第三章 图形的相似 素养检测（校本作业）-【宝典训练】2026-2027学年九年级上册数学高效课堂Word教师用书（北师大版·新教材）

第三章　《图形的相似》素养检测 (满分：100分　　时间：90分钟) 班级：____________　　学号：____________　　姓名：____________　　分数：____________ 一、选择题(本大题共8小题，每小题3分，共24分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的) 1．下列各组线段，能构成比例线段的是(C) A．3 cm，6 cm，7 cm，9 cm B．2 cm，8 cm，6 cm，5 cm C．3 cm，9 cm，18 cm，6 cm D．1 cm，2 cm，3 cm，4 cm 2．能判定△ABC∽△DEF的条件是(D) A．＝ B．＝，∠A＝∠F C．＝，∠B＝∠E D．＝，∠A＝∠D 3．如图，点P在△ABC的边AC上，要判断△ABP∽△ACB，添加一个条件，不正确的是(C) A．∠ABP＝∠C B．∠APB＝∠ABC C．＝ D．AB2＝AP·AC 　　　　　　　　　 4．如图，正五边形FGHMN与正五边形ABCDE相似。若AB∶FG＝3∶2，则下列结论正确的是(A) A．2DE＝3MN B．3DE＝2MN C．3∠A＝2∠F D．2∠A＝3∠F 5．如图，在△ABC中，DE∥BC，＝，若AB＝8，则BD的长为(D) A． B． C． D． 6．如图，点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果＝，那么下列说法错误的是(C) A．线段AB被点C黄金分割 B．点C是线段AB的黄金分割点 C．AB与AC的比等于黄金比 D．AC与AB的比等于黄金比 7．如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，B，C都在横线上，过点A的另一条直线分别与点B，C所在横线的交点为点D，E，则△ABD与△ACE的面积比为(B) A． B． C． D． 8．如图，△DEF为等边三角形，分别延长FD，DE，EF到点A，B，C，使DA＝EB＝FC，连接AB，AC，BC，连接BF并延长，交AC于点G。若AD＝DF＝2，则FG的长为(C) A． B． C． D． 　　　　　　　　　　　　 二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分) 9．如图，已知AB⊥CD，且△ABC∽△DBE，若AC＝2，DE＝3，则＝。 10．如图，AD∥EG∥BC，EG分别交AB，DB，AC于点E，F，G，已知AD＝6，BC＝9，AE＝9，AB＝12，则FG＝。 11．如图，在三角形纸片中，∠A＝80°，AB＝6，AC＝8.将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形相似的有①②④(请在横线上填上符合条件的序号)。 　　　　 12．击地传球是篮球运动中的一种传球方式，利用击地传球可以有效地躲避对手的拦截。如图，传球选手从点A处将球传出，经地面点O处反弹后被接球选手在点D处接住，将球所经过的路径视为直线，此时∠AOB＝∠COD，若点A距地面的高度AB为1.2 m，点D距地面的高度CD为0.8 m，传球选手与接球选手之间的距离BC为3 m，则OB的长为1.8m。 13．中国古代数学家刘徽在《九章算术注》中，用“出入相补”法证明了三角形面积公式。如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，作AF⊥DE于点F，沿虚线分割再重新拼接(无重叠无缝隙)成四边形GBCH。若DE＝4，AF＝3，则四边形DBCE的面积为18。 三、解答题(本大题共7小题，共61分) 14．(8分)若a∶b∶c＝1∶3∶2，且a＋b＋c＝24，求a＋b－c的值。 解：∵a∶b∶c＝1∶3∶2，∴设a＝x，b＝3x，c＝2x， ∵a＋b＋c＝24，即x＋3x＋2x＝6x＝24，解得x＝4， ∴a＝4，b＝12，c＝8，则a＋b－c＝4＋12－8＝8。 15．(8分)李老师有一天为了测量一棵高不可攀的银杏树高度，他利用了反射定律，利用一面镜子和皮尺，设计如图所示的测量方案：把镜子放在离银杏树AB根部8 m的点E处，然后观测者沿着直线BE后退到点D，这时恰好在镜子里看到树梢顶点A，再用皮尺量得DE＝2 m，观测者目高CD＝1.75 m，则树高AB约是多少？ 解：根据题意，得∠CDE＝∠ABE＝90°，∠CED＝∠AEB， ∴△ABE∽△CDE， ∴＝，即＝， 解得AB＝7。 答：树高AB约是7 m。 16．(8分)如图，AC，BD相交于点O，∠A＝∠D。 (1)求证：△AOB∽△DOC； (2)已知AO＝3，DO＝2，△AOB的面积为6，求△DOC的面积。 (1)证明：∵∠A＝∠D，又∠AOB＝∠DOC， ∴△AOB∽△DOC； (2)解：∵△AOB∽△DOC， ∴＝， ∴＝， 解得S△DOC＝。 所以△DOC的面积为。 17．(8分)如图，小方格都是边长为1的正方形，△ABC与△A′B′C′是以点O为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形的顶点上。 (1)画出位似中心点O； (2)求出△ABC与△A′B′C′的周长比与面积比。 解：(1)如答图，连接B′B，A′A并延长相交于一点，此点即为位似中心点O。 (2)由图形，得AB＝＝，A′B′＝＝2， ∴△ABC与△A′B′C′的周长比为1∶2，面积比为1∶4。 18．(9分)周末，小凯和同学带着皮尺，去测量杨大爷家露台遮阳篷的宽度。如图，由于无法直接测量，小凯便在楼前地面上选择了一条直线EF，通过在直线EF上选点观测发现，当他位于N点时，他的视线从M点通过露台D点正好落在遮阳篷A点处；当他位于N′点时，视线从M′点通过D点正好落在遮阳篷B点处，这样观测到的两个点A，B间的距离即为遮阳篷的宽。已知AB∥CD∥EF，点C在AG上，AG，DE，MN，M′N′均垂直于EF，MN＝M′N′，露台的宽CD＝GE，测得GE＝2.5 m，EN′＝3 m，N′N＝3.9 m。请你根据以上信息，求出遮阳篷的宽AB是多少米(结果精确到0.1 m)。 解：延长MM′交DE于点H，如答图， 则HM＝EN＝EN′＋N′N＝3＋3.9＝6.9(m)， CD＝GE＝2.5 m，MM′＝NN′＝3.9 m， 易知∠ACD＝∠DHM＝90°，CD∥HM， ∴∠ADC＝∠DMH， ∴Rt△ACD∽Rt△DHM，∴＝＝。 又易知AB∥MM′，∴△ABD∽△MM′D， ∴＝＝， 即＝，解得AB≈1.4。 ∴遮阳篷的宽AB约是1.4 m。 19．(10分)【跨学科】如图是凸透镜成像示意图，蜡烛AB通过凸透镜MN所成的像是CD，点O是凸透镜的中心，光线AE∥BO，点F是凸透镜的焦点，已知焦距OF的长为10 cm，蜡烛AB的长为8 cm，点D，B，O，F在同一条直线上。 (1)如图1，当蜡烛AB通过该凸透镜成正立放大的虚像CD时，若OB＝6 cm。 (i)填空：的值为； (ii)求此时虚像CD的高度； (2)如图2，当蜡烛AB通过该凸透镜成倒立缩小的实像CD，且CD＝AB时，求此时物距OB的长。 解：(1)(ⅱ)∵AB∥CD，∴△OAB∽△OCD，∴＝， ∵＝，∴＝，∴＝， ∴CD＝AB＝×8＝20(cm)， 即此时虚像CD的高度为20 cm。 (2)∵OE＝AB，∴CD＝AB＝OE，即＝， ∵OE∥CD，∴△CFD∽△EFO，∴＝＝， ∴DF＝OF＝×10＝(cm)， ∴OD＝OF＋DF＝10＋＝(cm)， ∵AB∥CD，∴△AOB∽△COD，∴＝＝＝， ∴OB＝OD＝×＝(cm)，即此时物距OB的长为 cm。 20．(10分)探究不同裁剪方式的面积大小问题 素材1 图1是一张直角三角形纸板，两直角边长分别为BC＝15 cm，AC＝20 cm，小华、小明、小富同学分别用这样的纸板裁剪出不一样的矩形，并使矩形的四个顶点都在三角形的边上。 素材2 小华同学按图2的方式裁剪出一个正方形；小明同学按图3的方式裁剪出一个矩形，且AH＝8 cm。 素材3 小富同学对纸板的裁剪按如下步骤：如图4， 步骤1：在直角三角形纸板上裁下一个矩形CDEF，矩形的四个顶点都在△ABC的边上； 步骤2：取剩下的纸板△ADE裁下一个正方形GHJI，正方形的四个顶点都在△ADE的边上，且满足矩形CDEF的边CF的长是正方形GHJI边长的两倍小0.9 cm。 问题解决 任务1 请比较小华、小明同学裁出的两种图形的面积大小，通过计算说明。 任务2 请求出小富同学裁下的矩形CDEF各边长。 解：任务1：小华：设正方形的边长为x cm，则AF＝(20－x)cm， 根据题意，得△AFD∽△ACB，∴＝，解得x＝，∴S小华＝()2＝(cm2)； 小明：根据题意，得AB＝＝25 (cm)，△AHG∽△ACB，∴＝，解得GH＝6 cm， ∴PQ＝GH＝6 cm。 又根据题意，得△BPQ∽△BCA，∴＝，解得PB＝ cm，∴HP＝25－8－＝(cm)， ∴S小明＝6×＝75(cm2)。∵75＞，∴S小明＞S小华。 任务2：根据题意，得△AHG∽△ACB，∴HG∶AH∶AG＝3∶4∶5， 设AH＝4a cm，HG＝3a cm，AG＝5a cm，∴DE＝CF＝(6a－0.9)cm， 同理可，得△GDI∽△ACB，∴＝，解得GD＝a cm，∴AD＝a cm。 根据题意，得△ADE∽△ACB，∴＝，解得a＝2，∴AD＝×2＝ (cm)， ∴矩形CDEF的边长为DE＝6×2－0.9＝(cm)，CD＝20－＝(cm)。 学科网（北京）股份有限公司 $