第一章 第9课时 问题解决活动：作内嵌于正方形的正八边形（校本作业）-【宝典训练】2026-2027学年九年级上册数学高效课堂Word教师用书（北师大版·新教材）

第9课时　☆问题解决活动：作内嵌于正方形的正八边形 一、阅读：顶点在矩形边上的菱形叫作矩形的内接菱形。八(1)班的宣传小组A，B，C三名同学在布置班级文化时，他们需要从一张矩形纸片中制作出一个最大的内接菱形。 A说：我会折，横对折后再竖对折，剪一刀得到一个直角三角形，展开后就是菱形。 B说：我会画，作一组对边上两点连线的垂直平分线，然后连线也可以得到菱形。 C说：我会叠，取两个大小一样的矩形纸片，让两矩形的长两两相交，重叠的部分形成四边形，则这个四边形也是菱形(两两相交：一个矩形的两条长边与另一个矩形的两条长边都相交)。 (一)操作与画图 1．在图1中画出折、剪、展所得的最大内接菱形，它是菱形的依据是四边相等的四边形为菱形或对角线垂直且互相平分的四边形为菱形。 2．在图2中用尺规作出所得的最大内接菱形(保留作图痕迹，不要求写作法)。 3．在图3中画出重叠后的最大内接菱形，并画出另一矩形的摆放位置。 (二)证明与计算 1．标上必要的字母，证明图2中操作得到的四边形是菱形。 2．已知矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，结合图1，图2，图3，计算此矩形内接菱形的面积最大值是。 (三)拓展与应用 若矩形ABCD的最大内接菱形的面积是矩形面积的，则AB∶AD＝1∶3或3∶1。 解：(一)操作与画图 1．如答图1，故答案为：四边相等的四边形为菱形或对角线垂直且互相平分的四边形为菱形。 　　　　　　　　　 2．连接AC，再作AC的垂直平分线分别与AD，BC交于E，F，连接AF，CE，则四边形AFCE是所求作的菱形。作图如答图2。 3．如答图3所示，让矩形的两条对角线互相重合，重叠部分(四边形AECF)是所求作的菱形。 (二)证明与计算 1．证明：如答图2，对角线AC，EF相交于点O。 ∵ABCD是矩形，∴AD∥BC∴∠OAE＝∠OCF， ∵EF是AC的垂直平分线，∴OA＝OC，∠AOE＝∠COF＝90°， ∴△AOE≌△COF，∴OE＝OF，∴四边形AFCE为平行四边形。 又∵AC⊥EF，∴平行四边形AFCE为菱形。 二、阅读： 传统建筑中的数学——正方形内嵌正八边形探究 【素材一】 中国古建筑的藻井、窗棂中常出现正方形内嵌套正八边形的精美图案。数学上定义：若一个正八边形至少有四个顶点分别落在正方形的四条边上，则称这个正八边形为该正方形的内嵌正八边形。正八边形的每个内角都相等，且为 135°。 【素材二】 在正方形中作内嵌正八边形，通常会在正方形的四个角各截去一个全等的等腰直角三角形。若正方形的边长为a，截去的等腰直角三角形的直角边长为x，则剩下的线段长度恰好等于正八边形的边长，满足等量关系：x＝a－2x。 【任务一】 阅读理解与计算 1.直接写出正八边形的一个内角的度数：135°。 2.若正方形边长a＝2＋，请利用素材二中的等量关系x＝a－2x，求截去的等腰直角三角形的直角边长x的值。 【任务二】 实践探究与反思 1.请写出用尺规在正方形内作内嵌正八边形的主要步骤。 2.结合本次项目学习，从作图方法、数学思想、活动经验中任选一个角度，写出你的回顾反思。 解：任务一： 1．135 2．把a＝2＋代入x＝a－2x， 得x＝2＋－2x， x＋2x＝2＋， x(2＋)＝2＋， ∴x＝1。 任务二 1．①作正方形及对角线，确定对称中心；②在正方形四条边上分别截取等长线段；③顺次连接四条边上的八个截取点，得到内嵌正八边形。 2．示例：①利用对称思想可以简化作图；②图形探究要遵循“理解—计划—操作—反思”的流程；③实际问题可转化为方程解决，体现数形结合思想。 学科网（北京）股份有限公司 $