：圆心到切线的距离等于半径；圆心与切点的连线和切线互相垂直. (3) 切线条数：若点在圆外，则过该点可以作圆的两条切线；若点在圆上，则过该点只能作圆的一条切线，且该点就是切点；若点在圆内，则过该点不能作出圆的切线. 2. 求过圆C上一点P的切线方程 若P与圆心连线的斜率存在且不为0，记为k，则切线斜率为，再利用点斜式写出切线方程； 若斜率为0（连线水平），则切线斜率不存在，切线方程为； 若斜率不存在（连线竖直），则切线斜率为 0，切线方程为. 常见结论如下： （1）圆，在圆上点处的切线方程： （2）圆，在圆上点处的切线方程： （3）圆，在圆上点处的切线方程： ⚠ 特别提醒 · 上述三个切线结论，前提是在圆上，如果点在圆外，这个式子表示切点弦所在直线方程，不是切线方程. 3. 求过圆外一点的切线方程（共两条切线） 设是圆外一点，求过点的圆的切线方程. (1) 设切点法 设切点是，解方程组： 解方程组得到切点坐标，代入点斜式，即可写出切线方程. (2) 设斜率法 设切线斜率为k，由点斜式写出切线方程：，整理为，利用圆心到切线的距离等于半径列方程，解出k. ⚠ 特别提醒 · 设斜率k的方法，默认斜率存在；解方程若只求出一个k，说明还有一条斜率不存在的切线，要单独检验补上. 🔷知识点三　圆的切线长和切点弦 1. 圆的切线长问题 过圆外一点P可作圆的两条切线，点P与切点之间的线段长度，叫作切线长. 几何原理：切线垂直于过切点的半径，由勾股定理计算切线长. 圆 C:，为圆外一点，则切线长公式为 ⚠ 特别提醒 · 使用前提：点P在圆外，保证根号内表达式>0 2. 圆的切点弦问题 (1) 定义：从圆外一点引圆的两条切线 PA, PB（A, B 为切点），连接两个切点得到的线段AB，称为切点弦；直线AB叫作切点弦所在直线. (2) 求切点弦所在直线方程的方法 1　 先求切线方程法（基础理解用，计算量大） 先求两条切线方程，分别和圆方程联立，解出切点A, B坐标，再用两点式写出直线AB的方程. 2　 两圆相减法（考试优先推荐） 以PC为直径作圆，圆方程：，再将该圆的方程与圆 C 的方程相减，所得直线方程就是切点弦AB的方程. (3) 快速结论：切点弦AB的直线方程：. ⚠ 特别提醒 · 若P点在圆上：该快速结论方程是过点P的切线方程 · 若P点在圆外：该快速结论方程是切点弦AB的直线方程 · 同一个代数式，点的位置决定方程含义，这是解析几何高频坑 🔷知识点四　圆的弦长与弦心距 直线与圆相交时的弦长求法： 几何法 利用圆的半径r、圆心到直线的距离d、弦长三者关系：求解 弦长公式为： 代数法 若直线与圆的交点坐标容易求解，求出两个交点后，直接用两点间的距离公式计算弦长 弦长 公式法 设直线与圆交于，将直线方程代入圆的方程，消元得到关于x(或y)的一元二次方程，结合根与系数的关系，得到弦长公式： ⚠ 特别提醒 · 直线斜率不存在（竖直直线）时，直接用弦长． · 直线斜率为 0（水平直线）时，直接用弦长 · 由垂径定理勾股式算出的是半弦长，不要误当成完整弦长． · 以为直径端点的圆的方程：． 🔷知识点五　与圆相关的最值问题 1. 转化为求斜率最值：形如形式的最值,可转化为动直线斜率的最值. 2. 转化为求截距最值：形如形式的最值,可转化为动直线截距的最值. 3. 转化为求两点间距离最值：形如形式的最值,可转化为动点到定点距离的平方的最值. 4. 求圆O上一点到P的最大、最小距离： (1) 若P在圆外：. (2) 若P在圆内：. (3) 若P在圆上：. 5. 圆心到直线的距离d，圆的半径为r，求圆上的点到直线的最大、最小距离： (1) 直线和圆相离：圆上点到直线的最大距离为 d+r，最小距离为d−r． (2) 直线与圆相交或相切：圆上点到直线的最大距离为 d+r，最小距离为0． ⚠特别提醒 · 斜率型：注意定点不能取(x,y)． · 对于转化截距，要留意(b=0)的特殊情形． 易错点1：判断位置关系时，忽略使用前提 【易错点】 用几何法判断时，容易忽略圆心到直线的距离公式中直线需为一般式； 用代数法时，容易忽略联立后二次项系数是否为零. 【易错消除】 几何法：先化直线为一般式，求圆心到直线的距离 d，与半径 r 比较：. 代数法：联立后消元，用判别式Δ判断，注意二次项系数为0时单独讨论. 【易错例题】（25-26高二上·广东湛江·期末）直线：与圆C：的位置关系是（   ） A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定 【答案】A 【分析】先求出圆心及半径，再应用圆心到直线距离与半径比较即可判断直线与圆的位置关系. 【详解】圆C的圆心坐标为，半径为2， 直线的方程为，圆心到直线的距离为， 所以直线与圆C的位置关系是相交. 故选:A. 易错点2：求切线方程时，忽略斜率不存在的情况 【易错点】 求过定点的圆的切线方程时，容易只设斜率存在的情况，漏掉斜率不存在的竖直线. 【易错消除】 先判断定点与圆的位置关系：点在圆上，切线只有一条；点在圆外，切线有两条。 设切线方程时，先讨论斜率不存在的情况，再设斜率存在求解. 【易错例题】（25-26高二下·全国·期中）设直线过点，且与圆相切，则直线的方程为（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【详解】圆的圆心，半径，直线过点， 而圆心到直线的距离为1，因此直线是圆的一条切线； 当直线的斜率存在时，设其方程为，即， 由，解得，方程为， 所以直线的方程为或. 易错点3：求切线长时，忽略切线长公式的适用前提 【易错点】 使用切线长公式时，容易忽略点必须在圆外这一前提. 【易错消除】 过圆外一点 P作圆的切线，，其中 C 为圆心，r 为半径。使用前先确认点在圆外. 【易错例题】（25-26高二上·河南洛阳·期末）过直线上的动点向圆引切线，切点为，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分析可知当与直线垂直时，取最小值，利用点到直线的距离公式可求出的最小值，结合勾股定理可求得的最小值. 【详解】连接，则，如下图所示： 圆的圆心为坐标原点，半径为，由勾股定理可得， 所以当取最小值时，取最小值， 故当与直线垂直时，取最小值， 即的最小值为， 所以. 故选：B. 易错点4：求弦长时，忽略垂径定理得到的是半弦长 【易错点】 使用垂径定理求弦长时，容易忽略勾股定理算出的直角边是半弦长，直接当作弦长作答. 【易错消除】 垂径定理中，圆心到弦的距离 d、半径 r、半弦长构成直角三角形，满足。弦长为半弦长的两倍，即弦长 . 【易错例题】（25-26高二下·甘肃兰州·期中）若直线x＋y＝0交圆C：于A，B两点，则|AB|＝（    ） A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】求出圆心到直线的距离，由勾股定理求弦长. 【详解】可化为， 圆心的坐标为，半径为， 则圆心到直线x＋y＝0的距离为， 所以. 易错点5：含参数的直线与圆问题，忽略参数对位置关系的影响 【易错点】 含参数的直线与圆问题中，容易忽略参数取值对直线斜率、位置关系以及交点个数的影响. 【易错消除】 先讨论直线斜率是否存在，再根据位置关系列方程或不等式，最后分类汇总参数范围. 【易错例题】（25-26高二上·山东聊城·期末）已知圆经过点与点，且圆心在直线上. (1)求圆的方程； (2)若圆上恰有三个点到直线的距离为1，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）由题意设圆心，由即可解得的值，进而求得圆的方程； （2）若圆上恰有三个点到直线的距离为1，则有一条与平行，且与距离为1的直线与圆相切，另一条与平行，且与距离为1的直线与圆相交，且圆心到直线的距离，由此求得的值并加以验证即可. 【详解】（1）设圆心为，半径为，由题意得，即， 且有，即， 解得，进而，， 则圆的方程为. （2）由题意得一条平行于，且与距离为1的直线与圆相切，此时贡献1个点， 一条平行于，且与距离为1的直线与圆相交，此时贡献2个点， 且圆心到直线的距离， ①当直线斜率不存在时，即时，直线， 此时圆心到的距离为2，符合题意， 与圆相切于1个点，与圆相交于2个点，符合题意， 故满足题意； ②当直线斜率存在时，即时，直线， 则有，解得（已验证）或， 此时有直线， 易得与圆相切于1个点，与圆相交于2个点， 符合题意，故满足题意； 综上，直线的方程为或. 题型1：判断直线与圆的位置关系 方法技巧 1. 几何法：先化直线为一般式，求圆心到直线的距离 d，与半径 r 比较：. 2. 代数法：联立后消元，用判别式Δ判断：Δ<0相离；Δ=0相切；Δ>0相交，注意二次项系数为0时单独讨论. 3. 优先使用几何法，计算量更小，更直观. 【例题1.1】（26-27高三·全国·一轮复习）直线与圆的位置关系是 （   ） A．相交 B．相切 C．相离 D．都有可能 【答案】C 【详解】圆的圆心坐标为，半径为， 圆心到直线的距离为， 即，所以直线l与圆C的位置关系是相离. 【例题1.2】（25-26高二上·安徽六安·期末）已知，直线，则直线与的位置关系（   ） A．相交 B．相切 C．相离 D．无法判断 【答案】A 【分析】先求出直线经过的定点坐标，判断点与圆的位置关系即可得出结论. 【详解】将代入直线中有，解得， 所以直线恒过点， 代入方程得， 所以点在内部，所以直线与相交， 故选：A 【变式1.1】（25-26高二上·广东佛山·阶段检测）已知圆，直线，则直线l与圆C的位置关系是（   ） A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定 【答案】B 【分析】根据题意，求得圆心到直线的距离，得到，即可得到答案. 【详解】由圆，可得圆心为，半径为， 则圆心到直线的距离为， 可得，所以直线与圆相切. 故选：B. 【变式1.2】（25-26高一下·上海青浦·期末）已知是圆内异于圆心的一点，则直线与圆C的位置关系是（   ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定 【答案】C 【分析】比较直线到圆心距离与圆半径大小关系，据此可判断选项正误. 【详解】显然圆圆心为，半径为，直线到圆心距离为：， 因在圆内部，则，从而，则直线与圆相离. 题型2：由直线与圆的位置关系求参数 方法技巧 根据位置关系建立关于参数的不等式或方程: 1. 相切：d=r 或 Δ=0. 2. 相交：d<r 或 Δ>0. 3. 相离：d>r 或 Δ<0. 4. 解出参数后，务必验证是否满足直线与圆方程本身的限制条件. 【例题2.1】（26-27高三上·四川·阶段检测）已知直线：，圆：，则“”是“直线与圆相切”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】由圆的方程得：圆心坐标为，半径， 点到直线：的距离为. 分析充分性： 若， 则，则直线与圆相切，充分性成立. 分析必要性： 若直线与圆相切，则， 即， 解得或，必要性不成立. 综上，”是“直线与圆相切”的充分不必要条件. 【例题2.2】（25-26高二下·广东揭阳·期末）（多选）已知圆：，直线：.