问题解决活动：作内嵌于正方形的正八边形&易错强化训练-【中考123】2026-2027学年九年级上册数学全程导练（北师大版·新教材）

第一章特殊平行四边形？ ☆问题解决活动：作内嵌于正方形的正八边形 [答案] 1.图①是一个正方形 2.【数学概念】 如果一个菱形的四个顶点分别在一个矩形的四 条边上（不与矩形的顶点重合），那么称这个菱形 是该矩形的内接菱形， 【初步认识】 1题图① 1题图② (1)如图①，在矩形ABCD中，E,F,G,H分别是 【观察判断】 AB,BC,CD,DA的中点.求证：四边形EFGH (1)图②中可以称为正八边形内嵌于正方形的是 是矩形ABCD的内接菱形； 【深入思考】 【操作探究】通过正方形折纸折出正八边形的步 (2)如图②，在矩形ABCD中，E是边AB上的一 骤如图③ 点.用直尺和圆规作矩形ABCD的内接菱形 EFGH,使点F,G,H分别在BC,CD,DA上（保 留作图痕迹，不写作法)； 把十字线折成山谷 (3)已知点E为矩形ABCD的边AB上一点，且 线，对角线折成山 基础正方形 立起三角形 峰线，沿折痕重叠 AE=2,BE=1,AD=a.若矩形ABCD存在以 点E为顶点的内接菱形，则α的取值范围是 4处均按同 沿虚线处 样的方法折叠 剪开后展开 完成 1题图③ (2)请按照折纸的思路在图①中作内嵌正八边形 (要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹) 2题图① 2题图② 见此图标骏微信打码进人初中智慧学园自 21 全程导练·九年级数学·北师版·上册 第一章 易错强化训练 [答案P7] 易错点1不注意分情况讨论，造成漏解 8.如图，在平行四边形ABCD中，分别延长BA,DC 1.(哈尔滨中考)矩形ABCD的对角线AC,BD相交 到点E,H,使得BE=2AB,DH=2CD.连接EH,分 于点O,点F在矩形ABCD边上，连接OF.若 别交AD,BC于点F,G. ∠ADB=38°，∠B0F=30°，则∠AOF= (1)求证：AF=CG; 2.已知正方形ABCD的边长为6，如果P是正方形内 (2)连接BD交EH于点O,若EH⊥BD,则当线段 一点，且PB=PD=25,那么AP的长为 AB与线段AD满足什么数量关系时，四边形 3.如图，在平面直角坐标系中，A(4,0),B(0,2),以AB BEDH是正方形？ 为边作正方形ABCD,则点C的坐标为 A 8题图 3题图 易错点2对四边形的判定方法掌握不熟练导致 出错 4.下列命题正确的是 ( 易错点3默认三点共线致错 A.有一个角是直角的平行四边形是矩形 B.四条边相等的四边形是矩形 9.已知正方形ABCD,点E在边AB上，以CE为边作 C.有一组邻边相等的平行四边形是矩形 正方形CEFG,如图所示，连接DG.求证：△BCE≌ D.对角线相等的四边形是矩形 △DCG.王俊同学的证明过程如下，他的证明过程 5.下列条件能判定四边形是菱形的是 ( 正确吗？若不正确，请改正 A.对角线互相垂直的四边形 证明：'四边形ABCD和四边形CEFG都是正 B.对角线相等的平行四边形 方形， C.对角线互相垂直且相等的四边形 ∴.CB=CD,CE=CG D.对角线互相垂直平分的四边形 .·∠B=∠CDG=90°， 6.从下列四个条件：①∠ABC=90°，②AB=BC, .∴.Rt△BCE≌Rt△DCG(HL). ③AC=BD,④AC⊥BD中选择两个作为补充条 件，使口ABCD成为正方形.下列四种情况中你认 为错误的是 () A.①②B.①③ c.②③ D.③④ 7.如图，E,F分别为△ABC的边BC,AB的中点，延 9题图 长EF至点D,使得DF=EF,连接DA,DB,AE. (1)求证：四边形ACED是平行四边形； (2)若AB⊥AC,求证：四边形AEBD是菱形， 7题图 32 见此图标照微信扫码进人初中智慧学国自.AB=40÷4=10(cm). 四边形ABCD为正方形， .△AEF为等腰直角三角形，.AF=EF, .四边形BFEG的周长为2(EF+BF)=2(AF+BF)=20cm (3)解：若要使四边形BFEG是正方形，只需EF=BF AF=EF,AB =10 cm, ∴.当AF=5cm时，四边形BFEG是正方形 6.(1)证明：DE⊥BC,∴∠DFB=90. .·∠ACB=90°，∴.∠ACB=∠DFB,∴.AC∥DE MN∥AB,即CE∥AD,∴.四边形ADEC是平行四边形， ∴.CE=AD (2)解：四边形BECD是菱形 理由如下：D为AB的中点，AD=BD. ,CE=AD,∴.BD=CE. ,BD∥CE,∴.四边形BECD是平行四边形 .∠ACB=90°，D为AB的中点，.CD=BD, ∴.平行四边形BECD是菱形. (3)解：当LA=45时，四边形BECD是正方形. 理由如下：∠ACB=90°，∠A=45°， .∴.∠ABC=∠A=45°，..AC=BC. D为AB的中点，.CD⊥AB,.∠CDB=90 由(2)知，四边形BECD是菱形，菱形BECD是正方形， 即当∠A=45时，四边形BECD是正方形. ☆问题解决活动：作内嵌于正方形的正八边形 1.解：(1)a (2)如答图，正八边形LGFIHKJE即为所求作. A L ED G B HC 1题答图 2.(1)证明：连接AC,BD,如答图① ·四边形ABCD为矩形， .AC BD E,H分别是AB,DA的中点， .EH为△ABD的中位线， 2题答图① 同理可得PG=之BD,EP= 1 GH-AC. .EH=EF=FG=GH,.四边形EFGH为菱形 E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA的中点， ,四边形EFGH是矩形ABCD的内接菱形. (2)解：四边形EFGH即为所求，如答图②. 头H D B 2题答图② 参考答案及解析 (3)解：a>√5 第一章易错强化训练 1.46或106°[解析].·四边形ABCD是矩形，.0A=0D, .∠AD0=∠OAD.∠ADB=38°，.LAD0=∠OAD= 38°，.∠A0B=∠AD0+∠0AD=76°.如答图①所示，当，点 F在AB上时，：∠BOF=30°，.∠AOF=∠AOB-∠BOF =76°-30°=46°；如答图②所示，当点F在BC上时， ∠B0F=30°，.∠A0F=LAOB+∠B0F=76°+30°= 106°.综上，∠A0F=46°或106°. D B 1题答图① 1题答图② 2.4√2或223.(2,6)或(-2，-2)4.A5.D6.B 7.证明：(1)E,F分别为△ABC的边BC,AB的中点， BF∥AC,BF=4AC ~DF=BP,BF=之DE,AC=DE 又：AC∥DE,.四边形ACED是平行四边形 (2):四边形ACED是平行四边形， ∴.AD∥EC,DE∥AC,AD=EC. .BE=EC,∴.AD=BE,AD∥BE .四边形AEBD是平行四边形. AC⊥AB,AC∥DE,∴.AB⊥ED,∴.四边形AEBD是菱形 8.(1)证明：四边形ABCD是平行四边形 ∴.AB∥CD,AB=CD,∠BAD=∠BCD,.∠AEF=∠CHG. BE =2AB,DH =2CD,..BE DH, .BE-AB DH DC,.'.AE=CH. .*∠BAD+∠EAF=180°，∠BCD+∠GCH=180° ∴，∠EAF=∠GCH,∴.△EAF≌△HCG,∴.AF=CG. (2)解：BE∥DH,BE=DH, ·.四边形EBHD是平行四边形. EH⊥BD,.四边形EBHD是菱形， ED=EB=2AB,当AE2+DE2=AD2时， ∠BED=90°，四边形BEDH是正方形， 即AB2+(2AB)2=AD2,.AD=√5AB, ∴.当AD=√5AB时，四边形BEDH是正方形 9.解：他的证明过程不正确.正确证明过程如下： 四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形， .∴.CB=CD,CE=CG,∠BCD=∠ECG=90°， ∴.∠BCD-∠ECD=LECG-∠ECD,.∠BCE=∠GCD. LB=∠CDG=90°，.△BCE≌△DCG. 第一章章未复习 【知识体系构建】 ①相等②直角③相等④垂直⑤直角⑥相等 ⑦一半⑧垂直平分⑨矩形0菱形 【常考题型训练】 1.D2.D 3.(1)证明：：E为对角线AC上的中点，且BE⊥AC, .∴.BE垂直平分AC,∴.BA=BC. 四边形ABCD是平行四边形，∴.口ABCD是菱形. 7