3.3.2 抛物线的简单几何性质（第1课时）（导学案） 数学人教A版 选择性必修第一册

该高中数学导学案聚焦抛物线的简单几何性质，涵盖标准方程、图形、焦点、准线等核心内容及焦半径、焦点弦等拓展知识。课堂通过类比椭圆范围、对称性、顶点的研究方法，引导学生从数与形结合角度探究，搭建前后知识联系的学习支架。 导学案突出数学抽象与数学运算核心素养，采用类比迁移方法帮助学生构建知识体系，例题（待定系数法、焦点弦长）与分层习题（高考模拟题、一轮复习题）结合，培养方程思想与数形结合能力，助力学生自主学习与教师教学评估。

3.3.2 抛物线的简单几何性质（第1课时） （导学案） （1）了解抛物线的简单几何性质,培养数学抽象的核心素养. （2）能利用性质解决与抛物线有关的问题． （3）能利用方程与数形结合思想解决焦点弦问题,培养数学运算的核心素养． 教学重点：根据抛物线的方程、图象研究抛物线的几何性质． 教学难点：抛物线几何性质的应用． 阅读教材，完成以下问题： 知识点　　抛物线的简单几何性质 标准方程 y2＝2px(p>0) y2＝－2px (p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0) 图形 性质 焦点 准线方程 范围 x≥0，y∈R 对称轴 顶点 离心率 开口方向 [拓展]　 1．焦半径与焦点弦 抛物线上一点与焦点F的连线的线段叫做焦半径，过焦点的直线与抛物线相交所得弦叫做焦点弦． 2．通径 通过抛物线的焦点且垂直于对称轴交抛物线于A，B两点的线段AB，称为抛物线的通径，如图所示．对于抛物线y2＝2px(p>0)，由A，B，可得|AB|＝2p，故抛物线的通径长为2p. 类比：类比研究椭圆范围的方法，观察抛物线，你可以发现抛物线上点的横坐标和纵坐标的范围分别是什么？ 预设：范围是，纵坐标的范围是. 因为，由方程①可知，对于抛物线上的点，，， 当时，抛物线在轴的右侧，开口方向与轴的正方向相同； 当的值增大时，的值也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸． 思考：从数的角度，也就是从抛物线方程的角度，怎样得到抛物线中横纵坐标的取值范围呢？ 预设：在方程中，并无限制，因此.而因为，且，所以. 教师：归纳总结，得出抛物线的第一个几何性质：范围，并完成以下表格： 图形 标准方程 横坐标范围 横坐标范围 _________ ________ __________ ________ _________ ________ __________ ________ 类比：类比研究椭圆对称性的方法，得到什么结论？ 思考：观察图形，抛物线有几条对称轴？是否有对称中心？ 思考：从“数”的角度，怎样说明抛物线图像关于x轴对称？ 教师：要说明抛物线的图像关于x轴对称，只需要在抛物线上任取一点，关于x轴的对称点也在抛物线上即可. 教师：归纳总结，得出抛物线的第二个几何性质：对称性：双抛物线关于轴对称．并完成下列表格： 图形 标准方程 焦点位置 抛物线的轴 _________ ________ __________ ________ _________ ________ __________ ________ 类比：类比求椭圆顶点的方法，尝试求抛物线的顶点. 教师：归纳总结，得出抛物线的第三个几何性质：顶点，并完成表格： 图形 标准方程 求定点坐标 顶点坐标 令___=0，___=0 令___=0，___=0 令___=0，___=0 令___=0，___=0 例 3 已知抛物线关于轴对称，它的顶点在原点，并且经过点，求它的标准方程． 学生：思考并与同桌交流，共同得出答案，做好分享准备. 方法总结：待定系数法求抛物线标准方程的五个步骤 一定焦点：确定抛物线焦点的位置； 二设方程：设出抛物线的标准方程； 三列方程：根据题意建立关于参数p的方程； 四解方程：解方程求参数p的值； 五下结论：写出所求抛物线标准方程. 思考：结合例题3和跟踪训练，思考以下问题：顶点在原点，对称轴是坐标轴，并且经过点的抛物线有几条？求出这些抛物线的标准方程． 例4 斜率为1的直线经过抛物线的焦点，且与抛物线相交于，两点，求线段的长． 师生：方法总结：抛物线的焦点弦长公式： 图形 标准方程 焦点弦长公式 思考：如果直线不经过焦点，还等于吗？ 1.（2024·山东聊城·二模）点在抛物线上，若点到点的距离为6，则点到轴的距离为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 2.（2026·陕西西安·模拟预测）已知直线 过抛物线 的焦点 ，与抛物线 交于 ， 两点，且线段 中点的横坐标为 ，则弦 的长为（    ） A． B．2 C． D．3 3.（26-27高三上·北京海淀·开学考试）已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于两点，若两点的横坐标之和为6，则（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 4.（26-27高三·全国·一轮复习）已知为抛物线上一点，直线与抛物线交于，两点，点不在直线上，且直线与的倾斜角互补，则直线的斜率为________. 5.（2026高三·全国·专题练习）过点作直线与抛物线只有一个公共点，这样的直线有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 1．本节课核心知识（结合课堂知识总结）：_________________________________________________ 2．今日错题 / 不懂的内容：_______________________________________________________________ 3．出错 / 听不懂的原因：□概念不会 □审题马虎 □思路没掌握 4．我的改进小计划： _________________________________________________________________________________________ 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.3.2 抛物线的简单几何性质（第1课时） （导学案） （1）了解抛物线的简单几何性质,培养数学抽象的核心素养. （2）能利用性质解决与抛物线有关的问题． （3）能利用方程与数形结合思想解决焦点弦问题,培养数学运算的核心素养． 教学重点：根据抛物线的方程、图象研究抛物线的几何性质． 教学难点：抛物线几何性质的应用． 阅读教材，完成以下问题： 知识点　　抛物线的简单几何性质 标准方程 y2＝2px(p>0) y2＝－2px (p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0) 图形 性质 焦点 F F F F 准线方程 x＝－ x＝ y＝－ y＝ 范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R 对称轴 x轴 y轴 顶点 O(0，0) 离心率 e＝1 开口方向 向右 向左 向上 向下 [拓展]　 1．焦半径与焦点弦 抛物线上一点与焦点F的连线的线段叫做焦半径，过焦点的直线与抛物线相交所得弦叫做焦点弦． 2．通径 通过抛物线的焦点且垂直于对称轴交抛物线于A，B两点的线段AB，称为抛物线的通径，如图所示．对于抛物线y2＝2px(p>0)，由A，B，可得|AB|＝2p，故抛物线的通径长为2p. 类比：类比研究椭圆范围的方法，观察抛物线，你可以发现抛物线上点的横坐标和纵坐标的范围分别是什么？ 学生：尝试着观察抛物线的图，以及类比椭圆的探究方法，与同桌讨论分析，得出答案. 预设：范围是，纵坐标的范围是. 因为，由方程①可知，对于抛物线上的点，，， 当时，抛物线在轴的右侧，开口方向与轴的正方向相同； 当的值增大时，的值也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸． 思考：从数的角度，也就是从抛物线方程的角度，怎样得到抛物线中横纵坐标的取值范围呢？ 预设：在方程中，并无限制，因此.而因为，且，所以. 设计意图：让学生从“数”和“形”两个角度探索抛物线的范围. 教师：归纳总结，得出抛物线的第一个几何性质：范围，并完成以下表格： 图形 标准方程 横坐标范围 横坐标范围 _________ ________ __________ ________ _________ ________ __________ ________ 类比：类比研究椭圆对称性的方法，得到什么结论？ 思考：观察图形，抛物线有几条对称轴？是否有对称中心？ 思考：从“数”的角度，怎样说明抛物线图像关于x轴对称？ 教师：要说明抛物线的图像关于x轴对称，只需要在抛物线上任取一点，关于x轴的对称点也在抛物线上即可. 教师：归纳总结，得出抛物线的第二个几何性质：对称性：双抛物线关于轴对称．并完成下列表格： 图形 标准方程 焦点位置 抛物线的轴 _________ ________ __________ ________ _________ ________ __________ ________ 类比：类比求椭圆顶点的方法，尝试求抛物线的顶点. 教师：归纳总结，得出抛物线的第三个几何性质：顶点，并完成表格： 图形 标准方程 求定点坐标 顶点坐标 令___=0，___=0 令___=0，___=0 令___=0，___=0 令___=0，___=0 例 3 已知抛物线关于轴对称，它的顶点在原点，并且经过点，求它的标准方程． 学生：思考并与同桌交流，共同得出答案，做好分享准备. 方法总结：待定系数法求抛物线标准方程的五个步骤 一定焦点：确定抛物线焦点的位置； 二设方程：设出抛物线的标准方程； 三列方程：根据题意建立关于参数p的方程； 四解方程：解方程求参数p的值； 五下结论：写出所求抛物线标准方程. 思考：结合例题3和跟踪训练，思考以下问题：顶点在原点，对称轴是坐标轴，并且经过点的抛物线有几条？求出这些抛物线的标准方程． 例4 斜率为1的直线经过抛物线的焦点，且与抛物线相交于，两点，求线段的长． 师生：方法总结：抛物线的焦点弦长公式： 图形 标准方程 焦点弦长公式 思考：如果直线不经过焦点，还等于吗？ 1.（2024·山东聊城·二模）点在抛物线上，若点到点的距离为6，则点到轴的距离为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【知识点】抛物线定义的理解、根据抛物线方程求焦点或准线、判断抛物线的开口方向 【分析】由抛物线的定义知，点到焦点的距离等于点到准线的距离，结合点和准线的位置，求点到轴的距离. 【详解】抛物线开口向右，准线方程为， 点到焦点的距离为6，则点到准线的距离为6， 点在y轴右边，所以点到y轴的距离为4． 故选：A． 2.（2026·陕西西安·模拟预测）已知直线 过抛物线 的焦点 ，与抛物线 交于 ， 两点，且线段 中点的横坐标为 ，则弦 的长为（    ） A． B．2 C． D．3 【答案】B 【知识点】求直线与抛物线相交所得弦的弦长、与抛物线焦点弦有关的几何性质 【分析】先求出焦点 坐标，设，利用中点坐标公式得，利用抛物线的定义即可求出弦长. 【详解】抛物线方程为 ，焦点坐标为 ，准线方程为 ， 设 ，由中点坐标公式得： ，因此 ， 根据抛物线的定义得， 故弦长. 3.（26-27高三上·北京海淀·开学考试）已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于两点，若两点的横坐标之和为6，则（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【知识点】抛物线的焦半径公式、求直线与抛物线相交所得弦的弦长 【详解】设点，由题意可得. 所以. 4.（26-27高三·全国·一轮复习）已知为抛物线上一点，直线与抛物线交于，两点，点不在直线上，且直线与的倾斜角互补，则直线的斜率为________. 【答案】 【知识点】已知两点求斜率、根据抛物线上的点求标准方程、直线与抛物线交点相关问题 【分析】将点代入抛物线方程得，则抛物线方程为，根据直线与的倾斜角互补得，化简得，利用两点间斜率求得，即可得解. 【详解】因为是抛物线上一点，所以，得， 所以抛物线方程为，设，的坐标分别为，， 易知直线、直线、直线的斜率存在， 则，， 由题意，可得， 所以， 所以直线的斜率为定值. 5.（2026高三·全国·专题练习）过点作直线与抛物线只有一个公共点，这样的直线有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】B 【知识点】判断直线与抛物线的位置关系、直线与抛物线交点相关问题 【分析】先判断点与抛物线的位置，再分类讨论直线的情况. 【详解】将代入，解得，因此点在抛物线上， 当直线与抛物线相切时，即过点抛物线的切线； 当直线与抛物线的对称轴平行时，此直线与抛物线也只有一个公共点， 又因过点，所以这条直线为； 综上过点作直线与抛物线只有一个公共点，这样的直线有2条. 1．本节课核心知识（结合课堂知识总结）：_________________________________________________ 2．今日错题 / 不懂的内容：_______________________________________________________________ 3．出错 / 听不懂的原因：□概念不会 □审题马虎 □思路没掌握 4．我的改进小计划： _________________________________________________________________________________________ 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $