第一章 特殊平行四边形 素养检测（校本作业）-【宝典训练】2026-2027学年九年级上册数学高效课堂Word教师用书（北师大版·新教材）

第一章　《特殊平行四边形》素养检测 (满分：100分　　时间：90分钟) 班级：____________　　学号：____________　　姓名：____________　　分数：____________ 一、选择题(本大题共8小题，每小题3分，共24分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的) 1．矩形、菱形、正方形都具有的性质是(A) A．对边平行且相等，对角相等，对角线互相平分 B．都是轴对称图形，都有2条对称轴 C．都是中心对称图形，对称中心为对角线交点 D．四条边都相等，四个角都为直角 2．如图，直线a∥b，矩形ABCD的顶点A，D分别在直线b，a上，若∠2＝46°，则∠1的度数为(C) A．54° B．56° C．44° D．46° 　　　　　　　　　　　　 3．如图，正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，则下列说法不正确的是(D) A．AC⊥BD B．∠DAC＝∠BAC C．DO＝CO D．AD＝AO 4．如图，在菱形ABCD中，AB＝5，∠BCD＝120°，则BD的长度为(A) A．5 B． C．5 D． 5．如图，已知P是正方形ABCD对角线BD上一点，连接CP，CP平分∠ACD，则∠ACP的度数是(A) A．22.5° B．25° C．30° D．45° 　　　　　　　　　　 6．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，分别以点A和点C为圆心，以大于AC的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线MN，交AC于点D，连接BD。若BD＝5，则AC的长是(B) A．12 B．10 C．8 D．6 7．如图，菱形ABCD的边长为2，∠ABC＝60°，对角线AC，BD相交于点O，点E为OB中点，点F为AD中点，连接EF，则EF的长为(A) A． B． C． D． 8．如图，正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，E是BC边上一点，连接DE，将△DCE沿DE折叠，使得点C恰好落在BD上的点F处。若OA＝，则△BEF的周长是(A) A．2 B．2－2 C．2－ D．2＋ 二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分) 9．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD的长分别是3和6，则菱形ABCD的面积是9． 　　　　　　　　　　　　 10．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，E是边AC的中点。如果∠BCD＝25°，那么∠CED＝50°。 11．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作AH⊥BC交于点H，已知BD＝8，S菱形ABCD＝24，则AH＝。 12．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝10，E，F分别是边AB，DC的中点，点G，H在对角线AC上，如果四边形EGFH是矩形，那么AG的长等于－5。 13．如图，小敏同学在计算机软件上设计一个图案，画一个正方形覆盖在正方形ABCD的右下方，使其重叠部分是长方形，面积记为S3，两个较浅颜色的四边形都是正方形，面积分别记为S1，S2。已知BE＝3，DF＝5，且S1＋S2＝60，则S3＝28。 三、解答题(本大题共7小题，共61分) 14．(8分)如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，连接EF。求证：△ABE≌△ADF。 证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴∠B＝∠D，AB＝AD， ∵AE⊥BC，AF⊥CD， ∴∠AEB＝∠AFD＝90°， 在△ABE与△ADF中， ∴△ABE≌△ADF(AAS)。 15.(8分)如图，在矩形ABCD中，点E，F在边BC上，且∠BAE＝∠CDF，若BE＝2，DF＝2，求AB的长。 解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AB＝CD，∠B＝∠C＝90°， ∵∠BAE＝∠CDF， ∴△ABE≌△DCF(ASA)， ∴AE＝DF＝2， ∵BE＝2，∠B＝90°， ∴AB＝＝＝4。 16．(8分)小惠自编一题：“如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AC⊥BD，OB＝OD。求证：四边形ABCD是菱形。”并将自己的证明过程与同学小洁交流。 小惠：证明：∵AC⊥BD，OB＝OD， ∴AC垂直平分BD， ∴AB＝AD，CB＝CD。 ∴四边形ABCD是菱形。(　　　　) 小洁：这个题目还缺少条件，需要补充一个条件才能证明。 若赞同小惠的证法，请在左侧方框内的(　　)中打“√”；若赞成小洁的说法，请你补充一个条件并证明。 解：赞成小洁的说法， 补充条件：OA＝OC(不唯一)。 证明如下：∵OA＝OC，OB＝OD， ∴四边形ABCD是平行四边形。 又∵AC⊥BD， ∴平行四边形ABCD是菱形。 17．(8分)如图，矩形ABCD的宽AB＝2，∠ABC的平分线交AD于点E，连接CE，若BE＝BC，求DE的长。 解：∵四边形ABCD是矩形， ∴DA＝BC，∠ABC＝∠A＝90°，AD∥BC。 ∵∠ABC的平分线交AD于点E， ∴∠ABE＝∠EBC＝45°。 ∵AD∥BC，∴∠AEB＝∠EBC＝45°， ∴△ABE为等腰直角三角形。 ∵AB＝2，∴AB＝AE＝2， ∴BE＝＝2。 ∵BE＝BC，∴BC＝DA＝2， ∴DE＝DA－EA＝2－2。 18．(9分)如图，▱ABCD地块的周长为56 m，四边形DEFG为种植花卉区域，DE⊥AB于点E，点F，G分别在EB，CD上，且AE＋FB＝GC。 (1)求证：四边形DEFG是矩形； (2)若E是AF的中点，GC＝2DG，AD＝10 m，求种植花卉区域四边形DEFG的面积。 (1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AB＝CD。 ∵DG＋GC＝CD，AE＋EF＋FB＝AB，AE＋FB＝GC， ∴DG＝EF。 ∵DG∥EF，∴四边形DEFG是平行四边形。 ∵DE⊥AB于点E，∴∠DEF＝90°。 ∴四边形DEFG是矩形。 (2)解：∵▱ABCD地块的周长为56 m， ∴AD＋AB＝28 m，又AD＝10 m，∴AB＝18 m。 ∵GC＝2DG，E是AF的中点，且由(1)知DG＝EF， ∴DG＝EF＝AE＝6 m。 在Rt△ADE中，∠AED＝90°， 由勾股定理，得AD2＝DE2＋AE2，∴DE＝8 m。 ∴种植花卉区域四边形DEFG的面积为8×6＝48(m2)。 19．(9分)中国古代数学家刘徽在《九章算术注》中，给出了证明三角形面积公式的“出入相补法”， 原理如下： 如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，连接DE，过点A作AF⊥DE，垂足为F，延长FD至点G，使DG＝DF，连接GB，延长FE至点H，使EH＝FE，连接CH，则四边形BCHG的面积等于△ABC的面积。 (1)求证：四边形BCHG为矩形； (2)若DE＝5.5，AF＝4，利用上述结论求△ABC的面积。 (1)证明：∵点D是AB的中点，∴AD＝BD。 ∵DG＝DF，∠ADF＝∠BDG，∴△ADF≌△BDG(SAS)。 ∴AF＝BG，∠AFD＝∠G。 ∵AF⊥DE，∴∠AFD＝90°，∴∠G＝90°。 同理可得，CH＝AF，∠AFE＝∠H＝90°。 ∴BG＝CH，BG∥CH。 ∴四边形BCHG为矩形。 (2)解：∵点D，E分别是AB，AC的中点， ∴DE是△ABC的中位线。∴BC＝2DE＝11。 由(1)可知，BG＝AF＝4，∴S矩形BCHG＝BC×BG＝11×4＝44。 ∴S△ABC＝S矩形BCHG＝44。 20．(11分)【问题情境】如图1，图2，点E为正方形ABCD内一点，∠AEB＝90°，将Rt△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°，得到△CBE′(点A的对应点为点C)，延长AE交CE′于点F，连接DE。 【解决问题】 (1)试判断四边形BE′FE的形状，并说明理由； (2)如图2，若AB＝25，BE＝7，求CF的长； (3)如图2，若DA＝DE，请猜想线段CF与FE′的数量关系并加以证明。 (1)解：四边形BE′FE是正方形，理由： 由旋转可知：∠E′＝∠AEB＝90°，∠EBE′＝90°， BE′＝BE， 又∵∠AEB＋∠FEB＝180°，∠AEB＝90°， ∴∠FEB＝90°， ∴四边形BE′FE是矩形， ∵BE′＝BE，∴四边形BE′FE是正方形； (2)解：由(1)知，FE′＝BE＝7， ∵在Rt△ABE中，由勾股定理得：AE＝＝＝24， ∴CF＝CE′－FE′＝AE－BE＝24－7＝17， ∴CF的长为17。 (3)解：CF＝FE′， 证明：如答图，过点D作DH⊥AE，垂足为H， 则∠DHA＝90°，∠1＋∠3＝90°， ∵DA＝DE，∴AH＝AE， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝DA，∠DAB＝90°， ∴∠1＋∠2＝90°， ∵∠1＋∠3＝90°，∴∠2＝∠3， ∵∠AEB＝∠DHA＝90°， ∴△AEB≌△DHA(AAS)，∴AH＝BE， ∵BE＝E′F，∴AH＝E′F， ∵CE′＝AE，∴FE′＝CE′， ∴CF＝FE′。 学科网（北京）股份有限公司 $