专题10 三线合一作辅助线的压轴题综合计算（重难点培优讲义）2026-2027学年人教版八年级数学上册

专题10 三线合一作辅助线的压轴题综合计算 资料板块目录表 知识梳理 针对训练 题型01 底边有中点时，作底边的中线 题型02 底边没中点时，作底边的高线 题型03 作腰或底边的平行线 题型04 补形法 题型05 倍长中线法 题型06 截长补短法 A组 基础巩固 B组 拔高提升 C组 思维拓展 必备知识 知识点一：等腰三角形中底边有中点时，连中线 模型解析：等腰三角形中底边有中点，连中线 直接用“三线合一”，①AB=AC;②AD⊥BC;③BD=DC;④∠1=∠2.知2推2原则。 连中线用“三线合一”，若AB=AC,BD=CD.则AD⊥BC，∠1=∠2. 【针对训练】 例1．如图，已知中，，，直角的顶点P是中点，两边、分别交、的延长线于点E、F．求证：； 【答案】见详解 【分析】本题考查了三角形全等的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，中线的性质，掌握以上知识是解题的关键． 先证明，得，再由已知条件即可求证； 【详解】证明：如图，连接， ，点P是中点， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中： ， ， ， ， ， 即． 【变式1-1】如图，在中，，过的中点作，，垂足分别为、． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)110度 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，角平分线的性质，三角形的内角和，熟练掌握等腰三角形“三线合一”，“等边对等角”，角平分线上的点到两端距离相等，以及三角形的内角和是180度，是解题的关键． （1）连接，根据“三线合一”得出平分，再根据角平分线的性质定理，即可求证； （2）先根据直角三角形两个锐角互余得出，再根据“等边对等角”得出，最后根据三角形的内角和定理，即可求解． 【详解】（1）证明：连接， ，D是的中点， 平分， ，， ． （2）解：， ， ， ， ， ， ． 知识点二：等腰三角形中底边无中点时，作高 1.三线合一性质核心应用：等腰三角形顶角的平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合。即使底边无中点，作底边的高后，高同时成为底边中线，可将等腰三角形分成两个全等直角三角形，利用直角三角形性质（如勾股定理）求解边长、角度等。 2.辅助线与转化思想：作高是关键辅助线，将等腰三角形转化为直角三角形，把非中点条件转化为中点条件，结合全等三角形判定（HL）和直角三角形边角关系，实现未知量向已知量的转化，体现几何中化归的重要思想。 【针对训练】 例2．在中，点是边上的两点．    (1)如图1，若，．求证：； (2)如图2，若，，设，． ①猜想与的数量关系，并说明理由； ②在①的条件下，，请直接写出的度数． 【答案】(1)见解析 (2)①；② 【分析】（1）过A作于F，根据三线合一得到，，利用线段的和差可得结果； （2）①根据等边对等角和三角形内角和求出，再根据，整理可得结果；②根据等边对等角和三角形内角和求出，再根据，代入化简可得结果． 【详解】（1）解：如图，过A作于F， ∵，， ∴，， ∴，即；    （2）①猜想：，理由是： ∵，， ∴， ∵，， ∴，即， 整理得：； ②∵， ∴， ∵， ∴ ． 【点睛】本题考查了等腰三角形三线合一的性质，等边对等角，三角形内角和，角的和差计算，解题的关键是利用这些性质找出角的关系． 【变式2-1】已知在中，，且，作等腰，使得．    (1)如图1，若与互余，则___________；（用含的代数式表示） (2)如图2，若与互补，过点C作于点H，求证：； (3)若与的面积相等，请直接写出的度数．（用含的式子表示） 【答案】(1) (2)见解析 (3)或 【分析】（1）根据与互余得 ，根据等腰三角形两底角相等得，即可求出的度数； （2）作，根据AAS证明，则，由等腰三角形三线合一可得，因此，问题得证； （3）由与的面积相等得高相等.情况①：作于，于,根据可得，则可得；情况②:是钝角三角形，作于，作垂直于的延长线于，根据可得，则可得，由于与互补，因此与互补，即可得出结果． 【详解】（1）解：中，，且=, ，， ， ， ，          ； 故答案为：； （2）证明：如图，过A点作于E点，   中，，， ， 中，， ， ， ,=， ，         ，   ，   ， ． 在和中， ， ∴，     ∴，     ∴； （3）解：①如图，作于，于，    ∵与的面积相等， ∴， 又∵ ， ∴， ∴， 即， ， ； ②如图，作于，作垂直于的延长线于，    则， ∵，， ∴， ∵与的面积相等， ∴， ∴， ∴， ， ∴， ， ， 综上，或． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，同底等高的两个三角形面积相等，.熟练掌握以上知识是解题的关键． 典例精析 题型一：底边有中点时，作底边的中线 【例1】如图，在△ABC中，∠B＝∠C，M为BC的中点，MD⊥AB于点D，ME⊥AC于点E．求证：MD＝ME． 【答案】见解答 【解答】证明：连接AM， ∵∠B＝∠C（已知）， ⸫AB＝AC（等角对等边）， ∵M为BC的中点， ⸫根据等腰三角形的性质，AM平分∠BAC， ∵MD⊥AB，ME⊥AC， ⸫MD＝ME． 