若圆与直线有公共点，则的值可能为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】AB 【分析】利用若直线与圆有交点则圆心到直线的距离不大于半径的性质建立不等式求解即可. 【详解】圆的圆心，半径为，直线，若圆与直线有交点， 则圆心到直线的距离，解得，故选A、B. 【变式2.1】（山东德州市宁津县第一中学2026届高三下学期模拟演练数学试题）若直线与圆心为的圆相离，则该圆的半径的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】圆心到直线的距离， 因为直线与圆相离， 所以该圆的半径的取值范围是. 【变式2.2】（25-26高二下·甘肃定西·期末）已知直线与圆：相交，则实数的取值范围为_________． 【答案】 【分析】根据直线与圆相交时圆心到直线的距离小于半径，列绝对值不等式求解即可 【详解】由题意得圆C的标准方程为 ， 可得圆心坐标为，圆的半径 而直线与圆相交，可得圆心到直线的距离小于圆的半径，即 ， 由题意得 ，得到， 整理得，解得 ， 因此实数的取值范围为. 题型3：过圆上一点的圆的切线方程 方法技巧 利用“切线垂直于过切点的半径”这一性质： 1. 若 P与圆心连线的斜率存在且不为0，记为k，则切线斜率为，再利用点斜式写出切线方程； 若斜率为0（连线水平），则切线斜率不存在，切线方程为； 若斜率不存在（连线竖直），则切线斜率为 0，切线方程为. 2. 也可直接套用公式：圆，在圆上点处的切线方程：注意：此公式只适用于切点在圆上. 【例题3.1】（26-27高三·全国·一轮复习）过圆上的点的切线方程为______. 【答案】 【详解】法1：圆心坐标为， 因为点在圆上，故圆心与该点连线的斜率不存在， 故切线的斜率为零，故切线方程为. 法2：过圆上的点的切线方程为： ，即. 【例题3.2】（2026高三·全国·专题练习）圆在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出过点的半径所在直线的斜率，由垂直关系得切线斜率，从而可得切线方程． 【详解】圆的标准方程是，圆心坐标是, 过点的半径所在直线的斜率, 所以所求切线斜率为，切线方程为，即． 【变式3.1】（25-26高二下·海南省直辖县级单位·开学考试）过圆上一点的切线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为圆心为，所以， 而切线与垂直，则切线斜率为， 可得所求切线方程为，即. 【变式3.2】（25-26高二上·新疆乌鲁木齐·期末）圆O是以直线恒过的定点为圆心，半径为3的圆. (1)求经过点的圆的弦的中点P的轨迹方程； (2)求经过点的圆的切线方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出直线所过定点及圆的方程，再利用圆的性质确定点P的轨迹，进而求出方程. （2）确定点与圆的位置关系，再利用圆的切线性质求出切线方程. 【详解】（1）直线恒过定点，则圆的方程为， 而，则点在圆内，当点与点都不重合时，， 点在以线段为直径的圆上，当点与点之一重合时，点也在此圆上， 所以点P的轨迹方程为，即. （2）由，得点在圆上，直线的斜率为， 所以经过点的圆的切线方程为，即. 题型4：过圆外一点的圆的切线方程 方法技巧 设切线方程，利用圆心到切线的距离等于半径求解： 1. 设切线方程为 ，注意先讨论斜率不存在的情况（即是否为切线）. 2. 利用 d=r建立关于 k的方程，解出 k. 3. 也可以联立直线与圆方程，令判别式Δ=0求k，但一般d=r计算更简便. 4. 过圆外一点通常有两条切线，注意不要漏解. 【例题4.1】（2026·广东佛山·模拟预测）（多选）过点作圆：的切线，则的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】先判断点在圆外，分斜率不存在、斜率存在两种情况设切线方程，利用圆心到直线距离等于半径求解切线. 【详解】将代入圆的方程左侧得，故点在圆外，存在两条切线. 当斜率不存在时：直线，过，圆心距，切线：； 当斜率存在时，设，即. 由圆心到切线距离等于半径：，两边平方： ，整理得. 代入得，化简得. 综上所述，切线方程为或. 【例题4.2】（26-27高二上·全国·课堂例题）求过原点且与圆相切的直线的方程； 【答案】或 【分析】分类考虑，过原点的切线的斜率有存在和不存在两种情况，根据圆心到直线的距离等于半径可得切线方程. 【详解】直线过原点且与圆相切， 当斜率不存在时，显然与圆相切， 当斜率存在时，设切线方程为：，即， 由题意可得，解得：， 所以过原点且与圆相切的直线的方程为：或； 【变式4.1】（2026高三·全国·专题练习）已知圆．若圆的切线在轴和轴上截距相等，求切线的方程． 【答案】，，． 【分析】设直线方程为，，利用圆心到直线的距离为半径可得的值，从而得到切线方程. 【详解】设圆的切线方程为或， 由圆心到直线距离，， 得或，， 所以切线方程为，，． 【变式4.2】（25-26高二下·上海·期中）已知圆与直线相切于点，圆心在轴上. (1)求圆的标准方程； (2)过点作圆的切线，求切线的方程； 【答案】(1) (2)或. 【分析】（1）利用圆心与切点的连线垂直于切线，通过斜率关系求出圆心坐标，再计算半径得到圆的标准方程。 （2）分斜率存在与不存在两种情况，利用圆心到直线的距离等于半径，求出过定点的圆的切线方程 【详解】（1）设，由圆与直线相切于点， 得，解得，所以 则圆半径， 所以圆的标准方程为. （2）当切线斜率不存在时，直线为，显然圆心到直线的距离为，等于半径， 所以直线与圆相切； 当切线斜率存在时，设切线方程为，即， 由圆心到切线的距离为得，，解得， 则，整理得， 综上，切线方程为或. 题型5：圆的切线长问题 方法技巧 利用勾股定理。切线长，其中 d 为圆心到圆外点的距离： 1. 先求圆心到圆外点的距离 d，再代入公式. 2. 若涉及多个点，可结合对称性简化计算. 3. 注意：公式只适用于点在圆外；点在圆上时切线长 = 0；点在圆内不存在切线. 【例题5.1】（2026·福建泉州·模拟预测）已知圆，过点作圆的切线，则切线长为______． 【答案】 【详解】由题可知圆的圆心为、半径为，且， 过点作圆的切线，设切点为A， 则切线长. 【例题5.2】（26-27高三·全国·一轮复习）由直线上的一点向圆引切线，则切线长的最小值为（   ） A．1 B． C． D．3 【答案】C 【详解】圆即为，可知圆心为，半径， 在直线上取一点P，过P向圆引切线，设切点为A，连接CA， 在中，．要使最小，则应最小． 又当PC与直线垂直时，最小，其最小值为． 故的最小值为． 【变式5.1】，过点作圆M的切线，其中一个切点为A，则的值为_____________． 【答案】 【分析】先利用垂径定理和点到直线的距离公式求出参数，再结合切线的性质通过勾股定理计算切线长. 【详解】求圆心到直线的距离：由圆M：（）知圆M的半径， 已知直线截圆所得弦长为6，由垂径定理可得，圆心到直线的距离满足：，代入，解得. 求：根据点到直线的距离公式得，化简得，解得或， 又，所以，即圆心. 计算切线长： 如图，因为是圆的切线，故，为直角三角形， 其中，， 由勾股定理得. 【变式5.2】（26-27高二上·全国·课后作业）已知点在圆上，点，，则点到直线的距离的最大值为__________；当最小时，的长度为__________． 【答案】 【分析】根据给定条件，求出直线的方程，利用几何性质，结合点到直线距离公式求出最大值，再作出图形，确定角最小时直线的位置求解. 【详解】依题意，直线的直线方程为，即，圆的圆心，半径为4， 圆心到直线的距离为，因此点到直线的距离的最大值为； 如图：当最小时，直线与圆相切，又，，所以. 题型6：已知切线求参数 方法技巧 根据切线条件（圆心到直线距离等于半径）建立方程： 1. 注意分类讨论斜率是否存在. 2. 若已知切点，可直接利用切线垂直于半径的性质. 3. 解出参数后，验证是否满足直线与圆相切的条件. 【例题6.1】（25-26高二上·重庆·期中）直线与圆相切，则实数m等于（   ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】由直线与圆的位置关系，应用点到直线距离公式列方程求参数值. 【详解】由的圆心为，半径为1， 由直线与圆相切，则，可得. 故选：C 【例题6.2】（25-26高二上·浙江·期中）若直线与圆相切于点，则的值为（    ） A．-4 B．-2 C．2 D．4 【答案】C 【分析】由切点在直线上，圆心与切点的连线与切线垂直列式求解即可. 【详解】切点在直线上，所以，即， 圆心与切点连线的斜率为， 所以切线的斜率为， 又切线的斜率为，所以， 所以，解得， 所以. 故选：C. 【变式6.1】（25-26高二上·陕西渭南·期末）圆关于直线对称的圆与直线相切，则实数的取值可以是___________．（写出一个即可） 【答案】0（或者） 【分析】根据直线过圆心及直线与圆相切的位置关系即可求解． 【详解】圆的圆心，半径为， 因为在直线上， 所以圆关于直线对称的圆为圆本身， 所以直线与圆相切， 则圆心到直线的距离为，解得或， 故答案为：0（或者）． 【变式6.2】（25-26高二上·天津·期中）已知圆的圆心在直线上，且与直线及都相切，则圆的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】依题意，设，利用圆心到直线的距离等于半径列出两个方程，求解即得，进而可得圆的方程. 【详解】因圆的圆心在直线上，可设圆心为，半径为， 依题意圆心到直线的距离，① 圆心到直线的距离，② 联立①和②，解得，故圆的方程为. 故选：A. 题型7：切点弦及其方程 方法技巧 从圆外一点引圆的两条切线 PA, PB（A, B 为切点），则直线AB，称为切点弦： 1. 切点弦方程可直接套用公式：对圆，切点弦方程为. 2. 也可通过求两切点坐标，再用两点式求直线方程. 3. 该公式仅当点P在圆外时，得到切点弦；若P在圆上，此式是过P的切线方程；若P在圆内，方程表示极线，不是切点弦. 【例题7.1】（2026·福建漳州·三模）过作圆的两条切线，设切点分别为，则直线的方程为___________． 【答案】 【详解】解法一：由图可知，， 所以，所以直线方程为． 解法二：，所以四点均在以为直径的圆上，圆心为，半径为，故圆方程为， 由，得，所以直线方程为． 解法三：直线方程为，即， 故答案为． 【例题7.2】（2026高三·全国·专题练习）已知点在直线上运动，过点作圆的切线，切点为，直线过定点______． 【答案】 【分析】先求出切点弦的方程，再联立已知直线方程进行消参，最后求出定点坐标. 【详解】设，则， 过点作圆的切点弦方程为， 联立，得， 当时，即，无论如何变化， 恒等于0，所以直线过定点.    【变式7.1】（25-26高二上·广西北海·阶段检测）过点作圆的两条切线，切点分别为，则直线的方程为______． 【答案】 【分析】弦即为点所对应的切点弦，可采用“留一代一”法直接写出方程；也可根据先求出直线AB斜率，再求方程. 【详解】  方法一：直接在一般式方程里用“留一代一”：需注意“Ey”要代成“”，切点弦所在直线方程为，整理得．   方法二：将方程化为标准形式得，根据“留一代一”可知，所求切点弦所在直线方程为，即． 方法三：将方程化为标准形式得，观察圆的方程和点坐标可知， 过点且与圆相切的两条直线中，有一条斜率不存在，此时切线方程为， 将代入圆的方程中得，故此直线与圆相切于点． 由圆的切线的性质可知，，． 又直线过点，直线的方程为，即． 故答案为：． 【变式7.2】（25-26高二上·浙江舟山·阶段检测）过圆外一点作圆的切线，切点分别为、，则_________． 【答案】 【分析】作图，结合图象利用两点间距离公式得，由勾股定理得，最后通过等面积法即可得出结果. 【详解】结合题意，作图如下： 圆的圆心，半径，， 则，， 由圆的对称性可知， 则，解得. 故答案为：. 题型8：圆的弦长与中点弦 方法技巧 1. 弦长公式：，其中 d为圆心到直线的距离. 2. 中点弦：利用“圆心O与弦中点P的连线垂直于弦AB”这一性质. 3. 求弦长优先用几何法（），比代数法（韦达定理）更简便. 4. 中点弦问题常结合斜率关系（）求解，该斜率关系式仅在两条直线斜率都存在时成立；若有一条直线垂直x轴（斜率不存在），不能使用. 【例题8.1】（26-27高三上·天津红桥·开学考试）直线：截圆：的弦长为__________． 【答案】 【详解】由题知圆:的圆心坐标为，半径. 设圆心到直线的距离为，. 弦长为. 【例题8.2】（25-26高二下·四川泸州·期末）（多选）已知直线，圆，则（   ） A．过定点 B．与圆C总有两个不同的公共点 C．存在实数，使圆关于对称 D．被圆C截得弦长的最小值为 【答案】ABD 【分析】求出直线所过定点判断A；确定定点与圆的位置判断B；由圆心与直线关系判断C；求出最短弦判断D. 【详解】对于A，直线过定点，A正确； 对于B，点在圆内，与圆C总有两个不同的公共点，B正确； 对于C，圆的圆心不满足方程，因此不存在实数，使圆关于对称，C错误； 对于D，，圆半径，当时，被圆C截得的弦长取得最小值，该最小值为，D正确. 【变式8.1】（26-27高三上·福建莆田·开学考试）直线被圆所截得的弦长为_____． 【答案】 【分析】根据直线与圆相交的弦长公式计算求解即可. 【详解】圆可化为， 所以圆心为，半径， 圆心到直线的距离为， 所以直线被圆截得的弦长为. 【变式8.2】（25-26高二上·上海虹口·期中）已知圆：，直线：，设直线与圆相交于，两点 (1)若直线恒过定点，求出点坐标； (2)求弦中点的轨迹方程； (3)相交弦长度的最小值及相应的的值． 【答案】(1) 定点的坐标为； (2) 弦中点的轨迹方程为； (3) 弦长度的最小值为，对应的。 【分析】（1）分离参数求直线恒过定点； （2）利用垂径定理的垂直关系推导中点轨迹； （3）结合弦长公式与距离最值求最短弦长及对应参数. 【详解】（1） 对直线的方程变形：将整理为， 该式对任意实数恒成立，因此需满足，解得， 即定点的坐标为. （2）设弦的中点为，圆的圆心为，由垂径定理可得. 因为在直线上，直线恒过，故，即， 代入，得： ， 展开并配方得， 因为圆内含于圆C,故圆上所有点都符合题意， 所以弦中点的轨迹方程为; （3）设圆心到直线的距离为，圆的半径， 由弦长公式得，因此最大时最小， 由于直线恒过定点，故，当且仅当时取最大值， 计算得，. 此时直线的斜率，由得，解得. 题型9：已知圆的弦长求方程或参数 方法技巧 利用弦长公式建立方程： 1. 先求圆心到直线的距离 d，再代入弦长公式. 2. 注意弦长公式中 d是圆心到直线的距离，不是圆心到弦端点的距离. 3. 解出参数后，验证是否满足直线与圆相交的条件. 【例题9.1】（2026·湖南永州·一模）直线（）与圆相交所得的弦长为，则（ ） A．1 B． C．2 D．3 【答案】C 【分析】先求圆心到直线的距离，再结合弦长的一半、距离、圆半径满足勾股定理列方程求解正数即可. 【详解】圆 的圆心坐标为 ，半径， 则圆心到直线 的距离为， 因此有 ，代入得，化简得 ， 即 ，解得，结合的条件，得. 【例题9.2】（25-26高二下·广西河池·期末）（多选）下列选项正确的是（    ） A．直线（）恒过定点 B．直线的倾斜角为 C．圆上有且仅有2个点到直线的距离都等于 D．圆被直线截得的弦长为2，则或 【答案】BCD 【分析】选项A，分离参数联立方程求定点判断对错； 选项B，化斜截式求斜率再算出倾斜角； 选项C求圆心到直线距离，结合半径分析平行线与圆交点个数； 选项D利用弦长公式求出圆心到直线距离，再由点到直线距离公式解方程得值． 【详解】对于A，由，， 联立，解得，， 所以定点为，不是，A错误； 对于B，由，得， 斜率，倾斜角，，得，B正确； 对于C，圆，圆心，半径， 圆心到直线距离， 到直线距离为的点，即与已知直线平行、距离1的两条平行线与圆交点： 一条在圆心外侧，距圆心，无交点； 一条朝向圆心，距圆心，过圆心，与圆交于个点； 因此圆上只有2个点满足条件，C正确； 对于D，圆，圆心，半径，弦长， 弦长公式：，即， 圆心到直线距离， 解得或， D正确． 【变式9.1】（26-27高三上·河北雄安·开学考试）已知直线：，圆：，若圆被直线分成的两段圆弧弧长之比为3:1，则______. 【答案】或 【分析】先根据弧长之比等于对应圆心角之比，可判断为等腰三角形，再根据圆心到直线的距离为半径的，建立关于的等量关系求解即可. 【详解】设直线与圆M交于A，B两点，圆心为，半径， 因为圆M被直线截得两段弧长之比为3:1，而弧长之比等于对应圆心角之比， 所以两段弧所对的圆心角之比为3:1，故较小弧所对的圆心角为. 设N为弦的中点，则，并且在等腰三角形中，平分圆心角， 所以， 在直角三角形中，， 这说明圆心到直线的距离为. 直线：可化为. 由点到直线的距离公式，得，解得或. 【变式9.2】（2026·天津河西·三模）若圆M：（）被直线所截得的弦长为6，过点作圆M的切线，其中一个切点为A，则的值为_____________． 【答案】 【分析】先利用垂径定理和点到直线的距离公式求出参数，再结合切线的性质通过勾股定理计算切线长. 【详解】求圆心到直线的距离：由圆M：（）知圆M的半径， 已知直线截圆所得弦长为6，由垂径定理可得，圆心到直线的距离满足：，代入，解得. 求：根据点到直线的距离公式得，化简得，解得或， 又，所以，即圆心. 计算切线长： 如图，因为是圆的切线，故，为直角三角形， 其中，， 由勾股定理得. 题型10：直线与半圆的相交问题 方法技巧 将半圆视为圆的一部分，结合图形分析： 1. 先确定半圆的方程和范围. 2. 画出图形，利用数形结合判断直线与半圆的交点个数. 3. 注意边界情况：直线与半圆相切、过端点等. 【例题10.1】（25-26高二上·上海虹口·期中）直线与有两个不同的交点，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】可知曲线是以为圆心，以为半径的圆的右半部分，如下图所示， 当时，曲线与恰有两个交点， 当曲线与直线相切时，可得到直线的距离为， 即，因为，解得，所以. 【例题10.2】（25-26高二上·云南·阶段检测）已知直线与曲线有1个公共点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将曲线进行化简，得曲线表示上半圆，直线恒过定点，利用直线与圆的位置关系，数形结合求解即可. 【详解】由可得，，所以曲线表示上半圆， 又由直线即，可得恒过定点， 记，则， 当直线与半圆相切时， 圆心到直线的距离为，解得，如下图，    由图可知，当或时，直线与曲线有1个公共点. 故选：B. 【变式10.1】（24-25高二上·海南·阶段检测）曲线 与直线有公共点，则k的取值范围是__________. 【答案】 【分析】通过化简知曲线是圆心为，半径为的上半圆，再借助数形结合的方法，利用直线与半圆相切时直线的斜率可得结果. 【详解】直线过定点，由得，故曲线是圆心为，半径为的上半圆，如图所示： 当直线与半圆相切时， 设切线倾斜角为，，则，∴切线的斜率， 所以曲线 与直线有公共点，则k的取值范围是. 故答案为：. 【变式10.2】（25-26高二上·安徽蚌埠·阶段检测）（多选）以下四个命题表述正确的是（    ） A．直线恒过定点 B．过两点的直线方程为 C．已知直线过点且在轴上截距相等，则直线的方程为 D．若曲线与有两个交点，则实数的取值范围是 【答案】ABD 【分析】化简直线方程为，联立方程求得交点坐标，可判定A正确；根据直线的两点式方程的形式，可判定B正确；根据过原点时，直线在坐标轴上的截距相等，可判定C错误； 化简曲线方程为，利用直线与圆位置关系，结合图像，列出方程，即可求解. 【详解】对于A，由直线，可化为， 联立方程组，解得，所以直线恒过定点，所以A正确； 对于B，设过两点的直线上的任意一点为， 可得， 因为，可得， 所以过两点的直线方程为，所以B正确； 对于C，由直线过点且在轴上截距相等， 当直线过原点时，此时直线方程为； 当直线不过原点时，设直线的方程为，可得，解得， 此时直线的方程为， 所以过点且在轴上截距相等的直线方程为或，所以C错误； 对于D，由曲线方程，可得， 所以曲线表示以为圆心，半径的上半圆，如图所示， 当直线相切时，圆心到直线的距离， 解得或（舍去）； 当直线过点时，可得 要使得与曲线有两个公共点，则满足， 所以实数的取值范围是，所以D正确. 故选：ABD. 题型11：由圆上的点到直线的距离求参数 方法技巧 将问题转化为圆心到直线的距离d与半径的关系r： 1. 直线和圆相离：圆上点到直线的最大距离为 d+r，最小距离为d−r． 2. 若直线与圆相交或相切，圆上点到直线的最大距离为 d+r，最小距离为0． 3. 若已知距离范围，可建立关于参数的不等式． 4. 注意距离的非负性． 【例题11.1】（25-26高二下·甘肃定西·期末）（多选）已知圆，直线l经过点P，且圆C上恰好有3个点到直线l的距离为1，则点P的坐标可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】先由圆上恰有个点到直线的距离为，推出圆心到直线的距离为，再结合直线过点，得出点到圆心的距离不小于，计算各选项点到圆心的距离即可判断. 【详解】圆的圆心为，半径, 若圆上恰好有个点到直线的距离为，则圆心到直线的距离， 即直线是圆心为、半径为的小圆的切线， 要存在过点的直线满足条件，需点在该小圆上或小圆外， 即点到的距离. 对于A：点到的距离为，A正确； 对于B：点到的距离为，B正确； 对于C：点到的距离为，C正确； 对于D：点到的距离为，D错误. 【例题11.2】（25-26高二上·云南红河·期中）若圆上有且仅有2个点到直线的距离为，则r的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求得圆心到直线的距离，结合图象，需使，求解即得. 【详解】由知圆心为， 因圆心到直线的距离， 作出其图象如下，由图知，要使圆上有且仅有2个点到直线的距离为， 需使，解得． 【变式11.1】（2026·广东广州·模拟预测）已知圆上的点到直线的距离为，则点个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【详解】圆，圆心为，半径为， 圆心到直线的距离为, ， 所以直线与圆相交， 又因为， 所以圆上到直线的距离为1的点有4个. 如图所示： 【变式11.2】（25-26高二下·贵州毕节·期中）已知直线（），圆． (1)当时，判断直线与圆的位置关系，若直线与圆相交，求出弦长；若直线与圆相离，求圆上的点到直线距离的最值； (2)圆上恰有两个点到直线的距离为，求b的取值范围． 【答案】(1)直线与圆相离，圆上点到直线距离最小值为，最大值为； (2) 【分析】（1）将圆方程化为标准式确定圆心、半径，利用点到直线距离公式判定位置关系并求解距离最值. （2）根据圆上恰有两个点到直线的距离为列不等式，由此求得的范围. 【详解】（1）将圆的方程配方化为标准形式， 可得圆心，半径. 当时，直线整理为， 圆心到直线的距离， 因为，因此，直线与圆相离. 圆上点到直线距离的最小值为， 最大值为. （2）直线整理为，圆心到直线的距离，由得. 圆上恰有两个点到直线距离为，因此，， 代入得，， 解得，所以的取值范围是. 题型12：直线与圆有关的面积问题 方法技巧 利用弦长、圆心到直线的距离等求面积： 1. 常见图形：由弦、半径、圆心到直线的垂线构成的直角三角形. 2. 面积公式：. 3. 若涉及扇形面积，需先求圆心角. 【例题12.1】（2025·云南·模拟预测）已知直线与圆交于，两点，为圆心，若的面积等于8，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用三角形的面积可求得，可求弦长. 【详解】圆的半径，由已知得，故， 所以，所以. 故选：D. 【例题12.2】（25-26高二下·浙江杭州·期中）直线与圆相交于两点，当面积最大时，的值为（    ） A．2 B． C． D．4 【答案】C 【分析】利用点到直线的距离公式和弦长公式可以求出的面积是关于的一个式子，利用基本不等式即可求出答案. 【详解】圆心到直线的距离， 则弦长， ， 当且仅当，即时， 面积取得最大值. 【变式12.1】（25-26高二上·山西太原·期中）（多选）数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念、公式符号、推理论证和思维方法等之中，揭示了数学知识的规律性，是一种科学的真实美．平面直角坐标系中，曲线就是一条形状优美的曲线，对于此曲线，下列结论正确的是（   ） A．曲线所围成图形的周长是 B．曲线所围成图形的面积是 C．曲线上任意两点间距离的最大值为 D．直线与曲线一定有两个交点 【答案】BC 【分析】分类讨论去掉绝对值，作出曲线的图形，结合图形特点可求答案. 【详解】当时，，即； 当时，，即； 当时，，即； 当时，，即； 其图象如图，   曲线所围成图形的周长为四个半径相同的半圆的周长之和，，A错误； 曲线所围成图形的面积为四个半圆的面积与边长为的正方形的面积之和， ，B正确； 曲线上任意两点间距离的最大值为两个半径与正方形的边长之和，此时最大值为，C正确； 恒过定点，而恰好在曲线上， 当直线与曲线在处相切时，不可能有两个公共点，D错误. 故选：BC 【变式12.2】（25-26高二上·河南商丘·阶段检测）在平面直角坐标系中，正方形的对角线所在直线的方程为，且正方形的外接圆的方程为． (1)求正方形的面积； (2)求顶点A的坐标． 【答案】(1) (2)或． 【分析】（1）先求出圆的半径，根据，结合正方形面积公式即可得结果； （2）求出直线的方程，联立直线与圆的方程解方程组即可. 【详解】（1）由圆的一般方程为化为圆的标准方程为． 所以圆心坐标为，半径， 则， 故正方形ABCD的面积为． （2）因为，所以， 则对角线AC所在的直线方程为，即， 由， 整理得，解得，， 所以或， 故顶点A的坐标为或． 题型13：直线与圆有关的最值问题 方法技巧 利用圆心、定点间距离以及半径等几何量求最值： 1. 转化为求斜率最值：形如形式的最值,可转化为动直线斜率的最值. 2. 转化为求截距最值：形如形式的最值,可转化为动直线截距的最值. 3. 转化为求两点间距离最值：形如形式的最值,可转化为动点到定点距离的平方的最值. 4. 求圆O上一点到P的最大、最小距离： (1) 若P在圆外：. (2) 若P在圆内：. (3) 若P在圆上：. 5. 圆心到直线的距离d，圆的半径为r，求圆上的点到直线的最大、最小距离： (1) 直线和圆相离：圆上点到直线的最大距离为 d+r，最小距离为d−r． (2) 直线与圆相交或相切：圆上点到直线的最大距离为 d+r，最小距离为0． 【例题13.1】（24-25高二下·广西贵港·阶段检测）如果实数、满足，那么的最大值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先将题干方程转化为圆的标准方程，则是圆上一点与所在直线的斜率，当直线越陡，斜率越大，即当与圆相切于第一象限时，斜率取得最大值，由此可算出的最大值. 【详解】将满足的方程转化为，发现其是一个圆心在，半径为的圆， 而可看作是圆上一点与所在直线的斜率， 易知当与圆相切于第一象限时，斜率取得最大值，设切线所在直线的倾斜角为， 则，由同角的三角函数关系可得，即斜率最大为， 所以的最大值为. 故选：D. 【例题13.2】（25-26高二上·湖北襄阳·期中）若满足，则的最小值为 （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意得方程表示圆心为、半径为的右半圆，然后结合截距的概念，利用直线与半圆的位置关系数形结合求解即可. 【详解】由题意，方程需满足， 将方程平方整理得，即圆心为、半径为的右半圆， 令，即，所以为直线在轴上的截距， 当直线过右半圆上顶点时，直线在轴上的截距最大，此时最小， 所以的最小值为． 故选：B 【变式13.1】（2026·河南濮阳·二模）圆上的点到直线距离的最大值是（   ） A．7 B．5 C．3 D．2 【答案】A 【详解】圆的圆心，半径， 直线可化为， 令，得，故直线过定点， 由图知，当且仅当时，点到直线距离取得最大值：， 故圆上的点到直线距离最大值为. 【变式13.2】（期末复习讲义）已知实数满足方程.求： (1)的最大值和最小值； (2)的最大值和最小值； (3)的最大值和最小值． 【答案】(1)最大值为，最小值为 (2)最大值为，最小值为 (3)最大值为，最小值为 【分析】（1）根据圆心坐标和半径可知表示圆上的点与原点连线的斜率，再由直线与圆相切即可得出结果； （2）令，可知其几何意义表示直线在轴上的截距，由点到直线距离计算可得结果； （3）易知表示圆上的点与原点距离的平方，又圆心到原点的距离为2，得出圆上的点到原点距离的最大值和最小值，再平方即可. 【详解】（1）原方程表示以点为圆心，为半径的圆． 设，即，则当直线与圆相切时，斜率取得最大值和最小值， 此时，解得， 故的最大值为，最小值为. （2）设，即， 则当直线与圆相切时，纵截距取得最大值和最小值， 此时，解得， 故的最大值为，最小值为. （3）易知表示圆上的点与原点距离的平方． 由平面几何知识知，它在原点与圆心所在的直线与圆的两个交点处取得最大值和最小值． 又圆心到原点的距离为2， 故，. 题型14：直线与圆的实际应用 方法技巧 将实际问题抽象为直线与圆的数学模型： 1. 建立适当的坐标系，将实际问题中的条件转化为直线与圆的方程. 2. 利用直线与圆的位置关系解决实际问题（如是否相交、相切等）. 3. 注意实际问题的取值范围和单位. 【例题14.1】（2026·湖南长沙·一模）一个小岛的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛中心为圆心，半径为25 nmile的圆形区域内.现有一艘货船在小岛中心的正东方向40 nmile处，沿北偏西60°的方向直线航行，则该货船在暗礁区内航行的路程为（   ） A．0 nmile B．15 nmile C．30 nmile D．40 nmile 【答案】C 【详解】以小岛中心为原点，建立如图所示直角坐标系， 则，， 所以直线的斜率为，方程为， 即，则到的距离为， 所以，即该货船在暗礁区内航行的路程为30 nmile. 【例题14.2】（24-25高二上·四川眉山·期中）如图，已知一艘停在海面上的海监船上配有雷达，其监测范围是半径为的圆形区域，一艘轮船从位于海监船正东的处出发，径直驶向位于海监船正北的处岛屿，速度为．这艘轮船能被海监船监测到的时长为（    ） A．1小时 B．0.75小时 C．0.5小时 D．0.25小时 【答案】C 【分析】以为原点，东西方向为轴建立直角坐标系，求出直线与圆的方程，计算圆心到直线的距离和半径比较，可知这艘轮船能否被海监船监测到；计算弦长，可求得持续时间为多长． 【详解】如图，以为原点，东西方向为轴建立直角坐标系， 由题意可知，，圆方程，半径， 直线方程：，即， 设到距离为， 则，故直线与圆相交， 所以轮船能被海监船检测到， 如图，设直线与圆交点为，取中点，连接，则， 所以， 设监测时间为，则（小时）， 故轮船能被海监船监测到的时间是0.5小时． 故选：C． 【变式14.1】（25-26高二上·广西百色·期末）如图，这是某圆弧形山体隧道的示意图，其中底面的长为16米，最大高度的长为4米，以C为坐标原点，所在的直线为x轴建立平面直角坐标系. (1)求该圆弧所在圆的方程. (2)若某种汽车的宽约为2.5米，高约为1.5米，车辆行驶时两车的间距要求不小于0.5米以保证安全，同时车顶不能与隧道有剐蹭，则该隧道最多可以并排通过多少辆该种汽车？（将汽车看作长方体） 参考数据： 【答案】(1) (2)4辆 【分析】（1）根据圆的几何性质确定圆心的位置，结合垂径定理与勾股定理求圆心与半径，即可求得圆弧所在圆的方程； （2）确定汽车通过的最大宽度，再分析可得最多可以并排通过该种汽车数量. 【详解】（1）由圆的对称性可知，该圆弧所在的圆的圆心在y轴上， 设圆心为，设该圆的半径为r米，又，     则，∴，     ∴，     ∴圆弧所在的圆的方程为. （2）设与该种汽车等高且能通过该隧道的最大宽度为d米， ∴，∴     若并排通过5辆该种汽车，则安全通行的宽度应为， 故该隧道不能并排通过5辆该种汽车，     若并排通过4辆该种汽车，则安全通行的宽度应为， 则该隧道可以并排通过4辆该种汽车，     综上所述，该隧道最多可以并排通过4辆该种汽车. 【变式14.2】（25-26高二上·江苏扬州·期中）在人工智能实验室中，一个追踪机器人从点出发，发现一个目标机器人在点处正欲逃跑.追踪机器人最大速度是目标机器人最大速度的2倍.假设两个机器人均按直线方向以最大速度移动.    (1)若追踪机器人在点处成功拦截目标机器人，求点的轨迹方程； (2)问：无论目标机器人沿何方向逃跑，追踪机器人是否总能在安全区（的区域）内成功拦截?并说明理由. 【答案】(1) (2) 点的轨迹圆的圆心为，半径， 因为圆心到的距离， 所以点的轨迹圆与相交， 则相遇点会出现在安全区外， 故追踪机器人不会总能在安全区内成功拦截. 【分析】（1）设追踪机器人在点处拦截目标机器人，根据追踪机器人与目标机器人速度之比为列出方程即可得解； （2）判断点的轨迹圆与直线的位置关系即可得出结论. 【详解】（1）设追踪机器人在点处拦截目标机器人， 因为追踪机器人与目标机器人速度之比为， 所以相遇时， 所以， 即两机器人相遇点的轨迹方程为； （2）略 试卷第2页，共3页 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $