第15章 轴对称图形与等腰三角形（高效培优单元自测·提升卷）数学新教材沪科版八年级上册

**基本信息** 本卷为初中数学第十五章“轴对称图形与等腰三角形”单元提升卷，通过选择、填空、解答题（10/4/9题，40/20/90分）覆盖轴对称、等腰三角形等核心知识，融合几何直观与推理能力，适配单元复习培优需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/40|轴对称识别（世界杯标志）、对称点坐标、等腰三角形性质|结合现实情境，基础概念辨析| |填空题|4/20|平移距离、角平分线性质、尺规作图、等边三角形计算|聚焦性质应用，强化空间观念| |解答题|9/90|折叠探究（23题）、动态几何（20题）、综合证明（22题）|分层设计，融合创新应用与逻辑推理，适配核心素养发展|

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第十五章轴对称图形与等腰三角形（高效培优单元自测·提升卷） （考试时间：120分钟试卷满分：150分) 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。) 1 3 4 5 6 个 8 9 10 B D C C D B B B D B 二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.） 11.6 12. 13.16 14.1 三、解答题（本题共9小题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15.【答案】(1)如图，直线l1即为所求： (2)如图，直线2即为所求 【详解】(1)略 (2)略 16.【答案】(1) 如图，△A1BC1即为所求： 1/9 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2345 2)A-1,-3'B,-4,-4'C,-2,-1 【详解】(1)解：略： (2)解：由图可知，A1-1,-3B,-4,-4”C-2,-1 17.【答案】(1)12 (2)50° 【详解】(1)解：，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E.AC的垂直平分线分别交AC、BC于 点F、G, ∴.AE=BE,AG=CG, ,△AEG的周长为12， .'.AE+EG+AG=12, ∴.BE+EG+GC=12, 即BC=12: (2)解：.AE=BE,AG=CG, ∴.∠BAE=∠B,∠CAG=∠C, .∠B+∠C+∠BAC=180°， ∴.∠B+∠C=180°-115°=65°， .∠BAE+∠CAG=65, .∠BAE+∠EAG+∠CAG=∠BAC, :.∠EAG=∠BAC-∠BAE+∠CAG=115°-65°=50°， 即∠EAG的度数为50°， 18.【答案】(1)CD=3 (2)证明：，AD平分∠BAC, .∠CAD=∠EAD, 219 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .DE⊥AB,∠ACB=90, .∠ACD=∠AED=90°， .AD=AD. ∴.△ACD≌△AED AAS, ∴.AC=AE,CD=DE, ∴.点A、D在线段CE的垂直平分线上， ∴，AD所在直线是线段CE的垂直平分线， 【详解】(1)解：，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°， .∠BAC=90°-30°=60°， .AD平分∠BAC, :∠CAD=∠EAD=号∠BAC=30, ∴.∠BAD=∠B, ∴.AD=BD=6, .∠ACD=90°，∠CAD=30°， :CD=2AD=3: (2)略 19.【答案】(1)如图所示，△ABC即为所求， (2)9 (3)如图所示，点P即为所求， 319 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B 【详解】(1)略： (2)解：在10×10的正方形网格中，每个小正方形的边长为1， ∴.S△ABc=4×6- ×2×4-1×1×4-1×3×6=24-4-2-9=9. 2 2 2 .△ABC的面积为9. (3)略 20.【答案】(1)证明：△ABC是等边三角形， .AC=BC,∠ACE=∠B=60, .AD=BE,AB=BC, ∴.CE=BD 在△ACE和△CBD中， AC=BC ACE=∠B=60°， CE=BD ∴.△ACE≌△CBD SAS. (2)7 (3)6 【详解】(1)略 (2)解：，△ACE≌△CBD SAS, ∴.∠CAE=∠BCD,AE=CD, ∴.∠AFG=∠ACF+∠CAE=∠ACF+∠BCD=∠ACB=60°， .AG⊥CD, ∴.∠FAG=30°， 在Rt△FAG中，∠AG=30°， 4/9 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .AF=2FG=6, .AE=AF+EF=6+1=7, ∴.CD=AE=7 (3)解：，DE⊥AB,∠B=60°，BD=2, .