3.3.2 抛物线的简单几何性质导学案-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

3.3.2 抛物线的简单几何性质 教学目标： 1. 依据抛物线的方程、图象研究抛物线的几何性质，能利用性质解决与抛物线有关的问题，培养数学抽象的核心素养. 2. 能利用方程与数形结合思想解决焦点弦问题，培养数学运算的核心素养． 3. 利用方程的思想研究直线与抛物线的交点问题，能解决弦长问题及中点弦问题，培养数学运算的核心素养． 4. 理解并推导抛物线相关结论应用与解析几何综合问题中，培养逻辑推理数学素养． 教学过程： 课程导入： 小小的灯泡光线向四周发散，但是把它放入手电筒调整位置，就能射出一束平行强光。为什么会产生奇妙的光学现象呢？秘密就在灯泡后方的反光镜，它是抛物线绕对称轴旋转形成的抛物面，利用抛物线光学性质：从焦点发出的光线，经抛物线反射，反射光线平行于抛物线的对称轴。还有卫星接收天线，其曲面与轴截面的交线为抛物线，在轴截面内的卫星波束呈近似平行状态射入形为抛物线的接收天线，经反射聚集到焦点处。 任务一 抛物线几何性质 探究1：类比研究椭圆范围的方法，观察抛物线，你可以发现抛物线上点的横坐标和纵坐标的范围分别是什么？抛物线有几条对称轴？是否有对称中心？ （1）观察得横坐标范围是，纵坐标的范围是. 由方程y2＝2px（p＞0）可知，对于抛物线上的点 当的值增大时，的值也增大，这说明抛物线向右上方和右下方 （2）观察得到开口向右的抛物线关于x轴对称，没有对称中心. 由方程y2＝2px（p＞0）可知，在抛物线上任取一点，它关于x轴的对称点 也在抛物线上，所以抛物线关于x轴对称. 思考：抛物线有离心率吗？ 定义：抛物线上的点M与焦点F的距离与它到准线的距离d之比，叫做抛物线离心率，由定义可知e=1. 【例1】边长为1的等边三角形AOB，O为坐标原点，AB⊥x轴，求以O为顶点且过A，B的抛物线方程. 练习1、 （1）已知A，B是抛物线y2＝2px（p＞0）上两点，O为坐标原点，若｜OA｜＝｜OB｜，且△AOB的垂心恰是此抛物线的焦点，求直线AB的方程. （2）已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为x轴，且与圆x2＋y2＝4相交的公共弦长等于2.求这个抛物线的方程. 任务二 焦点弦公式 探究2： 我们将抛物线上过焦点的直线与抛物线相交所得的弦叫做焦点弦.以y2＝2px（p＞0）为例，若弦端点分别为A（x1，y1），B（x2，y2），试分析弦长AB与坐标的关系. 由前一节焦半径公式可知，｜AB｜＝｜AF｜＋｜BF｜＝ 总结： (1)抛物线的焦点弦公式 标准 方程 y2＝2px （p＞0） y2＝－2px （p＞0） x2＝2py （p＞0） x2＝－2py （p＞0） 图形 焦点弦 x1＋x2＋p (2)当焦点弦垂直于对称轴时，其长度为2p，为最短焦点弦长，称为通径. 【例2】斜率为1的直线经过抛物线的焦点，且与抛物线相交于，两点，求线段AB的长． 练习2、已知直线 过抛物线 的焦点 ，与抛物线 交于 ， 两点，且线段 中点的横坐标为 ，求线段AB的长． 【例3】 （1）已知直线倾斜角为60°直线的l经过抛物线y2＝6x的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点，求｜AB｜的值 总结：焦点弦结论｜AB｜＝x1＋x2＋p＝ （2）过抛物线y2＝4x的焦点F的直线l与抛物线交于A，B两点，若｜AF｜＝2｜BF｜，求｜AB｜的值 总结：焦点弦结论＋＝. 练习3、已知抛物线的焦点为，准线与轴交于点，直线过且与交于两点，若直线的斜率为，求｜AB｜的值 总结：抛物线的焦点弦性质 如图，是抛物线过焦点的一条弦，设，，的中点，过点，，分别向抛物线的准线作垂线，垂足分别为点，， （1）几何性质 根据抛物线的定义有，，故 又因为是梯形的中位线，所以 所以以为直径的圆必与准线相切. （2）代数性质 设抛物线方程为y2＝2px，过焦点直线方程 联立抛物线与直线方程得k2x2－（pk2＋2p ）x＋＝0. 所以，两点的横坐标之积为定值，同理. 任务三 直线与抛物线相交问题 探究3：类比直线与椭圆、双曲线的位置关系，直线与抛物线有哪几种位置关系？我们能否用公共点的个数来判定直线与抛物线的位置关系呢？ 要解决直线与抛物线的位置关系问题，可把直线方程与抛物线方程联立 设直线l：y＝kx＋b，抛物线：y2＝2px（p＞0），将直线方程与抛物线方程联立消元y得k2x2＋（2kb－2p）x＋b2＝0. （1）若k2＝0，该直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合，直线与抛物线相交，有一个交点. 　　 （2）若k2≠0，当Δ＞0时，直线与抛物线相交，有 当Δ＝0时，直线与抛物线相切，有 当Δ＜0时，直线与抛物线相离， 【例4】　 （1） 若抛物线y2＝4x与直线y＝x－4相交于不同的两点A，B，求证：OA⊥OB. （2）求过定点P（0，1）且与抛物线y2＝2x只有一个公共点的直线方程. 探究4：我们前面学习过抛物线的焦点弦公式，那么抛物线的一般弦长怎么计算？ 同研究直线截椭圆或双曲线所得弦长的计算方法相同，设斜率为k（k≠0）的直线与抛物线相交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点 则有弦长公式：｜AB｜＝｜x1－x2｜或｜AB｜＝ （k≠0） 探究5：以y2＝2px（p＞0）为例，探讨中点弦问题是否可以用“点差法”？ 设弦端点A（x1，y1），B（x2，y2），中点M（x0，y0） 则A、B带入抛物线方程得：＝ ，＝ 相减后整理得＝ 即kAB＝. 【例5】已知抛物线y2＝6x，过点P（4，1）引一条弦，使它恰好被点P平分，求这条弦所在的直线方程. 练习5、已知抛物线C：x2＝2py（p＞0）的焦点到其准线的距离为2. ①求抛物线C的方程； ②设直线y＝kx＋1与抛物线C交于A，B两点，且A与B的横坐标之和为4，求k的值及｜AB｜. 3.3.2 抛物线的简单几何性质（答案） 教学目标： 1. 依据抛物线的方程、图象研究抛物线的几何性质，能利用性质解决与抛物线有关的问题，培养数学抽象的核心素养. 2. 能利用方程与数形结合思想解决焦点弦问题，培养数学运算的核心素养． 3. 利用方程的思想研究直线与抛物线的交点问题，能解决弦长问题及中点弦问题，培养数学运算的核心素养． 4. 理解并推导抛物线相关结论应用与解析几何综合问题中，培养逻辑推理数学素养． 教学过程： 课程导入： 小小的灯泡光线向四周发散，但是把它放入手电筒调整位置，就能射出一束平行强光。为什么会产生奇妙的光学现象呢？秘密就在灯泡后方的反光镜，它是抛物线绕对称轴旋转形成的抛物面，利用抛物线光学性质：从焦点发出的光线，经抛物线反射，反射光线平行于抛物线的对称轴。还有卫星接收天线，其曲面与轴截面的交线为抛物线，在轴截面内的卫星波束呈近似平行状态射入形为抛物线的接收天线，经反射聚集到焦点处。 任务一 抛物线几何性质 探究1：类比研究椭圆范围的方法，观察抛物线，你可以发现抛物线上点的横坐标和纵坐标的范围分别是什么？抛物线有几条对称轴？是否有对称中心？ （1）观察得横坐标范围是，纵坐标的范围是. 由方程y2＝2px（p＞0）可知，对于抛物线上的点 ，， 当的值增大时，的值也增大，这说明抛物线向右上方和右下方 无限延伸 （2）观察得到开口向右的抛物线关于x轴对称，没有对称中心. 由方程y2＝2px（p＞0）可知，在抛物线上任取一点，它关于x轴的对称点 也在抛物线上，所以抛物线关于x轴对称. 思考：抛物线有离心率吗？ 定义：抛物线上的点M与焦点F的距离与它到准线的距离d之比，叫做抛物线离心率，由定义可知e=1. 【例1】边长为1的等边三角形AOB，O为坐标原点，AB⊥x轴，求以O为顶点且过A，B的抛物线方程 解析：（1）设抛物线方程为y2＝ax（a≠0）. 取点A在x轴上方，则由题意可得A（±，）， 则有＝±a，解得a＝±， 所以抛物线方程为y2＝±x. 【练习1】（1）　已知A，B是抛物线y2＝2px（p＞0）上两点，O为坐标原点，若｜OA｜＝｜OB｜，且△AOB的垂心恰是此抛物线的焦点，求直线AB的方程. 解：设点A（x0，y0）（x0＞0）， 由题意可知点B（x0，－y0）， 连接AF，∵F（，0）是△AOB的垂心， ∴AF⊥OB，点F不在AB上， ∴kAF·kOB＝－1， 即·（－）＝－1. ∴＝x0（x0－）. 又∵＝2px0， ∴x0＝2p＋＝. ∴直线AB的方程为x＝. （2）已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为x轴，且与圆x2＋y2＝4相交的公共弦长等于2.求这个抛物线的方程. 解：由对称性可知抛物线与圆的交点关于x轴对称.设交点为A，B，连接AB，则AB⊥x轴，且｜yA｜＝｜yB｜＝. 所以＝3，代入圆的方程可得xA＝±1. 又依据题意可设抛物线方程为y2＝ax（a≠0）， 不妨设点A在x轴上方，将A（±1，）代入可得a＝±3. 故所求抛物线的方程为y2＝±3x. 任务二 焦点弦公式 探究2： 我们将抛物线上过焦点的直线与抛物线相交所得的弦叫做焦点弦.以y2＝2px（p＞0）为例，若弦端点分别为A（x1，y1），B（x2，y2），试分析弦长AB与坐标的关系. 由前一节焦半径公式可知，｜AB｜＝｜AF｜＋｜BF｜＝ （x1＋）＋（x2＋）＝x1＋x2＋p. 总结： (1)抛物线的焦点弦公式 标准 方程 y2＝2px （p＞0） y2＝－2px （p＞0） x2＝2py （p＞0） x2＝－2py （p＞0） 图形 焦点弦 x1＋x2＋p 　p－x1－x2　 　y1＋y2＋p　 p－y1－y2 (2)当焦点弦垂直于对称轴时，其长度为2p，为最短焦点弦长，称为通径. 【例2】斜率为1的直线经过抛物线的焦点，且与抛物线相交于，两点，求线段的长． 由题意，抛物线的焦点，准线为， 设，，则， 由已知得直线的方程为，联立得，所以，         所以. 练习2、已知直线 过抛物线 的焦点 ，与抛物线 交于 ， 两点，且线段 中点的横坐标为 ，求弦 的长 【分析】先求出焦点 坐标，设，利用中点坐标公式得，利用抛物线的定义即可求出弦长. 【详解】抛物线方程为 ，焦点坐标为 ，准线方程为 ， 设 ，由中点坐标公式得： ，因此 ， 根据抛物线的定义得， 故弦长. 【例3】 （1）已知直线倾斜角为60°直线的l经过抛物线y2＝6x的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点，求｜AB｜的值 解：因为直线l的倾斜角为60°， 所以其斜率k＝tan 60°＝， 又过点F（，0）， 所以直线l的方程为y＝（x－）. 联立 消去y并整理，得4x2－20x＋9＝0， 解得x1＝，x2＝， 故｜AB｜＝×＝2×4＝8. 总结：焦点弦结论｜AB｜＝x1＋x2＋p＝ （2）过抛物线y2＝4x的焦点F的直线l与抛物线交于A，B两点，若｜AF｜＝2｜BF｜，求｜AB｜的值 解析：因为｜AF｜＝2｜BF｜，＋＝＋＝＝＝1，所以｜BF｜＝，｜AF｜＝3，故｜AB｜＝｜AF｜＋｜BF｜＝. 总结：焦点弦结论＋＝. 练习3、已知抛物线的焦点为，准线与轴交于点，直线过且与交于两点，若直线的斜率为，求｜AB｜的值 【详解】如图作垂直于准线，垂足为，可知设，直线的斜率为得，，则，由勾股定理得：，即，化简得：，解得或， 当直线斜率存在时，设为，与抛物线联立消元得：，设交点，则， 而， 当直线斜率不存在时，， 综上，，由得，此时. 由得，此时. 总结：抛物线的焦点弦性质 如图，是抛物线过焦点的一条弦，设，，的中点，过点，，分别向抛物线的准线作垂线，垂足分别为点，， （1）几何性质 根据抛物线的定义有，，故 又因为是梯形的中位线，所以 所以以为直径的圆必与准线相切. （2）代数性质 设抛物线方程为y2＝2px，过焦点直线方程 联立抛物线与直线方程得k2x2－（pk2＋2p ）x＋＝0. 所以，两点的横坐标之积为定值，同理. 任务三 直线与抛物线相交问题 探究3：类比直线与椭圆、双曲线的位置关系，直线与抛物线有哪几种位置关系？我们能否用公共点的个数来判定直线与抛物线的位置关系呢？ 要解决直线与抛物线的位置关系问题，可把直线方程与抛物线方程联立 设直线l：y＝kx＋b，抛物线：y2＝2px（p＞0），将直线方程与抛物线方程联立消元y得k2x2＋（2kb－2p）x＋b2＝0. （1）若k2＝0，该直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合，直线与抛物线相交，有一个交点. 　　 （2）若k2≠0，当Δ＞0时，直线与抛物线相交，有 两个交点 当Δ＝0时，直线与抛物线相切，有 一个交点 当Δ＜0时，直线与抛物线相离， 没有交点 【例4】　 （2） 若抛物线y2＝4x与直线y＝x－4相交于不同的两点A，B，求证：OA⊥OB. 解：（1）证明：由消去y并整理，得x2－12x＋16＝0. ∵直线y＝x－4与抛物线相交于不同的两点A，B， ∴可设A（x1，y1），B（x2，y2）， 则有x1＋x2＝12，x1x2＝16. ∵＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋（x1－4）（x2－4）＝x1x2＋x1x2－4（x1＋x2）＋16＝16＋16－4×12＋16＝0， ∴⊥，即OA⊥OB. （2）求过定点P（0，1）且与抛物线y2＝2x只有一个公共点的直线方程. ①若直线的斜率存在，设为k，则过P的直线方程为y＝kx＋1. 由方程组消去y并整理， 得k2x2＋2（k－1）x＋1＝0. 当k＝0时，得x＝，y＝1. 故直线y＝1与抛物线相交，只有一个公共点. 当k≠0时，由于直线与抛物线只有一个公共点，则Δ＝4（k－1）2－4k2＝0， 得k＝，此时直线y＝x＋1与抛物线相切，只有一个公共点. ②若直线的斜率不存在，则过P（0，1）的直线方程为x＝0， 与抛物线相切，只有一个公共点. 综上所述，所求直线方程是x＝0或y＝1或y＝x＋1. 探究4：我们前面学习过抛物线的焦点弦公式，那么抛物线的一般弦长怎么计算？ 同研究直线截椭圆或双曲线所得弦长的计算方法相同，设斜率为k（k≠0）的直线与抛物线相交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点 则有弦长公式：｜AB｜＝｜x1－x2｜或｜AB｜＝ （k≠0） 探究5：以y2＝2px（p＞0）为例，探讨中点弦问题是否可以用“点差法”？ 设弦端点A（x1，y1），B（x2，y2），中点M（x0，y0） 则A、B带入抛物线方程得：＝ ，＝ 相减后整理得＝ 即kAB＝. 【例5】已知抛物线y2＝6x，过点P（4，1）引一条弦，使它恰好被点P平分，求这条弦所在的直线方程. 解：设弦的两个端点为P1（x1，y1），P2（x2，y2）（x1≠x2）. ∵P1，P2在抛物线上， ∴＝6x1，＝6x2. 两式相减，得（y1＋y2）（y1－y2）＝6（x1－x2）.① ∵y1＋y2＝2，代入①，得＝＝3. ∴直线的方程为y－1＝3（x－4）， 即3x－y－11＝0. 练习5、已知抛物线C：x2＝2py（p＞0）的焦点到其准线的距离为2. ①求抛物线C的方程； ②设直线y＝kx＋1与抛物线C交于A，B两点，且A与B的横坐标之和为4，求k的值及｜AB｜. 解：①∵抛物线C：x2＝2py（p＞0）的焦点到其准线的距离为2，∴＋＝p＝2，∴抛物线C的方程为x2＝4y. ②设A（x1，y1），B（x2，y2），则＝4y1，＝4y2， 两式相减得－＝4y1－4y2， 已知点A与点B的横坐标之和为4， ∴＝＝1，∴k＝＝1. 联立消去x，整理得y2－6y＋1＝0， ∴y1＋y2＝6. ∵直线y＝x＋1过抛物线C的焦点， ∴｜AB｜＝y1＋y2＋2＝8. 学科网（北京）股份有限公司 $