专题6全等三角形压轴题（重难点培优讲义）2026-2027学年人教版八年级数学上册

专题6 全等三角形压轴题 资料板块目录表 知识梳理 针对训练 题型1：利用全等三角形的判定与性质证明 题型2：利用全等三角形的判定与性质求解 题型3：全等三角形中动点问题 题型4：利用全等三角形倍长中线模型求解 题型5：利用全等三角形旋转模型求解 题型6：利用全等三角形一线三垂直模型求解 题型7：全等三角形综合性问题 题型8： 利用全等三角形的判定与性质求最值 题型9：利用全等三角形的判定与性质求面积 题型10： 尺规作图与全等三角形的交互应用 题型11 ： 与全等三角形有关的多结论问题 单元压轴卷 必备知识 知识点1：全等三角形的判定和性质 1．一般三角形的判定定理及推论： 边边边（SSS），边角边（SAS），角边角（ASA），角角边（AAS），斜边直角边（HL—直角三角形） 2．一般三角形全等判定的方法选择 3．如何选择三角形证全等 （1）可以从求证出发，看求证的线段或角（用等量代换后的线段、角）在哪两个可能全等的三角形中，可以证这两个三角形全等； （2）可以从已知出发，看已知条件确定证哪两个三角形全等； （3）由条件和结论一起出发，看它们一同确定哪两个三角形全等，然后证它们全等； （4）如果以上方法都行不通，就添加辅助线，构造全等三角形． 4．全等三角形的性质 全等三角形的对应边相等，对应角相等，对应边上的高相等，对应边上的中线相等，对应角的平分线相等，周长相等，面积相等. 【针对训练】 1. 如图，已知各内角的度数和各边的长度．下面是同学们用不同的方法画出的三角形，并将所画三角形的三个元素标出，则所画三角形不一定与全等的是（   ）    A．   B．  C．   D．   2. 【问题提出】 我们知道：三角形全等的判定方法有：“，，，”，面对于“”，课本第38页提供了如下材料： 思考：如图1，把一长一短的两根木棍的一端固定在一起，摆出．固定住长木棍，转动短木棍，得到，这个实验说明了什么？ 这个实验说明：有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等，即“”不一定成立．那么，什么情况下，“”成立呢？数学兴趣小组对两个三角形按角进行分类，展开了以下探究． 【初步思考】 我们不妨设这个对应角为，然后对进行分类，可分为“是直角、钝角、锐角”三种情况进行探究． 【深入探究】 (1)第一种情况：当是直角时，． 如图2，在和中，，，，根据 ，可以知道． (2)第二种情况：当是钝角时，． 如图3，在和中，，，，且、都是钝角，李明由（1）受到了启发，很快证出了．请聪明的你完成李明的推理过程； (3)第三种情况：当是锐角时，和不一定全等． ①如图4，在和中，，，，且、都是锐角，则的结论是否仍然成立；请说明成立的理由； ②如图4，和是不全等的，还要满足什么条件，就可以使？请直接写出结论： ． 知识点2： 判定两个三角形全等的常用思路 已知两边 （1）找第三边——利用“SSS”； （2）找夹角——利用“SAS”； （3）找直角——利用“HL” 已知一边一角 已知一角与邻边 （1）找这边的另一个邻角——利用“ASA”； （2）找这个角的另一个邻边——利用“SAS”； （3）找这边的对角——利用“AAS”； （4）若是直角找对边——利用“HL” 已知一角与对边 （1）找一角——利用“AAS”； （2）若是直角找一边——利用“HL” 【针对训练】 1. 如图，在中，D为边上一点，E为边上一点，且，连接，F为的中点．连接并延长，交于点G，在上截取点H，使，连接，若． (1)求证：； (2)求证：． 2. 如图，在五边形中，． (1)求证：． (2)求证：． 3. 如图，在上各取一点E，D，使，连接，相交于点O，连接，．求证： (1) (2)． 知识点3： 全等三角形常考模型 1、倍长中线模型： 条件：在△ABC中，AD是边BC上的中线 作法：延长AD至点E，使DE=AD，连接BE 结论：△ACD≌△EBD，AC∥BE 2、手拉手模型： 条件：在等腰三角形OAB和等腰三角形OCD中，∠AOB=∠COD，OA=OB，OC=OD 结论：① △AOC≌△BOD，AC=BD； ② EO平分∠AED； ③ ∠AEB=∠AOB。 3、一线三垂直模型： 两条手臂之间的距离=长手十短手， 两条手臂之间的距离=长手一短手， 即DE=AD+CE 即DE=AD－CE 【针对训练】 1. 如图，在中，，，D、E是斜边上两点，且，若，，，则与的面积之和为（    ） A．36 B．21 C．30 D．22 2. 如图，ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，过点B作BE⊥AD，交AD延长线于点E，F为AB的中点，连接CF，交AD于点G，连接BG． （1）线段BE与线段AD有何数量关系？并说明理由； （2）判断BEG的形状，并说明理由． 3. 如图，在中， 是边上的高，为的角平分线，且，是的中线，延长到点，使得，连接，交于点，交于点，交于点． (1)试说明：； (2)若，试说明：． 典例精析 【题型1：利用全等三角形的判定与性质证明】 【例1】如图，，，，，垂足分别是，求证：． 【变式1-1】如图，平分，．求证：． 【题型2：利用全等三角形的判定与性质求解】 【例1】如图，，则（    ） A． B． C． D．无法确定 【变式1-1】如图，已知，且，，，则的度数为 ． 【题型3：全等三角形中动点问题】 【例1】现有一块如图所示的绿草地，经测量，，，，，点E是边的中点，小狗汪汪从点B出发沿以的速度向点C跑，同时小狗妞妞从点C出发沿向点D跑．要使与全等，则妞妞的运动速度为（     ）    A． B． C．或 D．无法确定 【变式1-1】在中，，，，，动点P从点A出发，沿运动，回到点A停止，速度为． （1）如图1，当点P到，的距离与相等时， ； （2）如图2，在中，，，，．在中，若另外有一个动点Q与点P同时出发，从点A沿着运动，回到点A停止．在两点运动过程中的某时刻，恰好，则点Q的运动速度为 ． 【题型4：利用全等三角形倍长中线模型求解】 【例1】（1）如图，中，若，求边上的中线的取值范围． （2）如图，是的中线，交于E，交于F，且，求证：． 【变式1-1】在中，，是边上的中线，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【题型5：利用全等三角形旋转模型求解】 【例1】（1）如图1，与均是顶角为40°的等腰三角形，BC、DE分别是底边，求证：； （2）如图2，和均为等边三角形，点A、D、E在同一直线上，连接BE． 填空：的度数为______；线段BE与AD之间的数量关系是______． 【变式1-1】如图，在边长为6的等边中，点为边上任意一点，连接将线段绕点逆时针旋转，点的对应点是点，连接、． （1）如图1，求证：； （2）如图2，在旋转过程中，取、的中点、，连接和，当时，试猜想与的大小关系，写出你猜想的关系式，并证明； （3）如图2，在整个旋转过程中，的长度是否发生变化，若不变化，直接写出的值，若变化，请直接写出的取值范围． 【题型6：利用全等三角形一线三垂直模型求解】 【例1】如图，直角坐标系中，的顶点，分别在坐标轴上，且，，若点、的坐标分别为、，则点的坐标为 ．    【变式1-1】在中，，过点C作直线，过点A作于点M，过点B作于点N． （1）如图1，当直线在外时，证明：． （2）如图2，当直线经过内部时，其他条件不变，则与之间有怎样的数量关系？请说明理由． 【题型7：全等三角形综合性问题】 【例1】如图，在中，是边上的高线，是的角平分线，平分交BC于点E，交于点M，连接，交于点N，且．现有以下结论：①；②；③；④．其中所有正确结论的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1-1】如图，若，平分，，平分，下列结论： ①；②；③；④；⑤若为中点，则．其中正确的有 ．（只填序号）    【题型8 利用全等三角形的判定与性质求最值】 【例1】如图，和是等腰直角三角形，，连接、． 若，，则四边形面积的最大值为 ． 【变式1-1】（24-25七年级下·山东东营·期末）如图，等边与关于直线对称，且的边长为3，为线段上一动点，则的最小值是 ． 【题型9 利用全等三角形的判定与性质求面积】 【例1】如图，已知的面积为6，平分，且于点，则的面积是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1-1】如图，在中，，，F是边上的中点，点D，E分别在边上运动，且保持．连接，则面积的最大值为 ．    【题型10 尺规作图与全等三角形的交互应用】 【例1】如图，在中，，，，以A为圆心，以适当的长为半径作弧，交于点，交于点．分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点，作射线，交于点，点在边上，，连接，则的周长为 ． 【变式1-1】如图，给出了小明一个画图的过程，这个画图过程说明的事实是（    ）    A．两个三角形的两条边和夹角对应相等，这两个三角形全等 B．两个三角形的两个角和其中一角的对边对应相等，这两个三角形全等 C．两个三角形的两条边和其中一边对角对应相等，这两个三角形不一定全等 D．两个三角形的两个角和夹边对应相等，这两个三角形不一定全等 【题型11 与全等三角形有关的多结论问题】 【例1】如图，已知平分，于，，则下列结论：①；②；③；④；其中正确结论的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1-1】如图，在中，，，点为中点，直角绕点旋转，，分别与边，交于，两点，下列结论：①是等腰直角三角形；②；③；④，其中正确结论是（    ）    A．①②④ B．②③④ C．①②③ D．①②③④ 第十四章《全等三角形》单元压轴卷 注意事项： 1.本次考试是数学，建议用时120分钟完成。数学满分120分。 2.考试范围：八年级数学第十四章 第一部分 选择题(共30分) 1、 选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分；在每小题给出的四个选项中，有且只有一个是正确的） 1．手工制作课上，老师在一张纸板上挖去了如图所示一个三角形，那么在甲、乙、丙三个同学制作的三角形中，和老师的三角形全等的是（     ） A．甲 B．乙 C．丙 D．乙和丙 2．如图所示，在和中，，点，，在同一条直线上，且，于点，若，，则（     ） A． B． C． D． 3．如图，一名工作人员不慎将一块三角形模具打碎成三块，他只要带第③块碎片去商店，就可以配出一块与原来完全一样的三角形模具，这样做利用全等三角形的判定依据是（     ） A． B． C． D． 4．如图，已知，以点O为圆心，适当长为半径画弧，分别交边，于点C，D；以点O为圆心，大于长为半径画弧，分别交边，于点E，F；连接，，交点为G，作射线．则下列结论一定正确的是（     ） A． B． C． D． 5．如图，是的角平分线，，垂足为F．若，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 6．如图，在中，平分，交于点D，点分别在边上，连接，过D作于F．已知，，，则的面积为（     ） A．4 B．6 C．8 D．10 7．如图，在中，，点在边上，过点作，过点作，交的延长线于点，．若，，则的长是（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 8．如图，厘米，厘米，，如果点在线段上以2厘米秒的速度由点向点运动，同时，点从点出发沿射线运动，若经过秒后，与全等，则的值是（     ） A．1 B． C．1或 D．1或2 9．如图，点是的角平分线上一点，于点，点是线段上一点．已知，，点为上一点，若满足，则的长度为（     ） A． B． C．或 D．或 10．如图，中，为的平分线，交于点，过点作，垂足为点，交于点，点分别为上一个动点，则的最小值为（     ） A．4 B．6 C．8 D．10 第二部分 非选择题 (共90分) 二、填空题(本题共4个小题。每空3分。共12分) 11．如图，和中，顶点B，F，C，E在同一直线上，且，，请再添加一个条件，使，这个条件是______．（写出一个即可） 12．如图，，，，，垂足分别为D、E，若，，则长为______． 13．如图，的面积为，平分，过点作于点，连接，则的面积为___________． 14．如图，在中，是角平分线，是中线，交于点．若，，的面积为8，则的面积为_________． 三、解答题（共78分） 15．如图，在和中，点A、B、C、D在一条直线上，已知，，，若用“”证明，需添加什么条件？写出来并证明． 16．如图，点在线段上，已知，，． (1)求证： (2)若，，求的长． 17．如图，，点在边上（不与点，重合）与交于点． (1)若，，求的度数； (2)若，，求与的周长和． 18．如图①是一个鱼尾形风筝，风筝骨架如图②所示，其中主骨架，垂足为点O，，平分，这样设计能够保证两翼宽度一致（即），从而平稳飞行． (1)请说明这样设计的理由； (2)要给骨架贴上布面，连接、，若风筝主骨架的长为，，则需要的布料面积（即四边形的面积）是多少？（不包含尾翼和飘带） 19．图1是一个平分角的仪器，其中，． (1)如图2，将该仪器放置在上，使点O与顶点A重合，点D，E分别在边，上，连接并延长，交于点P．求证：平分． (2)如图3，在（1）的条件下，过点P作于点Q，若，，的面积为60，求的长． 20．如图，直线，平分，过点作交于点C．动点D，E同时从点A出发，其中动点E以的速度沿射线运动，动点以的速度在直线上运动．已知，设动点D，E的运动时间为． (1)的度数为________； (2)当点D沿射线运动时，若，求t的值； (3)当动点D在直线上运动时，是否存在某个时间t，使得与全等？若存在，请求出时间t的值；若不存在，请说出理由． 21．综合实践： (1)如图1，在中，，直线l经过点A，分别从点B，C向直线l作垂线，垂足分别为D，E．求证：； 【变式探究】 (2)如图2，在中，，直线l经过点A，点D，E分别在直线l上，如果，猜想有何数量关系，并说明理由； 【拓展应用】 (3)小明在科技创新大赛上创作了一幅机器人图案，大致图形如图3所示，以的边为一边向外作和，其中，，是边上的高．延长交于点H，设的面积为，的面积为，猜想大小关系，并说明理由． 试卷第1页（共2页） 试卷第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题6 全等三角形压轴题 资料板块目录表 知识梳理 针对训练 题型1：利用全等三角形的判定与性质证明 题型2：利用全等三角形的判定与性质求解 题型3：全等三角形中动点问题 题型4：利用全等三角形倍长中线模型求解 题型5：利用全等三角形旋转模型求解 题型6：利用全等三角形一线三垂直模型求解 题型7：全等三角形综合性问题 题型8： 利用全等三角形的判定与性质求最值 题型9：利用全等三角形的判定与性质求面积 题型10： 尺规作图与全等三角形的交互应用 题型11 ： 与全等三角形有关的多结论问题 单元压轴卷 必备知识 知识点1：全等三角形的判定和性质 1．一般三角形的判定定理及推论： 边边边（SSS），边角边（SAS），角边角（ASA），角角边（AAS），斜边直角边（HL—直角三角形） 2．一般三角形全等判定的方法选择 3．如何选择三角形证全等 （1）可以从求证出发，看求证的线段或角（用等量代换后的线段、角）在哪两个可能全等的三角形中，可以证这两个三角形全等； （2）可以从已知出发，看已知条件确定证哪两个三角形全等； （3）由条件和结论一起出发，看它们一同确定哪两个三角形全等，然后证它们全等； （4）如果以上方法都行不通，就添加辅助线，构造全等三角形． 4．全等三角形的性质 全等三角形的对应边相等，对应角相等，对应边上的高相等，对应边上的中线相等，对应角的平分线相等，周长相等，面积相等. 【针对训练】 1. 如图，已知各内角的度数和各边的长度．下面是同学们用不同的方法画出的三角形，并将所画三角形的三个元素标出，则所画三角形不一定与全等的是（   ）    A．  B．  C．   D．   【答案】D 【分析】本题考查全等三角形的判定定理，理解全等三角形的判定定理是解题关键． 根据全等三角形的判定条件进行逐项分析即可． 【详解】解：A、根据“”可证明与原三角形全等，不符合题意； B、根据“”可证明与原三角形全等，不符合题意； C、根据“”可证明与原三角形全等，不符合题意； D、与原三角形形成三个内角分别相等，两个三角形不一定全等，符合题意； 故选：D． 2. 【问题提出】 我们知道：三角形全等的判定方法有：“，，，”，面对于“”，课本第38页提供了如下材料： 思考：如图1，把一长一短的两根木棍的一端固定在一起，摆出．固定住长木棍，转动短木棍，得到，这个实验说明了什么？ 这个实验说明：有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等，即“”不一定成立．那么，什么情况下，“”成立呢？数学兴趣小组对两个三角形按角进行分类，展开了以下探究． 【初步思考】 我们不妨设这个对应角为，然后对进行分类，可分为“是直角、钝角、锐角”三种情况进行探究． 【深入探究】 (1)第一种情况：当是直角时，． 如图2，在和中，，，，根据 ，可以知道． (2)第二种情况：当是钝角时，． 如图3，在和中，，，，且、都是钝角，李明由（1）受到了启发，很快证出了．请聪明的你完成李明的推理过程； (3)第三种情况：当是锐角时，和不一定全等． ①如图4，在和中，，，，且、都是锐角，则的结论是否仍然成立；请说明成立的理由； ②如图4，和是不全等的，还要满足什么条件，就可以使？请直接写出结论： ． 【答案】(1) (2)见解析 (3)①见解析；②或 【分析】（1）直接利用定理得出 ； （2）首先得出，则，进而得出 ，再求出； （3）①利用已知图形再做一个钝角三角形即可得出答案； ②利用①中方法可得出当或 【详解】（1）解：∵， ∴和是直角三角形， 在和中， 故答案为：； （2）证明：在和 ，且都是钝角，如图，过点作交的延长线于，过点作交的延长线于， 且都是钝角， 在和 在 和 在和中 ； （3）解：①在和中，，且都是锐角，如图，和不全等； ②由①图可知，， ∴当时，就唯一确定了， 则． 当时， 即， 在和中， 故答案为：或． 【点睛】本题是三角形的综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，应用与设计作图，熟练掌握三角形全等的判定方式解题的关键． 知识点2： 判定两个三角形全等的常用思路 已知两边 （1）找第三边——利用“SSS”； （2）找夹角——利用“SAS”； （3）找直角——利用“HL” 已知一边一角 已知一角与邻边 （1）找这边的另一个邻角——利用“ASA”； （2）找这个角的另一个邻边——利用“SAS”； （3）找这边的对角——利用“AAS”； （4）若是直角找对边——利用“HL” 已知一角与对边 （1）找一角——利用“AAS”； （2）若是直角找一边——利用“HL” 【针对训练】 1. 如图，在中，D为边上一点，E为边上一点，且，连接，F为的中点．连接并延长，交于点G，在上截取点H，使，连接，若． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质，平行线的性质， （1）利用证明即可； （2）利用全等的性质和平行线的性质得出，再利用来证明，利用等量代换即可证明． 【详解】（1）点是的中点， ， 在和中，， ． （2）， ， ， ， ， ． 在和中，， ， ， ， ． 2. 如图，在五边形中，． (1)求证：． (2)求证：． 【答案】(1)详见解析 (2)详见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等边对等角等知识点，灵活运用相关判定与性质成为解题的关键． （1）先说明，再根据即可证明结论； （2）由全等三角形的性质可得，再根据等边对等角的性质可得，然后根据角的和差即可证明结论． 【详解】（1）证明：， ． ． 在与中， ． （2）解：， ． ， ． ， ． 3. 如图，在上各取一点E，D，使，连接，相交于点O，连接，．求证： (1) (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）利用公共边，结合证明即可． （2）利用证明即可得到结论． 本题考查了三角形全等的判定和性质，熟练掌握判定定理是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵， ∴． （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 知识点3： 全等三角形常考模型 1、倍长中线模型： 条件：在△ABC中，AD是边BC上的中线 作法：延长AD至点E，使DE=AD，连接BE 结论：△ACD≌△EBD，AC∥BE 2、手拉手模型： 条件：在等腰三角形OAB和等腰三角形OCD中，∠AOB=∠COD，OA=OB，OC=OD 结论：① △AOC≌△BOD，AC=BD； ② EO平分∠AED； ③ ∠AEB=∠AOB。 3、一线三垂直模型： 两条手臂之间的距离=长手十短手， 两条手臂之间的距离=长手一短手， 即DE=AD+CE 即DE=AD－CE 【针对训练】 1. 如图，在中，，，D、E是斜边上两点，且，若，，，则与的面积之和为（    ） A．36 B．21 C．30 D．22 【答案】B 【分析】将关于对称得到，从而可得的面积为15，再根据对称的性质可得，然后根据三角形全等的判定定理证出，从而可得，最后根据与的面积之和等于与的面积之和即可得． 【详解】解：如图，将关于AE对称得到， 则，， ， ， ， 在和中，， ， ， ，即是直角三角形， ， ， 即与的面积之和为21， 故选：B． 2. 如图，ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，过点B作BE⊥AD，交AD延长线于点E，F为AB的中点，连接CF，交AD于点G，连接BG． （1）线段BE与线段AD有何数量关系？并说明理由； （2）判断BEG的形状，并说明理由． 【答案】（1）BE＝AD，见解析；（2）BEG是等腰直角三角形，见解析 【分析】（1）延长BE、AC交于点H，先证明△BAE≌△HAE，得BE＝HE＝BH，再证明△BCH≌△ACD，得BH＝AD，则BE＝AD； （2）先证明CF垂直平分AB，则AG＝BG，再证明∠CAB＝∠CBA＝45°，则∠GAB＝∠GBA＝22.5°，于是∠EGB＝∠GAB+∠GBA＝45°，可证明△BEG是等腰直角三角形． 【详解】证：（1）BE＝AD，理由如下： 如图，延长BE、AC交于点H， ∵BE⊥AD， ∴∠AEB＝∠AEH＝90°， ∵AD平分∠BAC， ∴∠BAE＝∠HAE， 在△BAE和△HAE中， ， ∴△BAE≌△HAE（ASA）， ∴BE＝HE＝BH， ∵∠ACB＝90°， ∴∠BCH＝180°﹣∠ACB＝90°＝∠ACD， ∴∠CBH＝90°﹣∠H＝∠CAD， 在△BCH和△ACD中， ， ∴△BCH≌△ACD（ASA）， ∴BH＝AD， ∴BE＝AD． （2）△BEG是等腰直角三角形，理由如下： ∵AC＝BC，AF＝BF， ∴CF⊥AB， ∴AG＝BG， ∴∠GAB＝∠GBA， ∵AC＝BC，∠ACB＝90°， ∴∠CAB＝∠CBA＝45°， ∴∠GAB＝∠CAB＝22.5°， ∴∠GAB＝∠GBA＝22.5°， ∴∠EGB＝∠GAB+∠GBA＝45°， ∵∠BEG＝90°， ∴∠EBG＝∠EGB＝45°， ∴EG＝EB， ∴△BEG是等腰直角三角形． 3. 如图，在中， 是边上的高，为的角平分线，且，是的中线，延长到点，使得，连接，交于点，交于点，交于点． (1)试说明：； (2)若，试说明：． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析． 【分析】（）证明得到，进而由即可求证； （）证明得到，进而由平行线的性质得到，即可由三角形内角和定理得到，即可求证； 本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，垂直的定义，从图形中找到全等三角形是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵是的中线， ∴， ∵ ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴ （2）证明：∵ 是边上的高， ∴， ∵， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 典例精析 【题型1：利用全等三角形的判定与性质证明】 【例1】如图，，，，，垂足分别是，求证：． 【分析】要证 ，考虑利用角平分线的性质（角平分线上的点到角两边距离相等 ），所以先连接 ，证明 平分 即可证明．本题主要考查全等三角形的判定与性质以及角平分线的性质，熟练掌握全等三角形判定定理（ 等 ），以及角平分线性质（角平分线上的点到角两边距离相等 ）是解题的关键． 【详解】证明：连接 ． ∵ ，， ∴ （ ） ∴ ，即 平分 又 ∵ ， ∴ （角平分线上的点到角两边的距离相等 ）． 【变式1-1】如图，平分，．求证：． 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，根据角平分线得到，再根据等角的补角相等得到，即可根据证明，进而得到结论即可． 【详解】证明：∵平分， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴． 【题型2：利用全等三角形的判定与性质求解】 【例1】如图，，则（    ） A． B． C． D．无法确定 【分析】本题考查三角形的内角和和全等三角形的性质，根据三角形的内角和求出的度数，然后根据全等三角形的对应角相等解答即可． 【详解】解：∵，， ∴， 又∵， ∴， 故选：A． 【变式1-1】如图，已知，且，，，则的度数为 ． 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形的内角和定理，先证明，得到，角的和差关系求出，8字型图，得到，平角的定义，求出的度数即可． 【详解】解：在和中， ， ． ，， ， ． ， ， ． 故答案为：． 【题型3：全等三角形中动点问题】 【例1】现有一块如图所示的绿草地，经测量，，，，，点E是边的中点，小狗汪汪从点B出发沿以的速度向点C跑，同时小狗妞妞从点C出发沿向点D跑．要使与全等，则妞妞的运动速度为（     ）    A． B． C．或 D．无法确定 【分析】设它们运动时间为，妞妞的运动速度为，则，，，分两种情况，当时，当时，求出结果即可． 【详解】解：∵点E是边的中点， ∴， 设它们运动时间为，妞妞的运动速度为，则，，， 当时，，， ∴， 解得：； 当时，，， ∴， 解得：； 综上分析可知，妞妞的运动速度为或． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了三角形全等的应用，解题的关键是熟练掌握全等三角形的性质，注意分类讨论． 【变式1-1】在中，，，，，动点P从点A出发，沿运动，回到点A停止，速度为． （1）如图1，当点P到，的距离与相等时， ； （2）如图2，在中，，，，．在中，若另外有一个动点Q与点P同时出发，从点A沿着运动，回到点A停止．在两点运动过程中的某时刻，恰好，则点Q的运动速度为 ． 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质、角平分线的判定；解题的关键是注意分类讨论． （1）连接，证明，得出，根据即可求出结果； （2）根据题意分四种情况进行分析，利用全等三角形的性质得出点所走的路程，进而可求出的运动时间，即的运动时间，再利用速度路程时间求解即可． 【详解】解：（1）连接，如图所示： ∵点P到，的距离与相等， ∴平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：3． （2）设点的运动速度为， ①当点在上，点在上，时， ， ∴运动时间为。 则， 解得； ②当点在上，点在上，时， ， ∴运动时间为， 则， 解得：； ③当点P在上，点在上，时， ， ∴点P的路程为，点Q的路程为， ∴此时运动时间为， 则， 解得； ④当点P在上，点Q在上，时 ， ∴点P的路程为，点Q的路程为， ∴此时运动时间为， 则， 解得； ∴运动的速度为或或或． 故答案为：或或或． 【题型4：利用全等三角形倍长中线模型求解】 【例1】（1）如图，中，若，求边上的中线的取值范围． （2）如图，是的中线，交于E，交于F，且，求证：． 【分析】此题考查的是全等三角形的判定及等腰三角形的判定及性质，掌握用倍长中线法构造全等三角形是解决此题的关键． （1）根据倍长中线法将延长至，使，再证，根据三角形的三边关系即可求出的取值范围，从而求出的取值范围； （2）由（1）中结论：，即可得到：，，再根据等腰三角形的性质和判定即可得到． 【详解】（1）解：将延长至，使，连接，如下图所示： 在和中 ， ， 在中 ． （2）证明：将延长至，使，连接，如下图所示： 由（1）中结论： ， 又， ， ， 即． 【变式1-1】在中，，是边上的中线，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的三边关系定理的应用，熟练掌握是解题的关键． 延长到E，使，连接，证，推出，在中，根据三角形三边关系定理得出，代入求出即可． 【详解】解： 延长到E，使，连接， ∵是边上的中线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，在中，， ∴， ∴． 故选：B． 【题型5：利用全等三角形旋转模型求解】 【例1】（1）如图1，与均是顶角为40°的等腰三角形，BC、DE分别是底边，求证：； （2）如图2，和均为等边三角形，点A、D、E在同一直线上，连接BE． 填空：的度数为______；线段BE与AD之间的数量关系是______． 【分析】（1）根据顶角为40°，可得，进而证明即可得证； （2）根据等边三角形的性质可得，，方法同（1）求得，证明，可得，根据点A，D，E在同一直线上，即可求得，根据全等的性质即可得，进而可得 【详解】（1）证明∵， ∴，即． 在和中， ∴． ∴． （2）解：和均为等边三角形， ∴，，． ∴，即． 在和中， ∴，，， ∴． ∴，． ∵点A，D，E在同一直线上， ∴． ∴． ∴． 故答案为：， 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，全等三角形的性质与判定，掌握以上知识是解题的关键． 【变式1-1】如图，在边长为6的等边中，点为边上任意一点，连接将线段绕点逆时针旋转，点的对应点是点，连接、． （1）如图1，求证：； （2）如图2，在旋转过程中，取、的中点、，连接和，当时，试猜想与的大小关系，写出你猜想的关系式，并证明； （3）如图2，在整个旋转过程中，的长度是否发生变化，若不变化，直接写出的值，若变化，请直接写出的取值范围． 【分析】（1）根据SAS证△ABE≌△ACD，即可得证CD=BE，又AB=BC，即可得证结论； （2）取AD的中点H，连接HF，HG，BF，根据三角形的中位线定理得HG=AC，FH=ED，根据SAS证△BEF≌△GHF，得出FB=FG，又FB=FC，故FG=FC； （3）先判断当E点与B点重合时FG有最大值，当E点与C点重合时FG有最小值求出FG的取值范围即可． 【详解】解：（1）∵△ABC是等边三角形， ∴∠BAC=60°，AB=AC=BC， 由旋转可知，AE=AD，∠EAD=60°， ∴∠BAC=∠EAD， ∴∠BAE+∠EAC=∠EAC+∠CAD， ∴∠BAE=∠CAD， 在△ABE和△ACD中， ， ∴△ABE≌△ACD（SAS）， ∴BE=CD， ∴BC=BE+EC=CD+EC， ∴AB=EC+CD； （2）FG=FC， 理由：取AD的中点H，连接HF，HG，BF， ∵等边三角形ABC，AE⊥BC，点E是BC的中点， ∴∠CAE=∠BAC=30°，∠FEB=90°，FB=FC， ∵∠EAD=60°，AD=AE， ∴∠CAD=30°，△ADE是等边三角形， ∴DE=AE，∠ADE=60°， ∵点H是AD的中点，点F是AE的中点，点G是CD的中点，   ∴HG∥AC，HG=AC，FH∥ED，FH=ED， ∴∠DHG=∠DAC=30°，∠AHF=∠ADE=60°，FH=EF，GH=BE， ∴∠FHG=∠BEF=90°， 在△BEF和△GHF中， ， ∴△BEF≌△GHF（SAS）， ∴FB=FG， ∵AE⊥BC，点E是BC的中点， ∴FB=FC，   ∴FG=FC； （3）FG长度发生变化，3≤FG≤3， 理由：当点E与点B重合时，则点G与点C重合，此时FG最长，如下图， ∵△ABC是等边三角形，点F是AE的中点， ∴AF=AB=×6=3， ∴， 当点E与点C重合时，此时FG最短，如下图， ∵点F是AE的中点，点G是CD的中点， ∴FG=AD=AC=×6=3， ∴． 【点睛】本题主要考查图形的旋转变换，涉及全等三角形的判定和性质，三角形的中位线，等边三角形的性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定和性质及等边三角形的性质是解题的关键． 【题型6：利用全等三角形一线三垂直模型求解】 【例1】如图，直角坐标系中，的顶点，分别在坐标轴上，且，，若点、的坐标分别为、，则点的坐标为 ．    【分析】过作轴于点，由，可得，从而证明，再根据全等三角形的性质即可求出，，通过线段和差与点在第四象限即可求解． 【详解】如图，过作轴于点，   ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∴点坐标为， 故答案为：． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握判定与性质的应用和全等三角形的垂线模型． 【变式1-1】在中，，过点C作直线，过点A作于点M，过点B作于点N． （1）如图1，当直线在外时，证明：． （2）如图2，当直线经过内部时，其他条件不变，则与之间有怎样的数量关系？请说明理由． 【分析】（1）根据题目条件可以证明，然后根据全等的性质就可以证得结论； （2）依然是证明，再根据全等对应边相等即可得出结论； 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 在和中， ∴， ∴．   ∵， ∴．   （2）解：．   ∵， ∴． ∴． ∵， ∴， ∴． 在和中， ∴， ∴．   ∵， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，能熟练运用直角三角形的性质，全等三角形的判定是解决本题的关键，本题图形虽然变了，但解题思路不变． 【题型7：全等三角形综合性问题】 【例1】如图，在中，是边上的高线，是的角平分线，平分交BC于点E，交于点M，连接，交于点N，且．现有以下结论：①；②；③；④．其中所有正确结论的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据垂直的定义和三角形的内角和即可判断①；根据是的高，得到，结合分别是的角平分线，平分，得到，从而确定，判断②错误；证明得，由此可对结论③进行判断；利用全等三角形判定推出，得到，再判定推出，判断④． 【详解】解：① 因为，， 所以． 又， ，结论①正确． ②解：∵是的高， ∴， ∴， ∵分别是的角平分线，平分， ∴，， ∴， ∴，故②错误； ③∵是的高，， ∴， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，故结论③正确； ④是的高，， ， 又， ， 又， ， 又，， ， ， 又，， ， ∴， 故④错误； 综上，正确结论是①③，共2个， 故选：B． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形的角平分线和高、三角形内角和定理等知识，熟练掌握以上知识点，找出图形中的全等三角形并证明是解题的关键． 【变式1-1】如图，若，平分，，平分，下列结论： ①；②；③；④；⑤若为中点，则．其中正确的有 ．（只填序号）    【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，全等三角形的判定和性质等，由三角形内角和定理可得，由平行线的性质和角平分线的定义得，即可得，即可判定①；进而可判定②；由角平分线的定义和三角形外角性质得，又由等腰三角形的性质和三角形内角和定理得，即得，可得，即可判定③；由平行线的性质和三角形内角和定理可得，即可判定④；延长交于，可证，得到，，可得，进而得到，即可判定⑤，综上即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：在中，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴，故①正确； ∵， ∴，故②正确； ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即，故③正确； ∵， ∴， 即， ∵， ∴， 故④)错误； 如图，延长交于，    ∵， ∴， ∵为的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴，故⑤正确； 综上所述，正确结论是①②③⑤， 故答案为：①②③⑤． 【题型8 利用全等三角形的判定与性质求最值】 【例1】如图，和是等腰直角三角形，，连接、． 若，，则四边形面积的最大值为 ． 【答案】50 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质；证明，则四边形面积的最大时，的面积最大，当时，取得最大值，即可求解． 【详解】解：如图所示，延长至，使得，连接， ∵和是等腰直角三角形，， ∴，，，即， ∴， ∴四边形的面积等于， 当面积最大时，四边形面积最大， ∵是定值，是定值， ∴当时，的面积取得最大值， ∵，， ∴四边形的面积的最大值为 ． 故答案为：50． 【变式1-1】如图，等边与关于直线对称，且的边长为3，为线段上一动点，则的最小值是 ． 【答案】6 【分析】此题考查了等边三角形的性质，轴对称的性质，全等三角形的判定及性质，最短路径问题，正确掌握全等三角形的判定是解题的关键．根据等边三角形的性质及轴对称的性质得到，，证明，得到，推出当A、D、三点共线时，最小，此时． 【详解】解∶如图，连接， 由对称性质可知，． ． ． ． ．， ∴当A、D、三点共线时，最小，此时． 故答案为∶6． 【题型9 利用全等三角形的判定与性质求面积】 【例1】如图，已知的面积为6，平分，且于点，则的面积是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的面积，主要利用了等底等高的三角形的面积相等，证明全等三角形是解题的关键．根据已知条件证得，根据全等三角形性质得到，得出，，推出． 【详解】解： 平分， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，， ， 故选：C． 【变式1-1】如图，在中，，，F是边上的中点，点D，E分别在边上运动，且保持．连接，则面积的最大值为 ．    【答案】 【分析】首先证明出，得到，进而得到，推理出要的面积最大，则的面积最小即可，然后得到当最小时，的面积最小，最后利用求解即可． 【详解】如图，连接，    ∵在中，，，点F是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵为定值， ∴要的面积最大，则的面积最小即可， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， 则当最小时，的面积最小， 当时，最小，此时， ∴． 故答案为：． 【点睛】此题考查了全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 【题型10 尺规作图与全等三角形的交互应用】 【例1】如图，在中，，，，以A为圆心，以适当的长为半径作弧，交于点，交于点．分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点，作射线，交于点，点在边上，，连接，则的周长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握作角平分线的方法，以及全等三角形的判定和性质进行解题． 根据题意，先证明，则，，即可求出答案． 【详解】解：根据题意可知，是的角平分线， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴的周长为：． 故答案为：． 【变式1-1】如图，给出了小明一个画图的过程，这个画图过程说明的事实是（    ）    A．两个三角形的两条边和夹角对应相等，这两个三角形全等 B．两个三角形的两个角和其中一角的对边对应相等，这两个三角形全等 C．两个三角形的两条边和其中一边对角对应相等，这两个三角形不一定全等 D．两个三角形的两个角和夹边对应相等，这两个三角形不一定全等 【答案】C 【分析】根据全等三角形的判定进行判断即可． 【详解】解：根据作图可知：两个三角形的两条边和其中一边对角对应相等，其中角的对边不确定，可能有两种情况，故三角形不能确定， 所以两个三角形的两条边和其中一边对角对应相等，这两个三角形不一定全等， 故选：C． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定，熟知三角形全等的判定是解题的关键． 【题型11 与全等三角形有关的多结论问题】 【例1】如图，已知平分，于，，则下列结论：①；②；③；④；其中正确结论的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线的定义，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质．熟练掌握角平分线，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质是解题的关键． 如图，在上取点使，证明，则，，由，可得，进而可得，则，，可判断③的正误；由，可得，进而可得，可判断②的正误；，可判断①的正误；由，，可得，可判断④的正误． 【详解】解：如图，在上取点使， ∵平分， ∴， ∵，，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，，③正确，故符合题意； ∵， ∴， ∴，②正确，故符合题意； ∴，①正确，故符合题意； ∵，， ∴，④错误，故不符合题意； 综上：正确的有①②③，共3个， 故选：C． 【变式1-1】如图，在中，，，点为中点，直角绕点旋转，，分别与边，交于，两点，下列结论：①是等腰直角三角形；②；③；④，其中正确结论是（    ）    A．①②④ B．②③④ C．①②③ D．①②③④ 【答案】C 【分析】根据等腰直角三角形的性质可得，根据同角的余角相等求出，然后利用“角边角”证明，即可判断出③正确；根据全等三角形对应边相等可得，从而得到是等腰直角三角形，判断出①正确；再求出，判断出②正确；根据，利用三角形的任意两边之和大于第三边可得，判断出④错误． 【详解】解：∵，， ∴是等腰直角三角形， ∵点D为中点， ∴，，， ∴， ∵是直角， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴，故③正确； ∴， 又∵是直角， ∴是等腰直角三角形，故①正确； ∵，， ∴，故②正确； ∵， ∴，故④错误； 综上所述，正确的结论有①②③； 故选：C． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、同角的余角相等的性质、三角形三边的关系；熟练掌握等腰直角三角形的性质，并能进行推理论证是解决问题的关键． 第十四章《全等三角形》单元压轴卷 注意事项： 1.本次考试是数学，建议用时120分钟完成。数学满分120分。 2.考试范围：八年级数学第十四章 第一部分 选择题(共30分) 1、 选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分；在每小题给出的四个选项中，有且只有一个是正确的） 1．手工制作课上，老师在一张纸板上挖去了如图所示一个三角形，那么在甲、乙、丙三个同学制作的三角形中，和老师的三角形全等的是（     ） A．甲 B．乙 C．丙 D．乙和丙 【答案】D 【知识点】用SAS证明三角形全等（SAS）、用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS） 【分析】根据全等三角形的判定定理，即可解答． 【详解】解：由题意和图可知，甲同学制作的三角形与老师的三角形有两边和一角相等，但是角不是两边的夹角，所以不能判定其全等； 乙同学制作的三角形与老师的三角形也是两边和一角相等，并且角是两边的夹角，所以两个三角形全等； 丙同学制作的三角形与老师的三角形有两角一边对应相等，也可判定其全等， 所以，和老师的三角形全等的是乙和丙． 2．如图所示，在和中，，点，，在同一条直线上，且，于点，若，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】同(等)角的余(补)角相等的应用、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】根据同角的余角相等得出，利用证明，得出，，进而求出的长． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵，即， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴. 3．如图，一名工作人员不慎将一块三角形模具打碎成三块，他只要带第③块碎片去商店，就可以配出一块与原来完全一样的三角形模具，这样做利用全等三角形的判定依据是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS） 【详解】解：他带第③块碎片去是因为第③块保留了该三角形的两个角及其夹边，所以他利用了全等三角形的判定依据是． 4．如图，已知，以点O为圆心，适当长为半径画弧，分别交边，于点C，D；以点O为圆心，大于长为半径画弧，分别交边，于点E，F；连接，，交点为G，作射线．则下列结论一定正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】全等三角形的性质、全等的性质和SSS综合（SSS）、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、作角平分线(尺规作图) 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质．解题关键在于根据作图步骤提取出相等的线段（，），进而证明和，最终利用证明，从而得出平分的结论． 【详解】∵由作图可知，， ∴， 在和中， ∵ ∴（）， ∴； 在和中， ∵ ∴（） ∴； 在和中， ∵ ∴（） ∴， ∴， ∴选项正确． 5．如图，是的角平分线，，垂足为F．若，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题、全等三角形综合问题 【分析】由题意易得，，然后可得，，进而根据全等三角形的性质进行求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵是的角平分线，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 6．如图，在中，平分，交于点D，点分别在边上，连接，过D作于F．已知，，，则的面积为（     ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】A 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、角平分线的性质定理 【分析】过点作，利用角平分线的性质，证得和，根据等量代换进行求解． 【详解】解：如图所示，过点作交于点， ∵平分，，， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵平分，，， ∴， 在和中，， ∴， ∴，， ∵， ∴， 解得． 7．如图，在中，，点在边上，过点作，过点作，交的延长线于点，．若，，则的长是（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】证明，得到，最后根据求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 8．如图，厘米，厘米，，如果点在线段上以2厘米秒的速度由点向点运动，同时，点从点出发沿射线运动，若经过秒后，与全等，则的值是（     ） A．1 B． C．1或 D．1或2 【答案】C 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、全等三角形的性质 【分析】根据，分和两种情况，利用对应边相等列方程求解． 【详解】解：设运动时间为秒，则，， 当时，， 解得； 当时，， 解得， 综上所述，的值是或． 9．如图，点是的角平分线上一点，于点，点是线段上一点．已知，，点为上一点，若满足，则的长度为（     ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【知识点】全等的性质和HL综合（HL）、角平分线的性质定理 【分析】如图，过点作于点，由角平分线的性质得，，证明得，而，则，证明得，再分两种情况讨论，一是点在线段上，则，二是点在线段的延长线上，则，于是得到问题的答案． 【详解】解：如图，过点作于点， ∵点是的角平分线上一点，，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵点为上一点，点是线段上一点，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 如图1，点在线段上， 此时； 如图2，点在线段的延长线上， ， 此时， 综上所述，的长度为或． 10．如图，中，为的平分线，交于点，过点作，垂足为点，交于点，点分别为上一个动点，则的最小值为（     ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【知识点】全等三角形综合问题、角平分线的性质定理 【分析】过作于，在线段上取一点，使，连接，，根据角平分线得到，，再证明，得到，则，最后根据点分别为上一个动点，得到当在上，与重合时，最小． 【详解】解：过作于，在线段上取一点，使，连接，， ∵为的平分线，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴当在上时， ∵点分别为上一个动点， ∴当在上，与重合时，最小． 第二部分 非选择题 (共90分) 二、填空题(本题共4个小题。每空3分。共12分) 11．如图，和中，顶点B，F，C，E在同一直线上，且，，请再添加一个条件，使，这个条件是______．（写出一个即可） 【答案】 【知识点】添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合） 【分析】根据全等三角形的判定定理进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， 添加， ∴； 添加， ∴； 添加， ∴， ∴； 故答案为：（答案不唯一）． 12．如图，，，，，垂足分别为D、E，若，，则长为______． 【答案】 3 【知识点】直角三角形的两个锐角互余、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】根据垂直的定义得到，利用同角的余角相等证明，结合利用证明，根据全等三角形对应边相等得到，结合线段的和差关系计算即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ． 13．如图，的面积为，平分，过点作于点，连接，则的面积为___________． 【答案】 【知识点】根据三角形中线求面积、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】延长交于点，根据角平分线的定义和垂直的定义，利用证明，从而得到，即为的中点，再根据三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，可得的面积等于面积的一半； 【详解】解：延长交于点， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴． 14．如图，在中，是角平分线，是中线，交于点．若，，的面积为8，则的面积为_________． 【答案】3 【知识点】根据三角形中线求面积、角平分线的性质定理 【分析】根据题意得和，过点作于点，过点作于点，根据角平分线得，则有，结合，解得，即可得． 【详解】解：∵是中线，， ∴， ∵的面积为8， ∴， 过点作于点，过点作于点，如图， ∵是角平分线， ∴， ∵，，， ∴， 则， ∵， ∴， 则． 三、解答题（共78分） 15．如图，在和中，点A、B、C、D在一条直线上，已知，，，若用“”证明，需添加什么条件？写出来并证明． 【答案】解：条件是，证明如下： ，， ， 和是直角三角形， 在和中， ， ． 【知识点】用HL证全等（HL） 【分析】根据判断出添加条件，进而证明即可． 【详解】略． 16．如图，点在线段上，已知，，． (1)求证： (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴． (2)8 【知识点】两直线平行内错角相等、用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS） 【分析】（1）先得出，再根据定理即可得证； （2）得出，，即可得的长． 【详解】（1）略． （2）解：由（1）已证：， ∴，， ∵，， ∴，， ∴． 17．如图，，点在边上（不与点，重合）与交于点． (1)若，，求的度数； (2)若，，求与的周长和． 【答案】(1) (2) 【知识点】全等三角形的性质 【分析】（1）利用全等三角形的性质和等量代换求解即可； （2）利用全等三角形的性质结合题目条件求解即可． 【详解】（1）解：， ，即， ， ，， ， ， （2）解：， ，， 与的周长和为． 18．如图①是一个鱼尾形风筝，风筝骨架如图②所示，其中主骨架，垂足为点O，，平分，这样设计能够保证两翼宽度一致（即），从而平稳飞行． (1)请说明这样设计的理由； (2)要给骨架贴上布面，连接、，若风筝主骨架的长为，，则需要的布料面积（即四边形的面积）是多少？（不包含尾翼和飘带） 【答案】(1) 解：∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，垂足为点O， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； (2) 【知识点】垂线的定义理解、与三角形的高有关的计算问题、全等三角形综合问题 【分析】（1）证明，再证明，即可求解； （2）根据面积的计算得到，代入计算即可． 【详解】（1）略； （2）解：根据题意，连接， ∵， ∴，， ∵ ∴． 19．图1是一个平分角的仪器，其中，． (1)如图2，将该仪器放置在上，使点O与顶点A重合，点D，E分别在边，上，连接并延长，交于点P．求证：平分． (2)如图3，在（1）的条件下，过点P作于点Q，若，，的面积为60，求的长． 【答案】(1)证明：在和中， ， , , 平分； (2)12 【知识点】角平分线的有关计算、全等的性质和SSS综合（SSS）、角平分线的性质定理 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、角平分线的判定与性质定理，熟练掌握相关性质定理是解题的关键． （1）易证明，则，从而得出结论； （2）过点P作于M，根据角平分线的性质定理得到，利用求解即可． 【详解】（1）略； （2）解：过点P作于M， 平分，， ， ， ， 解得：． 20．如图，直线，平分，过点作交于点C．动点D，E同时从点A出发，其中动点E以的速度沿射线运动，动点以的速度在直线上运动．已知，设动点D，E的运动时间为． (1)的度数为________； (2)当点D沿射线运动时，若，求t的值； (3)当动点D在直线上运动时，是否存在某个时间t，使得与全等？若存在，请求出时间t的值；若不存在，请说出理由． 【答案】(1) (2)或4 (3)2或6 【知识点】直角三角形的两个锐角互余、全等的性质和SAS综合（SAS）、角平分线的性质定理、等腰三角形的性质和判定 【分析】（1）根据角平分线的定义、直角三角形的锐角互余即可解决问题； （2）作于，于．由平分，推出，由，，，可得，解方程即可解决问题． （3）存在．由，，可知当时，，列出方程即可解决问题． 【详解】（1）解：如图1中， ， ， 平分， ， ， ， ， 故答案为：； （2）解：如图2中， ①当在线段上时，作于，于． 平分， ， ，，， ， ； ②当点运动到延长线上，同法可得时，也满足条件， 当或4时，满足； （3）解：存在某个时间，使得与全等；理由如下： 由（1）知，， 是等腰直角三角形， ，， 当时，， ， ， 时， 当在延长线上时，， 解得：， 综上所述，满足条件的的值为2或6， 故答案为：2或6． 【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，三角形的面积等知识，解题的关键是学会构建方程解决问题，属于中考常考题型． 21．综合实践： (1)如图1，在中，，直线l经过点A，分别从点B，C向直线l作垂线，垂足分别为D，E．求证：； 【变式探究】 (2)如图2，在中，，直线l经过点A，点D，E分别在直线l上，如果，猜想有何数量关系，并说明理由； 【拓展应用】 (3)小明在科技创新大赛上创作了一幅机器人图案，大致图形如图3所示，以的边为一边向外作和，其中，，是边上的高．延长交于点H，设的面积为，的面积为，猜想大小关系，并说明理由． 【答案】(1)∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 在和中， ​， ∴（）． (2)．理由如下： ∵，且，， ∴． 在和中， ， ∴（）， ∴，， ∴， 即． (3)​，理由如下： 过点作延长线于，过点作于，则． ∵是边上的高， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 在和中， ， ∴（）， ∴． 同理可证： （）， 得， ∴． ∵的面积，的面积， ∴． 【知识点】同(等)角的余(补)角相等的应用、与三角形的高有关的计算问题、三角形内角和定理的应用、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰三角形的定义 【分析】（1）先根据垂直定义得，因为，所以可推出与互余，进而得，结合，用判定三角形全等． （2）根据，利用平角定义和三角形内角和推出一组对应角相等，结合，用证，再根据线段和差关系推导的数量关系． （3）分别过D、E作的垂线，垂足为M、N，先仿照（1）的思路证、，得到，进而得，根据同底等高三角形面积相等判断与的关系． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $