第二章 实数的初步认识 单元复习——2026-2027学年苏科版数学八年级上册

2026-2027苏科版数学八年级上册单元复习 第二章 实数的初步认识 目录 一、明确学习目标 2 二、理清章节脉络 3 三、梳理考点知识 4 知识点1：平方根 4 知识点2：算术平方根 4 知识点3：立方根 4 知识点4：无理数 5 知识点5：实数 5 知识点6：准确值与近似值 6 四 典型例题+变式训练 7 题型1 平方根、算术平方根概念的理解判断 7 题型2 求一个非负数的平方根 9 题型3 根据一个数的平方根求这个数 10 题型4 求一个数的算术平方根 11 题型5 算术平方根的非负性 12 题型6 估计算术平方根的范围 13 题型7 判断等式是否正误 14 题型8 利用平方根或立方根解方程 16 题型9 平方根、算术平方根的实际应用 17 题型10 立方根的实际应用 19 题型11 无理数的概念与判断 20 题型12 无理数的大小估算 22 题型13 实数的概念与分类 23 题型14 实数与数轴的关系 24 题型15 实数的大小比较 26 题型16 实数的运算与程序图问题 27 题型17 实数的混合运算 30 题型18 准确值与近似值 31 题型19 平方根与算术平方根、立方根综合解答 33 题型20 关于平方根、算术平方根、立方根的规律探究问题 35 五 限时单元检测（建议时间45分钟） 39 一、明确学习目标 1. 理解平方根、算术平方根的概念，并会用符号争取表示非负数的平方根和算术平方根，会求某些非负数的平方根和算术平方根，知道算术平方根的非负性，会利用该性质解决一些简单的问题； 2. 理解立方根的概念，会用根号表示一个数的立方根；理解开立方与立方互为逆运算，会求某些数的立方根，能用立方根解决一些简单的实际问题； 3. 知道无理数的概念，会判断一个数是有理数还是无理数，会用有理数估计无理数的大小，知道实数的概念，及实数与数轴上的点一一对应，体会数形结合思想； 4. 知道有理数的运算法则在实数范围内仍适用，能熟练地进行实数运算；能用不同的方法比较两个实数的大小，理解估算的意义，发展数感和估算能力； 5. 知道准确值与近似值的区别，会用计算器近似计算，会按问题要求进行简单的近似计算，取近似值。 二、理清章节脉络 三、梳理考点知识 知识点1：平方根 1.平方根的定义：如果,()那么叫做的平方根。 2.平方根的表示方法： 3.平方根的性质： （1）一个正数的平方根是两个，且互为相反数； （2）0的平方根是0； （3）负数没有平方根。 注意：中的是非负数，否则就没有平方根！ 知识点2：算术平方根 1.算术平方根的定义：正数的正的平方根叫做的算术平方根； 2.算术平方根的表示方法：记作“”。 3.算术平方根的性质：具有双重非负性①;② 注意： 算术平方根的双重非负性是常考考点，常见搭配形式有以下几种： （1）||+ （2）+ （3）+ 知识点3：立方根 1.立方根的定义：如果，那么x就叫做a 的立方根（或a 的三次方根）。 2.立方根的表示方法： 3.立方根的性质：（1）一个正数有一个正的立方根；（2）一个负数有一个负的立方根； （3）0的立方根是0。 知识点4：无理数 1.无理数的定义：无限不循环小数叫做无理数。 2.无理数的常见表现形式： （1）开方开不尽的数，如等； （2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如+8等； （3）有特定结构的数，如0.1010010001…等；（注意省略号） 注意：有特定结构的数，如0.1010010001…等是无理数，但要注意如果将后面的省略号去掉变成0.1010010001就不再是无理数，而是有理数中的有限小数。这一点是非常容易被忽略的，易错，切记！！！ 3.无理数的大小估计方法： （1）整数部分的估计方法：为正整数，若,则的整数部分就为； （2）小数部分的估计方法：为正整数，若，则的十分位为,可以用类似的方法估计百分位，千分位等。 知识点5：实数 1、实数的概念：有理数和无理数统称为实数。 2. 实数的分类： 按照定义分类 2、按照正负分类 3.实数与数轴上点的关系：一 一对应关系 （1）一个实数对应数轴上唯一一个点；（2）数轴上一个点对应唯一一个实数。 4：实数的大小比较常用方法： 方法一：数轴比较法：左<右 方法二: 作差比较法 （1）, （2）, （3） 方法三: 作商比较法 设a、b是两正实数， （1）; （2） （3）， 方法四: 平方法 （1）设a、b是两负实数，则。 （2）设a、b是两正实数，则。 5.实数的运算： （1）实数的运算有加、减、乘、除、乘方与有理数的运算相同； （2）有理数中的所有运算顺序和运算律在实数中都可以正常使用； 知识点6：准确值与近似值 1.准确值的定义：与实际完全相符合的数据，称为准确值。 2.近似值： （1）近似值的定义：与准确值相近的数据，称为近似值。 （2）近似值的精确度：是指近似值与准确值的接近程度。 （3）近似值的表述方法： ①用数位表示：如精确到万位，精确到千分位等； ②用小数表示：如精确到0.1，精确到0.001等； ③对有单位的数据，可以用单位表示：如精确到1千克，精确到1厘米等。 （4）取近似值的三种常用方法：四舍五入法、去尾法、进一法。 四 典型例题+变式训练 题型1 平方根、算术平方根概念的理解判断 【例题1】（25-26八年级上·四川成都·阶段检测）下列说法： ①；②，③4是16的平方根；④的算术平方根是，⑤的平方根是．其中正确的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查平方根和算术平方根的概念，掌握平方根和算术平方根的概念是解题的关键．根据定义逐项判断即可． 【详解】解：① ∵ ， ∴ ， 故此说法错误； ② ∵ ，且， ∴ ， 故此说法错误； ③ ∵ ， ∴ 4是16的一个平方根， 故此说法正确； ④ ∵ ，且是5的算术平方根， ∴此说法正确； ⑤ ∵ ，负数在实数范围内无平方根， ∴此说法错误； 综上，正确个数为2个． 故选：B． 【练基础】（25-26八年级上·上海·阶段检测）下面说法正确的是（    ） A．的平方根是 B．若，则； C．是的算术平方根 D．没有平方根 【答案】C 【分析】本题主要考查了平方根，算术平方根，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据平方根，算术平方根的定义计算即可． 【详解】解：A、负数没有平方根，故选项错误，不符合题意； B、若，则，故选项错误，不符合题意； C、，是的算术平方根，故选项正确，符合题意； D、的平方根是，故选项错误，不符合题意； 故选：C． 【练能力】（25-26八年级上·山东青岛·阶段检测）有下列说法错误的是（   ） A．1的平方根是1 B．的立方根是 C．是17的平方根 D．是的平方根 【答案】D 【分析】本题主要考查了平方根和立方根的概念，注意一个正数的平方根有两个且互为相反数．根据平方根和立方根的概念判断即可． 【详解】解：A、1的平方根是，说法正确，故本选项不符合题意； B、的立方根是，说法正确，故本选项不符合题意； C、是17的平方根，说法正确，故本选项不符合题意； D、，而3的平方根是，所以不是的平方根，原说法错误，故本选项符合题意； 故选：D． 题型2 求一个非负数的平方根 【例题2】（26-27七年级上·黑龙江·期中）3的平方根是（     ） A． B． C． D．3 【答案】C 【详解】解：3的平方根是． 【练基础】（26-27八年级上·陕西咸阳·阶段检测）81的平方根是（     ） A．9 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平方根的定义求解． 【详解】解：∵， ∴的平方根是． 【练能力】（25-26八年级上·吉林长春·阶段检测）的平方根是（    ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】本题考查平方根，掌握相关知识是解决问题的关键． 根据平方根的定义，正数的平方根有两个，它们互为相反数． 【详解】解：∵ ， ∴ ． 故选：B． 题型3 根据一个数的平方根求这个数 【例题3】（26-27八年级上·陕西西安·阶段检测）若一个正数的两个平方根分别是与，则这个正数是（     ） A．4 B．7 C．18 D．49 【答案】D 【分析】根据一个正数的两个平方根互为相反数列方程求出，然后求解即可． 【详解】解：∵一个正数的两个平方根分别是与， ∴， 解得， ∴这个正数为． 【练基础】（25-26八年级上·全国·阶段检测）若一个正数的两个平方根分别是和，则这个正数是（     ） A．9 B．3 C．81 D．16 【答案】C 【详解】解：依题意， 解得： ∴这个正数是： 【练能力】（26-27八年级上·广东深圳·阶段检测）若与是同一个数的两个不等的平方根，则这个数是（     ） A．2 B． C． D．1 【答案】D 【分析】同一个数的两个不等的平方根互为相反数，据此可得到关于a的一元一次方程，解方程即可求解． 【详解】解：根据题意有：， 解得：， 则这个数的其中一个平方根为：, 这个数为：． 题型4 求一个数的算术平方根 【例题4】（25-26八年级上·陕西咸阳·阶段检测）的算术平方根是（     ） A． B． C． D．4 【答案】C 【详解】解：∵ 正数的算术平方根为正数， ∴ 排除A，B选项. ∵ , ∴ 的算术平方根是. 【练基础】（26-27八年级上·河南平顶山·阶段检测） （     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：． 【练能力】（26-27八年级上·江苏泰州·阶段检测）“的算术平方根”用符号表示为（     ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据算术平方根的定义：一般地，如果一个非负数的平方等于，那么这个非负数就叫做的算术平方根，以及算术平方根的表示方法：非负数的算术平方根记作；即可得到答案． 【详解】解：的算术平方根用符号表示为． 题型5 算术平方根的非负性 【例题5】（26-27八年级上·广东清远·阶段检测）若，则的值为（    ） A． B．1 C．3 D． 【答案】A 【详解】解：∵，，且， ∴，， 解得，， ∴． 【练基础】（26-27八年级上·重庆·阶段检测）若实数x，y满足，则的平方根为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用绝对值和算术平方根的非负性求出x，y的值，代入计算后求结果的平方根． 【详解】解：∵，且，， ∴，， 解得，， ∴， ∴， ∵， ∴的平方根为，则的平方根为． 【练能力】（2026·山东淄博·三模）若，则的平方根是（     ） A．1 B． C． D．0 【答案】C 【分析】根据非负数的性质求出、的值，然后代入求出，最后根据平方根的定义求解即可. 【详解】解：∵ ，，且 ， ∴ ， ， 解得， ， ∴ ， ∴ 的平方根为. 题型6 估计算术平方根的范围 【例题6】（25-26八年级上·江苏扬州·期末）数据30的算术平方根（    ） A．在4~5之间 B．在5~6之间 C．在6~7之间 D．在7~8之间 【答案】B 【分析】本题考查算术平方根的估算，通过寻找与30相邻的两个完全平方数，利用算术平方根的性质确定其范围. 【详解】解：∵， ∴数据30的算术平方根在5~6之间. 【练基础】（25-26八年级上·河南洛阳·期末）请估计的值在（    ） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 【答案】A 【分析】本题主要考查了估算无理数的大小．由，得到，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：A． 【练能力】（25-26八年级上·北京延庆·期末）已知．若为整数且，则的值为（   ） A．35 B．34 C．33 D．32 【答案】B 【分析】本题主要考查了算术平方根的估算．根据题意可得，即可求解． 【详解】解：∵，且， ∴，即， ∵， ∴． 故选：B 题型7 判断等式是否正误 【例题7】（25-26八年级上·河北石家庄·期末）下列各式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了算术平方根与平方根的定义及性质，解题的关键是明确算术平方根的结果为非负数，以及平方根与平方运算的区别． 逐一计算每个选项的表达式，结合算术平方根和平方根的定义判断正误． 【详解】解：A、，此选项不符合题意； B、，此选项不符合题意； C、，此选项不符合题意； D、，此选项符合题意． 故选：D． 【练基础】（25-26八年级上·北京延庆·期末）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平方根和算术平方根．根据平方根和算术平方根的定义，逐项判断，即可求解． 【详解】解：A、，故本选项错误，不符合题意； B、，故本选项错误，不符合题意； C、，故本选项正确，符合题意； D、，故本选项错误，不符合题意； 故选：C 【练能力】（25-26八年级上·福建泉州·期中）下列各式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平方根和立方根的概念，要注意算术平方根为非负数，立方根可为负数，负数没有实数平方根，将每个选项一一判断即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴A错误； ∵， ∴B错误； ∵， ∴C正确； ∵负数没有实数平方根， ∴无意义， ∴D错误． 故选：C． 题型8 利用平方根或立方根解方程 【例题8】（26-27八年级上·山东济南·阶段检测）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)，(2) 【分析】（1）用两边直接开平方法解方程； （2）用两边直接开立方法解方程． 【详解】（1）解：， 移项得：， 两边直接开平方得：， 方程的解为，； （2）解：， 移项得：， 合并同类项得：， 方程两边同时除以得：， 两边直接开立方得：， 移项得：， 合并同类项得：． 【练基础】（26-27八年级上·江苏苏州·阶段检测）求下列各式中x的值 (1) (2) 【答案】(1)(2)或 【分析】（1）先开立方，再求出解； （2）先开平方，再求出方程的解． 【详解】（1）解：由， 开方，得， 所以； （2）解：， 开方，得或， 所以或． 【练能力】（26-27八年级上·四川宜宾·阶段检测）解方程： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（）根据平方根的定义解答即可； （）根据立方根的定义解答即可． 【详解】（1）解：移项，得， 两边同除以，得， 开平方，得； （2）解：移项，得， 合并同类项，得， 两边同除以，得， 开立方，得， 移项、合并同类项，得． 题型9 平方根、算术平方根的实际应用 【例题9】（25-26八年级上·山西临汾·期末）一茶几的桌面为正方形，它的面积是，则该茶几桌面的边长是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了算术平方根的应用，设该茶几桌面的边长是，根据正方形的面积公式可得，解方程即可得到答案． 【详解】解：设该茶几桌面的边长是 由题意得， 解得或（舍去）， ∴该茶几桌面的边长是， 故选：B． 【练基础】（25-26八年级上·河北石家庄·期末）如图是两个面积为2的小正方形，沿对角线剪开拼成一个大正方形，则大正方形的边长为（   ）． A． B．2 C． D．4 【答案】B 【分析】本题考查了算术平方根、正方形的面积公式，根据题意可得大正方形的面积为，再根据正方形的边长等于其面积的算术平方根即可求解． 【详解】解：∵两个面积为2的小正方形，沿对角线剪开拼成一个大正方形， ∴大正方形的面积为， ∴大正方形的边长为． 故选：B． 【练能力】（26-27八年级上·福建泉州·阶段检测）一间面积为的客厅，若选用相同规格的正方形地砖，正好用50块完整地砖铺满地面，则该款地砖的边长为__________． 【答案】 【分析】根据正方形的面积公式解答即可． 【详解】解：， 即该款地砖的边长为． 题型10 立方根的实际应用 【例题10】（26-27八年级上·河南驻马店·阶段检测）如图，二阶魔方为的正方体结构，本身只有8个小正方体，已知某个二阶魔方的体积约为（小正方体之间的缝隙忽略不计），那么这个魔方中每个小正方体的棱长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出一个小正方体的体积，再根据正方体棱长等于体积的立方根计算棱长． 【详解】解：∵二阶魔方总体积为，一共包含个小正方体． ∴每个小正方体体积 设小正方体棱长为，则 每个小正方体的棱长为． 【练基础】（26-27八年级上·陕西咸阳·阶段检测）王师傅有一个体积为的铁块原料，他将这个铁块熔化并重新锻造成三个大小相同的正方体铁块，制作完成后剩下的余料体积为．则制作成的每一个小正方体铁块的棱长为_________． 【答案】 【分析】原铁块总体积减去余料体积等于三个小正方体的体积和，据此列方程求解即可得到小正方体的棱长． 【详解】解：设制作成的每一个小正方体铁块的棱长为， 根据题意，得 ， 整理得 ， 解得， 因此制作成的每一个小正方体铁块的棱长为． 【练能力】（25-26八年级上·江苏宿迁·阶段检测）一个棱长为的正方体的容器中盛满水，将这些水倒入另一个正方体容器时，还需再加水才满，求另一个正方体容器的棱长． 【答案】 【分析】根据棱长为的正方体的容器的容积+=另一个正方体容器的容积求解即可． 【详解】解∶设另一个正方体容器的棱长为， 根据题意，得， 解得， 答∶ 另一个正方体容器的棱长为． 题型11 无理数的概念与判断 【例题11】（26-27八年级上·广东清远·阶段检测）下列实数中，属于无理数的是（     ）． A．0 B． C． D． 【答案】C 【分析】先化简含根号的数，再判断是否为无理数即可． 【详解】解：，是有理数；0是有理数；是有理数，是无理数． 【练基础】（26-27八年级上·山东枣庄·阶段检测）下列各数中，无理数的是（     ） A． B． C． D．0.3030303……（每相邻两个3之间一个0） 【答案】B 【详解】解：A、是有理数，不符合题意； B、是无理数，符合题意； C、是有理数，不符合题意； D、0.3030303……（每相邻两个3之间一个0）是循环小数，是有理数，不符合题意. 【练能力】（26-27八年级上·陕西西安·阶段检测）下列各数：，，，，（相邻两个之间的个数逐次加），其中是无理数的有（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】利用算术平方根的定义化简，再根据无理数的定义判断即可． 【详解】解：是无限不循环小数，属于无理数； 是整数，属于有理数； 是分数，属于有理数； 是有限小数，属于有理数； （相邻两个之间的个数逐次加）是无限不循环小数，属于无理数； ∴无理数有个． 题型12 无理数的大小估算 【例题12】（26-27八年级上·山东济南·阶段检测）估算的值在（     ） A．到之间 B．到之间 C．到之间 D．到之间 【答案】A 【分析】利用夹逼法求出的取值范围，再推导的取值范围即可． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴， 即． 【练基础】（25-26八年级上·陕西咸阳·阶段检测）已知点P在数轴上的位置如图所示，则点P表示的数可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据数轴确定点P表示的数的范围，再结合选项判断即可． 【详解】解：由数轴可知，点P表示的数在2和3之间， ∵， ∴， 又∵， ∴点P表示的数可能是 【练能力】（26-27八年级上·福建泉州·阶段检测）设，则对于实数m的范围判断正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】计算相邻正整数的平方，对比33与这些平方值的大小关系，即可得到的取值范围． 【详解】因为5的平方是25，即，6的平方是36，即，且． 对这个不等式的所有部分同时开算术平方根，不等号方向不变，则， 也就是，即． 题型13 实数的概念与分类 【例题13】（26-27八年级上·福建三明·阶段检测）下列各数是有理数的是（     ） A． B． C． D．2.010010001…（相邻两个1之间0的个数逐次加1） 【答案】C 【分析】依据有理数包含整数和分数的特点，先筛选分数类选项，再排除无理数选项． 【详解】解：∵ ，，2.010010001…（相邻两个1之间0的个数逐次加1）均为无理数， ∴ 选项A、B、D不符合题意. ∵ 是有理数， ∴选项C符合题意． 【练基础】（26-27八年级上·陕西宝鸡·阶段检测）下列说法正确的是（     ） A．无限小数都是无理数 B．带根号的数都是无理数 C．无理数的平方一定是有理数 D．无理数一定是无限不循环小数 【答案】D 【分析】根据无理数的定义逐项进行判断． 【详解】解：A. 无限小数不一定是无理数，例如，该选项说法错误； B. 带根号的数不一定是无理数，例如，该选项说法错误； C. 无理数的平方不一定是有理数，例如，该选项说法错误； D. 无理数一定是无限不循环小数，该选项说法正确． 【练能力】（25-26八年级上·上海·期中）下列说法：①在实数范围内，一个数如果不是有理数，则一定是无理数；②数轴上的点与有理数一一对应；③无理数都是无限小数；④带根号的数都是无理数．⑤如果两个实数的和为无理数，则这两个实数必有一个无理数其中错误的共有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查实数的分类和性质，掌握实数的基本概念是解题关键． 实数包括有理数和无理数；数轴上的点与实数一一对应，并非仅与有理数对应；带根号的数不一定都是无理数；两个实数的和为无理数时，至少有一个是无理数，据此判断即可． 【详解】解：∵实数分为有理数和无理数， ∴如果不是有理数，则一定是无理数，①正确； ∵数轴上的点与实数一一对应，但有理数不能覆盖所有点， ∴②错误； ∵无理数是无限不循环小数， ∴都是无限小数，③正确； ∵带根号的数可能是有理数（如）， ∴④错误； ∵两个有理数的和是有理数， ∴如果和为无理数，则至少有一个是无理数，⑤正确． ∴错误的有②和④，共2个． 故选B． 题型14 实数与数轴的关系 【例题14】（26-27八年级上·河南驻马店·阶段检测）如图，数轴上表示，的对应点分别为C、B，点C是的中点，则点A表示的数是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据数轴上两点之间的距离求解即可． 【详解】解：∵数轴上表示，的对应点分别为C、B，点C是的中点， ∴点A表示的数是． 【练基础】（26-27八年级上·重庆·阶段检测）如图，根据尺规作图痕迹，图中标注在点A处所表示的数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由题意得，， ∴点A处所表示的数为． 【练能力】（26-27八年级上·山东济南·阶段检测）如图，已知正方形的面积为5，点在数轴上，且表示的数为1．现以点为圆心，以为半径画圆，所得圆和数轴交于点（在的右侧），则点表示的数为（   ） A． B．3.2 C． D． 【答案】A 【分析】根据正方形的边长是面积的算术平方根得，结合点所表示的数及间距离可得点所表示的数． 【详解】解：∵正方形的面积为5，且， ， ∵点表示的数是1，且点在点的右侧， ∴点表示的数为． 题型15 实数的大小比较 【例题15】（25-26八年级上·全国·阶段检测）下列各数中，数值最小的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：，，，， ∵，，，，，， ∴， ∴数值最小的是． 【练基础】（26-27八年级上·安徽池州·阶段检测）下列四个实数中，最小的是（     ） A． B． C． D．0 【答案】C 【分析】先通过正负性排除正数和0，再比较两个负数的大小得到结果． 【详解】解：∵，，，， ∴最小的数在与中， ∵，，， ∴． ∴最小的是． 【练能力】（26-27八年级上·四川绵阳·开学考试）下列四个数中，绝对值最大的是（　　） A． B． C． D．0 【答案】A 【分析】分别求出各数的绝对值，然后比较大小即可. 【详解】解：， ， ， ， ∵ ， ∴ 绝对值最大的是. 题型16 实数的运算与程序图问题 【例题16】（26-27八年级上·山东青岛·阶段检测）按如图所示的程序计算，若开始输入的值为25，则最后输出的值是（     ） A． B． C．5 D． 【答案】B 【分析】根据已知判断每一步输出结果即可得到答案． 【详解】解： 25的算术平方根为5，5是有理数 取5的平方根，是无理数 输出值是． 【练基础】（26-27八年级上·河南周口·阶段检测）如图是一个数值转换器． 当输入的值为时，输出的值为_________． 【答案】 【分析】根据图示流程进行计算，并判断是否无理数． 【详解】解：输入， 则， 取算术平方根为，是有理数， 取算术平方根为，是无理数， 故输出的值为． 【练能力】（25-26八年级上·江苏连云港·期中）如图是一个数值转换器（） (1)当输入的为时，输出的值是________； (2)若输入实数后，始终输不出值，则所有满足要求的的值为________； (3)若输出的是，求的负整数值． 【答案】(1) (2)2或3或1 (3)的负整数值为或 【分析】本题主要考查了算术平方根与实数的概念，熟练掌握其算术平方根与实数定义是解题的关键． （1）由题意利用框图中的算法，直接计算求值即可； （2）根据0和1的算术平方根是它本身，确定的值，进而求得的值即可； （3）由是逆推的值，进而求得的值即可． 【详解】（1）解：当时，，，3不是无理数， 再求算术平方根，是无理数， ∴ 当输入的为时，输出的值是； 故答案为：； （2）解：∵算术平方根是它本身的数为，而且为有理数， ∴当或时，始终输不出y值， ∴或或； 故答案为：2或3或1； （3）解：若第1次运算是， ∴， ∴， 解得或， ∵为负整数， ∴输入的值为； 若第2次运算是， ∴，， ∴， 解得或， ∵为负整数， ∴ 输入的值为， ∴， ∴的负整数值为或． 题型17 实数的混合运算 【例题17】（26-27八年级上·江苏苏州·阶段检测）计算 (1)； (2)． 【答案】(1)(2) 【分析】（1）根据乘方的定义、算术平方根的定义、立方根的定义、指数幂的运算法则把算式化简，再根据有理数的加法法则计算； （2）根据立方根的定义、绝对值的定义、乘方的定义把算式化简，再根据运算法则进行计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【练基础】（26-27八年级上·辽宁·期中）计算 (1)； (2)． 【答案】(1)1 (2) 【分析】（1）先算乘方并化简绝对值，再算加减法即可； （2）先开平方、立方，并算乘法，最后算加减法即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【练能力】（25-26八年级上·全国·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握实数的混合运算是解题的关键． （1）先计算立方根、算术平方根和乘方运算，再求和即可； （2）先计算乘方运算，立方根，算术平方根和化简绝对值，再进行加减运算即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式 ． 题型18 准确值与近似值 【例题18】（25-26八年级上·江苏镇江·期末）由四舍五入法得到的近似数精确到（   ） A．百分位 B．个位 C．十位 D．百位 【答案】C 【分析】本题考查近似数的精确度判断，关键是将科学记数法表示的数还原为原数，看末位有效数字对应的数位即可 【详解】解：∵， 又∵原数中数字4位于十位上， ∴该近似数精确到十位， 故选：C 【练基础】（25-26八年级上·河北石家庄·期末）下列说法正确的是（    ） A．近似数精确到百分位 B．近似数万精确到千位 C．近似数与表示的意义相同 D．近似数精确到个位 【答案】B 【分析】本题考查了近似数的精确位数，解题的关键是明确近似数的最后一位数字所在的数位，以及带单位的数的精确位数判断方法． 逐一分析每个选项中近似数的精确位数，结合定义判断其说法是否正确． 【详解】解：A、近似数精确到千分位，此选项不符合题意； B、万，数字4在千位，故精确到千位，此选项符合题意； C、精确到十分位，精确到百分位，意义不同，此选项不符合题意； D、精确到十分位，此选项不符合题意． 故选：B． 【练能力】（25-26八年级上·江苏扬州·期末）2025年8月17日，苏超第九轮扬州主场对战淮安，共有26798名球迷到达现场加油助威，请将数据26798用四舍五入法精确到千位，并用科学记数法表示为________． 【答案】 【详解】解：精确到千位为． 把转变为的形式，其中，小数点向左移动了4位，故， ∴． 综上，最终结果为． 题型19 平方根与算术平方根、立方根综合解答 【例题19】（26-27八年级上·江苏盐城·阶段检测）已知的算术平方根是3，的平方根是，c是的整数部分． (1)求a，b，c的值； (2)求的平方根 【答案】(1)，， (2) 【分析】（1）根据算术平方根、平方根的定义列方程可求a，b，根据可求c的值； （2）根据平方根的定义代入计算即可． 【详解】（1）解：的算术平方根是3， ， ； 的平方根是， ， ， ； ，c是的整数部分， ． （2）解：的平方根为． 【练基础】（26-27八年级上·河南郑州·阶段检测）已知的平方根是，的立方根是，是的整数部分． (1)请求出、、的值： (2)若是的小数部分．求的算术平方根． 【答案】(1) ，， (2) 的算术平方根为 【分析】（1）根据平方根、立方根定义列等式求、，估算的取值范围得整数部分； （2）先表示的小数部分，代入式子计算后求其算术平方根． 【详解】（1）解：∵的平方根是， ∴， ∴， ∵的立方根是， ∴， ∵，即， ∴的整数部分． （2）解：∵是的小数部分， ∴， ∴， ∵的算术平方根是， ∴的算术平方根为． 【练能力】（25-26八年级上·江苏无锡·阶段检测）已知的立方根是3，的算术平方根是4，c是的整数部分． (1)求a，b，c的值； (2)求的平方根． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查的是算术平方根以及立方根的定义，无理数的估算，掌握其基本定义是解题的关键． （1）利用算术平方根以及立方根的定义可以求出a、b，根据的估值可以求出c； （2）将（1）求出的值代入计算即可． 【详解】（1）解：因为的立方根是3，的算术平方根是4，c是的整数部分， 所以，解得； ，解得； ，； ； （2）解：， 所以的平方根为． 题型20 关于平方根、算术平方根、立方根的规律探究问题 【例题20】（25-26八年级上·河南驻马店·阶段检测）问题情境：学习《实数》之后，在数学活动课上，王老师出示了一组有规律的算式．仔细观察下列算式，并探求规律： ，，，， 实践探究： (1)按照此规律，①计算：_____； ②第个式子是_____（用含的式子表示，且为整数）； (2)计算：． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】本题考查了与算术平方根有关的规律探索，仔细观察，找出规律是解题的关键． （1）①根据题意，可以发现答案的分母为根式内分母的算术平方根，答案的分子比分母少1，从而得出答案； ②第一个式子为：，第二个式子为：，第三个式子为：，第四个式子为：，从而推出第个式子是； （2）结合（1），将二次根式化简，然后再计算有理数的乘法即可． 【详解】（1）解：①根据题意，可以发现答案的分母为根式内分母的算术平方根，答案的分子比分母少1，那么， 故答案为：； ②第一个式子为：， 第二个式子为：， 第三个式子为：， 第四个式子为：， 那么第个式子是， 故答案为：； （2）解： 【练基础】（25-26八年级上·河南平顶山·期末）【观察】 ① ②； ③； ④． 【发现】根据上述等式反映的规律，回答如下问题： （1）根据上述等式的规律，写出一个类似的等式：___________； （2）由等式①，②，③，④所反映的规律，可归纳出一个这样的结论：对于任意两个不相等的有理数，若，则___________，反之也成立； 【应用】根据（2）中的结论，解答问题：（3）若，求的算术平方根． 【答案】（1）（答案不唯一）；（2）0；（3）3 【分析】本题考查的是立方根的含义与性质，算术平方根的含义； （1）仿照题干条件的特点可得一个类似的等式； （2）由归纳可得当时，则； （3）由与的值互为相反数，可得，再进一步求解可得答案． 【详解】解：（1）； 故答案为：（答案不唯一） （2）对于任意两个不相等的有理数，若，则，反之也成立； 故答案为：0 （3）由（2）知， ， 解得， ， ． 【练能力】（山西运城市2025-2026学年度期末）阅读与探究 我们在八年级上册第二章《实数》中学习了：负数没有平方根，即方程在实数范围内无解．为了解决这个问题，数学家引入了一个新数i，叫做虚数单位．规定：；实数范围内的运算法则（如交换律、结合律、分配律、完全平方公式等）在i引入后仍然适用． 例如：． 计算：．解：原式（利用平方差公式）（将换成）． 我们将形如（a，b均为实数）的数称为复数． (1)根据此规律，计算：_________． (2)请参照材料中的例子，计算和的值． (3)在实数范围内，方程无解．但在引入虚数i后，我们利用可以这样求解： ， ． 请你仿照上述方法，求方程的解． 【答案】(1) (2)； (3) 【分析】本题主要考查了新定义，数字类的规律探索，求平方根的方法解方程，正确理解题意是解题的关键． （1）根据题意可得（n为正整数）这列数每4个数为一个循环，依次为，据此求出2026除以4的余数即可得到答案； （2）根据题目中给出的运算方法进行计算即可； （3）根据题目中给出的运算方法进行计算即可． 【详解】（1）解：， ……， 以此类推，可知，（n为正整数）这列数每4个数为一个循环，依次为， ∵， ∴； （2）解： ； ； （3）解：∵， ∴， ， ， 五 限时单元检测（建议时间45分钟） 一、选择题（本大题共10小题，每题3分） 1．下列各数没有平方根的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵ 负数没有平方根， 又∵， 四个选项中仅是负数， ∴没有平方根. 2．下列各式中，正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先排除被开方数为负的无意义选项，再根据平方根、算术平方根的定义判断其余选项． 【详解】解：A、，故A正确； B、，故B错误； C、的被开方数小于0，无意义，故C错误； D、，故D错误． 3．下列运算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据算术平方根的定义，逐一计算每个选项的结果，判断其运算是否正确． 【详解】解：选项，，运算正确，故符合题意； 选项，，运算错误，故不符合题意； 选项，是的算术平方根，结果为，不是，运算错误，故不符合题意； 选项，，运算错误，故不符合题意． 4．下列说法正确的是（     ） A．1的平方根是1 B．算术平方根等于它本身的数只有1个 C．的算术平方根是4 D．立方根等于的实数是 【答案】D 【详解】解：A. 1的平方根是，故错误； B. 算术平方根等于本身的数有0和1，故错误； C. ，4的算术平方根是2，故错误； D. 立方根等于的实数是，故正确． 5．已知一个正数的两个平方根分别是和，实数的立方根是，则的值为（   ） A．11 B．16 C．28 D．44 【答案】C 【分析】一个正数的两个平方根互为相反数，据此列方程求出a的值，进而求出x的值，再根据立方根的定义求出y的值即可得到答案． 【详解】解：∵一个正数的两个平方根分别是和， ∴， ∴， ∴； ∵实数的立方根是， ∴， ∴． 6．已知某港口有一个体积为的正方体集装箱，为存放更多的货物，现准备将其改造为一个体积为的正方体集装箱，改造后正方体的棱长是原来正方体棱长的（      ） A．倍 B．2倍 C．倍 D．倍 【答案】D 【分析】通过计算原正方体和改造后正方体的棱长，求其比值即可得出答案． 【详解】解：设原正方体棱长为，改造后正方体棱长为． ∵正方体体积， 当时，； 当时，； ∴ ． 故改造后正方体的棱长是原来棱长的倍． 7．在，，，（相邻两个3之间0的个数逐次加1），，，中，无理数的个数是（     ）个 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【详解】解：是有限小数，是整数，是分数，均是有理数，不是无理数； 开立方开不尽，含，（相邻两个3之间0的个数逐次加1）是无限不循环小数，开平方开不尽，均是无理数， 故无理数共4个． 8．如图，数轴上有，，，四个点，则（     ） A．点表示的数可能是 B．点表示的数可能是 C．点表示的数可能是 D．点表示的数可能是 【答案】C 【分析】观察数轴确定各点的大致取值范围，结合无理数估算进行判断即可． 【详解】解：由数轴可知，点表示，点在与之间且靠近，点在与之间且靠近，点在与之间， ， 点不可能是，故A 错误； ， ， 点不可能是，故B 错误 ， ，且靠近， 点可能是，故C正确， ∵，故点表示的数不可能是，故D 错误． 9．若x，y为实数，且，则的值为（     ） A．1 B． C．3 D． 【答案】A 【分析】利用绝对值和算术平方根的非负性求解，当几个非负数的和为0时，每个非负数都为0，先求出x，y的值，再代入所求式子计算即可． 【详解】∵，，且， ∴，， 解得：，， 故． 10．在如图所示的运算程序中，若输入x的值是64，则输出y的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据流程图，列出算式进行计算即可． 【详解】解：当输入的x值是64时，取算术平方根得， 由于8是有理数，所以再取立方根得， 由于2是有理数，所以再取算术平方根得， 由于是无理数，所以输出y的值是． 二、填空题（本大题共6小题，每题4分，共24分） 11．计算：_______． 【答案】5 【详解】解：． 12．的算术平方根是____________，64的平方根是____________． 【答案】 3 【详解】解：∵，且， ∴的算术平方根是3， 64的平方根是． 13．已知的立方根是，则____________． 【答案】 【详解】解：∵的立方根是， ∴． 解得：． 14．自2025年11月1日泰州队斩获苏超冠军以来，溱湖国家湿地公园累计接待游客超万人次．该近似数万精确到______位． 【答案】千 【分析】本题考查了近似数．先将以“万”为单位的近似数还原为原数，再根据近似数精确位数的判断规则，确定末位有效数字所在的数位即可． 【详解】解：．观察可知，数字9位于千位，因此该近似数精确到千位． 故答案为：千． 15．（1）的平方根是__________，（2）比较大小：__________1（填“”“”或“＝”）． 【答案】 【分析】（1）先求，即可求解平方根； （2）根据无理数的估算方法求解即可． 【详解】解：，故的平方根是； 由于， ∴ ∴． 16．已知的整数部分为，的小数部分为，则________． 【答案】 【分析】根据无理数的估算方法求出，则可求出和的取值范围，进而确定a、b的值，再代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，，即 ∴的整数部分为8，即， 的整数部分为1， ∴的小数部分为，即， ∴． 三、解答题（本大题共4小题，共46分） 17．（本题10分）解方程： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（）根据平方根的定义解答即可； （）根据立方根的定义解答即可． 【详解】（1）解：移项，得， 两边同除以，得， 开平方，得； （2）解：移项，得， 合并同类项，得， 两边同除以，得， 开立方，得， 移项、合并同类项，得． 18．（本题10分）计算： (1)； (2) 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 19．（本题12分）阅读下面的文字，解答问题． 大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，但是由于，所以的整数部分为1，小数部分为．解答下列问题， (1)的整数部分是___________，小数部分是___________； (2)如果的小数部分为的整数部分为，求的平方根； (3)无理数也可以使用数轴上的点来表示，如图，面积为2的正方形的顶点在数轴上，且表示的数为，若，直接写出点所表示的数是___________． (4) 【答案】(1)3，； (2) (3) 【分析】（1）利用无理数的估算得出，即可求解； （2）利用无理数的估算得出，，再代入计算求解即可； （3）根据正方形的边长和顶点的位置，即可得解． 【详解】（1）解：， ， 的整数部分是3，小数部分是； （2）解：，， ，， 的小数部分为的整数部分为， ，， ， 的平方根为； （3）解：正方形的面积为2， 正方形的边长为， ， 顶点在数轴上，且表示的数为， 点所表示的数是． 20．（本题14分）阅读材料： 小明对不等式的有关知识进行了自主学习，他发现，对于任意两个实数a和b比较大小，有如下规律：若，则；若，则；若，则．上面的规律，反过来也成立．课上，通过与老师和其他同学的交流，验证了上面的规律是正确的． 参考小明发现的规律，解决问题： (1)比较大小：________；（填“<”、“=”或“>”） (2)已知，且，若，，试比较A和B的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）两数作差，根据可求； （2）根据，且，求得，两式作差进而求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 第2页，共31页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027苏科版数学八年级上册单元复习 第二章 实数的初步认识 目录 一、明确学习目标 2 二、理清章节脉络 3 三、梳理考点知识 4 知识点1：平方根 4 知识点2：算术平方根 4 知识点3：立方根 4 知识点4：无理数 5 知识点5：实数 5 知识点6：准确值与近似值 6 四 典型例题+变式训练 7 题型1 平方根、算术平方根概念的理解判断 7 题型2 求一个非负数的平方根 7 题型3 根据一个数的平方根求这个数 8 题型4 求一个数的算术平方根 8 题型5 算术平方根的非负性 9 题型6 估计算术平方根的范围 9 题型7 判断等式是否正误 10 题型8 利用平方根或立方根解方程 10 题型9 平方根、算术平方根的实际应用 11 题型10 立方根的实际应用 12 题型11 无理数的概念与判断 13 题型12 无理数的大小估算 13 题型13 实数的概念与分类 14 题型14 实数与数轴的关系 14 题型15 实数的大小比较 15 题型16 实数的运算与程序图问题 16 题型17 实数的混合运算 17 题型18 准确值与近似值 17 题型19 平方根与算术平方根、立方根综合解答 18 题型20 关于平方根、算术平方根、立方根的规律探究问题 19 五 限时单元检测（建议时间45分钟） 22 一、明确学习目标 1. 理解平方根、算术平方根的概念，并会用符号争取表示非负数的平方根和算术平方根，会求某些非负数的平方根和算术平方根，知道算术平方根的非负性，会利用该性质解决一些简单的问题； 2. 理解立方根的概念，会用根号表示一个数的立方根；理解开立方与立方互为逆运算，会求某些数的立方根，能用立方根解决一些简单的实际问题； 3. 知道无理数的概念，会判断一个数是有理数还是无理数，会用有理数估计无理数的大小，知道实数的概念，及实数与数轴上的点一一对应，体会数形结合思想； 4. 知道有理数的运算法则在实数范围内仍适用，能熟练地进行实数运算；能用不同的方法比较两个实数的大小，理解估算的意义，发展数感和估算能力； 5. 知道准确值与近似值的区别，会用计算器近似计算，会按问题要求进行简单的近似计算，取近似值。 二、理清章节脉络 三、梳理考点知识 知识点1：平方根 1.平方根的定义：如果,( )那么叫做的平方根。 2.平方根的表示方法： 3.平方根的性质： （1）一个正数的平方根是两个，且互为 ； （2）0的平方根是 ； （3）负数没有平方根。 注意：中的是非负数，否则就没有平方根！ 知识点2：算术平方根 1.算术平方根的定义：正数的 的平方根叫做的算术平方根； 2.算术平方根的表示方法：记作“ ”。 3.算术平方根的性质：具有双重非负性① ;② 注意： 算术平方根的双重非负性是常考考点，常见搭配形式有以下几种： （1）||+ （2）+ （3）+ 知识点3：立方根 1.立方根的定义：如果 ，那么x就叫做a 的立方根（或a 的三次方根）。 2.立方根的表示方法： 3.立方根的性质：（1）一个正数有一个 的立方根； （2）一个负数有一个 的立方根；（3）0的立方根是 。 知识点4：无理数 1.无理数的定义： 叫做无理数。 2.无理数的常见表现形式： （1）开方开不尽的数，如等； （2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如+8等； （3）有特定结构的数，如0.1010010001…等；（注意省略号） 注意：有特定结构的数，如0.1010010001…等是无理数，但要注意如果将后面的省略号去掉变成0.1010010001就不再是无理数，而是有理数中的有限小数。这一点是非常容易被忽略的，易错，切记！！！ 3.无理数的大小估计方法： （1）整数部分的估计方法：为正整数，若,则的整数部分就为； （2）小数部分的估计方法：为正整数，若，则的十分位为,可以用类似的方法估计百分位，千分位等。 知识点5：实数 1、实数的概念： 和 统称为实数。 2. 实数的分类： 按照定义分类 2、按照正负分类 3.实数与数轴上点的关系：一 一对应关系 （1）一个实数对应数轴上唯一一个点；（2）数轴上一个点对应唯一一个实数。 4：实数的大小比较常用方法： 方法一：数轴比较法：左<右 方法二: 作差比较法 （1）, （2）, （3） 方法三: 作商比较法 设a、b是两正实数， （1）; （2） （3）， 方法四: 平方法 （1）设a、b是两负实数，则。 （2）设a、b是两正实数，则。 5.实数的运算： （1）实数的运算有加、减、乘、除、乘方与有理数的运算相同； （2）有理数中的所有运算顺序和运算律在实数中都可以正常使用； 知识点6：准确值与近似值 1.准确值的定义：与 完全相符合的数据，称为准确值。 2.近似值： （1）近似值的定义：与准确值 的数据，称为近似值。 （2）近似值的精确度：是指 与 的接近程度。 （3）近似值的表述方法： ①用数位表示：如精确到万位，精确到千分位等； ②用小数表示：如精确到0.1，精确到0.001等； ③对有单位的数据，可以用单位表示：如精确到1千克，精确到1厘米等。 （4）取近似值的三种常用方法：四舍五入法、去尾法、进一法。 四 典型例题+变式训练 题型1 平方根、算术平方根概念的理解判断 【例题1】（25-26八年级上·四川成都·阶段检测）下列说法： ①；②，③4是16的平方根；④的算术平方根是，⑤的平方根是．其中正确的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【练基础】（25-26八年级上·上海·阶段检测）下面说法正确的是（    ） A．的平方根是 B．若，则； C．是的算术平方根 D．没有平方根 【练能力】（25-26八年级上·山东青岛·阶段检测）有下列说法错误的是（   ） A．1的平方根是1 B．的立方根是 C．是17的平方根 D．是的平方根 题型2 求一个非负数的平方根 【例题2】（26-27七年级上·黑龙江·期中）3的平方根是（     ） A． B． C． D．3 【练基础】（26-27八年级上·陕西咸阳·阶段检测）81的平方根是（     ） A．9 B． C． D． 【练能力】（25-26八年级上·吉林长春·阶段检测）的平方根是（    ） A． B． C．2 D． 题型3 根据一个数的平方根求这个数 【例题3】（26-27八年级上·陕西西安·阶段检测）若一个正数的两个平方根分别是与，则这个正数是（     ） A．4 B．7 C．18 D．49 【练基础】（25-26八年级上·全国·阶段检测）若一个正数的两个平方根分别是和，则这个正数是（     ） A．9 B．3 C．81 D．16 【练能力】（26-27八年级上·广东深圳·阶段检测）若与是同一个数的两个不等的平方根，则这个数是（     ） A．2 B． C． D．1 题型4 求一个数的算术平方根 【例题4】（25-26八年级上·陕西咸阳·阶段检测）的算术平方根是（     ） A． B． C． D．4 【练基础】（26-27八年级上·河南平顶山·阶段检测） （     ） A． B． C． D． 【练能力】（26-27八年级上·江苏泰州·阶段检测）“的算术平方根”用符号表示为（     ）． A． B． C． D． 题型5 算术平方根的非负性 【例题5】（26-27八年级上·广东清远·阶段检测）若，则的值为（    ） A． B．1 C．3 D． 【练基础】（26-27八年级上·重庆·阶段检测）若实数x，y满足，则的平方根为（     ） A． B． C． D． 【练能力】（2026·山东淄博·三模）若，则的平方根是（     ） A．1 B． C． D．0 题型6 估计算术平方根的范围 【例题6】（25-26八年级上·江苏扬州·期末）数据30的算术平方根（    ） A．在4~5之间 B．在5~6之间 C．在6~7之间 D．在7~8之间 【练基础】（25-26八年级上·河南洛阳·期末）请估计的值在（    ） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 【练能力】（25-26八年级上·北京延庆·期末）已知．若为整数且，则的值为（   ） A．35 B．34 C．33 D．32 题型7 判断等式是否正误 【例题7】（25-26八年级上·河北石家庄·期末）下列各式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【练基础】（25-26八年级上·北京延庆·期末）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【练能力】（25-26八年级上·福建泉州·期中）下列各式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 题型8 利用平方根或立方根解方程 【例题8】（26-27八年级上·山东济南·阶段检测）解方程： (1)； (2)． 【练基础】（26-27八年级上·江苏苏州·阶段检测）求下列各式中x的值 (1) (2) 【练能力】（26-27八年级上·四川宜宾·阶段检测）解方程： (1)； (2) 题型9 平方根、算术平方根的实际应用 【例题9】（25-26八年级上·山西临汾·期末）一茶几的桌面为正方形，它的面积是，则该茶几桌面的边长是（   ） A． B． C． D． 【练基础】（25-26八年级上·河北石家庄·期末）如图是两个面积为2的小正方形，沿对角线剪开拼成一个大正方形，则大正方形的边长为（   ）． A． B．2 C． D．4 【练能力】（26-27八年级上·福建泉州·阶段检测）一间面积为的客厅，若选用相同规格的正方形地砖，正好用50块完整地砖铺满地面，则该款地砖的边长为__________． 题型10 立方根的实际应用 【例题10】（26-27八年级上·河南驻马店·阶段检测）如图，二阶魔方为的正方体结构，本身只有8个小正方体，已知某个二阶魔方的体积约为（小正方体之间的缝隙忽略不计），那么这个魔方中每个小正方体的棱长为（     ） A． B． C． D． 【练基础】（26-27八年级上·陕西咸阳·阶段检测）王师傅有一个体积为的铁块原料，他将这个铁块熔化并重新锻造成三个大小相同的正方体铁块，制作完成后剩下的余料体积为．则制作成的每一个小正方体铁块的棱长为_________． 【练能力】（25-26八年级上·江苏宿迁·阶段检测）一个棱长为的正方体的容器中盛满水，将这些水倒入另一个正方体容器时，还需再加水才满，求另一个正方体容器的棱长． 题型11 无理数的概念与判断 【例题11】（26-27八年级上·广东清远·阶段检测）下列实数中，属于无理数的是（     ）． A．0 B． C． D． 【练基础】（26-27八年级上·山东枣庄·阶段检测）下列各数中，无理数的是（     ） A． B． C． D．0.3030303……（每相邻两个3之间一个0） 【练能力】（26-27八年级上·陕西西安·阶段检测）下列各数：，，，，（相邻两个之间的个数逐次加），其中是无理数的有（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 题型12 无理数的大小估算 【例题12】（26-27八年级上·山东济南·阶段检测）估算的值在（     ） A．到之间 B．到之间 C．到之间 D．到之间 【练基础】（25-26八年级上·陕西咸阳·阶段检测）已知点P在数轴上的位置如图所示，则点P表示的数可能是（     ） A． B． C． D． 【练能力】（26-27八年级上·福建泉州·阶段检测）设，则对于实数m的范围判断正确的是（     ） A． B． C． D． 题型13 实数的概念与分类 【例题13】（26-27八年级上·福建三明·阶段检测）下列各数是有理数的是（     ） A． B． C． D．2.010010001…（相邻两个1之间0的个数逐次加1） 【练基础】（26-27八年级上·陕西宝鸡·阶段检测）下列说法正确的是（     ） A．无限小数都是无理数 B．带根号的数都是无理数 C．无理数的平方一定是有理数 D．无理数一定是无限不循环小数 【练能力】（25-26八年级上·上海·期中）下列说法：①在实数范围内，一个数如果不是有理数，则一定是无理数；②数轴上的点与有理数一一对应；③无理数都是无限小数；④带根号的数都是无理数．⑤如果两个实数的和为无理数，则这两个实数必有一个无理数其中错误的共有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型14 实数与数轴的关系 【例题14】（26-27八年级上·河南驻马店·阶段检测）如图，数轴上表示，的对应点分别为C、B，点C是的中点，则点A表示的数是（     ） A． B． C． D． 【练基础】（26-27八年级上·重庆·阶段检测）如图，根据尺规作图痕迹，图中标注在点A处所表示的数为（     ） A． B． C． D． 【练能力】（26-27八年级上·山东济南·阶段检测）如图，已知正方形的面积为5，点在数轴上，且表示的数为1．现以点为圆心，以为半径画圆，所得圆和数轴交于点（在的右侧），则点表示的数为（   ） A． B．3.2 C． D． 题型15 实数的大小比较 【例题15】（25-26八年级上·全国·阶段检测）下列各数中，数值最小的是（    ） A． B． C． D． 【练基础】（26-27八年级上·安徽池州·阶段检测）下列四个实数中，最小的是（     ） A． B． C． D．0 【练能力】（26-27八年级上·四川绵阳·开学考试）下列四个数中，绝对值最大的是（　　） A． B． C． D．0 题型16 实数的运算与程序图问题 【例题16】（26-27八年级上·山东青岛·阶段检测）按如图所示的程序计算，若开始输入的值为25，则最后输出的值是（     ） A． B． C．5 D． 【练基础】（26-27八年级上·河南周口·阶段检测）如图是一个数值转换器． 当输入的值为时，输出的值为_________． 【练能力】（25-26八年级上·江苏连云港·期中）如图是一个数值转换器（） (1)当输入的为时，输出的值是________； (2)若输入实数后，始终输不出值，则所有满足要求的的值为________； (3)若输出的是，求的负整数值． 题型17 实数的混合运算 【例题17】（26-27八年级上·江苏苏州·阶段检测）计算 (1)； (2)． 【练基础】（26-27八年级上·辽宁·期中）计算 (1)； (2)． 【练能力】（25-26八年级上·全国·期末）计算： (1)； (2)． 题型18 准确值与近似值 【例题18】（25-26八年级上·江苏镇江·期末）由四舍五入法得到的近似数精确到（   ） A．百分位 B．个位 C．十位 D．百位 【练基础】（25-26八年级上·河北石家庄·期末）下列说法正确的是（    ） A．近似数精确到百分位 B．近似数万精确到千位 C．近似数与表示的意义相同 D．近似数精确到个位 【练能力】（25-26八年级上·江苏扬州·期末）2025年8月17日，苏超第九轮扬州主场对战淮安，共有26798名球迷到达现场加油助威，请将数据26798用四舍五入法精确到千位，并用科学记数法表示为________． 题型19 平方根与算术平方根、立方根综合解答 【例题19】（26-27八年级上·江苏盐城·阶段检测）已知的算术平方根是3，的平方根是，c是的整数部分． (1)求a，b，c的值； (2)求的平方根 【练基础】（26-27八年级上·河南郑州·阶段检测）已知的平方根是，的立方根是，是的整数部分． (1)请求出、、的值： (2)若是的小数部分．求的算术平方根． 【练能力】（25-26八年级上·江苏无锡·阶段检测）已知的立方根是3，的算术平方根是4，c是的整数部分． (1)求a，b，c的值； (2)求的平方根． 题型20 关于平方根、算术平方根、立方根的规律探究问题 【例题20】（25-26八年级上·河南驻马店·阶段检测）问题情境：学习《实数》之后，在数学活动课上，王老师出示了一组有规律的算式．仔细观察下列算式，并探求规律： ，，，， 实践探究： (1)按照此规律，①计算：_____； ②第个式子是_____（用含的式子表示，且为整数）； (2)计算：． 【练基础】（25-26八年级上·河南平顶山·期末）【观察】 ① ②； ③； ④． 【发现】根据上述等式反映的规律，回答如下问题： （1）根据上述等式的规律，写出一个类似的等式：___________； （2）由等式①，②，③，④所反映的规律，可归纳出一个这样的结论：对于任意两个不相等的有理数，若，则___________，反之也成立； 【应用】根据（2）中的结论，解答问题：（3）若，求的算术平方根． 【练能力】（山西运城市2025-2026学年度期末）阅读与探究 我们在八年级上册第二章《实数》中学习了：负数没有平方根，即方程在实数范围内无解．为了解决这个问题，数学家引入了一个新数i，叫做虚数单位．规定：；实数范围内的运算法则（如交换律、结合律、分配律、完全平方公式等）在i引入后仍然适用． 例如：． 计算：．解：原式（利用平方差公式）（将换成）． 我们将形如（a，b均为实数）的数称为复数． (1)根据此规律，计算：_________． (2)请参照材料中的例子，计算和的值． (3)在实数范围内，方程无解．但在引入虚数i后，我们利用可以这样求解： ， ． 请你仿照上述方法，求方程的解． 五 限时单元检测（建议时间45分钟） 一、选择题（本大题共10小题，每题3分） 1．下列各数没有平方根的是（     ） A． B． C． D． 2．下列各式中，正确的是（     ） A． B． C． D． 3．下列运算正确的是（     ） A． B． C． D． 4．下列说法正确的是（     ） A．1的平方根是1 B．算术平方根等于它本身的数只有1个 C．的算术平方根是4 D．立方根等于的实数是 5．已知一个正数的两个平方根分别是和，实数的立方根是，则的值为（   ） A．11 B．16 C．28 D．44 6．已知某港口有一个体积为的正方体集装箱，为存放更多的货物，现准备将其改造为一个体积为的正方体集装箱，改造后正方体的棱长是原来正方体棱长的（      ） A．倍 B．2倍 C．倍 D．倍 7．在，，，（相邻两个3之间0的个数逐次加1），，，中，无理数的个数是（     ）个 A．2 B．3 C．4 D．5 8．如图，数轴上有，，，四个点，则（     ） A．点表示的数可能是 B．点表示的数可能是 C．点表示的数可能是 D．点表示的数可能是 9．若x，y为实数，且，则的值为（     ） A．1 B． C．3 D． 10．在如图所示的运算程序中，若输入x的值是64，则输出y的值是（     ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共6小题，每题4分，共24分） 11．计算：_______． 12．的算术平方根是____________，64的平方根是____________． 13．已知的立方根是，则____________． 14．自2025年11月1日泰州队斩获苏超冠军以来，溱湖国家湿地公园累计接待游客超万人次．该近似数万精确到______位． 15．（1）的平方根是______，（2）比较大小：__________1（填“”“”或“＝”）． 16．已知的整数部分为，的小数部分为，则________． 三、解答题（本大题共4小题，共46分） 17．（本题10分）解方程： (1)； (2) 18．（本题10分）计算： (1)； (2) 19．（本题12分）阅读下面的文字，解答问题． 大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，但是由于，所以的整数部分为1，小数部分为．解答下列问题， (1)的整数部分是___________，小数部分是___________； (2)如果的小数部分为的整数部分为，求的平方根； (3)无理数也可以使用数轴上的点来表示，如图，面积为2的正方形的顶点在数轴上，且表示的数为，若，直接写出点所表示的数是___________． (4) 20．（本题14分）阅读材料： 小明对不等式的有关知识进行了自主学习，他发现，对于任意两个实数a和b比较大小，有如下规律：若，则；若，则；若，则．上面的规律，反过来也成立．课上，通过与老师和其他同学的交流，验证了上面的规律是正确的． 参考小明发现的规律，解决问题： (1)比较大小：________；（填“<”、“=”或“>”） (2)已知，且，若，，试比较A和B的大小． 第2页，共31页 学科网（北京）股份有限公司 $