第三章 第6课时 探索三角形相似的条件(4)（校本作业）-【宝典训练】2026-2027学年九年级上册数学高效课堂Word教师用书（北师大版·新教材）

第6课时　探索三角形相似的条件(4) 1．已知点C把线段AB分成两条线段AC，BC，下列说法错误的是(C) A．如果＝，那么线段AB被点C黄金分割 B．如果AC2＝AB·BC，那么线段AB被点C黄金分割 C．如果线段AB被点C黄金分割，那么AC与AB的比叫做黄金比 D．一条线段有两个黄金分割点 2．已知线段AB＝2，点P是线段AB的黄金分割点(AP＞BP)，则线段AP的长为(D) A． B．－ C．3－ D．－1 3．如图，点C是线段AB的黄金分割点，且AC＜BC，AC＝mBC，则m的值是(A) A． B． C． D．－2 4．已知点C是线段AB的黄金分割点，且AC＞CB，那么下列结论一定正确的是(D) A．＝ B．＝ C．＝ D．＝ 5．如图，在这架小提琴中，点C是线段AB的黄金分割点(BC＞AC)。若AB＝60 cm，则BC＝(30－30)cm。 6．很多叶片蕴含着黄金分割的比例，在大自然中呈现出优美的样子。如图，点P是AB的黄金分割点(＝)，如果AB的长为(4＋4)cm，那么AP的长为8cm。 7．黄金分割由于其美学性质，受到摄影爱好者和艺术家的喜爱，摄影中有一种拍摄手法叫黄金构图法。其原理是：如图，取正方形ABCD的边BC的中点E，以E为圆心，线段DE为半径作圆弧，其与边BC的延长线交于点F，这样就把正方形ABCD延伸为矩形ABFG，称其为黄金矩形。若CF＝8，求AB的长。 解：设AB＝2x，∵四边形ABCD为正方形， ∴AB＝BC＝CD＝2x，∠BCD＝90°， ∵点E为BC中点，∴CE＝BE＝BC＝x， 又∵CF＝8，∴DE＝FE＝EC＋CF＝x＋8， ∴在Rt△CDE中，由勾股定理，可得CE2＋CD2＝DE2， 即x2＋(2x)2＝(x＋8)2，整理可得x2－4x－16＝0， 解得x1＝2(＋1)，x2＝2(1－)(舍去)， ∴AB＝2x＝4＋4。 8．如图，P是线段AB的黄金分割点，且PA＞PB，S1表示以PA为一边的正方形面积，S2表示长为AB、宽为PB的矩形面积，则S1与S2的大小关系是(B) A．S1＞S2 B．S1＝S2 C．S1＜S2 D．无法确定 9．油纸伞因古老工艺和文化底蕴，已成为乡村旅游的一张靓丽名片。某校初二年级数学兴趣小组参观后，进行了设计伞的实践活动。小文依据黄金分割的美学设计理念，设计了中截面如图所示的伞骨结构(其中DH＝0.6AH)，伞柄AH始终平分∠BAC，AB＝AC＝20 cm，当∠BAC＝120°时，伞完全打开，此时∠BDC＝90°。请问最少需要准备多长的伞柄(结果保留根号)? 解：如答图，作BE⊥AH于点E，当伞完全打开时， ∵∠BAC＝120°，AH平分∠BAC， ∴∠BAE＝60°，∴∠ABE＝30°， ∴AE＝AB＝10 cm，BE＝10 cm， ∵BD＝CD，∠BDC＝90°，∴∠BDE＝45°， ∴DE＝BE＝10 cm, ∴AD＝AE＋DE＝(10＋10)cm， ∵ DH＝0.6AH，即AH－(10＋10)＝0.6AH， ∴AH＝(25＋25)cm， ∴最少需要准备(25＋25)cm长的伞柄。 10．定义：如图1，点C在线段AB上，若满足AC2＝BC·AB，则称点C为线段AB的黄金分割点。如图2，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠A＝36°，BD平分∠ABC交AC于点D。 (1)求证：点D是线段AC的黄金分割点； (2)求出线段AD的长。 (1)证明：∵∠A＝36°，AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝72°。 又∵BD平分∠ABC，∴∠DBC＝∠ABD＝36°， ∴∠A＝∠ABD，∴AD＝BD。 在△ABC与△BDC中，∠A＝∠DBC，∠C＝∠C， ∴△ABC∽△BDC， ∴＝，即BC2＝DC·AC。 又∵∠A＝∠ABD＝36°，∴AD＝BD。 ∵△ABC∽△BDC，AB＝AC，∴＝＝1， ∴AD＝BD＝BC，∴AD2＝DC·AC， ∴点D是线段AC的黄金分割点。 (2)解：设AD＝x，由(1)中的结论，得x2＝2(2－x)， 即x2＋2x－4＝0， 解得x1＝－1，x2＝－－1(舍去)。 ∴AD＝－1。 学科网（北京）股份有限公司 $