第26章 二次函数 培优专题训练 2026-2027学年人教版九年级上册数学

**基本信息** 以数形结合为核心，构建从图象性质到综合应用的二次函数专项训练体系，突出几何直观与模型意识的培养。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |数形结合|5题（含翻折交点问题）|以形助数（图象分析系数关系）、以数解形（方程联立求交点）|从二次函数图象基本性质到与一次函数、方程不等式的综合应用| |最值应用|4题（含面积/路径最值）|顶点式求最值、面积转化法（铅垂高）|从线段长度到图形面积，渗透函数建模与推理能力| |实际问题|6题（销售/抛物线形/几何面积）|建立函数模型（利润=销量×单利）、坐标法解决抛物线形问题|联系生活实际，培养数据意识与应用能力| |存在性问题|5题（三角形/四边形存在性）|分类讨论（等腰/直角三角形）、平行四边形性质应用|综合图象与代数推理，提升创新意识与逻辑思维|

二次函数培优专题训练 专题一　二次函数之数形结合——以形助数、以数解形 类型一　根据图象确定字母系数之间的关系 1. 二次函数 的图象如图所示，下列结论：① ；② ；③ ；④ 当 时， 随 的增大而减小．其中正确的有（　　） A．4个　　　B．3个　　　C．2个　　　D．1个 类型二　二次函数与方程、不等式的关系问题 2. 如图，在平面直角坐标系中，直线 与抛物线 相交于点 ，．结合图象，判断下列结论： ① 当 时，；② 是方程 的一个解；③ 若 ， 是抛物线上的两点，则 ；④ 对于抛物线 ，当 时， 的取值范围是 ．其中正确结论的个数是（　　） A．4个　　　B．3个　　　C．2个　　　D．1个 类型三　图象共存问题 3. 在同一平面直角坐标系内，二次函数 与一次函数 的图象可能是（　　） A B C D 类型四　二次函数图象与一次函数图象的交点问题 4. 将二次函数 的图象在 轴上方的部分沿 轴翻折后，所得新函数的图象如图所示．当直线 与新函数的图象恰有 3 个公共点时， 的值为（　　） A． 或 　　B． 或 　　C． 或 　　D． 或 5. 在平面直角坐标系 中，抛物线 经过点 ． （1）求抛物线的顶点坐标（用含 的式子表示）； （2）已知点 ，将点 向左平移 3 个单位长度，得到点 ．若抛物线与线段 恰有一个公共点，结合函数的图象，求 的取值范围． 专题二　二次函数与最值的综合应用 类型一　二次函数与线段长度的最值问题 1. 如图，二次函数 的图象交 轴于点 ，，交 轴于点 ．点 是 轴上的一动点， 轴，交直线 于点 ，交抛物线于点 ． （1）求这个二次函数的解析式； （2）若点 仅在线段 上运动，求线段 的最大值． 2. 如图，抛物线 交 轴于 ， 两点，与 轴交于点 ，连接 ，． 为线段 上的一个动点，过点 作 轴，交抛物线于点 ，交 于点 ． （1）求抛物线的函数解析式； （2）过点 作 ，垂足为点 ．设点 的坐标为 ，请用含 的代数式表示线段 的长，并求出当 为何值时， 有最大值，最大值是多少？ 类型二　二次函数与面积的最值问题 3. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 交 轴于 ， 两点，交 轴于点 ，且 ．点 是第三象限内抛物线上的一动点． （1）求此抛物线的函数解析式； （2）若 ，求点 的坐标； （3）连接 ，求 面积的最大值及此时点 的坐标． 类型三　二次函数与最短路径问题 4. 如图，已知抛物线 与一直线相交于 ， 两点，与 轴交于点 ，其顶点为 ． （1）分别求抛物线、直线 的函数解析式； （2）设点 为直线 上的一个动点，求 的最小值． 专题三　实际问题中的二次函数问题 类型一　销售类最值问题 1. 2022 年冬奥会在北京召开，某网络经销商购进了一批以冬奥会为主题的文化衫进行销售．文化衫的进价为每件 30 元，当销售单价定为 70 元时，每天可售出 20 件，每销售一件需缴纳网络平台管理费 2 元．为了扩大销售，增加盈利，决定采取适当的降价措施，经调查发现：销售单价每降低 1 元，则每天可多售出 2 件（销售单价不低于进价）．若设这款文化衫的销售单价为 （元），每天的销售量为 （件）． （1）求每天的销售量 （件）与销售单价 （元）之间的函数关系式； （2）当销售单价为多少元时，销售这款文化衫每天所获得的利润最大，最大利润为多少元？ 2. 某商户购进一批童装，40 天销售完毕．根据所记录的数据发现，日销售量 （件）与销售时间 （天）之间的关系式是 销售单价 （元/件）与销售时间 （天）之间的函数关系如图所示． （1）第 15 天的日销售量为______件； （2）当 时，求日销售额的最大值； （3）在销售过程中，若日销售量不低于 48 件的时间段为”火热销售期”，则”火热销售期”共有多少天？ 类型二　抛物线形问题 3. 乒乓球被誉为中国国球．2023 年的世界乒乓球锦标赛中，中国队包揽了五个项目的冠军，成绩的取得与平时的刻苦训练和精准的技术分析是分不开的．如图，是乒乓球台的截面示意图，一位运动员从球台边缘正上方以击球高度 为 28.75 cm 的高度，将乒乓球向正前方击打到对面球台，乒乓球的运行路线近似是抛物线的一部分． 乒乓球到球台的竖直高度记为 （单位：cm），乒乓球运行的水平距离记为 （单位：cm），测得如下数据： 水平距离 /cm 0 10 50 90 130 170 230 竖直高度 /cm 28.75 33 45 49 45 33 0 （1）在平面直角坐标系 中，描出表格中各组数值所对应的点 ，并画出表示乒乓球运行轨迹形状的大致图象； （2）① 当乒乓球到达最高点时，与球台之间的距离是______cm；当乒乓球落在对面球台上时，到起始点的水平距离是______cm； ② 求满足条件的抛物线解析式； （3）技术分析：如果只上下调整击球高度 ，乒乓球的运行轨迹形状不变，那么为了确保乒乓球既能过网，又能落在对面球台上，需要计算出 的取值范围，以利于有针对性的训练．如图，乒乓球台长 为 274 cm，球网高 为 15.25 cm．现在已经计算出乒乓球恰好过网的击球高度 的值约为 1.27 cm．请你计算出乒乓球恰好落在对面球台边缘点 处时，击球高度 的值（乒乓球大小忽略不计）． 4. 如今我国的蔬菜大棚种植技术已十分成熟．小明家的菜地上有一个长为 16 米的蔬菜大棚，其横截面顶部为抛物线形，大棚的一端固定在离地面高 1 米的墙体 处，另一端固定在离地面高 2 米的墙体 处，现对其横截面建立如图所示的平面直角坐标系．已知大棚上某处离地面的高度 （米）与其离墙体 的水平距离 （米）之间的关系满足 ，现测得 ， 两墙体之间的水平距离为 6 米． （1）直接写出 ， 的值； （2）求大棚的最高处到地面的距离； （3）小明的爸爸欲在大棚内种植黄瓜，需搭建高为 米的竹竿支架若干．已知大棚内可以搭建支架的土地平均每平方米需要 4 根竹竿，则共需要准备多少根竹竿？ 类型三　几何图形面积问题 5. 问题提出： （1）当 时，二次函数 的最大值为______． 问题探究： （2）已知二次函数 （， 是常数，）的图象经过 ， 两点，平移该函数的图象，使其顶点始终在直线 上，求平移后所得抛物线与 轴交点的纵坐标的最大值． 问题解决： （3）如图，某养殖户利用一段围墙（围墙足够长）为一边，用总长为 80 m 的围网围成了三块矩形区域，且这三块矩形区域的面积相等．设 的长度为 m，矩形 的面积为 m²．当 为何值时， 有最大值？最大值是多少？ 6. 有一块形状如图所示的五边形余料 ，，，，，．要在这块余料中截取一块矩形材料，其中一条边在 上，并使所截矩形材料的面积尽可能大． （1）若所截矩形材料的一条边是 或 ，求矩形材料的面积； （2）能否截出比（1）中更大面积的矩形材料？如果能，求出这些矩形材料面积的最大值；如果不能，说明理由． 专题四　解析二次函数中的存在性问题 类型一　二次函数与三角形的存在性问题 1. 如图，抛物线 与 轴交于点 和点 ，与 轴交于点 ． （1）求抛物线的解析式； （2）若点 是抛物线在 轴上方的部分上的动点，过点 作 轴，交直线 于点 ，求线段 的最大值； （3）在（2）的条件下，当 取最大值时，在抛物线的对称轴 上是否存在点 ，使 是等腰三角形？若存在，请直接写出所有点 的坐标；若不存在，请说明理由． 2. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与 轴交于点 ，，与 轴交于点 ，且直线 过点 ，与 轴交于点 ，点 与点 关于 轴对称．点 是线段 上一动点，过点 作 轴的垂线交抛物线于点 ，交直线 于点 ． （1）求抛物线的函数解析式； （2）连接 ，当 的面积最大时，求点 的坐标； （3）在（2）的条件下，在 轴上是否存在点 ，使得以 ，， 三点为顶点的三角形是直角三角形？若存在，直接写出点 的坐标；若不存在，请说明理由． 类型二　二次函数与角的存在性问题 3. 如图，抛物线 与 轴交于点 ，，与 轴交于点 ，已知 ． （1）求 的值和直线 对应的函数解析式； （2） 为抛物线上一点，若 ，请直接写出点 的坐标； （3） 为抛物线上一点，若 ，求点 的坐标． 类型三　二次函数与四边形的存在性问题 4. 如图，抛物线 与 轴相交于 ， 两点，与 轴相交于点 ，，，直线 是抛物线的对称轴，在直线 右侧的抛物线上有一动点 ，连接 ，，，． （1）求抛物线的函数解析式； （2）若点 在 轴的下方，当 的面积是 时，求 的面积； （3）在（2）的条件下，点 是 轴上一点，点 是抛物线上一动点，是否存在点 ，使得以点 ，，， 为顶点，以 为一边的四边形是平行四边形？若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由． 5. 如图 1，平面直角坐标系 中，抛物线 与 轴分别交于点 和点 ，与 轴交于点 ，对称轴为直线 ，且 ， 为抛物线上一动点． （1）直接写出抛物线的解析式； （2）如图 2，连接 ，当点 在直线 上方时，求四边形 面积的最大值，并求出此时点 的坐标； （3）设 为抛物线对称轴上一动点，当 ， 运动时，在坐标轴上是否存在点 ，使四边形 为矩形？若存在，直接写出点 及其对应点 的坐标；若不存在，请说明理由． 图1 图2 图3 参考答案与解析 专题一 1. B 解析：由图象可知，开口向上，则 ；与 轴交于负半轴，则 ，所以 ，① 正确；对称轴为直线 ，即 ，所以 ；抛物线过点 ，即 ，代入 得 ，② 正确；当 时， 随 的增大而减小，故 ④ 错误；抛物线与 轴有两个交点，则 ，即 ，③ 正确．故选 B． 2. B 解析：由图象可知，当 时，，故 ① 正确； 因为 在抛物线 上，所以 是方程 的一个解，故 ② 正确； 把 ， 分别代入 ，得 解得 所以 ． 当 时，；当 时，，所以 ，故 ③ 正确； 因为 ，顶点坐标为 ，所以当 时， 的取值范围是 ，故 ④ 错误． 综上，正确结论有 3 个，故选 B． 3. C 解析：选项 A：一次函数图象经过第一、二、三象限，则 ，，此时抛物线 开口向上，对称轴在 轴左侧，与图象不符；选项 B、D 同理可排除；选项 C：一次函数图象经过第一、三、四象限，则 ，，此时抛物线开口向上，对称轴在 轴右侧，与 轴交于负半轴，与图象相符．故选 C． 4. A 解析：，顶点坐标为 ．令 ，得 ，，即抛物线与 轴交于点 ，． 把抛物线在 轴上方的部分沿 轴翻折，翻折部分的解析式为 ，顶点为 ． 当直线 过点 时，，，此时直线与新图象恰有 3 个公共点； 当直线 与抛物线 相切时，方程 有两个相等的实数根，整理得 ，则 ，解得 ． 所以 的值为 或 ，故选 A． 5. 解：（1）因为点 在抛物线 上， 所以 ，即 ． 所以 ， 所以抛物线的顶点坐标为 ． （2）， 所以抛物线与 轴交于点 ，，与 轴交于点 ． 由题意，点 向左平移 3 个单位长度得点 ，线段 所在直线为 ． 当 时，抛物线开口向上，顶点 在 轴下方，抛物线在 范围内的部分位于 轴下方（含与 轴的交点），与线段 无公共点，不符合题意； 当 时，抛物线开口向下，顶点 在 轴上方： 若顶点在线段 上，则 ，解得 ，此时抛物线与线段 恰有一个公共点； 若顶点不在线段 上，要使抛物线与线段 恰有一个公共点，需抛物线在 处的函数值大于 4，即 ，解得 ． 综上， 的取值范围是 或 ． 专题二 1. 解：（1）把 ， 的坐标分别代入 ， 得 解得 所以这个二次函数的解析式为 ． （2）当 时，，即 ． 设直线 的解析式为 ，把 ， 代入， 得 解得 所以 ． 因为点 ， 轴，所以 ，， ． 因为点 仅在线段 上运动，所以 ，又 ， 所以当 时， 有最大值 ． 2. 解：（1）把 ， 分别代入 ， 得 解得 所以抛物线的函数解析式为 ． （2）由抛物线的函数解析式知，点 ， 由 ， 得，直线 的函数解析式为 ． 因为点 ，所以 ，， ． 因为 ，所以 ，所以 ． 在 中，． 因为 ，且 ，所以当 时， 有最大值，最大值为 ． 3. 解：（1）抛物线 ，则 ，故 ． 因为 ，所以 ，， 所以点 ，， 的坐标分别为 ，，． 设 ，与 对比得 ， 所以抛物线的函数解析式为 ． （2）由（1）知，抛物线的对称轴为直线 ． 当 时，点 ， 的纵坐标相同，根据函数图象的对称性得 ． （3）过点 作 轴，交 于点 ，设 ． 由 ， 得直线 的函数解析式为 ，则 ． ． 因为 ，所以当 时， 取得最大值，最大值为 8，此时点 ． 4. 解：（1）把 ， 分别代入 ， 得 解得 所以抛物线的解析式为 ． 设直线 的解析式为 ，则 解得 所以直线 的解析式为 ． （2）由抛物线的解析式知，，． 设直线 交 轴于点 ，作点 关于直线 的对称点 ，连接 交 于点 ，连接 ， 则 ，此时 的值最小． 因为 ，所以 ，所以 ． 因为 ，所以 ， 为等腰直角三角形， 所以 ，所以点 ． ， 所以 的最小值为 ． 专题三 1. 解：（1）由题意，得 ， 整理，得 ． 