第5章 二次函数单元检测题（1）2026-2027学年北师大版数学九年级上册

2026-2027学年北师大版数学九年级上期二次函数单元检测题（1） 1． 选择题 1.长为，宽为的矩形，四个角上分别剪去边长为的小正方形，然后把四边折起来，做成底面积为的无盖的长方体盒子，则与之间的函数关系式为（ ） A． B． C． D． 2.已知二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 3.关于抛物线，下列说法正确的是（     ） A．开口向上 B．对称轴是直线 C．顶点坐标是 D．时，y随x增大而减小 4.关于二次函数的图象与性质．下列四个结论中正确的是（     ） A．其图象顶点坐标为 B．随着的增大而减小 C．其图象可以看作是抛物线平移得到 D．当时，的值都大于 5.已知抛物线上有三点，，，则，，的大小关系为（     ） A． B． C． D． 6.如图，物流无人机在配送包裹时，将无人机当作一个点看，其飞行轨迹可近似看作抛物线的一部分，设无人机从地面原点处起飞，飞行路线为 ，已知无人机在飞行过程中达到的最大高度为米，则该抛物线的解析式为（     ） A． B． C． D． 7.如图所示，在中，，，点是边上一动点，沿的路径移动，过点作于点，设，的面积为S，则下列能大致反映S与m函数关系的图象是（     ） A． B． C． D． 8.在平面直角坐标系中，函数的图象为，关于y轴对称的图象为，则直线（a为常数）与，的交点共有（     ） A．2个 B．1个或2个 C．0个或2个或3个或4个 D．无数个 9.二次函数的图象如图所示，对称轴是直线．下列结论：①；②；③；④(为实数)．其中结论正确的个数为(     ) A．1 B．2 C．3 D．4 10.下面表格中的数据是二次函数的几组对应值．根据表中的数据我们可以判断：当时，自变量x的取值范围是（     ） x … 0 1 2 3 4 … y … 0 0 5 … A． B．或 C． D．﹣ 二．填空题 11．两个正方形的周长之和是．若以两个正方形面积之和为因变量，其中一个正方形的边长（单位：）为自变量，则它们之间的关系式是_______． 12．当时，二次函数的最大值为________． 13．如图，是抛物线形沟渠，当沟渠水面宽度时，水深，当水面上升时，水面宽度为________m 14.如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，，则不等式的解集是___________ ． 15.如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴只有一个交点M，与平行于x轴的直线l交于A、B两点．若，则点M到直线l的距离为________． 三．解答题 16.已知直角三角形两条直角边的长的和为． (1)当它的一条直角边的长为时，求这个直角三角形的面积； (2)设这个直角三角形的一条直角边的长为，面积为，求与之间的函数关系式． 17.如图，用长的护栏全部用于建造一个靠墙（墙的长度不限）的长方形养牛场，已知此长方形养牛场的面积为，且与墙平行的边长为． (1)求与之间的函数解析式； (2)当边长为何值时，该长方形面积最大？并求出其最大值． 18.如图，抛物线与x轴交于A、B两点，直线l与抛物线交于A、C两点，其中C的横坐标为1． (1)求直线l的表达式； (2)点P是线段上的一个动点（点P与点A、C不重合），过点P作y轴的平行线交抛物线于点E，求的最大值． 19．某厂商投产一种新型科技产品，每件制造成本为18元，试销过程中发现，每月销售量y（万件）与销售单价x（元）之间的关系可以近似地看作一次函数． (1)写出每月的利润L（万元）与销售单价x（元）之间的函数关系式； (2)当销售单价为多少元时，厂商每月能获得最大利润?最大利润是多少? 20．如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，直线与抛物线交于两点． (1)求抛物线的函数解析式． (2)若是抛物线上的点且在直线的上方，连接，，当的面积最大时，求点的坐标及该面积的最大值． (3)若是直线上方的抛物线上的点，连接，且，直接写出点的坐标． 参考答案 一、选择题 1. C 2. D 3. D 4. C 5. D 6. C 7. C 8. C 9. C 10. B 二、填空题 11. y = 2x² − 16x + 64（0 < x < 8） 12. 10 13. 4√3 14. −2 ≤ x ≤ 1 15. 4 三、解答题 16. 已知直角三角形两条直角边的长的和为10cm。 (1) 当一条直角边的长为4.5cm时，另一条直角边为10 − 4.5 = 5.5(cm) 这个直角三角形的面积为： S = (1/2) × 4.5 × 5.5 = (1/2) × 24.75 = 12.375 cm² (2) 设一条直角边的长为x cm，则另一条直角边为(10 − x) cm 面积 S = (1/2) × x × (10 − x) = (1/2)(10x − x²) S = −(1/2)x² + 5x（0 < x < 10） 17. 用60m长的护栏建造靠墙的长方形养牛场，与墙平行的边长为x(m)，面积为y(m²)。 (1) 与墙平行的边长为x m，则两条垂直于墙的边各长为(60 − x)/2 m y = x × (60 − x)/2 y = −(1/2)x² + 30x（0 < x < 60） (2) y = −(1/2)x² + 30x = −(1/2)(x² − 60x) = −(1/2)(x² − 60x + 900 − 900) = −(1/2)[(x − 30)² − 900] = −(1/2)(x − 30)² + 450 因为−(1/2) < 0，所以当x = 30时，y取得最大值450。 答：当x = 30m时，长方形面积最大，最大面积为450 m²。 18. 抛物线y = −x² + 4与x轴交于A、B两点，直线l与抛物线交于A、C两点，C的横坐标为1。 由y = −x² + 4 = 0得x = ±2，所以A(−2, 0)，B(2, 0)。 C的横坐标为1，代入抛物线得y = −1 + 4 = 3，所以C(1, 3)。 (1) 设直线l的表达式为y = kx + b 代入A(−2, 0)和C(1, 3)： −2k + b = 0 k + b = 3 解得k = 1，b = 2 直线l的表达式为y = x + 2。 (2) 点P在线段AC上，设P(t, t + 2)，其中−2 < t < 1。 过P作y轴的平行线交抛物线于点E，则E(t, −t² + 4)。 PE = (−t² + 4) − (t + 2) = −t² − t + 2 = −(t² + t) + 2 = −(t + 1/2)² + 1/4 + 2 = −(t + 1/2)² + 9/4 因为−(t + 1/2)² ≤ 0，所以当t = −1/2时，PE取得最大值9/4。 PE的最大值为9/4。 19. （1）解：由题意，单件利润：元，销售量， ， 结合实际意义，销售量， 即，； 单价高于成本，自变量取值范围：． 函数关系式：． （2）解：对于二次函数，，，， 对称轴：， 在取值范围内，将代入利润函数： ， 当销售单价为元时，每月获得最大利润，最大利润为万元． 20.（1）解：抛物线经过，， ， 解得， 抛物线的函数解析式为； （2）解：如图，过点作轴，交于点， 直线与抛物线交于两点， ，解得，， 当时，， 当时，， ，， ， 设点，的面积为，则点， ， 则， 即， ， 当时，S取得最大值为， 则， 当点时，的面积最大为； （3）解：当时，，解得，， ，则， 如图，过点作的垂线并取点（在直线的上方），使得，过点作轴于点，过点作轴于点，连接交抛物线于点， ， ，，则， ，轴，轴， ， ， ， 在和中， ， ， ，， 则， ， 设直线的解析式为，代入，， ，解得， ， ， 点是满足条件的点， ，解得（舍去），， 当时，， ． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $