专题05知识点30 同角三角函数的基本关系专项训练-2027届高三数学一轮复习

知识点30同角三角函数的基本关系 一、核心公式 sin'a+cos2=1'tana=sina c&≠+kL,k∈Z cosa 二、常用变形（必背） 同角基本关系式的常见变形： 1.sin2a=1-cos2a=(1+cosa)(1-cosa) 2.cos'a=1-sin2a=(1+sina)(1-sina) 3.(sina±cosa2=1±2 sina cosa 4.sina=tana·cosa 5.齐次化分式：sin2a=tan'a’cos'a=1'sinacos=tanc tana+1 tan a+1 tan a+1 6.“1”的代换：1=sin2a+cos'a=cos2a(tan'a+1)=sin'a1+1, tan a 三、核心题型与解题方法 题型1：“知一求二” 己知一个三角函数值求另外两个。步骤：先用平方关系求值→根据象限定符 号→商数关系求正切。 易错：开方求平方根时会出现两解，必须根据角所在象限判断符号： 若象限不明确，需分类讨论。 题型2：“弦切互化”（齐次式问题） 已知tana,求关于sina、cosa&的齐次式（如asin+bcosa或 csina+dcosa 2。)的值。 asin a+b sin a cos a+c cos a 方法：分子分母同时除以cosa或cosQ,含常数项时把常数写成 1=sin'a+cos'a再化切。 题型3：“sinc±cosa与sina.cosa”知一求二 利用(sina±cosa)=1±2sin&cosa,结合平方关系，通过方程思想知一求二。 关键：求出sin a cosa<0(或>0)后，需结合角的范围确定 sina-cosa的符号再开方。常用结论： (sina+cosa+(sina-cosa)2=2 题型4：化简与恒等式证明 化简目标：项数尽量少、次数尽量低、结构尽量简单。技巧路线： 。切化弦→合并→用sin2+cos2=1收尾 。弦化切→齐次化→化为tana的多项式 四、高频易错点△ 易错点 说明 开方不定号 平方关系开方直接取正，忽略象限判断，是最常见失分点 混淆“同 公式仅适用于同一个角，sina+cos2B≠1（≠B时） 角” 忽视定义域 商数关系要求cosa≠0；sina+cos4a≠1（应为 1-2sina cos'a) 象限不明 已知tana=2求sina,未给象限时应保留±两组解 未讨论 忽略角的 求出两解后未结合角的范围取舍 范围 实战演练 一、单选题 1已划g∈0，引am9-3则cos6的值是（） A.1B.-0.5 c.0.5 D.-1 2.已知a∈(0，π)，3sina=cosa+1,则tanc=() 3.化简V2+cos2-sin21的结果是() A.-cos1 B.cos1 C.3cos1 D.-3cos 1 4.若sina+osa=2,则ana+d。 1 的值为() tan o A-号 sin匹+9 -cosπ+0) 5.己知sin0=2cos0' 则 2 -=(0 sin[ 5π-0-sin(n-6) A.-2B.2 C.0D. 3 6.已知锐角0满足3cos20=1+sin20,则tan0=() A号B. C.2D.3 7.若a,β都是第一象限角，则“sinc>tanβ”是“tana>tanβ”的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 8.若直线l:3x-y+1=0的倾斜角为0，则2sin0-cos的值为() A.-5 5 8.0 c.310 5 2 10 D.5 二、多选题 9.已知9e0,且血0+c0s9=四，下列说法不正确的有() A.sin0cos=- 10 B.sin0-cos=- 2V10 can0-=号 D.sin0+cos0= 41 50 10.若2sina+cosa=5,则(） A.tana=2 9-95+1 B.tan 2 C.2sina-cosa= 3V5 5 D.sin2a= 4 5 1已知snu0sa京且子a<子则下列结果正确的是() 4 A.sin2c= 4 B.sin a+cosa= 5 C.sina-cosa=- 3 2 D.tana=4+15 三、填空题 12.已知实数 满足： x'y x+sin y=2027 0≤y≤ x+2025c0sy=2026 2 则x+2cosy= 13.若sin1-cos1=m,则用m表示sin1cos1的结果是 14.已知函数f(x)=2tanx-4sinx,x∈(0，π)的零点为a,则tana=一。 四、解答题 3 15.(1)若2π<a<2m, 化简： 1-c0s0 a1+cosa 1+cosa 1-c0s0 (2)求证： tanasina tana+sina tana-sina tan asina (3)已知cosA+sinA=1y求证：cosB+sinB=1 cos2B sinB cos2A sin2A 16.己知a∈(0，π，且sina+cosa=- (1)求sin2a的值； (2)求ana+的值。 4 7.已知aeo,2 an&=4FB∈0，}osa+9=-共求cosB的 14 值。 18.求证： (1)sinx+sin2x cos2x+cos2x=1 (2)1-tan20 =cos20-sin20° 1+tan20 19.已知在△ABC中，2sin(A+B)cos(A-B)=sin2C (1)证明：△ABC是直角三角形： ②)若an2A=号求sn3A+C+sCcs2A+C+的值. 2 参考答案与解析 一、单选题 1.答案：C 解析：0∈0，引am6-3则g=os选C 3 2.答案：D 解析：由3sina=cosa+1,可得cosa=3sina-1, 代入sina+cos2a=1,化简得sina(5sina-3)=0, 3 又a∈(0，π，sina>0,所以sina= 则有cosa=3sina-1 5'tana=sina=3 C0Sa4° 选D。 3.答案：C 解析：被开方式=2+cos2-sin21。由sin21+cos21=1,得2-sin21=1+cos21: 又c0s2=2c0s21-1,故1+cos21+2cos21-1=3cos21 因1ad∈o, cos1>0'故原式=3cos1'选C. 4.答案：A 1 解析：由sina+cosa= ),平方得1+2 sin cos&三4，故sin a cosa= 3 tana+1=sina+cosa=sin'a+cos'a=1=_8 tan a cosa sina sinacosa 3 8 选A。 5.答案：A 解析：由sin0=2cos9分子：sin5+0-cosπ+0)=cos0-(-c0s0)=2cos6 2 分母：sin5n-0-sin(n-9)=cos8-sin0=cos6-2cos6=-cos0° 2 故原武-日-2法A 6.答案：B 解析：设t=tan6,万能公式代入3cos26=1+sin26: 31-t=1+2t一3-3t=1+r+2t=22+t-1=0 1+t-11+t2 即(2t-1t+1=0,得t=2或t=-1.因g为院角，t>0,故an0=之选 B。 7.答案：A 解析：ax为第一象限角时，0<sina<tana。 充分性：若sina>tan阝，则tana>sina>tanB,故tana>tan阝； 必要性：若tana>tanB,由于sina<tana,可能有sina≤tan阝（如tanB充 分接近tana),不成立。 故为充分不必要条件，选A。 8.答案：B 解析：因为直线l:3x-y+1=0的斜率k=3,所以tan0=3>0, 即sin cos0 =3→sin0=3cos0,且倾斜角0为锐角： 又因为sin'0+cos20=1,所以10co5'9=1,则cos9=20 10 所以2sin6-c0s0=5cos0=50_10 10 2。 选A。 二、多选题 9.答案：BC 解析：由sin6+cos0=20, 5,平方得1+2sin0cos0,即sin6cos0=-02 正确)。 因c<0且sin0>0故ge受cos0<0则sn0-cos0>0 sin0-cos0-V(s+cP-4sc=92+5-2V10 V555 B给出负值，不正确。 10,cos6=-10 进一步解得sin60=310 0,tan0三-3，c给出-，不正确。 D:sin9+cos=1-2s2c2=1-2×9=4(正确)。 10050 故不正确的是BC。 10.答案：ACD 解析：联立 2sina+cosa=V5】 sin a+cosa=1 将cosa=5-2sina代入：5sin2a-4/5sina+4=0,判别式为0，解得 sina=245 5,cosa= 5 A:tana=2 2V5 a:m受10a 5 1+ 51 6B给世2 5 C:2sina-cosa=- 4V55_3V5 55 5 D:sin2a=2sina cosa=2x 2V5w5_4 555 选ACD。 11.答案：ABD 解析：sin&cosa=.,乃<a<(sina>cosa>0)。 8'41 A:sin 2a=2sinacosa=- 4 11_5 B:sina+cosa=1+2sc=1+ 42 C:sina-cosq=+1-2sc=91-= (应为正)，C给负值： 5 s+c= D:由 2 5+3_5+3}_8+2压=4+V15· 3 得tanc= V5-V32 2 S-C= 2 选ABD。 三、填空题 12.答案：2026 解析：两式相减：siny-2025cosy=1。 因0≤y≤经，有siny≤1，cosy20,放 siny-2025cosy≤siny≤1 取等号须siny=1且c0sy=0,即y=7.此时x=2027-1=2026. 故x+2c0sy=2026+0=2026。, 13.答案：1-m 2 解析：由(sin1-cos12=1-2sin1cos1,即m2=1-2sin1cos1,故 sin 1cos1=1-m2 2 14.答案：7 解析：因为a为函数f(x)=2tanx-4sinx的零点， 所以fa)=V2tana-4sina=0, 所以 2sinc=4sin,因为a∈(0，m,所以sina>0, coSa 所以cosa= 所以sina=1-cosa=-14 所以tana= sina=97. cos a 四、解答题 15.解： (1)因为 <a<2n,cosa>0,sina<0, 2 所以 1-cos a 1+cosa (1-cosa)2 (1+cosa)2_1-cosa 1+cosa=2 1+cos 1-c0s0 1- cos2a 1-cos2a sina sina -sina (2)证明：要证 tan asina tana+sina tana-sina tanasina 只需证：tan2&sin2a=(tanc-sina)(tana+sina=tan2a-sin2a. 只需i证：sin4a-sin'a-sin4a-sin2a(1-cos2a,即证：sin4a=sina. cos-a cosa cos-a cosacosa 显然上式成立，故tansin-ana+sing成立，得证. tana-sina tan asina (3)证明：由cosA+sinA= cos B sin2B 得：cos4 AsinB+sin4Acos2B=cos2Bsin2B, (1-sin2A)sin2B+sinAcos2B-cos2Bsin2B=0, (1-2sin2A+sinA)sin2B+sin A cos B-cos2Bsin2B=0' sin2B-2sin2Asin2B+sinA sin2B+sinAcos2B-cos2Bsin2B=0' sin2B(1-cos2B)-2sin2Asin2B+sinA(sin2B+cos2B)=0' sin'B-2sin'Asin'B+sin'A=0'(sin?B-sin2A)=0' 得sin2B=sin2A,再由平方关系得，cos2B=cos2A. 代入sB+snB,得cosB+sinB=即：osB+n-得i证. cos2A sin2A cos2A sin2A 16.解： a∈10，sna>-0由sna+osa=言0知csa<0'g∈ π 2,n/° 平方：1+2sina(cosa= 1 =sina cosa=- 12 25 25° sina-cosa=(s+c)-4sc= 1 48_7 25 255 解得sina=3, -5'cosa=-4 'tana=- (1)sin2a=2sinacosa=-24 5 3+1 (2)tana+=ana+1=4+1 4-1 4 1-tana 77 17.解： tana=43'a∈0,2 ，则 c0s0= =1 1 1+tansing=tanacosa- 4V3 7 cos(+B)=cosacos B-sinasin B=-11, 7sg-49nB=-4一20sB-835n8=-1 7 14 设cosB=c>0,sinB=1-c2,则2c+11=83V1-c,两边平方： 4c2+44c+121=192(1-c2)一196c2+44c-71=0 c=-44±/1936+55664.-44±240 392 392 得c号或c=号（舍去负值，B为锐角）。 脑验：cw8-如0-号时，ma*+p名49要-各9器 放coB=号 18.证明： (1)左边=sin2x(sin2x+cos2x)+cos2x=sin2x+cos2x=1=右边，得证。 1-sin20 (2)左边=cos6=os9-sin日=os29-6in2g=右边，得证。 1+sin'0 cos0+sin20 c0s20 (其中日≠a+7,保证am9有意义.) 19. (1)证明：在△ABC中，A+B=π-C,故sin(A+B)=sinC≠0。 原式化为： 2sin Ccos(A-B)=sin2C=2sin CcosC 两边同除以2sinC: cos(A-B)=cosC 因A,B,C∈(0，π)，故A-B=±C。 若A-B=C,则A=B+C,结合A+B+C=I得2A=,即A=受 若A-B=-C,即B=A+C,同理得B=。 无论哪种情形，△ABC中都有一个角为直角，故△ABC是直角三角形。 (2)由(1)，若A=空则2A=,an2A无意义，故必有B=受 C=-A: 出m2A-号0：且2Ae0,故2Ae0,升从而 3 sn2A-告cos2A-目 计算目标式： sm(3A+cj-sin3A+受-A-sn2A+☒}cos2A=号 c02A+C+罗}os2A+号-A+罗}=cos(A+m)=-sA 故 原z式=cos2A+cosC·(-cosA)=cos2A-cos A cos A=cos2 A-sin Ac =3-sin2A=3-2=1 5 2555