第二章 第5课时 一元二次方程的解法—公式法（校本作业）-【宝典训练】2026-2027学年九年级上册数学高效课堂Word教师用书（北师大版·新教材）

第5课时　一元二次方程的解法—公式法 1．用公式法解方程5x2＝6x－8时，a，b，c的值分别是(C) A．5，6，－8　　　　　 B．5，－6，－8 C．5，－6，8 D．6，5，－8 2．关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0，b2－4ac＞0)的根是(D) A． B． C． D． 3．已知方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，当b2－4ac＝0时，方程的解为(C) A．x＝± B．x＝± C．x＝－ D．x＝ 4．一元二次方程x2＋5x－4＝0的根的情况是有两个不相等的实数根 。 5．用公式法解方程4y2－12y－3＝0，其中b2－4ac的值是192。 6．一元二次方程2x2＋4x＋c＝0有两个相等的实数根，那么实数c的取值为2。 7．用公式法解下列方程： (1)x2－3x－5＝0； 解：∵x2－3x－5＝0，∴a＝1，b＝－3，c＝－5， ∴Δ＝9－4×1×(－5)＝29＞0， ∴x＝，∴x1＝，x2＝。 (2)2x2－10x＝3； 解：∵2x2－10x－3＝0，∴a＝2，b＝－10，c＝－3， ∴Δ＝(－10)2－4×2×(－3)＝124＞0， ∴x＝＝. ∴x1＝，x2＝。 (3)－2x2＋3x＝6； 解：∵－2x2＋3x－6＝0， ∴a＝－2，b＝3，c＝－6， ∴Δ＝32－4×(－2)×(－6)＝－39<0， ∴原方程无解。 (4)x2－2x＋3＝2。 解：∵x2－2x＋3－2＝0， 即x2－2x＋1＝0， ∴a＝1，b＝－2，c＝1， ∴Δ＝(－2)2－4×1×1＝0。 ∴x1＝x2＝1。 8．已知a，b，c为常数，点P(a，c)在第二象限，则关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根的情况为(B) A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判定 9．关于x的一元二次方程x2－(k＋1)x＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围为k≠－1 。 10．已知关于x的一元二次方程x2－(3k＋1)x＋2k2＋2k＝0。 (1)求证：无论k取何实数值，方程总有实数根； (1)证明：∵Δ＝b2－4ac＝(3k＋1)2－4(2k2＋2k)＝9k2＋6k＋1－8k2－8k＝k2－2k＋1＝(k－1)2≥0， ∴无论k取何值，方程总有实数根。 (2)若等腰三角形ABC的一边长a＝6，另两边长b，c恰好是这个方程的两个根，求k的值。 (2)解：①若a＝6为底边长，则b，c为腰长， 则b＝c，则Δ＝0，∴(k－1)2＝0，解得k＝1。 此时原方程化为x2－4x＋4＝0， ∴x1＝x2＝2，即b＝c＝2。 此时△ABC三边长为6，2，2，不能构成三角形，故舍去； ②若a＝6为腰长，则b，c中有一个为腰长， 设b＝a＝6， 代入方程，得62－6(3k＋1)＋2k2＋2k＝0， 解得k＝3或5， 则原方程化为x2－10x＋24＝0或x2－16x＋60＝0，解得x1＝4，x2＝6或x1＝6，x2＝10， 即b＝6，c＝4，或b＝6，c＝10， 此时△ABC三边长为6，6，4或6，6，10，能构成三角形。 ∴k＝3或5。 11．阅读材料： 为了解方程(x2－1)2－5(x2－1)＋4＝0，我们可以将x2－1看作一个整体，然后设x2－1＝y，那么原方程可化为y2－5y＋4＝0①，解得y1＝1，y2＝4。当y＝1时，x2－1＝1，所以x2＝2，x＝±；当y＝4时，x2－1＝4，所以x2＝5，x＝±。故原方程的解为x1＝，x2＝－，x3＝，x4＝－。 (1)上述解题过程，在由原方程得到方程①的过程中，利用换元法达到了降次的目的，体现了转化的数学思想； (2)请利用以上知识解方程(x2＋x)2＋(x2＋x)－6＝0。 解：(2)设x2＋x＝y，则原方程可化为y2＋y－6＝0， 解得y1＝－3，y2＝2。 当y＝－3时，x2＋x＝－3，即x2＋x＋3＝0。 ∵Δ＝b2－4ac＝1－4×1×3＝－11＜0， ∴x2＋x＋3＝0无实数根。 当y＝2时，x2＋x＝2， 即x2＋x－2＝0。解得x1＝－2，x2＝1。 ∴原方程的解为x1＝－2，x2＝1。 12．如图，菱形ABCD中，m，n，t(m≤n)分别是菱形ABCD的两条对角线长和边长，这时我们把关于x的形如mx2＋2tx＋n＝0的一元二次方程称为“菱系一元二次方程”。请解决下列问题： (1)填空： ①当m＝4，n＝8时，t＝2； ②用含m，n的代数式表示t2＝m2＋n2 ； (2)求证：关于x的“菱系一元二次方程”mx2＋2tx＋n＝0必有实数根。 (2)证明：mx2＋2tx＋n＝0， 这里a＝m，b＝2t，c＝n， ∴Δ＝(2t)2－4m·n＝4t2－2mn， ∵t2＝m2＋n2， ∴Δ＝m2＋n2－2mn＝(m－n)2≥0， ∴关于x的“菱系一元二次方程”mx2＋2tx＋n＝0必有实数根。 学科网（北京）股份有限公司 $