【变式训练】如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，D为BC的中点．点E在AB上，∠AED＝69°，点P是等腰三角形ABC的腰AC上的一点，△EDP是以DE为腰的等腰三角形． （1）在AC上做出点P，将图形补充完整； （2）求∠APD的度数． 【答案】（1）见解析； （2）69°或111°． 【解答】解：（1）如图，点P1、P2即为所求作； （2）连接AD，过D作DG⊥AB于G，DH⊥AC于H， 由条件可知：AD平分∠BAC， ∴DG＝DH， 若DE＝DP1，且DG＝DH， ∴Rt△DGE≌Rt△DHP1（HL）， ∴∠GED＝∠HP1D， ∴∠AP1D＝69°； 若DE＝DP2，且DG＝DH， ∴Rt△DGE≌Rt△DHP2（HL）， ∴∠HP2D＝∠GED＝69°， ∴∠AP2D＝111° ∴∠APD的度数为69°或111°． 题型二：底边没中点时，作底边的高线 【例2】如图，点D、E在△ABC的边BC上，AD＝AE，BD＝CE，求证：AB＝AC． 【答案】见试题解答内容 【解答】证明：过点A作AF⊥BC于点F， ∵AD＝AE， ∴DF＝EF， ∵BD＝CE， ∴BF＝CF， ∴AB＝AC． 【变式训练】如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，点E为AD上一点，连接BD，CE交于点F，CE∥AB． （1）若△ABD为等边三角形，请判断△DEF的形状，并说明理由； （2）若AD＝12，CE＝9，求CF的长． 【答案】（1）△DEF是等边三角形，理由见解答；（2）6． 【解答】解：（1）△DEF是等边三角形，理由如下： ∵△ABD为等边三角形， ∴∠ADB＝60°，∠ABD＝60°， ∵CE∥AB， ∴∠DEF＝∠A＝60°，∠EFD＝∠ABD＝60°， ∴△DEF是等边三角形； （2）连接AC交BD于点O，如图， ∵AB＝AD，CB＝CD， ∴AC垂直平分BD， ∴AO⊥BD， ∴∠BAO＝∠DAO＝30°， ∵CE∥AB， ∴∠ACE＝∠BAO＝∠DAO， ∴AE＝CE＝9， ∴DE＝AD﹣AE＝12﹣9＝3， ∵△DEF是等腰三角形， ∴EF＝DE＝3， ∴CF＝CE﹣EF＝6． 题型三：作腰或底边的平行线 【例3】如图，过边长为4的等边三角形的边AB上一点P，作PE⊥AC于点E，Q为BC延长线上一点，当PA＝CQ时，连接PQ交边AC于点D． （1）求证：D为PQ中点； （2）DE的长为 　2　 ． 【答案】（1）答案见解答过程； （2）2． 【解答】（1）证明：过点P作PF∥BC，交AC于F，如图所示： ∵△ABC为等边三角形且边长且为4， ∴AC＝4，∠A＝∠B＝60°， ∵PF∥BC， ∴∠APF＝∠B＝60°，∠DPF＝∠Q， ∴△APF为等边三角形， ∴PA＝PF， ∵PA＝CQ， ∴PF＝CQ， 在△DPF和△DQC中， ， ∴△DPF≌△DQC（AAS）， ∴PD＝QD， 即点D为PQ中点； （2）解：由（1）可知：△DPF≌△DQC，△APF为等边三角形， ∴DF＝DC， ∵△APF为等边三角形，PE⊥AC， ∴AE＝FE， ∴DE＝DF+EF＝CD+AEAC＝2． 故答案为：2． 【变式训练】在等边三角形ABC中，点E在AB边上，点D在CB的延长线上，且DE＝EC． （1）如图1，当E为AB中点时，求证：CB＝2BD； （2）如图2，若AB＝12，AE＝2，求CD的长． 【答案】（1）证明见解答； （2）14． 【解答】解：（1）∵△ABC为等边三角形， ∴∠ABC＝∠A＝∠ACB＝60°， ∵EB＝AE， ∴CE⊥AB，CE是∠ACB的角平分线， ∴∠BEC＝90°，∠BCE＝30°， ∴2EB＝BC， ∵ED＝EC， ∴∠EDC＝∠ECD＝30°， ∴∠DEB＝60°﹣30°＝30°， ∴BD＝BE， ∴2BD＝BC； （2）如图2，过点E作EF∥BC，交AC于点F， ∵△ABC为等边三角形， ∴∠AFE＝∠ACB＝∠ABC＝60°，△AEF为等边三角形， ∴∠EFC＝∠EBD＝120°，EF＝AE， ∵ED＝EC， ∴∠EDB＝∠ECB，∠ECB＝∠FEC， ∴∠EDB＝∠FEC， 在△BDE和△FEC中， ， ∴△BDE≌△FEC（AAS）， ∴BD＝EF， ∴AE＝BD， ∴CD＝BC+BD＝12+2＝14． 题型四：补形法 【例4】已知，△ABC为等边三角形，点D为AC上的一个动点，点E为BC延长线上一点，且BD＝DE． （1）如图1，若点D在边AC上，猜想线段AD与CE之间的关系，并说明理由； （2）如图2，若点D在AC的延长线上，（1）中的结论是否成立，请说明理由． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）AD＝CE， 证明：如图1，过点D作DP∥BC，交AB于点P， ∵△ABC是等边三角形， ∴△APD也是等边三角形， ∴AP＝PD＝AD，∠APD＝∠ABC＝∠ACB＝∠PDC＝60°， ∵DB＝DE， ∴∠DBC＝∠DEC， ∵DP∥BC， ∴∠PDB＝∠CBD， ∴∠PDB＝∠DEC， 又∠BPD＝∠A+∠ADP＝120°，∠DCE＝∠A+∠ABC＝120°， 即∠BPD＝∠DCE， 在△BPD和△DCE中，∠PDB＝∠DEC，∠BPD＝∠DCE，DB＝DE， ∴△BPD≌△DCE， ∴PD＝CE， ∴AD＝CE； （2）如图3，过点D作DP∥BC，交AB的延长线于点P， ∵△ABC是等边三角形， ∴△APD也是等边三角形， ∴AP＝PD＝AD，∠APD＝∠ABC＝∠ACB＝∠PDA＝60°， ∵DB＝DE， ∴∠DBC＝∠DEC， ∵DP∥BC， ∴∠PDB＝∠CBD， ∴∠PDB＝∠DEC， 在△BPD和△DCE中，， ∴△BPD≌△DCE， ∴PD＝CE， ∴AD＝CE． 【变式训练】已知等边△ABC，P在射线BA上，（n≠1）． （1）如图1，当n＝2时，过点P作PF⊥BC于F，交AC于点E．求证：AE＝EC； （2）如图2，点D在BC的延长线上，BC＝CD，PC＝PD，求n的值； 【答案】见试题解答内容 【解答】（1）证明：∵△ABC是等边三角形， ∴∠B＝∠BAC＝∠C＝60°， ∵PF⊥BC， ∴∠P＝30°， ∴∠AEP＝∠BAC﹣∠P＝30°， ∴∠P＝∠AEP， ∴AP＝AE， ∵n＝2， ∴AB＝2AP，而AB＝AC， ∴AC＝2AE， ∴AE＝EC． （2）证明：如图2，过P作PM∥AC交BC的延长线于M． ∵△ABC是等边三角形， ∴∠B＝∠BAC＝∠ACB＝60°， ∴∠M＝∠ACB＝60°，∠APM＝∠BAC＝60°， ∴△BPM是等边三角形， ∴PB＝PM， ∵PC＝PD， ∴∠PCD＝∠PDC， ∴∠PCB＝∠PDM， 在△PBC和△PMD中， ， ∴△PBC≌△PMD （AAS）， ∴BC＝DM， ∵BC＝CD， ∴BC＝CD＝DMBM， 又∵BC＝BA，BM＝BP， ∴BP＝3BA， ∴AP＝2AB， ∴n； 题型五：倍长中线法 【例5】已知三角形的中线，通常把中线延长一倍，构造全等三角形．如图，△ABC中，AD是中线，AD也是角平分线，求证：△ABC是等腰三角形． 【答案】见试题解答内容 【解答】证明：延长AD到E，使DE＝AD，连接CE，BE， ∵AD是中线， ∴BD＝DC， 在△BDA和△CDE中， ， ∴△BDA≌△CDE（SAS）， ∴AB＝CE，∠BAD＝∠DEC， ∵∠BAD＝∠CAD， ∴∠CAD＝∠DEC， ∴EC＝AB， ∴AB＝AC， ∴△ABC是等腰三角形． 【变式训练】如图所示，AB＝BC，AD为△ABC中BC边的中线，延长BC至E点，使CE＝BC，连接AE． 求证：AC平分∠DAE． 【答案】证明见解析． 【解答】解：延长AD到F，使得DF＝AD，连接CF， 在△ADB与△FDC中， ， ∴△ADB≌△FDC（SAS）， ∴AB＝CF，∠B＝∠DCF， ∵BA＝BC，CE＝CB， ∴∠BAC＝∠BCA，CE＝CF， ∵∠ACE＝∠B+∠BAC，∠ACF＝∠DCF+∠ACB， ∴∠ACF＝∠ACE， ∵AC＝AC， ∴△ACF≌△ACE（SAS）， ∴∠CAD＝∠CAE， ∴AC平分∠DAE． 题型六：截长补短法 【例6】如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝100°，BE平分∠ABC交AC于点E． （1）求证：BC＝BE+AE； （2）探究：若∠A＝108°，那么BC等于哪两条线段长的和呢？说明理由． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）如图1，延长BE到F，使BF＝BC，连接FC， ∵AB＝AC，∠A＝100°， ∴∠ABC＝∠ACB＝40°， ∵BE平分∠ABC， ∴∠ABE＝∠EBC＝20°， ∵BF＝BC， ∴∠F＝∠BCF＝80°， ∴∠FCE＝∠ACB＝40°， 在BC上取CF′＝CF，连接EF′， 在△FCE与△F′CE中， ∴△FCE≌△F′CE， ∴EF＝EF′，∠EF′C＝∠F＝80°， ∴∠BF′E＝100°， ∴∠A＝∠BF′E， 在△ABE与△BF′E中，， ∴△ABE≌△F′BE， ∴AE＝EF′， ∴AE＝EF， ∴BC＝BE+EF＝BE+AE； （2）结论：BC＝AB+CE＝AC+CE， 如图2，在BC上取BA′＝BA，连接EA′， ∵∠A＝108°，AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB＝36°， ∵BE平分∠ABC， ∴∠ABE＝∠CBA＝18°， 在△ABE与△A′BE中，， ∴△ABE≌△A′BE， ∴∠BA′E＝∠A＝108°， ∴∠EA′C＝72°， ∴∠A′EC＝72°， ∴∠A′EC＝∠CA′E， ∴CE＝CA′， ∴BC＝BA′+EC＝AB+EC＝AC+EC． 【变式训练】阅读下面材料小明遇到这样一个问题：如图1，在△ABC中，∠B＝2∠C，AD⊥BC于点D，求证：BC＝AB+2BD．小明利用条件AD⊥BC在CD上截取DH＝BD，如图2，连接AH既构造了等腰△ABH，又得到BH＝2BD，从而命题得证． （1）根据阅读材料证明BC＝AB+2BD； （2）参考小明的方法解决下面的问题；如图3在△ABC中，∠BAC＝90°，∠ABD＝∠BCE，∠ABC＝∠DCE，请探究AD与BE的数量关系，并说明理由． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵DH＝BD，AD⊥BC， ∴AB＝AH，∠ABH＝∠AHB， ∵∠B＝2∠C， ∴∠AHB＝2∠C， ∵∠AHB＝∠C+∠HAC， ∴∠HAC＝∠C， ∴AH＝HC ∴AB＝HC， ∴BC＝CH+BH＝AB+2BD； （2）BE＝2AD．理由如下： 延长DA至F，使AF＝AD，连接BF． 设∠ABD＝∠BCE＝x，∠ABC＝∠DCE＝y， ∵AF＝AD，∠BAC＝90°， ∴AB垂直平分DF， ∴BF＝BD， ∴∠1＝∠DBA＝x，∠FBC＝∠1+∠ABC＝x+y， ∠ACB＝∠DCE+BCE＝x+y， ∴∠FBC＝∠ACB， ∴BF＝CF， ∵BF＝BD， ∴BD＝FC ∵∠2＝∠3+x＝∠ABC＝y＝∠DCE， ∴DE＝DC， ∴BE+DE＝CF＝CD+DF＝CD+2AD， ∴BE＝2AD． 1．如图，屋顶钢架外框是等腰三角形，其中，工人师傅在焊接立柱时，只用找到的中点，就可以说明竖梁垂直于横梁了，工人师傅这种操作方法的依据是（   ） A．等边对等角 B．等角对等边 C．勾股定理的逆定理 D．等腰三角形的“三线合一” 【答案】D 【知识点】三线合一 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 根据等腰三角形的性质：等腰三角形的“三线合一”，即可得到答案． 【详解】解：， 是等腰三角形， 是的中点， ， 故工人师傅这种操作方法的依据是等腰三角形的“三线合一” 故选：D． 2．在台风“摩馤”灾后的电力抢修重建中，为了使电线杆垂直于地面，如图所示，工程人员的操作方法是：从电线杆上一点往地面拉两条长度相等的固定绳，当固定点，到电线杆底端的距离相等且点，，在同一直线上时，电线杆就垂直于了，工程人员这种操作方法的依据是（   ） A． B．垂线段最短 C．等腰三角形“三线合一”的性质 D．垂直平分 【答案】C 【知识点】三线合一 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，掌握等腰三角形“三线合一”的性质是解题的关键． 【详解】解：， ， ， 工程人员这种操作方法的依据是等腰三角形“三线合一”的性质； 故选：C． 3．在中，，过点作，垂足为点，下列结论不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】等边对等角、三线合一 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 根据等腰三角形的性质逐项判断即可． 【详解】解：在中，，， ，，， 故选项A.B.C正确，不符合题意； 不能证明， 故选项D不正确，符合题意； 故：D． 4．如图，在中，．在、上分别截取，，使．再分别以点P，Q为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点R，作射线，交于点D．若，则的长为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【知识点】作角平分线(尺规作图)、三线合一 【分析】由作图可得，平分，再根据等腰三角形三线合一性质即可求解． 【详解】解：由作图可得，平分， 又∵， ∴是的中线， ∴． 5．如图，是等边三角形的中线，以为斜边作等腰直角三角形，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】等腰三角形的性质和判定、三线合一 【分析】根据等边三角形三线合一的性质可得，再根据等腰直角三角形的性质可得，根据即可求出的度数． 【详解】解：是等边三角形 是等边三角形的中线 以为斜边作等腰直角三角形 故选：B． 【点睛】此题考查了三角形的度数问题，解题的关键是掌握等边三角形和等腰直角三角形的性质、角的和差关系． 6．如图，已知∠AOB＝60°，点P在边OA上，OP＝14，以点P为圆心，作弧交OB于点M，N，若MN＝4，则OM＝______． 【答案】5 【知识点】含30度角的直角三角形、三线合一 【分析】过P作PH⊥OB于H，根据等腰三角形的三线合一得MH=2，利用直角三角形30度角的性质得到OH=OP=7，由此得到OM． 【详解】解：过P作PH⊥OB于H， 由题意得PM=PN， ∵PH⊥OB，MN=4， ∴MH=NH=2， ∵∠PHO=90°，∠POH=60°， ∴∠OPH=30°， ∴OH=OP=7， ∴OM=OH-MH=7-2=5， 故答案为：5 【点睛】此题考查了等腰三角形的三线合一的性质，直角三角形30度角的性质，熟记各性质并应用是解题的关键． 7．如图，在中，以点为圆心，的长为半径作弧，与交于点，分别以点和点为圆心、大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线交于点．若，，则的度数为_____． 【答案】/25度 【知识点】三角形的外角的定义及性质、线段垂直平分线的性质、作已知线段的垂直平分线、三线合一 【分析】本题考查等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质及作图、三角形外角的性质．关键是根据作图确定且垂直平分，利用直角三角形两锐角互余求出的度数，再通过等边对等角和三角形外角性质，最终得到的度数． 【详解】解：设， 由作图可知，，垂直平分， ∴，，即； ∵， ∴； 在中，， ∴，解得； ∴， ∴； 故答案为：． 8．如图，中，．在上截取，作的平分线与相交于点P，连接．若的面积为，则的面积为_________． 【答案】4 【知识点】三线合一 【分析】根据等腰三角形三线合一的性质即可得出，即得出和是等底同高的三角形，和是等底同高的三角形，即可推出，即可求出答案． 【详解】解：∵是的角平分线， ∴， ∴和是等底同高的三角形，和是等底同高的三角形， ∴． ∵， ∴． 故答案为：4． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质．掌握等腰三角形“三线合一”是解答本题的关键． 9．如图，在中，点E是边上一点，连接，且，过点E作于点D，若的周长为20，，则的周长为__________． 【答案】26 【知识点】三线合一 【分析】本题考查等腰三角形的性质．熟练掌握等腰三角形三线合一是解题的关键． 由题意可知，，结合得到的周长等于的周长加上的长，即可得解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∵的周长为20， ∴， ∴的周长． 故答案为：26． 10．如图，在中，，点D为BC边的中点，． (1)求证：； (2)作，交于点F，若，求的长． 【答案】(1) 证明：∵，点D为边的中点， ∴． ∵ ∴． ∴． ∴． (2)3 【知识点】两直线平行内错角相等、等腰三角形的性质和判定、三线合一 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，关键是熟悉等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合． （1）根据等腰三角形三线合一的性质以及余角的性质即可求解； （2）根据得到，根据等角对等边的性质，得出，．然后进行解答即可． 【详解】（1）略 （2）解：， ． ， ． ． ， ． ． ． ． 11．如图，在中，分别以点B和点C为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点M，N．作直线，交于点D，交于点E，连接．若，则(     ) A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】直角三角形的两个锐角互余、线段垂直平分线的性质、作已知线段的垂直平分线、三线合一 【分析】根据题意中尺规作图可知是线段的垂直平分线，从而，再由三线合一与直角三角形两锐角互余即可求解． 【详解】解：由作图可得是线段的垂直平分线， ，， ，， ． 12．如图，在中，，分别以点A、B为圆心，以适当的长为半径作弧，两弧分别交于E，F，作直线，D为的中点，M为直线上任意一点．若面积为40，且长度的最小值为10，则长为（     ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【知识点】作垂线(尺规作图)、两点之间线段最短、线段垂直平分线的性质、三线合一 【分析】连接，，根据线段垂直平分线的性质和两点之间线段最短得出的最小值为的长度，则，再根据等腰三角形的三线合一性质得到,然后利用三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：如图，连接，， 由作图过程知垂直平分， ∴， ∴，当点A、M、D共线时取等号， ∴的最小值为的长度， ∵长度的最小值为10， ∴， ∵在中，，D为的中点， ∴, ∵面积为40， ∴，解 得． 13．如图，在中，，在上截取，作的平分线与相交于点，连接．若的面积为，则的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据三角形中线求面积、三线合一 【分析】利用等腰三角形的“三线合一”和三角形中线平分其面积的性质，可推出的面积是面积的一半． 【详解】解：，且平分， 为的中线，为中点， 为的中线， ，， ，， ，即， ， ． 14．如图，在中，以点为圆心，长为半径作弧，交于点，再分别以点，为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点，连接，交于点，若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】等腰三角形的性质和判定、作角平分线(尺规作图)、三线合一 【分析】根据尺规作图可知，平分，从而可证是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可以求出． 【详解】解：由作图可知，平分， ，， ， ， 是等腰直角三角形， ． 15．如图，点在线段上，以为边向上作，．以为底边作等腰，使，若，，则等于（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】实数的性质、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、三线合一 【分析】过点作于，根据等腰三角形“三线合一”的性质得出，利用可证明，根据全等三角形的性质即可得出答案． 【详解】解：如图，过点作于， ∵，， ∴， ∵， ∴， 在和中，， ∴， ∴． 16．如图，在中，，，D是AC边的中点，过点D作于点E，若，则AE的长为______． 【答案】18 【知识点】含30度角的直角三角形、三角形内角和定理的应用、三线合一 【分析】如图：连接，利用等腰三角形的性质以及三角形内角和定理可得、、，再利用含30度直角三角形的性质以及线段的和差求解即可． 【详解】解：如图：连接， ∵在中，，，D是边的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 17．如图，Rt中，，点为中点，点为延长线上一点，连接，作，与的延长线相交于点，若，则的长为______．    【答案】12 【知识点】根据等角对等边证明边相等、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、三线合一 【分析】如图，连接AD，证明得，从而， 可得，求出即可求解． 【详解】解：如图，连接AD，   ，点D为中点， ∴，，， ， ， ∴ ， ， ， ∴， （负值舍去）， ． 18．如图，在中，平分，过点作，垂足为点，为的中点，连接，，若，则图中两个阴影部分面积之差的最大值是______． 【答案】 【知识点】等腰三角形的性质和判定、根据三角形中线求面积、三线合一 【分析】延长交延长线于点，设交于点，根据垂直定义得到，求得，得到，根据等腰三角形的性质得到，推出，求得，由两个阴影部分面积之差为，当时，的面积最大，最大面积为． 【详解】解：延长交延长线于点，设交于点，如图， ∵， ∴， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴，， ∴， ∵ ， ∵， ∴当时，的面积最大，最大面积为， ∴图中两个阴影部分面积之差的最大值为． 19．如图，在中，，点D在外，，．求证：． 小明同学通过作辅助线构造全等三角形来解决此问题．根据他的想法与思路，完成以下的问题． (1)用尺规过点A作的垂线，交于点E；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）所作图形中，求证：． 【答案】(1) 如图，直线即为所求， (2) 证明：，， 为的中点， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ． 【知识点】作垂线(尺规作图)、三线合一 【分析】（1）以点A为圆心，适当长为半径画弧，交于两点；再分别以这两点为圆心，大于两点间距离的一半为半径画弧，两弧交于一点；过点A和该交点作直线，交于点E，则即为所求． （2）由等腰三角形性质得E为中点，结合已知条件证明直角三角形全等，从而得证． 【详解】（1）略 （2）略 20．如图，在等腰中，在上分别截取，使．再分别以点P，Q为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点R，作射线，交于点D．已知若点M、N分别是线段和线段上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D．6 【答案】C 【知识点】垂线段最短、根据成轴对称图形的特征进行求解、作角平分线(尺规作图)、三线合一 【分析】过点作于点，证明的最小值为的长，再利用面积法求出即可． 【详解】解：由作图步骤可得平分， 如图，过点作于点． ， ∴垂直平分， ，关于对称， 作点关于的对称点，则点N落在上，连接， ， 的最小值为的长． ，平分， ，， ，， ∴ ， ∴的最小值为． 21．如图，在中，，，为上一点，连接，过点作，取，连接交于．当为等腰三角形时，______． 【答案】或 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、三线合一 【分析】分两种情形：当时，如图，过点作于，证明，可得结论；当时，如图，点与重合，此时． 【详解】解：当时，如图，过点作于． ，， ， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ，， ∵， ∴． 在和中， ， ， ， ， ； 当时，如图，点与重合，此时． 综上所述，满足条件的的长度为或． 22．如图，在等腰中，，，在，上分别截取，，使，再分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点，作射线，交于点．其中，若点，分别是线段和线段上的动点，则的最小值为________． 【答案】 【知识点】作角平分线(尺规作图)、线段垂直平分线的性质、三线合一 【分析】本题考查等腰三角形的性质，中垂线的性质，根据作图可知，平分，三线合一，得到垂直平分，连接，则：，，得到当三点共线时，的值最小，再根据垂线段最短，得到当时最小，等积法求出的长即可． 【详解】解：根据作图可知，平分， ∵， ∴， ∴垂直平分， 连接，则：， ∴， ∴当三点共线时，的值最小，为的长， ∵N是线段上的动点， ∴当时，最小， 此时， ∴， ∴， ∴的最小值为； 故答案为：． 23．已知，点D在边BC上（不与点B，C重合），点E是内部一点．给出如下定义：若，，则称点E是点D的“等角点”． (1)如图1，若点E是点D的“等角点”，则______°； (2)如图2，若，点D是边的中点，点E是中线上任意一点（不与点A，D重合），求证：点E是点D的“等角点”； (3)如图3，若，且，内是否存在点E是点D的“等角点”？若存在，请作出点E（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) 证明：，点D是边的中点， ， 点E是中线上任意一点（不与点A，D重合）， ， ， ， ，即， 点E是点D的“等角点”； (3)点即为所求： 【知识点】等腰三角形的性质和判定、线段垂直平分线的性质、作已知线段的垂直平分线 【分析】本题考查了等腰三角形”三线合一”，角的关系和周角的性质，线段垂直平分线的性质，尺规作图,对称构造垂直平分线性质角度等量代换是解题的关键． （1）由“等角点”可得，，由周角的定义可求解； （2）由等腰三角形的性质可得是的中垂线，可得，由“等角点”的定义可证点是点的等角点”； （3）如图3，过点作交的延长线于，在线段的延长线上截取，连接，延长交于，连接，即点为所求，由作图可得是的中垂线，可得，由“等角点”的定义可证点是点的“等角点”． 【详解】（1）解： ，， ， ， 故答案为： （2）略 （3）如图3，过点作交的延长线于，在线段的延长线上截取 ，连接，延长交于，连接，即点为所求， ， ， 又， ， ， 点是点的等角点” 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10 三线合一作辅助线的压轴题综合计算 资料板块目录表 知识梳理 针对训练 题型01 底边有中点时，作底边的中线 题型02 底边没中点时，作底边的高线 题型03 作腰或底边的平行线 题型04 补形法 题型05 倍长中线法 题型06 截长补短法 A组 基础巩固 B组 拔高提升 C组 思维拓展 必备知识 知识点一：等腰三角形中底边有中点时，连中线 模型解析：等腰三角形中底边有中点，连中线 直接用“三线合一”，①AB=AC;②AD⊥BC;③BD=DC;④∠1=∠2.知2推2原则。 连中线用“三线合一”，若AB=AC,BD=CD.则AD⊥BC，∠1=∠2. 【针对训练】 例1．如图，已知中，，，直角的顶点P是中点，两边、分别交、的延长线于点E、F．求证：； 【变式1-1】如图，在中，，过的中点作，，垂足分别为、． (1)求证：； (2)若，求的度数． 知识点二：等腰三角形中底边无中点时，作高 1.三线合一性质核心应用：等腰三角形顶角的平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合。即使底边无中点，作底边的高后，高同时成为底边中线，可将等腰三角形分成两个全等直角三角形，利用直角三角形性质（如勾股定理）求解边长、角度等。 2.辅助线与转化思想：作高是关键辅助线，将等腰三角形转化为直角三角形，把非中点条件转化为中点条件，结合全等三角形判定（HL）和直角三角形边角关系，实现未知量向已知量的转化，体现几何中化归的重要思想。 【针对训练】 例2．在中，点是边上的两点．    (1)如图1，若，．求证：； (2)如图2，若，，设，． ①猜想与的数量关系，并说明理由； ②在①的条件下，，请直接写出的度数． 【变式2-1】已知在中，，且，作等腰，使得．    (1)如图1，若与互余，则___________；（用含的代数式表示） (2)如图2，若与互补，过点C作于点H，求证：； (3)若与的面积相等，请直接写出的度数．（用含的式子表示） 典例精析 题型一：底边有中点时，作底边的中线 【例1】如图，在△ABC中，∠B＝∠C，M为BC的中点，MD⊥AB于点D，ME⊥AC于点E．求证：MD＝ME． 【变式训练】如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，D为BC的中点．点E在AB上，∠AED＝69°，点P是等腰三角形ABC的腰AC上的一点，△EDP是以DE为腰的等腰三角形． （1）在AC上做出点P，将图形补充完整； （2）求∠APD的度数． 题型二：底边没中点时，作底边的高线 【例2】如图，点D、E在△ABC的边BC上，AD＝AE，BD＝CE，求证：AB＝AC． 【变式训练】如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，点E为AD上一点，连接BD，CE交于点F，CE∥AB． （1）若△ABD为等边三角形，请判断△DEF的形状，并说明理由； （2）若AD＝12，CE＝9，求CF的长． 题型三：作腰或底边的平行线 【例3】如图，过边长为4的等边三角形的边AB上一点P，作PE⊥AC于点E，Q为BC延长线上一点，当PA＝CQ时，连接PQ交边AC于点D． （1）求证：D为PQ中点； （2）DE的长为 　 ． 【变式训练】在等边三角形ABC中，点E在AB边上，点D在CB的延长线上，且DE＝EC． （1）如图1，当E为AB中点时，求证：CB＝2BD； （2）如图2，若AB＝12，AE＝2，求CD的长． 题型四：补形法 【例4】已知，△ABC为等边三角形，点D为AC上的一个动点，点E为BC延长线上一点，且BD＝DE． （1）如图1，若点D在边AC上，猜想线段AD与CE之间的关系，并说明理由； （2）如图2，若点D在AC的延长线上，（1）中的结论是否成立，请说明理由． 【变式训练】已知等边△ABC，P在射线BA上，（n≠1）． （1）如图1，当n＝2时，过点P作PF⊥BC于F，交AC于点E．求证：AE＝EC； （2）如图2，点D在BC的延长线上，BC＝CD，PC＝PD，求n的值； 题型五：倍长中线法 【例5】已知三角形的中线，通常把中线延长一倍，构造全等三角形．如图，△ABC中，AD是中线，AD也是角平分线，求证：△ABC是等腰三角形． 【变式训练】如图所示，AB＝BC，AD为△ABC中BC边的中线，延长BC至E点，使CE＝BC，连接AE． 求证：AC平分∠DAE． 题型六：截长补短法 【例6】如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝100°，BE平分∠ABC交AC于点E． （1）求证：BC＝BE+AE； （2）探究：若∠A＝108°，那么BC等于哪两条线段长的和呢？说明理由． 2．阅读下面材料小明遇到这样一个问题：如图1，在△ABC中，∠B＝2∠C，AD⊥BC于点D，求证：BC＝AB+2BD．小明利用条件AD⊥BC在CD上截取DH＝BD，如图2，连接AH既构造了等腰△ABH，又得到BH＝2BD，从而命题得证． （1）根据阅读材料证明BC＝AB+2BD； （2）参考小明的方法解决下面的问题；如图3在△ABC中，∠BAC＝90°，∠ABD＝∠BCE，∠ABC＝∠DCE，请探究AD与BE的数量关系，并说明理由． 1．如图，屋顶钢架外框是等腰三角形，其中，工人师傅在焊接立柱时，只用找到的中点，就可以说明竖梁垂直于横梁了，工人师傅这种操作方法的依据是（   ） A．等边对等角 B．等角对等边 C．勾股定理的逆定理 D．等腰三角形的“三线合一” 2．在台风“摩馤”灾后的电力抢修重建中，为了使电线杆垂直于地面，如图所示，工程人员的操作方法是：从电线杆上一点往地面拉两条长度相等的固定绳，当固定点，到电线杆底端的距离相等且点，，在同一直线上时，电线杆就垂直于了，工程人员这种操作方法的依据是（   ） A． B．垂线段最短 C．等腰三角形“三线合一”的性质 D．垂直平分 3．在中，，过点作，垂足为点，下列结论不正确的是（   ） A． B． C． D． 4．如图，在中，．在、上分别截取，，使．再分别以点P，Q为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点R，作射线，交于点D．若，则的长为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 5．如图，是等边三角形的中线，以为斜边作等腰直角三角形，则的大小为（    ） A． B． C． D． 6．如图，已知∠AOB＝60°，点P在边OA上，OP＝14，以点P为圆心，作弧交OB于点M，N，若MN＝4，则OM＝______． 7．如图，在中，以点为圆心，的长为半径作弧，与交于点，分别以点和点为圆心、大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线交于点．若，，则的度数为_____． 8．如图，中，．在上截取，作的平分线与相交于点P，连接．若的面积为，则的面积为_________． 9．如图，在中，点E是边上一点，连接，且，过点E作于点D，若的周长为20，，则的周长为__________． 10．如图，在中，，点D为BC边的中点，． (1)求证：； (2)作，交于点F，若，求的长． 11．如图，在中，分别以点B和点C为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点M，N．作直线，交于点D，交于点E，连接．若，则(     ) A． B． C． D． 12．如图，在中，，分别以点A、B为圆心，以适当的长为半径作弧，两弧分别交于E，F，作直线，D为的中点，M为直线上任意一点．若面积为40，且长度的最小值为10，则长为（     ） A．5 B．6 C．7 D．8 13．如图，在中，，在上截取，作的平分线与相交于点，连接．若的面积为，则的面积为（     ） A． B． C． D． 14．如图，在中，以点为圆心，长为半径作弧，交于点，再分别以点，为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点，连接，交于点，若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 15．如图，点在线段上，以为边向上作，．以为底边作等腰，使，若，，则等于（     ） A． B． C． D． 16．如图，在中，，，D是AC边的中点，过点D作于点E，若，则AE的长为______． 17．如图，Rt中，，点为中点，点为延长线上一点，连接，作，与的延长线相交于点，若，则的长为______．    18．如图，在中，平分，过点作，垂足为点，为的中点，连接，，若，则图中两个阴影部分面积之差的最大值是______． 19．如图，在中，，点D在外，，．求证：． 小明同学通过作辅助线构造全等三角形来解决此问题．根据他的想法与思路，完成以下的问题． (1)用尺规过点A作的垂线，交于点E；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）所作图形中，求证：． 20．如图，在等腰中，在上分别截取，使．再分别以点P，Q为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点R，作射线，交于点D．已知若点M、N分别是线段和线段上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D．6 21．如图，在中，，，为上一点，连接，过点作，取，连接交于．当为等腰三角形时，______． 22．如图，在等腰中，，，在，上分别截取，，使，再分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点，作射线，交于点．其中，若点，分别是线段和线段上的动点，则的最小值为________． 23．已知，点D在边BC上（不与点B，C重合），点E是内部一点．给出如下定义：若，，则称点E是点D的“等角点”． (1)如图1，若点E是点D的“等角点”，则______°； (2)如图2，若，点D是边的中点，点E是中线上任意一点（不与点A，D重合），求证：点E是点D的“等角点”； (3)如图3，若，且，内是否存在点E是点D的“等角点”？若存在，请作出点E（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；若不存在，请说明理由． 试卷第1页（共2页） 试卷第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $