第三章 图形的相似（5分钟小测）-【宝典训练】2026-2027学年九年级上册数学高效课堂Word教师用书（北师大版·新教材）

第三章　图形的相似 第1课时　相似多边形(1) 1．已知线段a，b，c，其中c是a、b的比例中项，若a＝9 cm，b＝4 cm，则线段c的长为(C) A．18 cm B．5 cm C．6 cm D．±6 cm 2．若线段c满足＝，且线段a＝4 cm，b＝16 cm，则线段c＝(C) A．6 cm B．7 cm C．8 cm D．9 cm 3．如图，四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，则B′C′的长度x和角β的大小分别是(D) A．x＝2，β＝78° B．x＝2，β＝88° C．x＝4.5，β＝78° D．x＝4.5，β＝88° 4．若线段a，b，c，d成比例，其中a＝5 cm，b＝7 cm，c＝4 cm，d＝_cm。 5．在比例尺为1∶5000000的地图上，量得甲、乙两地的距离是15 cm，则两地的实际距离750km。 6．已知线段a＝2厘米，c＝8厘米，则线段a和c的比例中项b是4厘米。 7．如图，若菱形ABCD的一条对角线长为8，边CD的长是方程x2－10x＋24＝0的一个根，则该菱形的周长为24。 第2课时　相似多边形(2) 1．由5a＝6b(a≠0)，可得比例式(D) A．＝ B．＝ C．＝ D．＝ 2．若a∶b＝2∶3，则下列各式中正确的式子是(B) A．2a＝3b B．3a＝2b C．＝ D．＝ 3．已知＝，那么的值为(B) A． B． C． D． 4．若＝＝，则等于(C) A．8 B．9 C．10 D．11 5．已知＝，则的值为。 6．若a∶b∶c＝1∶3∶2，且a＋b＋c＝24，则a＋b－c＝8。 7．已知线段a，b，c，d，如果＝＝，那么＝。 8．菱形具有而矩形不具有的性质是(A) A．对角线互相垂直 B．对边平行且相等 C．对角线相等 D．对角线互相平分 第3课时　探索三角形相似的条件(1) 1．下列各组图形中，一定相似的是 (C) A．两个等腰梯形 B．两个菱形 C．两个正方形 D．两个矩形 2．如图，在△ABC 中，点D 在边AB 上，点E 在边AC 上，且∠1＝∠2＝∠3，则与△ADE相似的三角形的个数为(A) A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 　　　　　　 3．如果一个三角形的两个角与另 一 个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。简单地说：两角对应相等， 两个三角形相似。 4．如图，△ABC是正三角形，D，E 分别是BC，AC上的点，当 ∠ADE＝60°时，△ABD∽△DCE。 5．如图，在△ABC中，D，E分别是AC，AB上的点，∠ADE＝∠B，AB＝10，AD＝8，DE＝4。 (1)求证：△ADE∽△ABC；(2)求BC的长。 (1)证明：∵∠ADE＝∠B，又∠A＝∠A， ∴△ADE∽△ABC； (2)解：由(1)得：△ADE∽△ABC，＝， 即＝，解得：BC＝5， 答：BC的长为5。 6．若2a＝3b，则＝。 第4课时　探索三角形相似的条件(2) 1．如图，点A，B，C，D，E，F，G，H，K都是7×8方格纸中的格点，为使△DEM∽△ABC，则点M应是F，G，H，K四点中的(C) A．F B．G C．H D．K 　 　　　　 2．如图，方格纸中△ABC和△EPD的顶点均在格点上，若△ABC∽△EPD，则点P所在格点为(C) A．P1 B．P2 C．P3 D．P4 3．在△ABC和△A′B′C′中，如果∠A＝34°，AC＝5 cm，AB＝4 cm，∠A′＝34°，A′C′＝2 cm，A′B′＝1.6 cm，那么这两个三角形是否相似？ 答：△ABC∽△A′B′C′，理由是因为这两个三角形中，有两组对应边的比相等，且相应的夹角相等。 4．如图，在△ABC中，点D在边BC上．已知AB＝7，AC＝6，BD＝5，CD＝4，则△ABC与△DAC是否相似？为什么？ 解：相似。在△ABC和△DAC中，∠C＝∠C，＝＝，＝＝，所以＝。根据“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”，可得△ABC∽△DAC。 5．如图，a∥b∥c，若AC＝5，CE＝10，DF＝12，则BD的长为6。 第5课时　探索三角形相似的条件(3) 1．如图，如果△ABC与△DEF都是正方形网格中的格点三角形(顶点在格点上)，那么△DEF与△ABC的周长比为(D) A．4∶1 B．3∶1 C．2∶1 D．∶1 2．在△ABC和△DEF中，如果AB＝4，BC＝3，AC＝6，DE＝2.4，EF＝1.2，FD＝1.6，那么这两个三角形是否相似？答：△ABC∽△DFE，理由是因为这两个三角形中，三组对应边的比相等。 3．在△ABC和△A′B′C′中，AB＝5 cm，BC＝8 cm，AC＝10 cm，B′C′＝12 cm，A′C′＝15 cm.当A′B′＝7.5 cm时，△ABC∽△A′B′C′。 4．如图，在△ABC中，点F，O，G在边BC上，点E在AO上，＝＝。求证：△EFG∽△ABC。 证明：∵＝，∠BOA＝∠FOE， ∴△OEF∽△OAB，同理△OGE∽△OCA。 ∴＝＝。又 ＝＝＝＝， ∴＝＝，∴△EFG∽△ABC。 5．如果正方形的一条对角线长为，那么它的面积是3。 第6课时　探索三角形相似的条件(4) 1．如果C是线段AB的黄金分割点C，并且AC>CB，AB＝1，那么AC的长度为(C) A． B． C． D． 2．在中华经典美文阅读中，小明同学发现一本书的宽与长之比为黄金比．已知这本书的长为20 cm，则它的宽约为(A) A．12.36 cm B．13.6 cm C．32.36 cm D．7.64 cm 3．黄金分割：一般地，点C把线段AB分成两条线段AC和BC(AC>BC)，如果＝，那么称线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比，黄金比为≈0.618。 4．已知线段AB的长为10厘米，点P是线段AB的黄金分割点，那么较长的线段AP的长等于(5－5)厘米。 5．如图，点C是线段AB的黄金分割点，AC>BC。写出黄金分割的比例式，指出其中的比例中项。 解：＝； 比例中项是AC。 6．已知菱形ABCD中对角线AC，BD相交于点O，添加条件AC＝BD或AB⊥BC可使菱形ABCD成为正方形。 第7课时　相似三角形判定定理的证明(1) 1．如图，在△ABC中，∠ADE＝∠B，DE∶BC＝2∶3，则下列结论正确的是(A) A．AD∶AB＝2∶3 B．AE∶AC＝2∶5 C．AD∶DB＝2∶3 D．CE∶AE＝3∶2 　 　　 　 2．如图，在△ABC中，DE∥BC，＝，DE＝4，则BC的长是(D) A．8 B．10 C．11 D．12 3．如图，已知AD∥BE∥CF，它们依次交直线l1，l2于点A，B，C和点D，E，F.如果AB＝6，BC＝10，那么的值是。 4．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，BC上，DE∥AC，若BD＝8，DA＝4，BE＝6，则EC＝3。 　　　　 　 5．如图，l1∥l2∥l3，AB＝AC，DF＝10，那么DE＝4。 6．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，DH⊥AB于点H，连接OH，若∠DHO＝20°，则∠HDB的度数是20°。 第8课时　相似三角形判定定理的证明(2) 1．如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于O，且将这个四边形分成①②③④四个三角形．若OA∶OC＝OB∶OD，则下列结论中一定正确的是(B) A．①和②相似 B．①和③相似 C．①和④相似 D．②和④相似 2．在△ABC和△DEF中，AB＝AC，DE＝DF，根据下列条件，能判断△ABC和△DEF相似的是(B) A．＝ B．＝ C．∠A＝∠E D．∠B＝∠D 3．△ABC和△A′B′C′，BC＝3，AC＝4，AB＝5；B′C′＝6，A′C′＝7，A′B′＝8，则△ABC和△A′B′C′不是(填“是”或“不是”)相似图形。 4．在△ABC和△A′B′C′中，∠A＝120°，AB＝7 cm，AC＝14 cm，∠A′＝120°，A′B′＝3 cm，A′C′＝6 cm。判断△ABC与△A′B′C′是否相似，并说明理由。 解：△ABC∽△A′B′C′。理由： ∵＝，＝＝.∴＝。 又∠A＝∠A′，∴△ABC∽△A′B′C′。 5．如图，正方形ABCD的边长为4 cm，∠ABE＝15°，且AB＝AE，则DE＝4cm。 第9课时　相似三角形的性质(1) 1．已知△ABC∽△DEF，且AB∶DE＝2∶3，则边AB与边DE上的高之比为(A) A．2∶3 B．4∶9 C．9∶4 D．16∶81 2．已知两个相似三角形的对应边之比为2∶3，则它们的对应角平分线之比为(C) A．3∶2 B．9∶4 C．2∶3 D．6∶9 3．已知△ABC∽△A′B′C′，顶点A，B，C分别与顶点A′，B′，C′对应，AD，A′D′分别是△ABC和△A′B′C′的角平分线，＝，AB＝9，则A′B′＝6。 4．已知△ABC∽△A′B′C′，顶点A，B，C分别与顶点A′，B′，C′对应，AD，A′D′分别是BC，B′C′边上的中线，如果BC＝3，AD＝6，B′C′＝2，那么A′D′的长是4。 5．如图，在△ABC与△DEF中，∠A＝∠D，∠B＝∠E，CM，FN分别平分∠ACB和∠DFE.若＝，AB＝6，求DE的长。 解：∵∠A＝∠D，∠B＝∠E， ∴△ABC∽△DEF。 ∵CM，FN分别平分∠ACB和∠DFE， ∴＝，即＝， ∴DE＝9。 6．如果＝，那么＝(D) A． B． C． D． 第10课时　相似三角形的性质(2) 1．若△ABC∽△A′B′C′且＝，△ABC的周长为15 cm，则△A′B′C′的周长为(B) A．18 cm B． 20 cm C． cm D． cm 2．已知两个相似三角形的相似比为2∶3，则它们的面积比为(B) A．2∶3 B．4∶9 C．3∶2 D．∶ 3．两个相似三角形的面积比为1∶4，那么这两个三角形的周长比为(A) A．1∶2 B．1∶4 C．1∶8 D．1∶16 4．若△ABC∽△DEF，且AB∶DE＝1∶3，则S△ABC∶S△DEF＝(B) A．1∶3 B．1∶9 C．1∶ D．1∶1.5 5．如果△ABC∽△DEF，相似比为2∶1，且△DEF的面积为4，那么△ABC的面积为(D) A．1 B．4 C．8 D．16 6．已知△ABC∽△DEF，若△ABC与△DEF的面积比为4∶1，则△ABC与△DEF的周长比为2∶1。 7．两个相似三角形的面积比是4∶9，那么这两个三角形最大角的角平分线之比为2∶3。 8．已知△ABC∽△DEF，它们的面积分别为18 cm2和8 cm2，若AB＝6 cm，则DE的长为4cm。 9．已知＝4，则的值等于(B) A． B． C．－ D．－ 第11课时　图形的位似(1) 1．如图，△ABC与△DEF是位似图形，位似比为2∶3，已知AB＝4，则DE的长等于(A) A．6 B．5 C．9 D． 2．图中的两个三角形是位似图形，它们的位似中心是(A) A．点P B．点O C．点M D．点N 3．在下列图形中，不是位似图形的是(D) 4．如图，线段AB的两个端点坐标分别为A(2，2)，B(4，2)，以原点O为位似中心，将线段AB缩小后得到线段DE。若DE＝1，则端点D的坐标为(C) A．(2，1) B．(2，2) C．(1，1) D．(1，2) 5．若两个相似三角形的面积比为4∶1，那么这两个三角形的对应边的比为(C) A．4∶1 B．1∶4 C．2∶1 D．16∶1 第12课时　图形的位似(2) 1．如图，在平面直角坐标系中，△OAB的顶点为O(0，0)，A(6，4)，B(4，0)，以点O为位似中心，在第三象限内作与△OAB的位似图形△OCD，相似比为，则点C的坐标为(C) A．(－1，0) B．(0，－1) C． D． 2．在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°.以点A为位似中心，把△ABC放大2倍后得△AB′C′，则∠B′等于(C) A．36° B．54° C．72° D．144° 3．在平面直角坐标系中，△OAB的三个顶点坐标分别为A(2，3)，B(3，1)，O(0，0).以原点O为位似中心，在第三象限画出△OA1B1，使它与△OAB的相似比是2。 　 解：∵△OAB的三个顶点坐标分别为A(2，3)，B(3，1)，O(0，0)，△OA1B1在第三象限，且与△OAB的相似比是2， ∴A1(－4，－6)，B1(－6，－2)，如图所示：△OA1B1即为所求。 4．从一块正方形的木板上锯掉2 m宽的长方形木条，剩下的面积是48 m2, 则原来这块木板的面积是(B) A．100 m2 B．64 m2 C．121 m2 D．144 m2 第13课时　☆问题解决活动：利用相似三角形测高 1．如图所示，某校数学兴趣小组利用标杆BE测量建筑物的高度，已知标杆BE高1.2 m，测得AB＝1.6 m，BC＝12.4 m，则建筑物CD的高是(C) A．8.5 m B．9.5 m C．10.5 m D．11.5 m 　　 　　 2．如图，道口栏杆短臂OA长1 m，长臂OB长8 m，当长臂外端B升高4 m时，短臂外端A下降的距离是(B) A．0.6 m B．0.5 m C．0.4 m D．0.3 m 3．如图， 测量小玻璃管口径的量具ABC，AB的长为10 cm，AC被分为60等份。如果小玻璃管口DE正好对着量具上20等份处(DE∥AB)，那么小玻璃管口径DE是cm。 4．如图，已知△ADE与△ABC的相似比为1∶2，若△ADE的面积为1，则三角形ABC的面积为(C) A．2 B．3 C．4 D．5 第14课时　《图形的相似》单元复习 1．若＝，则下列各式中不正确的是(D) A．＝ B．＝4 C．＝ D．＝ 2．阳光通过窗口AB照射到室内，在地面上留下2.7米的亮区DE(如图所示)，已知亮区到窗口下的墙角的距离EC＝8.7米，窗口高AB＝1.8米，则窗口底边离地面的高BC为(A) A．4米 B．3.8米 C．3.6米 D．3.4米 　　　　　　　　　　 3．若两个相似多边形的面积之比为1∶4，周长之差为6，则这两个相似多边形的周长分别是6和12。 4．如图，l1∥l2∥l3，AB＝6，DE＝5，EF＝7.5，则AC＝15。 5．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点O在坐标原点，边OA在x轴上，OC在y轴上，如果矩形OA′B′C′与矩形OABC关于点O位似，且矩形OA′B′C′的面积等于矩形OABC面积的，那么点B′的坐标是(C) A． B． C．或 D．或 学科网（北京）股份有限公司 $