第三章 微专题3 相似三角形判定定理的证明6大题型（校本作业）-【宝典训练】2026-2027学年九年级上册数学高效课堂Word教师用书（北师大版·新教材）

微专题3　相似三角形判定定理的证明6大题型 题型一　判断与相似三角形有关结论的正误 1．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝36°。分别以点A，C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧相交于点D，E，作直线DE分别交AC，BC于点F，G。以G为圆心，GC长为半径画弧，交BC于点H，连接AG，AH。则下列说法错误的是(C) A．AG＝CG B．∠B＝2∠HAB C．△CAH≌△BAG D．△ACG∽△BCA 2．如图，在△ABC中，AD是角平分线，BE是中线，AD＝BE，且AD⊥BE，垂足为F，G为DC的中点，连接DE，EG。下列结论错误的是(D) A．△AFB≌△AFE B．∠ADB＝∠ADE C．FD＝BE D．△CEG∽△CBE 3．如图，在Rt△ABC中，AB＝AC，D，E是斜边BC上两点，将△ACD绕点A顺时针旋转90°，得到△ABF，若△AED≌△AEF，下列结论：①∠DAE＝45°；②△ABD∽△EAF；③BE＋CD＝DE；④BE2＋CD2＝DE2。其中正确的是(D) A．①②③ B．②③④ C．①② D．①②④ 题型二　三角尺与相似三角形的综合运用 4．一副三角尺按如图1放置，图2为简图，D为AB中点，E、F分别是一个三角尺与另一个三角尺直角边AC，BC的交点，已知AE＝2，CE＝5，M为BC上一点，且满足∠CME＝2∠ADE，EM＝。 5．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝10，直角三角板的直角顶点P在AD上滑动，(点P与A，D不重合)，一直角边经过点C，另一直角边与射线AB交于点E。 (1)求证：△AEP∽△DPC； (2)当∠CPD＝30°时，求PE的长。 (1)证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠D＝∠A＝90°， ∴∠PCD＋∠DPC＝90°， 又∵∠CPE＝90°， ∴∠EPA＋∠DPC＝90°， ∴∠PCD＝∠EPA， ∴△AEP∽△DPC； (2)解：在Rt△PCD中，∠DPC＝30°，CD＝AB＝2， ∴CP＝2CD＝4， ∴PD＝＝＝6， ∵AD＝10， ∴AP＝10－6＝4， ∵∠CPE＝90°， ∴∠APE＝60°， ∵在Rt△APE中，∠AEP＝30°， ∴PE＝2AP＝8。 题型三　尺规作图与相似三角形的综合运用 6．如图，在△ABC中，∠B＝36°，AB＝BC。 (1)尺规作图：在BC上取一个点D，使得BD＝AD(保留作图痕迹，不写作法)； (2)求证：△DAC∽△ABC。 (1)解：如答图，点D即为所作。 (2)证明：∵AB＝BC，∠B＝36°， ∴∠BAC＝∠C， ∴180°＝∠BAC＋∠C＋∠B＝2∠BAC＋36°， ∴∠BAC＝∠C＝72°， ∵BD＝AD， ∴∠DAB＝∠B＝36°， ∴∠ADC＝∠B＋∠DAB＝36°＋36°＝72°， ∴∠ADC＝∠BAC， 又∵∠C＝∠C， ∴△DAC∽△ABC。 题型四　折叠与相似三角形的综合运用 7．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，点E在边AB上，AE＝2，连接DE，将△ADE沿着DE翻折，点A的对应点为P，连接EP，DP，分别交边BC于点F，G，如果BF＝BC，那么CG的长是。 8．如图，已知∠ABC＝135°，AB＝3，BC＝6，点P是边AC上任意一点，连接BP，将△CPB沿PB翻折，得到△C′PB。当C′P⊥AC时，AP的长为或。 题型五　相似三角形的判定与性质的综合运用 9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是边AB上一点，且＝。 (1)求证：△ACD∽△ABC； (2)若∠A＝60°，AD＝2，求AB的长。 (1)证明：∵＝， ∠A＝∠A， ∴△ACD∽△ABC。 (2)解：∵△ACD∽△ABC，∠ACB＝90°， ∴∠ADC＝∠ACB＝90°， ∵∠A＝60°， ∴∠ACD＝90°－60°＝30°，∠B＝90°－60°＝30°， 又∵AD＝2， ∴AC＝2AD＝4， ∴AB＝2AC＝8。 题型六　相似三角形与动点运动问题 10．在△ABC中，AB＝9，BC＝7，点D在边AB上，且BD＝2，点E在边BC上，当BE＝或时，以B，D，E为顶点的三角形与△ABC相似。 11．如图，已知AB⊥BC于点B，CD⊥BC于点C，AB＝4，CD＝6，BC＝14，P为直线BC上一点，若以A，B，P为顶点的三角形与以P，C，D为顶点的三角形相似，则这样的P点有6个。 学科网（北京）股份有限公司 $