精品解析：广东深圳市宝安区为明双语实验学校2026-2027学年度第一学期九年级“逐梦的风帆”数学试题

宝安为明双语实验学校2026-2027学年度第一学期九年级 “逐梦的风帆” 数学试题 时间：90分钟 满分：100分 一、选择题（共8小题，每小题3分） 1. 下列性质中，矩形具有而菱形不具有的是（ ） A. 对角线互相平分 B. 对角线相等 C. 对角线互相垂直 D. 轴对称图形 2. 用配方法解方程，下列配方正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 若，则的值为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，菱形中，连接，，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 、是方程的两个根，则（ ） A. 4 B. 10 C. D. 6. 如图，点P在的边上，要判断，添加一个条件，不正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，菱形的对角线相交于点O，过点D作于点H，连接，若，则菱形的面积为（ ） A. 40 B. 80 C. 160 D. 8. 如图，在正方形中，点、点分别是边，上的中点，连接，交于点．连接，若点，点分别是，上的中点，连接，，则正方形的边长等于（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共5小题，每小题3分） 9. 若是关于的一元二次方程的一个根，则的值是______． 10. 如图，将矩形放置在刻度尺上，顶点，对应的刻度（单位：）分别为1和7，则的长为______．  11. 如图，在矩形中，以点为圆心，长为半径作弧，交于点，再分别以点，为圆心，相同长（大于）为半径作弧，两弧交于点，作射线，与相交于点，若，则_________． 12. 某中学组织篮球比赛，初赛为单循环形式（每两队之间都赛一场），共进行了28场初赛．设共有支队伍参加初赛，则可列一元二次方程：____（结果化为一般式） 13. 如图，已知，为的边上的两点，且满足，一条平行于的直线分别交，，的延长线于点，，，则__________． 三、解答题（共7小题） 14. 解方程： （1）； （2）． 15. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等实数根． （1）求m的取值范围； （2）若是该方程的一个根，求m的值及该方程的另一个根． 16. 如图：在菱形中，对角线、交于点O，过点作于点，延长至点，使，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求的长． 17. 某市某楼盘准备以每平方米元的均价对外销售，近期市民购房意愿不高，持币观望．为了加快资金周转，房地产开发商对价格两次下调后，决定以每平方米元的均价开盘销售． （1）求平均每次下调的百分率； （2）某人准备以开盘均价购买一套平方米的房子，开发商还给予以下两种优惠方案以供选择： ①打折销售； ②不打折，送五年物业管理费，物业管理费是每平方米每月元． 请问哪种方案更优惠？ 18. 如图，在中，是斜边上的中线，交的延长线于点． （1）请用无刻度的直尺和圆规在线段上求作点，使得 (保留作图痕迹，不写作法)． （2）在（1）的条件下，若，，求四边形的周长． 19. 请阅读下列材料：已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍． 解：设所求方程的根为，则，所以． 把代入已知方程，得． 化简，得，故所求方程为． 这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”． （1）已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程为： ； （2）已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数； （3）已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为3，，求一元二次方程的两根． 20. 在四边形中，为边上一点，为延长线上一点，，分别是，中点，连接． （1）如图1，若四边形为正方形，且，试猜想：与之间的数量关系为________，与之间的数量关系为________； （2）如图2，若四边形为矩形，，，且，，求的长． （3）如图3，若四边形为平行四边形，，，，当时，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 宝安为明双语实验学校2026-2027学年度第一学期九年级 “逐梦的风帆” 数学试题 时间：90分钟 满分：100分 一、选择题（共8小题，每小题3分） 1. 下列性质中，矩形具有而菱形不具有的是（ ） A. 对角线互相平分 B. 对角线相等 C. 对角线互相垂直 D. 轴对称图形 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形和菱形的性质，比较矩形和菱形的性质，找出矩形具有而菱形不具有的选项即可，掌握矩形和菱形的性质是解题的关键． 【详解】解：、矩形和菱形均为平行四边形，平行四边形的对角线互相平分，因此两者均具有此性质，原选项不符合题意； 、矩形的对角线相等，而菱形的对角线不一定相等，原选项符合题意； 、菱形的对角线互相垂直，但矩形的对角线不一定垂直，原选项不符合题意； 、矩形和菱形均为轴对称图形，原选项不符合题意； 故选：． 2. 用配方法解方程，下列配方正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，先移项，再配方即可得出结果，熟练掌握配方法是解题的关键． 【详解】解： ， 故选：A． 3. 若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据比例的性质，将已知进行变形，得到，代入即可求出答案． 【详解】解： 故选：D 【点睛】本题主要考查了比例的性质；能灵活运用比例关系式，将所求代数式正确变形是做出本题的关键． 4. 如图，菱形中，连接，，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质，菱形的对角线互相垂直，所以在菱形中，，即，在中，因为，三角形内角和为，所以，因为菱形的对边平行，即，根据两直线平行，内错角相等，所以． 【详解】解：如图， ∵四边形是菱形， ∴，即，， 在中，∵， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 5. 、是方程的两个根，则（ ） A. 4 B. 10 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的定义以及根与系数的关系，解题关键是把．因为、是一元二次方程的两个根，所以，，进一步即可解决问题． 【详解】解：∵、是一元二次方程的两个根， ∴，即，， ∴． 故选：A． 6. 如图，点P在的边上，要判断，添加一个条件，不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是相似三角形的判定，分别利用相似三角形的判定方法判断得出即可． 【详解】解：A、当时， 又∵， ∴，故此选项不符合题意； B、当时， 又∵， ∴，故此选项不符合题意； C、当时， 又∵， ∴，故此选项不符合题意； D、当时，无法得到，故此选项符合题意． 故选：D． 7. 如图，菱形的对角线相交于点O，过点D作于点H，连接，若，则菱形的面积为（ ） A. 40 B. 80 C. 160 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，直角三角形的斜边上的中线性质，菱形的面积公式等．熟练掌握菱形的性质，直角三角形的斜边上的中线性质，是解题的关键． 由菱形的性质得，则，再由直角三角形斜边上的中线性质求出的长度，然后由菱形的面积公式求解即可． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴菱形的面积． 故选：B． 8. 如图，在正方形中，点、点分别是边，上的中点，连接，交于点．连接，若点，点分别是，上的中点，连接，，则正方形的边长等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】过点G作于点M，连接，证明，得到，然后得到，设，则，然后利用勾股定理和等面积法逐步表示出，，利用三角形中位线的性质得到，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，过点G作于点M，连接 ∵在正方形中，点、点分别是边，上的中点， ∴，， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴，即 设，则 ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵点，点分别是，上的中点， ∴ ∵ ∴ ∴ 解得（负值舍去） ∴ ∴正方形的边长等于． 二、填空题（共5小题，每小题3分） 9. 若是关于的一元二次方程的一个根，则的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】已知是一元二次方程的一个根，将根代入原方程即可求解的值． 【详解】解：把代入方程，得，解得． 10. 如图，将矩形放置在刻度尺上，顶点，对应的刻度（单位：）分别为1和7，则的长为______．  【答案】 【解析】 【分析】根据矩形的对角线相等可得，利用刻度尺上、两点的读数差求出的长，即可得出的长． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵顶点，对应的刻度分别为1和7， ∴， ∴． 11. 如图，在矩形中，以点为圆心，长为半径作弧，交于点，再分别以点，为圆心，相同长（大于）为半径作弧，两弧交于点，作射线，与相交于点，若，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】令与的交点为，由矩形与等腰三角形的性质，得到，由作法可知，垂直平分，再结合三角形内角和定理求解． 【详解】解：如图，令与的交点为， 矩形， ， ， 由作法可知，垂直平分， ， ， ． 12. 某中学组织篮球比赛，初赛为单循环形式（每两队之间都赛一场），共进行了28场初赛．设共有支队伍参加初赛，则可列一元二次方程：____（结果化为一般式） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，设共有支队伍参加初赛，利用初赛的总场数参赛球队数量（参赛球队数量），即可得出关于x的一元二次方程，再整理成一般式即可． 【详解】解：依题意得：， 整理得：， 故答案为：． 13. 如图，已知，为的边上的两点，且满足，一条平行于的直线分别交，，的延长线于点，，，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查平行线分线段成比例和三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解题的关键．过点M作，点G在上，过点N作，H在上，交于I，则有，利用平行线分线段成比例和平行线判定三角形相似可得，再利用得到，从而得解． 【详解】解：过点M作，点G在上，过点N作，H在上，交于I，则有， ∵，， ∴， ∴ 又∵， ∴ ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴，    ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案是：3． 三、解答题（共7小题） 14. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1），； （2），． 【解析】 【小问1详解】 解：， ， ， ， ， 解得：，； 【小问2详解】 解：， ， ， ， 则或， 解得：，． 15. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等实数根． （1）求m的取值范围； （2）若是该方程的一个根，求m的值及该方程的另一个根． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】本题考查根的判别式、解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解答本题的关键． （1）根据方程有两个不相等实数根，可知，然后即可求得的取值范围； （2）将代入题目中的方程，可以求得的值，然后即可求出方程的根，从而可以得到方程的另一个根． 【小问1详解】 解： 方程有两个不相等实数根， ， 解得； 【小问2详解】 解：是方程的一个根， ， 解得， 方程为， 解得，， 方程的另一个根是． 16. 如图：在菱形中，对角线、交于点O，过点作于点，延长至点，使，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：在菱形中，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是矩形； （2）． 【解析】 【分析】本题主要考查菱形的性质，矩形的判定，勾股定理等知识， （）由，可得，可得，结合，可得四边形是平行四边形，再结合，可得平行四边形是矩形； （）在菱形中，，可得，在中，利用勾股定理列式即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：在菱形中，， ∵， ∴， ∵在矩形中，， ∵， ∴在中，， 整理得，， 解得：． 17. 某市某楼盘准备以每平方米元的均价对外销售，近期市民购房意愿不高，持币观望．为了加快资金周转，房地产开发商对价格两次下调后，决定以每平方米元的均价开盘销售． （1）求平均每次下调的百分率； （2）某人准备以开盘均价购买一套平方米的房子，开发商还给予以下两种优惠方案以供选择： ①打折销售； ②不打折，送五年物业管理费，物业管理费是每平方米每月元． 请问哪种方案更优惠？ 【答案】（1） （2）方案①更优惠 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用、有理数的混合运算，熟练掌握根据增长率问题列方程并求解，以及根据实际问题计算优惠金额是解题的关键． （1）设平均每次下调的百分率为，根据原价下调百分率²现价列一元二次方程求解． （2）分别计算两种方案的优惠金额，比较金额大小判断哪种方案更优惠． 【小问1详解】 解：设平均每次下调的百分率为． ， ， ， ， 解得，（舍去）， 答：平均每次下调的百分率为． 【小问2详解】 解：方案①： （元）， 方案②： （元）， 因为， 所以方案①更优惠． 答：方案①更优惠． 18. 如图，在中，是斜边上的中线，交的延长线于点． （1）请用无刻度的直尺和圆规在线段上求作点，使得 (保留作图痕迹，不写作法)． （2）在（1）的条件下，若，，求四边形的周长． 【答案】（1） 解：如图，点即为所求， 根据作图可得， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图，平行线分线段成比例，菱形的判定和性质，直角三角形斜边中线的性质的知识， （1）根据作一个角等于已知角的方法作图，作，交于点即可； （2）先证明四边形是菱形，然后利用直角三角形斜边中线的性质得出，最后根据菱形的判定和性质即可求得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵在中，是斜边上的中线， ∴， ∴平行四边形是菱形， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中， ， ∴， ∴四边形的周长为． 19. 请阅读下列材料：已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍． 解：设所求方程的根为，则，所以． 把代入已知方程，得． 化简，得，故所求方程为． 这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”． （1）已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程为： ； （2）已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数； （3）已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为3，，求一元二次方程的两根． 【答案】（1） （2） （3）两个实数根分别是，4； 【解析】 【分析】（1）利用题中解法，设所求方程的根为，则，即，把代入已知方程即可； （2）设所求方程的根为，则，即，把代入已知方程即可； （3）一元二次方程整理可得：，再与一元二次方程比较即可． 【小问1详解】 解：设所求方程的根为，则，即， 把代入已知方程，得， 化简，得， 则所求方程为； 故答案为：； 【小问2详解】 解：设所求方程的根为，则，即， 把代入已知方程，得， 化简，得， 则所求方程为； 【小问3详解】 解：一元二次方程整理可得：， 令，则， 则方程的两根比的两个实数根大1， ∴的两个实数根分别是，4； 【点睛】本题考查了一元二次方程的解，解答该题的关键是弄清楚“换根法”的具体解题方法． 20. 在四边形中，为边上一点，为延长线上一点，，分别是，中点，连接． （1）如图1，若四边形为正方形，且，试猜想：与之间的数量关系为________，与之间的数量关系为________； （2）如图2，若四边形为矩形，，，且，，求的长． （3）如图3，若四边形为平行四边形，，，，当时，求的长． 【答案】（1）；； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据正方形的边角性质，结合，证明，即得；连接，根据直角三角形斜边中线性质，结合结果可得，证明，即得； （2）连接，根据矩形边角性质，结合，证明，得，，根据直角三角形斜边中线性质和等腰三角形性质证明 ，得，结合，得； （3）连接，延长交于点I，连接，过点C作于点J，根据平行四边形性质和等腰三角形性质证明，结合，得，得，得，结合中点性质得，得，得，得，证明，得，得， ,证明，可得，根据，得，得点I、J重合，即得． 【小问1详解】 解：∵在正方形中，， ∴， ∵， ∴， ∴； 连接， ∵G，H分别是中点， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：连接， ∵矩形中，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∵ G，H分别是中点， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴； 【小问3详解】 解：连接，延长交于点I，连接， ∵在平行四边形中，， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵G、H分别是中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 过点C作于点J， 则， ∴， ∴， ∴点I、J重合， ∴． ∴． 【点睛】本题主要考查了四边形与三角形综合．熟练掌握平行四边形、矩形、正方形的性质，等腰直角三角形性质，直角三角形斜边中线性质，勾股定理，全等三角形判定和性质，相似三角形判定和性质，等腰三角形性质，是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $