第一章特殊平行四边形单元质量检测题 2026--2027学年北师大版九年级数学上册

2026-2027学年度上学期九年级单元质量检测题（一） 北师大版九年级数学上册　第一章　特殊平行四边形 A卷（共100分） 一、选择题（每小题4分，共32分） 1．为迎接2026年5月28日北京大兴西瓜节，某西瓜交易市场准备在空地处建造一个菱形花坛，若菱形花坛的两条对角线的长分别为6米和10米，则菱形花坛的面积（单位：平方米）为（　   ） A．15 B．24 C．30 D．60 2．判断一个四边形门框是不是矩形，下面方案正确的是（　   ） A．测量对角线是否相互平分 B．测量两组对边是否分别相等 C．测量一组对角是否都为直角 D．测量四边形其中的三个角是否都为直角 3．我国古代有“不以规矩，不能成方圆”的说法，人们把“规矩”当作几何名词，“规”是圆，“矩”是方，所以现在初中以后就把长方形改为比较专业的名称“矩形”那么要把□ABCD变成“矩形”，需要增加的条件是（　   ） A．AC=BD B．AD=BC C．AB=BC D．AB=CD 4．如图是一个活动的平行四边形ABCD框架，∠ABC＝40°，拉动两个不相邻的顶点B和D，当边BA绕点B逆时针旋转α（0°＜α＜90°）时成为了矩形ABCD框架，则旋转角α的度数为（　   ） A．40° B．50° C．60° D．90° （6题图） （4题图） （5题图） 5．如图，ABCD是一个矩形草坪，对角线AC，BD相交于点O，H是BC边的中点，连接OH，且OH=20m，AD=30m，则该草坪的面积为（　   ） A．2400m2 B．1800m2 C．1200m2 D．600m2 6．如图，在菱形ABCD 中，∠ABC=64°，对角线AC，BD 交于点O，E为CD的中点，连接OE，则∠AOE的度数是（　   ） A．122° B．148° C．154° D．162° 7．如图，有三个全等的菱形构成的木制活动衣帽架，若B，M之间的距离为，上下两排挂钩A，C之间的距离为24cm，则制作这样一个活动的衣帽架需要用的材料长度（衔接重叠处材料不计）是（　   ） A． B． C． D． （9题图） （7题图） （8题图） 8．如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①分别以点A，C为圆心，大于AC的长为半径画弧，弧线分别相交于点M，N，画直线MN交AC于点O；②连接BO并延长，以点O为圆心，OB的长为半径画弧交BO的延长线于点D；③连接AD，CD．下列说法错误的是（　   ） A．四边形ABCD是平行四边形 B．若BD与MN重合，则四边形ABCD是菱形 C．若OD=OC，则四边形ABCD是矩形 D．若∠ABD=45°，则四边形ABCD是正方形 二、填空题（每小题4分，共20分） 9．如图，把一张矩形纸片对折两次，然后沿虚线剪下一个角．当虚线与折痕所成的锐角的度数为 时，剪下的这个角展开可以得到一个正方形． （10题图） （11题图） （12题图） 10．如图，将矩形ABCD沿BD折叠得到△，折叠后与交于点，已知，则∠1的大小为 11．如图，在矩形ABCD，AC与BD相交于点O，AE⊥BD于点E.若∠DAE=3∠EAB，则∠ACD=           ． 12．如图，△ABC的顶点C与AB的中点D均在数轴上，且C，D两点在数轴上对应的数分别为，1，当∠BCA=时，AB的长为 ． 13．如图是一个长为x的矩形纸片，在其左侧剪掉一个最大的正方形．若剩余矩形的周长为y，则y与x之间的关系为 ．（13题图） 三、解答题（共48分） 14．（8分）如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为，点B与点A关于x轴对称． （1）点B的坐标是________，________； （2）现将点B、点A都向右平移5个单位长度分别得到对应点C和D，顺次连接这四个点得到一个四边形，请在坐标系中画出四边形，并判断四边形的形状________． 15．（8分）如图，在平行四边形ABCD 中，BE平分∠ABC，F为AB边上的一点，且BF=BC． （1）求证：四边形BCEF为菱形； （2）连接AE，若AD=2，AE=，AF=1，求BE的长． 16．（10分）舞台升降机是舞台最常用的装置之一，主要功能是用于场面转换时，上下移动布景和演员，一般由底座、交叉撑、轴、液压器和工作台（舞台）组成．如图，是某种舞台升降机的示意图，其工作台（舞台）由四根长度相等的交叉撑AD，BC，DE，CF支撑，上面两根交叉撑DE，CF 与工作台（工作台与舞台紧密贴合）相连，下面两根交叉撑AD，BC与底座相连，轴分别位于四根交叉撑的中点部位（点G，H）和连接点（点C，D）．当舞台升降机上升或下降时，交叉撑形成的交叉角∠CGD的度数会随之变化． （1）四边形CGDH的形状为______． （2）当该舞台升降机的交叉撑长为2m时（交叉撑的宽度忽略不计），若交叉角∠CGD从180°减小到60°，舞台升高了多少米？（结果保留根号） 17．（10分）如图，在矩形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，EF⊥AD于点F，DG⊥AE于点G，DG与EF交于点O． （1）求证：四边形ABEF是正方形; （2）若AD=AE，求证：AB=AG； （3）在（2）的条件下，已知，求的长． 18．（12分）如图，平面直角坐标系中，矩形OABC的两条邻边分别在x轴、y轴上，对角线AC=4，点B的坐标为B（2a，a）． （1）求对角线AC所在直线的解析式． （2）把矩形OABC沿直线DE对折使点C落在点A处，直线DE与OC，AC，AB的交点分别为D，F，E，求点D和点E的坐标． （3）若点M在y轴上，则在平面直角坐标系中是否存在这样的点N，使得以A、D、N、M为顶点的四边形是菱形?若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由． B卷（共20分） 一、填空题（每小题2分，共6分） 19．黑板上画有一个图形，学生甲说它是多边形，学生乙说它是平行四边形，学生丙说它是菱形，学生丁说它是矩形，老师说这四名同学的答案都正确，黑板上画的图形是 ． 20．如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形ABCD与正方形EFGH．连结BD交AF，CH于点M，N．若DE平分∠ADB，现随机向该图形内掷一枚小针，则针尖落在阴影区域的概率为 ．    21．如图，矩形的顶点A，B分别在x轴，y轴上，，点C，D都在第一象限，，交于点E，当矩形的面积为24时，的长是 ． 二、解答题（共14分） 22．（6分）（1）【问题探究】如图①，在矩形中，AB=12，AD=18，点为边上一点，且，连接BE，过点作DF//BE交于点，试判断四边形的形状，并说明理由； （2）【问题解决】小丽和小勇在玩折纸片游戏，如图②，有一块矩形纸片ABCD，小丽将该纸片沿EF（点E，F分别在边AD，BC上）所在直线折叠后，点B恰好与点D重合，点A落在点A´处，并测得AE=5，BF=13，的角平分线交于点，小勇根据小丽的折纸过程和测量结果，计算出了的长度，你知道小勇是怎么计算的吗？请你写出正确的计算过程． 23．（8分）在等边△ABC中， 点D，E，F分别为AB，BC，AC中点． （1）连接EF，DF． 如图1，求证：四边形为菱形； 如图2，若点 G，H分别在边EF，DF上，且满足 ，求的长； （2）如图3，点 P，M，N分别为线段DF，DB，FC上的动点， 且满足，，连接FM，MN， 试探究MF2，FN2 与 之间的数量关系． 九年级数学（一） 第 1 页 （共 5 页） 学科网（北京）股份有限公司 2026-2027学年度上期单元质量检测题（一） 九年级数学 第一章 特殊的平行四边形 参考答案 A卷（共100分） 一、单选题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C D A B C A D D 2、 填空题 9． 10．24 11．67.5°/67.5度 12．8 13． 3、 解答题 14． (1)，4 (2)矩形， 解：（1）∵A、B关于x轴对称，， ∴，． （2）如图，点B、点A都向右平移5个单位长度分别得到对应点C和D ∴ ∵轴，点B、点A都向右平移5个单位长度， ∴，，， ∴四边形是矩形． 15．解：（1）证明：四边形是平行四边形， ∴， ∴， 平分交于点，为边上的点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴四边形 是平行四边形，而， ∴平行四边形 是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形. ） （2）解：∵四边形是平行四边形，四边形是菱形 ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴为直角三角形，且， 在中，， 由勾股定理得. 16．解：（1）菱形； （2）如图，连接，作直线分别交于点． 由（1）得四边形是菱形． 平分． ， ． ， ， 同理可得． ． ． ． ，即的长度即为舞台升高的高度． 交叉撑长为为交叉撑的中点， ． ． 在中，根据勾股定理，得． ． 答：舞台升高了． 17.(1)证明:四边形ABCD是矩形,BAF=ABE=.EFAD,四边形ABEF是矩形.AE平分BAD,EF=EB.四边形ABEF是正方形.  (2)证明:AE平分BAD,DAG=BAE.DGAE,AGD=. 在AGD和ABE中, . AG.  (3)解:由(1)可知四边形ABEF是正方形. FAE,AB=AF=. ADG==DAG. DG=AG.由(2)可知AB=AG=. AD=. DF=-. EFAD, FDO=FOD=. OF=DF=-.  18．（1）解：四边形为矩形， ， 点B的坐标为，． ， 解得或（舍去）， 点B的坐标为， 则， ， 设对角线所在直线的解析式为， ， 解得， 对角线所在直线的解析式为； （2）解：连接， 由折叠性质可知，， 设，则， ， ， 解得， ，， 同理可得， 则， ； （3）解：存在， ①当为菱形的边时， 四边形为菱形， ， ，， ， 或； ②当为菱形的边，为菱形对角线时， 四边形为菱形， ， ； ③当为菱形的边， 为菱形对角线时， 四边形为菱形， ， 设， ， ， ， 解得， ， ； 综上所述，或或或． B卷（共20分） 一、填空题 19．正方形 20．//0.25 21．2 2、 解答题 22.解：（1），， ∴DE=AD-AE=18-5=13 ∴四边形是矩形， ∴AD//BC，∠A=90， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形； （2）解：连接，连接，如图： ∵四边形沿着折叠，点恰好与点重合，点与点重合， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形，， ∴平分， ∵平分， ∴， 又， ∴， ∴、、共线， 在中， ∴， 在中，， ∴． 23．（1）解：①证明：∵等边 中， 点D、E、F分别为中点， ∴，，，为的中位线， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴平行四边形为菱形； ②延长交于点，作于点， ∵四边形为菱形，， ∴，， ∴，，， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴平分， ∴， ∴， ∴， 设，则：，， 在中，， ∴， ∴，， ∴， 在中，由勾股定理，得：， ∴， 解得：， ∴； （2）∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， 设，，则：， 作交的延长线于点，作于点，如图： 在中，， ∴， ∴，， ∴，， 在中，由勾股定理，得：， 在中，由勾股定理，得：， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 故． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $