第三章 第10课时 相似三角形的性质(2)（校本作业）-【宝典训练】2026-2027学年九年级上册数学高效课堂Word教师用书（北师大版·新教材）

第10课时　相似三角形的性质(2) 1．下列命题中错误的是(C) A．相似三角形的周长比等于对应中线的比 B．相似三角形对应高的比等于相似比 C．相似三角形的面积比等于相似比 D．相似三角形对应角平分线的比等于相似比 2．若△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF的面积比为25∶36，则△ABC与△DEF的对应边的比是(A) A．5∶6 B．6∶5 C．25∶36 D．36∶25 3．如图，在△ABC中，DE∥BC，＝，则S△ADE∶S△ABC等于(D) A．1∶2 B．1∶3 C．1∶4 D．1∶9 4．若△ABC∽△DEF，相似比为1∶2，则△ABC与△DEF的周长比为1∶2，面积比为1∶4。 5．如果两个相似三角形的面积之比为4∶9，这两个三角形的周长和是100 cm，求较小的三角形的周长。 解：∵两个相似三角形的面积之比为4∶9， ∴这两个三角形的周长之比为2∶3， 设两个三角形的周长分别为2k，3k(k≠0)， 又∵这两个三角形的周长的和是100 cm， ∴2k＋3k＝100，解得k＝20， 故较小的三角形的周长为2×20＝40(cm)。 6．下列命题中真命题是(D) A．若两个三角形的周长相等，则这两个三角形一定相似 B．若两个三角形的面积相等，则这两个三角形一定相似 C．若两个三角形的两边与第三边上的高对应成比例，则这两个三角形一定相似 D．若两个三角形的两边与第三边上的中线对应成比例，则这两个三角形一定相似 7．某小区广场有两块相似的三角形草坪，相似比为2∶3，面积差是30 m2，则小区广场两块相似的三角形草坪面积分别是24 m2，54 m2。 8．如图，平行于BC的直线DE把△ABC分成面积相等的两部分，则＝。 9．如图，分别取等边三角形ABC各边的中点D，E，F，得△DEF。若△ABC的边长为a。 (1)△DEF与△ABC相似吗？如果相似，相似比是多少？ 解：(1)根据三角形中位线定理得 DE＝a，EF＝a，DF＝a， ∴DE＝DF＝EF， ∴△DEF是等边三角形， ∴△DEF与△ABC相似，相似比为。 (2)分别求出这两个三角形的面积。 (3)这两个三角形的面积比与边长之比有什么关系吗？ 解：(2)连接AE，如答图。 ∵△ABC是等边三角形，且E为BC的中点， ∴AE⊥BC， ∴△ABC的面积为AB·AE＝a·＝a2， 同理△DEF的面积为·a·＝a2。 (3)S△DEF∶S△ABC＝a2∶a2＝∶1＝1∶4， 即这两个三角形的面积比等于边长之比的平方。 10．如图，在▱ABCD中，E为BC的中点，连接AE交对角线BD于点F。 (1)△ADF与△EBF的面积比为4∶1； (2)若△ADF的周长为24，求△EBF的周长。 解：(2)∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD＝BC， ∴△ADF∽△EBF， ∵E为BC的中点，∴＝， ∴＝， ∵△ADF的周长＝24， ∴△EBF的周长为12。 11．如图，在△ABC中，BA＝BC＝12 cm，AC＝16 cm，点P从点A出发，沿AB以3 cm/s的速度向点B运动，同时点Q从点C出发，沿CA以4 cm/s的速度向点A运动，当点P到达点B时，两点同时停止运动。设运动的时间为x s。 (1)当x为何值时，△APQ与△CQB相似？ (2)当＝时，请直接写出的值。 解：(1)由题意得AP＝3x cm，QC＝4x cm， ∴AQ＝(16－4x) cm， ∵BA＝BC，∴∠A＝∠C。 ①当△APQ∽△CQB时，＝，即＝， 解得x＝； ②当△APQ∽△CBQ时，＝，即＝， 解得x1＝－2＋2，x2＝－2－2(舍去)。 综上所述，当x为或－2＋2时，△APQ与△CQB相似。 (2)当＝时，S△ABQ＝S△ABC。 ∵△BQC的QC边上的高和△ABC的AC边上的高相等，∴QC＝AC＝4 cm，此时运动的时间为1 s， 则AP＝3 cm，BP＝AB－AP＝12－3＝9(cm)， ∴S△BPQ＝S△ABQ，∴S△BPQ＝S△ABC，∴＝。 学科网（北京）股份有限公司 $