所以每天的销售量 （件）与销售单价 （元）之间的函数关系式为 ． （2）设销售这款文化衫每天所获得的利润为 元， 由题意，得 ， 整理，得 ． 因为 ，所以当 时， 取最大值 1152． 所以当销售单价为 56 元时，销售这款文化衫每天所获得的利润最大，最大利润为 1152 元． 2. 解：（1）当 时，， 所以第 15 天的日销售量为 30 件． （2）设日销售额为 元． ① 当 时，由图象可知 ， 此时 ． 因为 ，所以 随 的增大而增大，当 时， 取最大值，最大值为 ． ② 当 时，设 ， 将 ， 分别代入，得 解得 所以 ， 此时 ． 因为 ，对称轴为直线 ，所以当 时， 随 的增大而增大， 当 时， 取最大值，最大值为 ． 因为 ，所以 的最大值为 2100． 所以当 时，日销售额的最大值为 2100 元． （3）当 时，，解得 ，所以 ； 当 时，，解得 ，所以 ． 综上，． 因为 为正整数，所以共有 9 天，即”火热销售期”共有 9 天． 3. 解：（1）描点、画图（略，图象为开口向下、过表中各点的抛物线）． （2）① 观察表格数据，当 和 时，函数值均为 45， 所以抛物线的对称轴为直线 ，顶点坐标为 ． 因为抛物线开口向下，所以当乒乓球到达最高点时，与球台之间的距离是 49 cm； 由表格数据可知，当 时，， 所以当乒乓球落在对面球台上时，到起始点的水平距离是 230 cm． ② 设抛物线的解析式为 ， 将 代入，得 ， 解得 ， 所以抛物线的解析式为 ． （3）设乒乓球恰好落在对面球台边缘点 处时，击球高度 的值为 cm，则抛物线向上平移 cm， 平移后的抛物线的解析式为 ． 令 ，，得 ， 解得 ． 答：当乒乓球恰好落在对面球台边缘点 处时，击球高度 的值为 64.39 cm． 4. 解：（1）由题意，得点 的坐标为 ，点 的坐标为 ． 将 ， 分别代入 ， 得 解得 （2）由（1）知，， 所以当 时， 有最大值，最大值为 ． 故大棚最高处到地面的距离为 米． （3）令 ，则 ， 解得 ，． 因为 ，所以大棚内可以搭建支架的土地的宽为 （米）． 因为大棚的长为 16 米，所以需要搭建支架的土地面积为 （米²）． 因为平均每平方米需要 4 根竹竿，所以共需要竹竿 （根）． 答：共需要准备 352 根竹竿． 5. 解：（1）， 对称轴为直线 ，图象开口向下， 所以当 时， 随 的增大而减小， 当 时， 的最大值为 3． （2）将 ， 分别代入 ， 得 解得 所以二次函数的解析式为 ，顶点为 ． 因为平移该函数的图象，使其顶点始终在直线 上， 所以该抛物线横坐标、纵坐标平移的距离相同． 设平移后的抛物线的解析式为 ， 令 ，则 ． 因为 ，所以平移后的抛物线与 轴交点的纵坐标的最大值为 ． （3）因为三块矩形区域的面积相等，结合图形可设 m，则 m． 因为围网总长为 80 m，所以 ， 即 ，解得 ，所以 ． 因为 ，解得 ，所以 ． ． 因为 ，，所以当 时， 有最大值，最大值是 300． 答：当 为 20 时， 有最大值，最大值是 300． 6. 解：（1）当所截矩形材料的一条边是 时，过点 作 于点 ， 则所截矩形材料为四边形 ，其面积 ． 当所截矩形材料的一条边是 时，过 上一点 作 于点 ，使 ，过点 作 于点 ， 则四边形 为矩形， 为等腰直角三角形， 所以 ，，， 所以 ， 所截矩形材料的面积 ． （2）能截出比（1）中更大面积的矩形材料．理由如下： 在 上取点 ，过点 作 ，交 于点 ，过点 作 于点 ，过点 作 于点 ， 则四边形 、四边形 均为矩形， 为等腰直角三角形， 所以 ，． 设 ，则 ， ， 所以 ， 当 时， 取得最大值，最大值为 30.25． 因为 ，所以能截出比（1）中更大面积的矩形材料，面积的最大值为 30.25． 专题四 1. 解：（1）因为点 ，所以 ． 将点 代入抛物线解析式，得 ，解得 ． 所以抛物线的解析式为 ． （2）因为 ，，所以直线 的解析式为 ． 设点 ，则点 ， ， 所以当 时， 有最大值 ，此时点 ． （3）存在．理由如下： 抛物线的对称轴为直线 ，设点 ． 因为 ，， 所以 ，，． 当 时，，解得 ； 当 时，，解得 ； 当 时，，解得 ． 故点 的坐标为 或 或 或 或 ． 2. 解：（1）在 中，令 ，得 ，所以 ； 令 ，得 ，所以 ． 因为点 与点 关于 轴对称，所以 ． 把 ， 分别代入 ， 得 解得 所以抛物线的解析式为 ． （2）设 ，则 ，， ， ． 因为 ，所以当 时， 的面积最大，此时点 的坐标为 ． （3）由（2）知，，． 当 时， 轴，则 ； 当 时， 轴，则 ； 当 时，设 ，则 ， 即 ， 整理，得 ，解得 ， 所以 或 ． 综上，存在满足条件的点 ，其坐标为 或 或 或 ． 3. 解：（1）将 代入 ， 得 ，化简，得 ， 解得 （舍去）或 ． 所以 ，抛物线的解析式为 ，所以 ． 设直线 的函数解析式为 ， 将 ， 分别代入，得 解得 所以直线 的函数解析式为 ． （2）在 中，令 ，得 或 ，所以 ． 因为 ，所以点 在与 平行、且到 的距离等于点 到 的距离的直线上． 过点 作 的平行线 ，与抛物线联立： 解得 或 得 （另一交点即点 本身， 与 重合时也满足条件）； 将直线 向下平移 2 个单位长度，得直线 ，与抛物线联立： 解得 ，对应 ， 得 ，． 综上，符合题意的点 的坐标为 ，， 或 ． （3）设直线 满足 ，过点 作 于点 ，过点 作 轴于点 ，过点 作 于点 ， 则 是等腰直角三角形，． 易证 （AAS），所以 ，． 设 ，则 ． 因为 ，所以 ，即 ，解得 ． 所以 ，又 ， 所以直线 对应的解析式为 ． 设 ，代入 ， 得 ，整理，得 ． 因为 ，所以 ，所以 ． 4. 解：（1）因为 ，，所以 ，． 把 ， 分别代入 ， 得 解得 所以抛物线的解析式为 ． （2）当 时，，所以 ． 设直线 的解析式为 ，则 解得 所以 ． 过点 作 轴于点 ，交 于点 ． 设 ，则 ， ． 因为 的面积是 ，所以 ， 即 ，整理，得 ， 解得 ，． 因为点 在对称轴直线 右侧的抛物线上，所以 ，，． ． （3）存在，分两种情况： ① 当点 在 轴的上方时，以 为一边的平行四边形 中，，． 因为 ，，且点 在 轴上，所以点 的纵坐标为 ． 令 ，整理，得 ， 解得 ，， 所以 或 ． ② 当点 在 轴的下方时，四边形 是平行四边形，此时点 与原点 重合， 所以 ． 综上，点 的坐标为 或 或 ． 5. 解：（1）因为抛物线的对称轴是直线 ，抛物线交 轴于点 ，，所以 ， 所以 ，所以 ． 设抛物线的解析式为 ， 把 代入，得 ，， 所以抛物线的解析式为 ． （2）连接 ，设 ， ． 因为 ，所以当 时， 的值最大，最大值为 ，此时 ． （3）存在．理由如下： 当点 在 轴上时，四边形 是矩形，此时 ，； 当点 在 轴上时，设 ，，则 ， 由矩形的性质，得 消去 ，得 ，解得 ， 所以 ， 或 ，． 综上所述，满足条件的点 ， 的坐标为 ， 或 ， 或 ，． 内容由 AI 生成 学科网（北京）股份有限公司 $