∠BED=30, 在Rt△BED中，∠BED=30°， .BE=2BD=4, 又CE=BD=2, .BC=BE+CE=6, ∴.等边△ABC的边长为6. 21.【答案】(1)55 (2)①证明：，AC=AD, ∴.∠ACD=∠ADC, .AB=AC, .∠CBA=∠ACB, .∠CBA=2∠ADC, ∴.∠ACB=2∠ADC, .∠DCB=∠ACB-∠ACD=2∠ADC-∠ADC=∠ADC, .AD‖CB ②10cm 【详解】(1)解：，AC=AD,∠D=22°， .∠ACD=∠D=22°， .AB=AC, ,∠B=∠ACB, .∠BAC=26°， A∠B=∠ACB=180°-∠BAC=-770 2 ∴.∠DCB=∠ACB-∠ACD=55°. (2)①略. ②解：如图，过点D作DF⊥AB于点F, 519 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ..AB=AC, .∠CBA=∠ACB, 由(2)①已证：ADCB .∠FAD=∠CBA,∠EAD=∠ACB, .∠FAD=∠EAD,即AD平分∠BAE, 又DE⊥CA,DF⊥AB, .DF=DE(角平分线的性质定理)， .DE=10cm, ∴.DF=10cm, 即点D到AB的距离为l0cm, 22.【答案】(1)130° (2)BC=AE' 理由如下： .AB DE, .∠D=∠BAC .AB=AD,AC=DE. .△ABC≌△DAESAS, ∴.BC=AE: (3)AM=GN:理由如下： ,CF=AE,∠CFG=∠AEB,GF=BE, ∴.△CFG≌△AEBSAS, ∴.AB=CG AB=AC, ..AC=CG. .∠CAM=∠CGN. 6/9 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :∠ACM=∠GCN,AC=CG, .△ACM≌△GCN ASA, ..AM=GN 【详解】(1)解：，点P为线段AB垂直平分线1上的一点， ..PA=PB .∠A=∠B, ∠A=25°， ∴.∠A=∠B=25°， .∠APB=180°-∠A-∠B=180°-25°-25°=130°： (2)略 (3)略 23.【答案】(1)90° (2)①.∵在△ABC中，AB=AC,∠BAC=120°， :2B=∠C=180-∠BAC=30, 2 由折叠的性质可得∠C=∠F=30°，CD=DF, .AC=CD,AB=AC, .AB=AC=DF=CD, ∴.∠CDF=180°-∠C-∠F=120°=∠CAB, 在△CDF和△CAB中， CD=CA ∠CDF=∠CAB DF=AB .△CDF≌△CABSAS: ②CE=AE+BD,理由如下： 由①可得△CDF≌△CABSAS, ..CF=CB ..CF=CA+AF,CB=CD+BD,CA=CD, ∴.AF=BD, 由折叠的性质可得CE=EF, ..EF=AE+AF, 719 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .CE=EF=AE+AF=AE+BD: 3)LAFE的度数为30或60或750 【详解】(1)解：，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=120°， :∠ABC=∠C=180-∠BAC=30°， 2 由折叠的性质可得∠F=∠C=30°， .∠EAF=180°-∠BAC=60°， ∴，∠AEF=180°-∠EAF-∠F=90°； (2)①略： ②略； (3)解：，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=120°， :∠B=∠C=180-∠BAC=309, 2 .E是AC中点， ∴.AE=CE, 由折叠的性质可得CE=EF,∠DFE=∠C=30°，∠=∠DEC, ∴，AE=EF=CE, ,△乙是等腰三角形， ∴.当DE=DF时，∠些=∠DFE=30°， B .∠=∠DEC=30°， ∴，∠AEF=180°-∠g-∠DEC=120°， .AE=EF, :∠AFE=∠FAE=180°-∠AEF=30: 当DE=EF时，∠EDF=∠DFE=30, 8/9 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠=180°-∠EDF-∠DFE=120°， .∠g=∠DEC=120°， :.∠AEF=∠g+∠DEC-180°=60°， .AE=EF, ÷∠AFE=∠FAE=180°-∠AEF=60: 当DF=EF时，∠g=180°-∠DFE=75, 2 C .∠=∠DEC=75, ∴.∠AEF=180°-∠-∠DEC=30°， .AE=EF, :∠AFE=∠FAE=180°-∠AEF=75: 2 综上所述，∠AFE的度数为30°或60°或75°. 9/9 第十五章 轴对称图形与等腰三角形（高效培优单元自测·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．下面四幅国际足联世界杯的标志中，具有轴对称性的是（     ） A． B． C． D． 2．平面直角坐标系中．点关于轴的对称点的坐标是（） A． B． C． D． 3．如图，在中，，是边上的中线，是的角平分线，若，，则的长度为（     ）    A．4 B．5 C．6 D．7 4．如图，若与关于直线对称，交于点O，则下列说法中不一定正确的是（     ） A． B． C． D． 5．平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等，如图，一束光线先后经平面镜、反射后，反射光线与平行，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 6．如图，将一条对边互相平行的纸带进行两次折叠，折痕分别为与．已知，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 7．如图，在中，，分别以点、为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点、，作直线交于点，连接．若，则的大小为（     ） A． B． C． D． 8．如图，、分别是的外角、的平分线．小明经过分析后，得出了以下结论：①点P在的平分线上；②；③点P到、、的距离相等．则正确的是（     ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 9．如图，和均是等边三角形，A，C，B三点共线，与相交于点P，与分别与，交于点M，N．有下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确结论的个数是（     ） A．1 B．2 C．3 D．5 10．如图，在锐角中，平分，，若、分别是、上的动点，当最小时，的度数为（     ） A． B． C． D． 二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分．） 11．如图，将等边沿着向右平移一定距离后得到，点在上．若，，则平移的距离为________． 12．如图，在中，点在边上，连接，，平分交于点，于点，若，则的长为_____． 13．如图，在中，以点为圆心，的长为半径作圆弧交于点，再分别以点和点为圆心，大于的长为半径作圆弧，两弧分别交于点和点，作直线交于点，若，，则的周长为___________． 14．如图，等边三角形中，D是延长线上的一点，点E在上，若，，，则的长为______． 三、解答题（本题共9小题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．（8分）如图，已知点为四边形中边上一点，请用直尺和圆规作出满足下列条件的直线：（保留作图痕迹，不写作法） (1)作一条直线，使得点关于的对称点为； (2)作一条过点的直线，使得线段关于的对称线段落在上． 16．（8分）如图，平面直角坐标系中，顶点坐标分别为，，． (1)请你在图中画出关于轴对称的； (2)在（1）的条件下，请直接写出、、的坐标． 17．（8分）如图，在中，的垂直平分线分别交、于点、．的垂直平分线分别交、于点、，连接、． (1)的周长为12，求线段的长； (2)若，求的度数． 18．（8分）如图，在中，，平分交于点D，于点E，与相交于点F． (1)若，，求的长； (2)求证：所在直线是线段的垂直平分线． 19．（10分）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长为，每个小正方形的顶点叫作格点，的三个顶点都在格点上． (1)请在图中画出关于直线对称的图形； (2)求的面积； (3)请在直线上确定一点，使得最短． 20．（10分）如图，在等边中，D、E分别为、边上的两动点，且总使，与交于点F，于点G． (1)求证：； (2)若，，求的长； (3)连接，若，已知，求等边的边长； 21．（12分）已知和均为等腰三角形，且． (1)如图1，若，，则的度数为 ； (2)如图2，当时， ①求证：； ②过点作，交的延长线于点．若，求点到的距离． 22．（12分）【问题探究】 (1)如图1，点P为线段垂直平分线l上的一点，连接、．若，则的度数是________． (2)如图2，在和中，点C在线段上，，，．那么与相等，为什么？ 【问题解决】 (3)如图3，在某生态农场中，有一块等腰三角形花田（周围空地可利用），其中，、是其内部的两条灌溉水渠，点D、E分别是线段、上的定点．现计划对该花田进行改造，在上取点F，满足，以F为顶点，在下方作，且、连接，分别交线段、于点M、N，计划在和区域分别种植郁金香和紫罗兰．连接线段、修建栅栏，根据设计要求：．为合理预算，需确定线段、之间的数量关系．请你帮助管理人员确定、之间的数量关系，并说明理由．（水渠的宽度、栅栏的厚度均忽略不计） 23．（14分）在数学综合实践课上，同学们开展对三角形折叠问题的探究活动． 如图1，在中，，，点是边上一点，点是边上一点，将沿着折叠，点的对应点是点． (1)奋进小组按图1的方式折叠，点与重合，将折叠后，点落在的延长线上，求的度数． (2)如图2，善思小组沿折叠后点落在的延长线上，此时， ①试说明； ②试探究线段，和的数量关系，并说明理由． (3)创新小组提出新的问题，折痕经过的中点时，即点是中点，当是等腰三角形时，请直接写出的度数． 1 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十五章 轴对称图形与等腰三角形（高效培优单元自测·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．下面四幅国际足联世界杯的标志中，具有轴对称性的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】按照轴对称图形的概念即可判断． 【详解】解：要判断是否具有轴对称性，关键是看图形能否沿某条直线对折后，直线两侧的部分完全重合， A、C、D的图形无法找到这样的直线，不具备轴对称性； B的图形沿中间竖直直线对折后，两侧能完全重合，具有轴对称性． 2．平面直角坐标系中．点关于轴的对称点的坐标是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平面直角坐标系中关于轴对称点的坐标规律，用到的知识点是：关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，根据规律计算即可求解． 【详解】解：∵平面直角坐标系中，关于轴对称的点满足横坐标不变，纵坐标互为相反数， 又∵点的坐标为，其横坐标为，纵坐标为，的相反数为， ∴点关于轴的对称点坐标是． 3．如图，在中，，是边上的中线，是的角平分线，若，，则的长度为（     ）    A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】由三角形中线的性质得出，从而可得，由等腰三角形的性质可得，再结合三角形面积公式计算即可得出结果． 【详解】解：∵是边上的中线， ∴， ∵， ∴， ∵在中，，是的角平分线， ∴， ∵，， ∴． 4．如图，若与关于直线对称，交于点O，则下列说法中不一定正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据轴对称图形的性质解答即可． 【详解】解：∵与关于直线对称， ∴，， 故A，B选项正确； 与不平行，故C选项错误； ∵对称， ∴垂直平分，垂足为点N， ∴，故D选项正确 ． 5．平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等，如图，一束光线先后经平面镜、反射后，反射光线与平行，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据反射规律得出，利用平角定义求出，再根据平行线性质求出，最后利用平角定义及反射规律求出． 【详解】解：由题意，得， ∴， ∵， ∴， ∴， 由题意，得， ∵， ∴， ∴． 6．如图，将一条对边互相平行的纸带进行两次折叠，折痕分别为与．已知，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平行线的性质，折叠的性质，以及角的和差关系进行求解即可. 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∵折叠， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴. 7．如图，在中，，分别以点、为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点、，作直线交于点，连接．若，则的大小为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由作图可知直线是线段的垂直平分线，利用垂直平分线的性质得到相等的角，再结合直角三角形两锐角互余求出的度数，最后作差即可得到所求的度数． 【详解】解：根据题目中的作图方法，可知直线是线段的垂直平分线， ∴， ∴， 在中，， ∴， 则． 8．如图，、分别是的外角、的平分线．小明经过分析后，得出了以下结论：①点P在的平分线上；②；③点P到、、的距离相等．则正确的是（     ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】B 【分析】过点P分别向、、作垂线，利用角平分线的性质，说明这三条垂线段相等，从而说明①③正确． 【详解】解：如图，作，，， ∵、分别是的外角、的平分线， ∴，， ∴，③正确， ∴点P在的平分线上，①正确， 对于②，缺乏足够的条件说明． 9．如图，和均是等边三角形，A，C，B三点共线，与相交于点P，与分别与，交于点M，N．有下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确结论的个数是（     ） A．1 B．2 C．3 D．5 【答案】D 【分析】利用等边三角形的判定和性质及全等三角形的判定和性质逐项进行判断即可． 【详解】解：①∵和均是等边三角形， ∴， ∴， 即， ∴，故①正确，符合题意； ②∵和均是等边三角形， ∴， ， ∴， ∴， ∴，故②正确，符合题意； ③由①得， ∴， 由②得， 又， ∴， ∴，故③正确，符合题意； ④由③得， ∴，故④正确，符合题意； ⑤由③得，由②得， ∴为等边三角形， ∴，故⑤正确，符合题意； 故①②③④⑤五个结论全部正确． 10．如图，在锐角中，平分，，若、分别是、上的动点，当最小时，的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据对称性得到和，再利用两点之间线段最短和垂线段最短得到时最小，根据同角的余角相等得到，最后利用外角性质得到的度数． 【详解】解：作点C关于直线的对称点，过点作于点，交于点，延长交于点H， ∵点C和点关于直线对称， ∴，， ∴， 当、、三点共线且时，最小，最小值为线段的长， ∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分．） 11．如图，将等边沿着向右平移一定距离后得到，点在上．若，，则平移的距离为________． 【答案】6 【详解】解：∵是等边三角形，，， ∴， 则平移的距离为． 12．如图，在中，点在边上，连接，，平分交于点，于点，若，则的长为_____． 【答案】/ 【分析】过点I作于点E，根据角平分线的性质得到，根据得到，，根据求解即可． 【详解】解：过点I作于点E， 平分交于点，于点， ， ，， ，， ，， ， ， 解得． 13．如图，在中，以点为圆心，的长为半径作圆弧交于点，再分别以点和点为圆心，大于的长为半径作圆弧，两弧分别交于点和点，作直线交于点，若，，则的周长为___________． 【答案】 【分析】根据作图可得，是的垂直平分线，得到，再通过线段等量代换将的周长转化为，进而求出三角形周长． 【详解】解：由作图可知，， ， ， 由作图可知，直线是的垂直平分线， 点在直线上， ， ， 将代入得，， ，， ． 14．如图，等边三角形中，D是延长线上的一点，点E在上，若，，，则的长为______． 【答案】1 【分析】过D作于F，根据等边三角形的性质得到，求得，得到，可得，根据等腰三角形的性质得到，由即可得到结论． 【详解】解：过D作于F， ∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 三、解答题（本题共9小题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．（8分）如图，已知点为四边形中边上一点，请用直尺和圆规作出满足下列条件的直线：（保留作图痕迹，不写作法） (1)作一条直线，使得点关于的对称点为； (2)作一条过点的直线，使得线段关于的对称线段落在上． 【答案】(1)如图，直线即为所求； (2)如图，直线即为所求． 【分析】（1）连接，作出的垂直平分线即为直线； （2）作出的平分线即为直线． 【详解】（1）略 （2）略 16．（8分）如图，平面直角坐标系中，顶点坐标分别为，，． (1)请你在图中画出关于轴对称的； (2)在（1）的条件下，请直接写出、、的坐标． 【答案】(1) 如图，即为所求； (2)，， 【详解】（1）解：略； （2）解：由图可知，，，． 17．（8分）如图，在中，的垂直平分线分别交、于点、．的垂直平分线分别交、于点、，连接、． (1)的周长为12，求线段的长； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由线段垂直平分线的性质得出，再由周长得出，等量代换可得出，即； （2）由等边对等角得出，由三角形内角和定理得出，则，再由角的和差关系即可得出答案． 【详解】（1）解：∵的垂直平分线分别交、于点、．的垂直平分线分别交于点， ∴，， ∵的周长为12， ∴， ∴， 即； （2）解：∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即的度数为． 18．（8分）如图，在中，，平分交于点D，于点E，与相交于点F． (1)若，，求的长； (2)求证：所在直线是线段的垂直平分线． 【答案】(1) (2)证明：∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴点A、D在线段的垂直平分线上， ∴所在直线是线段的垂直平分线． 【分析】（1）根据角平分线定义得出，证明，根据等腰三角形的判定得出，根据直角三角形的性质得出； （2）证明，得出，，说明点A、D在线段的垂直平分线上，即可证明结论． 【详解】（1）解：∵在中，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴； （2）略 19．（10分）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长为，每个小正方形的顶点叫作格点，的三个顶点都在格点上． (1)请在图中画出关于直线对称的图形； (2)求的面积； (3)请在直线上确定一点，使得最短． 【答案】(1)如图所示，即为所求， (2) (3)如图所示，点即为所求， 【分析】（1）分别找到点关于直线对称的点，并依次连接，即可得到关于直线的轴对称图形. （2）利用割补法在网格中计算出的面积即可． （3）依据将军饮马模型（轴对称最短路径）：利用“两点之间线段最短”求线段和最小值．取点关于直线的对称点，连接，线段与直线产生的交点就是所求的点，由轴对称可得，则，根据两点之间线段最短可得此时取得最小值． 【详解】（1）略； （2）解：∵在的正方形网格中，每个小正方形的边长为， ∴． ∴的面积为． （3）略． 20．（10分）如图，在等边中，D、E分别为、边上的两动点，且总使，与交于点F，于点G． (1)求证：； (2)若，，求的长； (3)连接，若，已知，求等边的边长； 【答案】(1)证明：∵是等边三角形， ∴，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴． (2)7 (3)6 【分析】（1）利用等边三角形的性质，结合已知条件得出，从而利用“”证得； （2）由（1）的结论，得出，再利用解含30度角的直角三角形的性质即可求得，最后利用线段和差关系求得； （3）根据已知条件，利用解含30度角的直角三角形的性质求出，再根据已知条件结合线段和差关系即可求得等边的边长． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴． （3）解：∵，，， ∴， 在中，， ∴， 又∵， ∴， ∴等边的边长为6． 21．（12分）已知和均为等腰三角形，且． (1)如图1，若，，则的度数为 ； (2)如图2，当时， ①求证：； ②过点作，交的延长线于点．若，求点到的距离． 【答案】(1) (2)①证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． ② 【分析】（1）根据等边对等角先得出，结合三角形内角和定理得到，再根据角的和差求解即可； （2）①先得出，，再得出，根据平行线的判定即可得证；②过点作于点，得出，即平分，根据角平分线的性质定理求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）①略． ②解：如图，过点作于点， ∵， ∴， 由（2）①已证：， ∴，， ∴，即平分， 又∵，， ∴（角平分线的性质定理）， ∵， ∴， 即点到的距离为． 22．（12分）【问题探究】 (1)如图1，点P为线段垂直平分线l上的一点，连接、．若，则的度数是________． (2)如图2，在和中，点C在线段上，，，．那么与相等，为什么？ 【问题解决】 (3)如图3，在某生态农场中，有一块等腰三角形花田（周围空地可利用），其中，、是其内部的两条灌溉水渠，点D、E分别是线段、上的定点．现计划对该花田进行改造，在上取点F，满足，以F为顶点，在下方作，且、连接，分别交线段、于点M、N，计划在和区域分别种植郁金香和紫罗兰．连接线段、修建栅栏，根据设计要求：．为合理预算，需确定线段、之间的数量关系．请你帮助管理人员确定、之间的数量关系，并说明理由．（水渠的宽度、栅栏的厚度均忽略不计） 【答案】(1) (2)，理由如下： ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； (3)，理由如下： ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【分析】（1）根据垂直平分线得到，根据等边对等角得到，再根据三角形内角和求即可； （2）证明，即可得到； （3）先证明，得到，再证明，得到． 【详解】（1）解：∵点P为线段垂直平分线l上的一点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）略 （3）略 23．（14分）在数学综合实践课上，同学们开展对三角形折叠问题的探究活动． 如图1，在中，，，点是边上一点，点是边上一点，将沿着折叠，点的对应点是点． (1)奋进小组按图1的方式折叠，点与重合，将折叠后，点落在的延长线上，求的度数． (2)如图2，善思小组沿折叠后点落在的延长线上，此时， ①试说明； ②试探究线段，和的数量关系，并说明理由． (3)创新小组提出新的问题，折痕经过的中点时，即点是中点，当是等腰三角形时，请直接写出的度数． 【答案】(1) (2)①∵在中，，， ∴， 由折叠的性质可得，， ∵，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； ②，理由如下： 由①可得， ∴， ∵，，且， ∴， 由折叠的性质可得， ∵， ∴； (3)的度数为或或 【分析】（1）由等边对等角并结合三角形内角和定理可得，由折叠的性质可得，再结合三角形内角和定理计算即可得出结果； （2）①由等边对等角并结合三角形内角和定理可得，由折叠的性质可得，，从而可得，，最后结合全等三角形的判定定理证明即可； ②由①可得，则，证明出，由折叠的性质可得，再结合，即可得证； （3）由等边对等角并结合三角形内角和定理可得，由折叠的性质可得，，，从而可得，分三种情况：当时；当时；当时，分别计算即可得出结果． 【详解】（1）解：∵在中，，， ∴， 由折叠的性质可得， ∵， ∴； （2）①略； ②略； （3）解：∵在中，，， ∴， ∵是中点， ∴， 由折叠的性质可得，，， ∴， ∵是等腰三角形， ∴当时，， ∴， ∴， ∵， ∴； 当时，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； 当时，， ∴， ∴， ∵， ∴； 综上所述，的度数为或或． 1 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $