3.3.2 抛物线的简单几何性质（第2课时） （导学案） 数学人教A版 选择性必修第一册

该高中数学导学案聚焦抛物线几何性质第2课时，核心涵盖直线与抛物线位置关系判定、弦长及中点弦等问题，通过阅读教材回顾旧知，搭建从基础方程联立到综合应用的学习支架，衔接抛物线定义与性质的前后知识脉络。 资料以问题驱动设计例5多种证法探究、例6轨迹问题追问，结合生活抛物拱实例，配套高考模拟及分层练习题，培养学生数学思维（推理能力）与数学语言（模型意识），助力提升综合应用与创新意识。

3.3.2 抛物线的简单几何性质（第2课时）（导学案） （1）掌握抛物线的几何性质及其简单应用.（重点） （2）掌握抛物线中点弦、定点、定值、最值相关问题.（难点） （3）熟记一些常用的二级结论（培优） 教学重点：1.直线与抛物线位置关系的判定方法.2.解决弦长、中点弦等问题． 教学难点：抛物线性质的综合应用及数形结合思想、方程思想、转化思想在研究问题和解决问题中的应用． 阅读教材，完成以下问题： 知识点一　直线与抛物线的位置关系 直线y＝kx＋b与抛物线y2＝2px(p>0)的公共点的个数取决于关于x的方程组解的个数，即方程k2x2＋2(kb－p)x＋b2＝0解的个数． 当k≠0时，若Δ>0，则直线与抛物线有 个公共点；若Δ＝0，则直线与抛物线有 公共点(此时直线与抛物线相切)；若Δ<0，则直线与抛物线 公共点． 当k＝0时，直线与抛物线的轴 ，此时直线与抛物线有 公共点． [说明]　直线与抛物线公共点的个数等价于直线方程与抛物线方程联立得到的方程组解的个数．注意直线斜率不存在和得到的方程二次项系数为0的情况． 知识点二　一般弦长 设斜率为k的直线l与抛物线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点， 则|AB|＝|x1－x2|＝ 或|AB|＝|y1－y2|＝ (k≠0)． 例5 经过抛物线焦点F的直线交抛物线于A，B两点，经过点A和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点D，求证：直线DB平行于抛物线的对称轴． 思考：你还有其他证明方法吗？ 证法二：以抛物线的对称轴为轴，抛物线的顶点为原点， 建立平面直角坐标系．设抛物线的方程为，， 设直线的方程为，将其代入，得 ，， 设，，则，， 过作垂直于抛物线的准线，垂足为，则， 则，，， 即三点共线，所以与重合， 从而直线平行于抛物线的对称轴． 结论： 例6如图3.3-6，已知定点，轴于点，是线段上任意一点，轴于点 ，于点，与相交于点，求点的轨迹方程． 追问：问题2中，若设点关于轴的对称点为，求点的轨迹方程，其轨迹是什么？你能在生活中找到实际例子吗？ 学生：相互讨论并思考得出答案： 轨迹方程为,其轨迹为抛物线的一部分，即为抛物拱，生活中的拱桥、卫星接受天线等都是抛物拱，抛出的铅球在空中划过的轨迹也是抛物拱的一部分. 1.（26-27高三·全国·一轮复习）已知抛物线：与圆：（）交于，两点，且，则_______. 2.（2026·山西忻州·模拟预测）已知抛物线：的焦点为，准线与轴交于点．过的直线交于，两点，若点在以为直径的圆上，则__________． 3.（25-26高二下·广东惠州·期末）设抛物线：，不经过焦点的直线与抛物线交于，两点，与轴交于点，已知点的坐标为，且与的面积之比是，则为（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 4.（25-26高二下·湖南·期末）已知抛物线，点，点P在C上，的最小值是，则a的取值范围是（     ） A． B． C． D． 5.（25-26高二下·广东潮州·期末）（多选题）抛物线的焦点为，直线过点且与抛物线交于，两点，点在第一象限，则（     ） A．抛物线的焦点到准线的距离为4 B．若点的坐标为，则周长的最小值为9 C．当时， D．当变化时，的最小值为8 1．本节课核心知识（结合课堂知识总结）：_________________________________________________ 2．今日错题 / 不懂的内容：_______________________________________________________________ 3．出错 / 听不懂的原因：□概念不会 □审题马虎 □思路没掌握 4．我的改进小计划： _________________________________________________________________________________________ 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.3.2 抛物线的简单几何性质（第2课时）（导学案） （1）掌握抛物线的几何性质及其简单应用.（重点） （2）掌握抛物线中点弦、定点、定值、最值相关问题.（难点） （3）熟记一些常用的二级结论（培优） 教学重点：1.直线与抛物线位置关系的判定方法.2.解决弦长、中点弦等问题． 教学难点：抛物线性质的综合应用及数形结合思想、方程思想、转化思想在研究问题和解决问题中的应用． 阅读教材，完成以下问题： 知识点一　直线与抛物线的位置关系 直线y＝kx＋b与抛物线y2＝2px(p>0)的公共点的个数取决于关于x的方程组解的个数，即方程k2x2＋2(kb－p)x＋b2＝0解的个数． 当k≠0时，若Δ>0，则直线与抛物线有两个公共点；若Δ＝0，则直线与抛物线有一个公共点(此时直线与抛物线相切)；若Δ<0，则直线与抛物线没有公共点． 当k＝0时，直线与抛物线的轴平行或重合，此时直线与抛物线有一个公共点． [说明]　直线与抛物线公共点的个数等价于直线方程与抛物线方程联立得到的方程组解的个数．注意直线斜率不存在和得到的方程二次项系数为0的情况． 知识点二　一般弦长 设斜率为k的直线l与抛物线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则|AB|＝|x1－x2|＝或|AB|＝|y1－y2|＝__(k≠0)． 例5 经过抛物线焦点F的直线交抛物线于A，B两点，经过点A和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点D，求证：直线DB平行于抛物线的对称轴． 教师：如果使用坐标法来证明这个结论，怎么转化这个问题？ 学生：只要证明证明点的纵坐标和点的纵坐标相等即可. 教师：、两点的坐标与问题中的哪些几何量有关？ 学生：、两点的坐标与点的坐标和直线有关， 分析：我们用坐标法证明这个结论，即通过建立抛物线及直线的方程，运用方程研究直线DB与抛物线对称轴之间的位置关系．建立如图3.3-5所示的直角坐标系，只要证明点D的纵坐标与点B的纵坐标相等即可． 预设：证明：如图3.3-5，以抛物线的对称轴为轴， 抛物线的顶点为原点，建立平面直角坐标系． 设抛物线的方程为 ① 点的坐标为，则直线的方程为 ② 抛物线的准线方程是． ③ 联立②③，可得点的纵坐标为． 因为焦点的坐标是， 当时，直线的方程为 ④ 联立①④，消去，可得，即． 可得点的纵坐标为，与点的纵坐标相等，于是平行于轴． 当时，易知结论成立． 所以，直线平行于抛物线的对称轴． 思考：你还有其他证明方法吗？ 学生：思考并讨论，得出答案： 由于点、的坐标还和直线有关，我们还可以先设直线的方程. 证法二：以抛物线的对称轴为轴，抛物线的顶点为原点， 建立平面直角坐标系．设抛物线的方程为，， 设直线的方程为，将其代入，得 ，， 设，，则，， 过作垂直于抛物线的准线，垂足为，则， 则，，， 即三点共线，所以与重合， 从而直线平行于抛物线的对称轴． 结论： 例6如图3.3-6，已知定点，轴于点，是线段上任意一点，轴于点 ，于点，与相交于点，求点的轨迹方程． 学生：思考并与同桌交流，共同得出答案，做好分享准备. 预设：设点，，其中，则点的坐标为． 由题意，直线的方程为 ① 因为点在上，将点的坐标代入①，得 ， ② 所以点的横坐标满足②． 直线的方程为 ③ 因为点在上，所以点的坐标满足③． 将②代入③，消去，得，即点的轨迹方程． 追问：问题2中，若设点关于轴的对称点为，求点的轨迹方程，其轨迹是什么？你能在生活中找到实际例子吗？ 学生：相互讨论并思考得出答案： 轨迹方程为,其轨迹为抛物线的一部分，即为抛物拱，生活中的拱桥、卫星接受天线等都是抛物拱，抛出的铅球在空中划过的轨迹也是抛物拱的一部分. 1.（26-27高三·全国·一轮复习）已知抛物线：与圆：（）交于，两点，且，则_______. 【答案】 【知识点】圆的对称性的应用、抛物线的对称性的应用 【分析】利用抛物线与圆的对称性，得出即可求解. 【详解】设，（）， 由，得，所以. 因为在圆上，所以，得， 2.（2026·山西忻州·模拟预测）已知抛物线：的焦点为，准线与轴交于点．过的直线交于，两点，若点在以为直径的圆上，则__________． 【答案】4 【知识点】求直线与抛物线相交所得弦的弦长、与抛物线焦点弦有关的几何性质 【详解】抛物线 是标准抛物线，，得 ，因此焦点 ，准线 ，准线与轴交点 ， 设过的直线为 ，， 联立直线与抛物线方程： ，， 由韦达定理得：，， 因为在以为直径的圆上，故 ，即 ，， 代入得： ，将 代入化简， 结合韦达定理得，即 ，即 ， 当 时，直线为，代入抛物线得， 故 ，（也可由抛物线焦点弦公式 ）. 3.（25-26高二下·广东惠州·期末）设抛物线：，不经过焦点的直线与抛物线交于，两点，与轴交于点，已知点的坐标为，且与的面积之比是，则为（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【知识点】抛物线中的三角形或四边形面积问题 【分析】作出图形，结合图形得出求出的值，即可求出的值. 【详解】由题知点在抛物线上，故，即. 所以抛物线的方程为，焦点为，准线方程为， 如图，，， 所以， 又由点知，故， 所以. 4.（25-26高二下·湖南·期末）已知抛物线，点，点P在C上，的最小值是，则a的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】抛物线中的参数范围问题、抛物线的范围 【分析】设出，利用，可得，由此可求解范围． 【详解】设点的坐标为， 因为的最小值是，所以， 所以，整理得，， 因为，所以， 所以，又， 所以． 5.（25-26高二下·广东潮州·期末）（多选题）抛物线的焦点为，直线过点且与抛物线交于，两点，点在第一象限，则（     ） A．抛物线的焦点到准线的距离为4 B．若点的坐标为，则周长的最小值为9 C．当时， D．当变化时，的最小值为8 【答案】ABC 【知识点】抛物线定义的理解、抛物线上的点到定点和焦点距离的和、差最值、求直线与抛物线相交所得弦的弦长、与抛物线焦点弦有关的几何性质 【分析】求出焦点坐标判断A；利用抛物线定义，结合两点间线段最短求解判断B；利用抛物线定义求出倾斜角判断C；联立直线与抛物线方程，利用韦达定理及抛物线定义求出弦长关系判断D. 【详解】对于A，由直线与轴的交点为，得焦点，准线方程为， 因此抛物线的焦点到准线的距离，A正确； 对于B，由点，，过点作准线的垂线，垂足为， 则周长为， 当且仅当共线时取等号，B正确； 对于C，设直线与抛物线的准线交于点，过点作准线的垂线，垂足为， 设，则，由，即， 得，则，因此直线的倾斜角为，斜率，C正确； 对于D，由消去得，设， 显然，，，，D错误. 1．本节课核心知识（结合课堂知识总结）：_________________________________________________ 2．今日错题 / 不懂的内容：_______________________________________________________________ 3．出错 / 听不懂的原因：□概念不会 □审题马虎 □思路没掌握 4．我的改进小计划： _________________________________________________________________________________________ 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $