精品解析：四川省内江市第六中学2025-2026学年上学期九年级第二次月考数学试题

九年级（上）第二次月考数学试题 A卷（100分） 一．选择题（每小题3分，共36分） 1. 下列根式中，不是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列事件是必然事件的是（ ） A. 抛掷一枚硬币，正面朝上 B. 九年级开展篮球赛，901班获得冠军 C. 在地球上，太阳东升西落 D. 打开电视，正好在播放新闻 3. 已知x，y为实数，若满足，则的值为（ ） A. 5 B. 6 C. 8 D. 9 4. 用配方法解一元二次方程时，下列变形正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 眉山市东坡区永丰村是“天府粮仓”示范区，该村的“智慧春耕”让生产更高效，提升了水稻亩产量，水稻亩产量从2021年的670千克增长到了2023年的780千克，该村水稻亩产量年平均增长率为，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 6. 在中，，都是锐角，且，，则的形状是（ ） A. 直角三角形 B. 钝角三角形 C. 锐角三角形 D. 不能确定 7. 如图，，相交于点，，是的中点，，交于点．若，则的长为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 8. 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 且 9. 如图是拦水坝的横断面，斜坡的水平宽度为米，斜面坡度为，则斜坡的长为（  ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 10. 如图，在平行四边形中，点为边上靠近的三等分点，连接交于点，若，则的面积为（ ） A. 9 B. 18 C. 32 D. 36 11. 如图，点A、B、C在边长为1的正方形网格格点上，下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 12. 如图，沿折叠矩形纸片，使点D落在边的点F处．已知，，则的值为（ ）． A. B. C. D. 二．填空题（每小题5分，共20分） 13. 如图，中，点D，E，F分别为的中点，若随机向内投一粒米，则米粒落在图中阴影部分的概率为_________ 14. 如图，和是以点为位似中心的位似图形．若，则与的周长比是_________． 15. 已知a和b是方程的两个解，则的值为________． 16. 如图，点A在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象上，连接．若，则___________． 三．解答题（共44分） 17. （1）计算：； （2）解方程： 18. 某校开展“共享阅读·向上人生”的读书活动，为了解学生对四类书籍（A体育类，B科技类，C文学类，D艺术类）的喜爱情况，在全校范围内随机抽取若干名学生进行了问卷调查（每个被调查的学生必须选择而且只能在这四类书籍中选择一类），并将数据进行统计和整理，绘制了两幅不完整的统计图，根据图中信息，请回答下列问题： （1）本次抽取调查的学生共有__________人，估计该校2000名学生喜爱“B科技类”书籍的人数约为__________人． （2）请将条形统计图补充完整． （3）在活动中，甲、乙、丙三名学生表现优秀，决定从这三名学生中随机选取两名学生参加演讲比赛，请用列表或画树状图的方法，求恰好选中甲和乙的概率． 19. 某服装店在销售中发现，进货价每件60元，销售价每件100元的服装平均每天可售出20件，为了迎接“双十一”，服装店决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利．经调查发现：如果每件服装降价1元，那么平均每天就可多售出2件，请解答下列问题： （1）降价前服装店每天销售该服装可获利多少元？ （2）如果服装店每天销售这种服装盈利1200元，同时又要使顾客得到更多的实惠，那么每件服装应降价多少元？ 20. 如图，在一次数学实践活动中，小明同学为了测量学校旗杆 的高度，在观测点A处观 测旗杆顶点E 的仰角为，接着小明朝旗杆方向前进了到达C 点，此时，在观测点D处观 测旗杆顶点E 的仰角为．假设小明的身高为，求旗杆的高度．（结果保留一位小数．参考数据：≈1.414， 1.732) 21. 如图，点B、D、E在一条直线上，BE与AC相交于点F，． （1）求证：∠BAD=∠CAE； （2）若∠BAD=21°，求∠EBC的度数： （3）若连接EC，求证：△ABD∽△ACE． B卷（共60分） 一、填空题（每小题6分，共24分） 22. 、是方程的两个根，则________． 23. 如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，BC＝5，点D是线段BC上一动点，连结AD，以AD为边作△ADE，使△ADE∽△ABC，则△ADE的最小面积等于______． 24. 已知等腰三角形ABC，AD为BC边上的高线，且有，AC上有一点E，并且满足AE：EC＝2：3，则tan∠ADE的值是__． 25. 已知为实数，且，则________． 三．解答题（每小题12分，共36分） 26. 观察下列一组等式，然后解答后面的问题： ； ； ； ． （1）观察以上规律，请写出第5个等式：________． （2）利用上面的规律，计算． （3）请利用上面的规律，比较与的大小，并写出详细过程 27. 阅读材料：若一元二次方程的两个根为，，则，． （1）材料理解：一元二次方程的两个根为，，则________，________． （2）类比探究：已知实数，满足，．________． （3）思维拓展：已知实数、、满足、，且，求的最大值． 28. 在四边形中，是边上的一点，是对角线的中点． （1）如图1，四边形是正方形，连接，作交于点，求证：； （2）如图2，四边形是平行四边形，，连接，作交于点，连接，求的值； （3）如图3，四边形是菱形，，连接交于点是边上的一点，，若，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级（上）第二次月考数学试题 A卷（100分） 一．选择题（每小题3分，共36分） 1. 下列根式中，不是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查最简二次根式的定义．解决此题的关键，是掌握最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 【详解】解：根据最简二次根式的定义可得，，和都是最简二次根式， 的被开方数含有能开得尽的因数，故不是最简二次根式， 故选：C． 2. 下列事件是必然事件的是（ ） A. 抛掷一枚硬币，正面朝上 B. 九年级开展篮球赛，901班获得冠军 C. 在地球上，太阳东升西落 D. 打开电视，正好在播放新闻 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了必然事件和随机事件，一定会发生的事件是必然事件，可能发生的事件是随机事件，据此判断即可求解，掌握定义是解题的关键． 【详解】解：A、是随机事件，该选项不合题意； B、是随机事件，该选项不合题意； C、是必然事件，该选项符合题意； D、是随机事件，该选项不合题意； 故选：C． 3. 已知x，y为实数，若满足，则的值为（ ） A. 5 B. 6 C. 8 D. 9 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了二次根式有意义的条件，幂的运算等知识，根据二次根式有意义的条件求出，是解题的关键． 根据二次根式有意义的条件求出，由此得到y的值，再进行计算即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 4. 用配方法解一元二次方程时，下列变形正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将常数项移到方程的右边，把二次项系数化为1后，两边配上一次项系数一半的平方即可． 【详解】∵， ∴， ∴， 则， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了解一元二次方程－配方法，配方法的一般步骤：(1)把常数项移到等号的右边；(2)把二次项的系数化为1；(3)等式两边同时加上一次项系数一半的平方． 5. 眉山市东坡区永丰村是“天府粮仓”示范区，该村的“智慧春耕”让生产更高效，提升了水稻亩产量，水稻亩产量从2021年的670千克增长到了2023年的780千克，该村水稻亩产量年平均增长率为，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，正确理解题意、列出方程是解题的关键． 设该村水稻亩产量年平均增长率为，根据题意列出方程即可． 【详解】解：根据题意得：． 故选：B． 6. 在中，，都是锐角，且，，则的形状是（ ） A. 直角三角形 B. 钝角三角形 C. 锐角三角形 D. 不能确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角函数、三角形内角和的知识；解题的关键是熟练掌握特殊角度三角函数、三角形内角和的性质，从而完成求解． 根据特殊角度三角函数的性质，结合题意，分别得；再根据三角形内角和性质计算得，即可得到答案． 【详解】解：∵都是锐角，且，， ， ， ∴的形状是钝角三角形， 故选：B． 7. 如图，，相交于点，，是的中点，，交于点．若，则的长为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】根据可得，从而得到，再根据得到，从而得到，最后得到即可求解． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， ， 是的中点， ， ， ， ， 故选：B． 【点睛】本题考查相似三角形的性质及判定，掌握相似三角形的性质及判定方法是解决本题的关键． 8. 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，以及一元二次方程的定义，由题意得，，且，即可求解． 【详解】解：由题意得，，且， 解得，，且． 故选：D． 9. 如图是拦水坝的横断面，斜坡的水平宽度为米，斜面坡度为，则斜坡的长为（  ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，理解坡度的定义是解题关键． 先根据坡度定义求出斜坡的垂直高度，再利用勾股定理计算斜坡的长度． 【详解】解：斜坡的坡度是垂直高度与水平宽度的比， 斜坡的水平宽度为米，斜面坡度为， ，米， 米， 据勾股定理可得米． 答：米． 10. 如图，在平行四边形中，点为边上靠近的三等分点，连接交于点，若，则的面积为（ ） A. 9 B. 18 C. 32 D. 36 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质等知识，四边形是平行四边形，，得，，则，可证明，得，则，于是得到问题的答案． 【详解】解：∵点为边上靠近的三等分点， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 11. 如图，点A、B、C在边长为1的正方形网格格点上，下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查网格中的锐角三角函数．利用勾股定理求出，勾股定理逆定理，得到，根据锐角三角函数的定义，逐一进行判断即可． 【详解】解：由图，可知：， ∴， ∴， ∴，，，， 综上：只有选项A是错误的， 故选A． 12. 如图，沿折叠矩形纸片，使点D落在边的点F处．已知，，则的值为（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由折叠的性质及勾股定理可求得，进而可得，设，则，由勾股定理建立方程可求得x的值，由余弦函数的定义即可求得结果． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴； 由折叠的性质得：； 在中，由勾股定理得， ∴； 设，则， 在中，由勾股定理得：， 解得：，即； ∴． 故选：D． 【点睛】本题考查了矩形与折叠问题，勾股定理，求三角函数值，由勾股定理建立方程求得是关键． 二．填空题（每小题5分，共20分） 13. 如图，中，点D，E，F分别为的中点，若随机向内投一粒米，则米粒落在图中阴影部分的概率为_________ 【答案】##0.25 【解析】 【分析】本题考查几何概率，三角形的中位线定理，根据三角形的中位线定理，推出阴影三角形的面积是面积的，即可得出结果． 【详解】解：∵点D，E，F分别为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴米粒落在图中阴影部分的概率为； 故答案为：． 14. 如图，和是以点为位似中心的位似图形．若，则与的周长比是_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据位似图形的性质，得到，根据得到相似比为，再结合三角形的周长比等于相似比即可得到结论． 【详解】解：和是以点为位似中心的位似图形， ， ， ， ， 根据与的周长比等于相似比可得， 故答案为：． 【点睛】本题考查相似图形的性质，掌握位似图形与相似图形的关系，熟记相似图形的性质是解决问题的关键． 15. 已知a和b是方程的两个解，则的值为________． 【答案】2028 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解和根与系数关系、代数式求值，先根据方程的解满足方程以及根与系数关系求得，，再代值求解即可． 【详解】解：∵a和b是方程的两个解， ∴，， ∴， ∴ ， 故答案为：2028． 16. 如图，点A在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象上，连接．若，则___________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了求角的正切值，相似三角形的性质与判定，反比例函数比例系数的几何意义，过点A作轴于C，过点B作轴，可证明，得到，再根据反比例函数比例系数的几何意义得到，则，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，过点A作轴于C，过点B作轴于D， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点A在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 三．解答题（共44分） 17. （1）计算：； （2）解方程： 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】本题考查特殊角三角函数值，实数的混合运算，解一元二次方程，熟练掌握运算法则是解题关键； （1）先计算零次幂，负指数次幂，特殊角的三角函数，二次根式，最后计算加减即可； （2）利用公式法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：， 其中， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴，． 18. 某校开展“共享阅读·向上人生”的读书活动，为了解学生对四类书籍（A体育类，B科技类，C文学类，D艺术类）的喜爱情况，在全校范围内随机抽取若干名学生进行了问卷调查（每个被调查的学生必须选择而且只能在这四类书籍中选择一类），并将数据进行统计和整理，绘制了两幅不完整的统计图，根据图中信息，请回答下列问题： （1）本次抽取调查的学生共有__________人，估计该校2000名学生喜爱“B科技类”书籍的人数约为__________人． （2）请将条形统计图补充完整． （3）在活动中，甲、乙、丙三名学生表现优秀，决定从这三名学生中随机选取两名学生参加演讲比赛，请用列表或画树状图的方法，求恰好选中甲和乙的概率． 【答案】（1）200，800 （2） 则补全条形统计图为： （3） 【解析】 【分析】本题考查了扇形统计图和条形统计图的信息关联，树状图或列表法求解概率，用样本估计总体，正确理解题意是解题的关键． （1）由D艺术类的人数除以占比即可求解本次抽取调查的学生，用2000乘以喜爱“B科技类”的占比即可求解该校2000名学生喜爱“B科技类”书籍的人数； （2）先求出C文学类的人数，即可补全条形统计图； （3）先画出树状图得到所有等可能性的结果数， 再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【小问1详解】 解：本次抽取调查的学生共有（人）， 该校2000名学生喜爱“B科技类”书籍的人数约为：（人）， 故答案为：200，800； 【小问2详解】 解：C文学类的人数为：（人）， 【小问3详解】 解：画树状图如下： 共有6种等可能结果，其中恰好选中甲和乙的结果有2种. （恰好选中甲和乙）． 19. 某服装店在销售中发现，进货价每件60元，销售价每件100元的服装平均每天可售出20件，为了迎接“双十一”，服装店决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利．经调查发现：如果每件服装降价1元，那么平均每天就可多售出2件，请解答下列问题： （1）降价前服装店每天销售该服装可获利多少元？ （2）如果服装店每天销售这种服装盈利1200元，同时又要使顾客得到更多的实惠，那么每件服装应降价多少元？ 【答案】（1）降价前服装店每天销售该服装可获利800元 （2）每件服装应降价20元 【解析】 【分析】（1）用降价前每件利润销售量列式计算即可得； （2）设每件服装降价元，利用“服装平均每天售出的件数每件盈利每天销售这种服装利润”列出方程解答即可得； 【小问1详解】 解： （元） 答：降价前服装店每天销售该服装可获利800元； 【小问2详解】 解：设每件服装降价元， 由题意得： 解得 因为要使顾客得到更多的实惠 所以取 答：每件服装应降价20元 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找出等量关系正确建立方程是解题关键．最后要注意判定所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解． 20. 如图，在一次数学实践活动中，小明同学为了测量学校旗杆 的高度，在观测点A处观 测旗杆顶点E 的仰角为，接着小明朝旗杆方向前进了到达C 点，此时，在观测点D处观 测旗杆顶点E 的仰角为．假设小明的身高为，求旗杆的高度．（结果保留一位小数．参考数据：≈1.414， 1.732) 【答案】约 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形应用——仰角问题．熟练掌握等腰直角三角形性质，锐角三角函数解直角三角形，是解决问题的关键． 延长交于点G，设，证明四边形是矩形，，得到，得到，得到，根据，得到，求得，根据，即得故旗杆的高度约． 【详解】解：延长交于点G，设， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ． 故旗杆的高度约． 21. 如图，点B、D、E在一条直线上，BE与AC相交于点F，． （1）求证：∠BAD=∠CAE； （2）若∠BAD=21°，求∠EBC的度数： （3）若连接EC，求证：△ABD∽△ACE． 【答案】 （1）证明：∵． ∴∽； ∴∠BAC=∠DAE， ∴∠BAC﹣∠DAF=∠DAE﹣∠DAF， 即∠BAD=∠CAE； （2）21°； （3）证明：连接CE， ∵∽， ∴∠BAC=∠DAE， ∴∠BAC﹣∠DAF=∠DAE﹣∠DAF， 即∠BAD=∠CAE， ∵ ∴． ∴∽． 【解析】 【分析】（1）根据相似三角形的性质定理得到∠BAC=∠DAE，结合图形，证明即可； （2）根据相似三角形的性质与三角形外角的性质即可得到结论； （3）根据相似三角形的判定和性质即可得到结论． 【详解】（1）略 （2）解：∵∽， ∴∠ABC=∠ADE， ∵∠ABC=∠ABE+∠EBC，∠ADE=∠ABE+∠BAD， ∴∠EBC=∠BAD=21°； （3）略 【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． B卷（共60分） 一、填空题（每小题6分，共24分） 22. 、是方程的两个根，则________． 【答案】175 【解析】 【分析】本题综合考查了一元二次方程的解、根与系数的关系．求代数式的值时，采用了根与系数的关系与代数式变形相结合的解题方法．根据一元二次方程的解的意义，知a、b满足方程，又由韦达定理知，据此来求代数式的值，并作出选择即可． 【详解】解：∵a，b是方程的两个根， ∴，，， 即，． ∴． 故答案为：175． 23. 如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，BC＝5，点D是线段BC上一动点，连结AD，以AD为边作△ADE，使△ADE∽△ABC，则△ADE的最小面积等于______． 【答案】 【解析】 【分析】根据勾股定理得到AC＝4，当AD⊥BC时，△ADE的面积最小，根据三角形的面积 公式得到AD＝，根据相似三角形的性质得到AE＝，由此三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：∵在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，BC＝5， ∴AC＝4， ∵△ADE∽△ABC， ∴，即 ∴， ∴， ∴当AD⊥BC时，△ADE的面积最小， ∴此时有 ∴AD＝， ∴△ADE的最小面积； 故答案为． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定，勾股定理，垂线段最短，三角形的面积公式，正确的理解题意是解题的关键． 24. 已知等腰三角形ABC，AD为BC边上的高线，且有，AC上有一点E，并且满足AE：EC＝2：3，则tan∠ADE的值是__． 【答案】或或． 【解析】 【分析】分三种情况进行讨论：①如果AB＝AC，过E点作CD的平行线交AD于F．②如果BA＝BC，过E点作CD的平行线交AD于F．③如果CA＝CB，过E点作CD的平行线交AD于F，作CG⊥AB于G．利用锐角三角函数的定义、平行线分线段成比例定理可求出∠ADE的正切值． 【详解】分三种情况： ①如果AB＝AC，过E点作CD的平行线交AD于F．如图1． ∵AD为BC边上的高线，tan∠B＝， ∴EF⊥AD，tan∠C＝． 设AE＝2a， ∵AE：CE＝2：3， ∴CE＝3a，AC＝5a． ∵tan∠C＝， ∴sin∠C＝，cos∠C＝． 在直角△ADC中，AD＝AC·sin∠C＝5a×＝3a． 在直角△AFE中，AF＝AE·sin∠AEF＝AE·sin∠C＝2a×＝a． EF＝AE·cos∠AEF＝AE·cos∠C＝2a×＝a． DF＝AD﹣AF＝3a﹣a＝a． 在直角△DFE中，tan∠ADE＝＝＝； ②如果BA＝BC，过E点作CD的平行线交AD于F．如图2． ∵AD为BC边上的高线，tan∠B＝＝， ∴可设AD＝3k，则BD＝4k， 由勾股定理得AB＝5k， ∴BC＝AB＝5k，DC＝AC﹣BD＝k． ∵EF∥CD，AE：EC＝2：3， ∴＝＝＝， ∴＝＝， ∴AF＝k，EF＝k， ∴DF＝AD﹣AF＝3k﹣k＝k． 在直角△DFE中，tan∠ADE＝＝＝； ③如果CA＝CB，过E点作CD的平行线交AD于F，作CG⊥AB于G．如图2． ∵在直角△BCG中，tan∠B＝＝， ∴可设CG＝3b，则BG＝4b，AB＝2BG＝8b， 由勾股定理得BC＝5b，则AC＝BC＝5b， ∵AE：EC＝2：3， ∴AE＝2b，EC＝3b． ∵在直角△ABD中，tan∠B＝＝，AB＝8b， ∴AD＝×8b＝b，BD＝×8b＝b， ∴CD＝BD﹣BC＝b﹣5b＝b． ∵EF∥CD， ∴＝＝＝， ∴＝＝， ∴AF＝b，EF＝b， ∴DF＝AD﹣AF＝b﹣b＝b． 在直角△DFE中，tan∠ADE＝＝＝． 故答案为或或． 【点睛】本题考查了解直角三角形，勾股定理，锐角三角函数的定义，平行线分线段成比例定理，有一定难度．利用数形结合及分类讨论是解题的关键． 25. 已知为实数，且，则________． 【答案】13 【解析】 【分析】本题考查了换元法，二次根式的非负性，完全平方公式变形，换元法是解本题的关键．设,，由已知条件得，且，解出和的值，再代入所求表达式计算 【详解】解：设,，则 由,，得 将代入，得 展开得，即 两边除以2得 解方程得或（舍去，因为） 则 故 三．解答题（每小题12分，共36分） 26. 观察下列一组等式，然后解答后面的问题： ； ； ； ． （1）观察以上规律，请写出第5个等式：________． （2）利用上面的规律，计算． （3）请利用上面的规律，比较与的大小，并写出详细过程 【答案】（1） （2）9 （3） 解：设，， 则， ， ， ， 即， 【解析】 【分析】本题考查规律探索，二次根式的混合运算，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）观察各式发现规律直接写出第5个等式即可； （2）通过有理化将各式转化为差的形式，求和计算即可； （3）将两式都看为分母为1 的式子，然后进行分子有理化，比较分母大小得出结论即可． 【小问1详解】 解：观察规律，可得第5个等式为． 故答案为：； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 略 27. 阅读材料：若一元二次方程的两个根为，，则，． （1）材料理解：一元二次方程的两个根为，，则________，________． （2）类比探究：已知实数，满足，．________． （3）思维拓展：已知实数、、满足、，且，求的最大值． 【答案】（1）， （2）2或 （3）7 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，一元二次方程根的判别式，解不等式，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）直接根据根与系数的关系可得答案； （2）分类讨论，当时，，当时，由题意得出、可看作方程的解，据此知，，将其代入计算可得； （3）由，，将、看作是方程的两实数根，然后通过根的判别式即可求解． 【小问1详解】 解：根据根与系数的关系得，； 故答案为：；； 【小问2详解】 解：当时，符合题意，则， 当时， ，， 、可看作方程的两个根， ，， ， 故答案为：2或； 【小问3详解】 解：，， 将、看作是方程的两实数根， ， ， ， 则， ， ， ， ， 的最大值为7． 28. 在四边形中，是边上的一点，是对角线的中点． （1）如图1，四边形是正方形，连接，作交于点，求证：； （2）如图2，四边形是平行四边形，，连接，作交于点，连接，求的值； （3）如图3，四边形是菱形，，连接交于点是边上的一点，，若，求的长． 【答案】（1） 证明：连接， ∵是正方形，， ∴，，， ∴， ∴， ∴； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）连接，根据正方形的性质，利用得到，即可证明结论； （2）过点A作于点G，过点F作于点，根据勾股定理求出长，然后根据平行四边形的面积公式求出长，根据正切得到长，然后设，则，求出长，再根据正切得到求出a的值，解答即可； （3）过点D作于点P，作于点Q，设，求出，，然后表示，，在射线上截取，在射线上截取，根据全等得到，，，然后根据勾股定理求出x值，再根据相似三角形的对应边成比例解答即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：过点A作于点G，过点F作于点， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 设，则， ∴， 同理可得，即， 解得， ∴， 又∵O是的中点， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：过点D作于点P，作于点Q，设， ∵是菱形， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，， 在射线上截取，在射线上截取， ∵是菱形， ∴，， ∴，， 又∵， ∴， ∴，， 同理：，， ∴， ∴， ∴，即， ∴， 解得， 又∵， ∴，， ∴， ∴，即， 解得：， 又∵O是的中点， ∴， ∴． 【点睛】本题考查四边形的综合，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，作辅助线构造全等三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $